Übungsblatt 6 Musterlösung

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1 MSE SS6 Übungsblatt 6 Musterlösung Lösung (Fourierkoeffizienten) Eine Möglichkeit die Koeffizienten den Funktionen zuzuordnen, besteht darin, die Koeffizienten der Funktionen u i, i {,,3} zu berechnen (siehe Folien zu Kapitel IV) und dann die zugehörigen Koeffizienten auszuwählen. Betrachtet man jedoch die Graphen von u und u 3, so stellt man fest, dass u ungerade ist (d.h. u ( x) u (x) für jedes x R) und u 3 gerade ist (d.h. u 3 ( x) u 3 (x) für jedes x R). Für die Koeffizienten einer beliebigen ungeraden π-periodischen Funktion f gilt: a k, k N. Dies sieht man folgt ein (Wähle ρ π): π a k f(x)cos(kx)dx f(x)cos(kx)dx π π π [ f(x)cos(kx)dx+ f(x)cos(kx)dx π π [ f( x)cos( kx)dx+ f(x)cos(kx)dx π π π f( x) cos( kx) dx+ }{{}}{{} f(x) cos(kx) [ f(x)cos(kx)dx+ f(x)cos(kx)dx f(x)cos(kx)dx. Das bedeutet, wir können die Koeffizienten Coeff zu der Funktion u zuordnen. Für die Koeffizienten einer beliebigen geraden π-periodischen Funktion f gilt: b k, k N. Dies lässt sich wie folgt beweisen (Wähle ρ π): π b k f(x)sin(kx)dx f(x)sin(kx)dx π π π [ f(x)sin(kx)dx+ f(x)sin(kx)dx π π [ f( x)sin( kx)dx+ f(x)sin(kx)dx π π π f( x) sin( kx) dx+ }{{}}{{} f(x) sin(kx) [ f(x)sin(kx)dx+ Damit gelten die folgenden Zuordnungen: f(x)sin(kx)dx f(x)sin(kx)dx. (f, Coeff ), (f, Coeff 3 ), (f 3, Coeff ).

2 Alternativ könnte man auch einfach zu berechnende Fourierkoeffizienten ermitteln, um die Koeffizienten zuordnen zu können. Betrachte z.b. das Koeffizient a der Funktion u. Dann gilt: a π (π x)cos()dx. π Dann könnten wir schon die Koeffizienten Coeff der Funktionu zuordnen, da die anderen a sind. Lösung 9 (Rothe-Methode) Es ist offensichtlich, dass für die Näherungslösung u i (x) ( ) +τj i bj sin(jx) () j für i die Identität u (x) u (x) gilt. Setzen wir die Gültigkeit von () für einen Index i voraus, so muss für die neue Iterierte u i (x) u i (x) u i (x)+τ d dx u i(x) () gelten. Nehmen wir an, u i habe die Gestalt (). Einsetzen in () liefert unter Beachtung der gleichmäßigen Konvergenz der Reihe ( ) +τj i bj sin(jx) [ (+τj ) (i ) ( τj +τj ) i b j sin(jx) j j ( ) +τj i( +τj τj ) b j sin(jx) j ( ) +τj i bj sin(jx). j Somit haben wir die Darstellung () bewiesen. Zum Vergleich dieser Darstellung mit der exakten Lösung u(x,t) b j e jt sin(jx) berechnen wir u(x, iτ) zu u(x,iτ) j e j (iτ) b j sin(jx) j j j ( e τj) i bj sin(jx) ( +τj + ( τj ) +... ) i b j sin(jx). Somit stellen die Koeffizienten u i (x) gerade die Entwicklungen bis zur Ordnung O(τ) der Koeffizenten der exakten Lösung dar.

3 Lösung (Numerische Lösung der Wärmeleitungsleichung) Wir wollen das folgende System gewöhnlicher Differentialgleichungen { y (t) A h y(t), lösen, wobei A h h y() y,... R N N, h N + d.h. die Matrix A ist in der Zeit konstant. Aus der Aufgabe wissen wir, dass die Matrix A diagonalisierbar ist, d.h. es gibt eine Basiswechselmatrix V, so dass ( ) iπ V AV Λ diag(λ,...,λ N ), mit λ i cos. N + Setze nun u(t) : V y(t). Dann erhalten wir das System (3) V Vy (t) V AVy(t) { u (t) Λu(t) u() V y. a) Mit dem expliziten Euler-Verfahren lässt sich die Lösung komponentweise alsu k+,i u k,i + tλ i u k,i schreiben. Die rekursive Anwendung des Verfahren führt zur Formel u k+,i (+ tλ i ) k u,i. Damit die Lösung stabil bleibt, müssen wir + tλ i für jedes i,...,n verlangen. Das ist äquivalent dazu + tλ i. Da alle Eigenwerte λ i < sind, erhalten wir die Einschränkung (den Vorfaktor /h nicht vergessen und den betragsgrößten Eigenwert betrachten) t λ N h cos ( ) h Nπ. N+ b) Beim impliziten Euler-Verfahren haben wir u k+,i u k,i + tλ i u k+,i, das heißt ( ) ku u k+,i tλ i. Damit wollen wir tλ i haben und das passiert genau dann, wenn tλ i ( tλ i ) tλ i tλ i, was immer erfüllt ist, weil λ i < für jedes i. Also gibt es beim impliziten Euler- Verfahren keine Abhängigkeit von der Zeitschritten bzgl. der Ortdiskretisierung. c) Beim Crank-Nicolson-Verfahren haben wir die Situation u k+,i u k,i + t ) t + (λ i u k,i +λ i u k+,i u k+,i λ i tλ u k,i. i Da für jeden Eigentwert λ i < gilt, ist dann + t λ i. Das bedeutet, das Crank- t λ i Nicolson-Verfahren ist numerisch stabil, unabhängig von der Ortdiskretisierung. 3

4 d) Mögliche Implementierungen von den oben genannten Verfahren: function [tn,yneulero_expl(f,tn,dt,y) 3 % Inizialisierung der Lösung 4 yn(:,) y; 6 % Anzahl der Intervalle in der Zeitdiskretisierung 7 nlength(tn); 9 % Lösung der Differentialgleichung via explizites Euler Verfahren for i :n yn(:,i) yn(:,i )+dt*feval(f,tn(i ),yn(:,i )); end 3 end function [tn,yneulero_imp(a,tn,dt,y) 3 % Inizialisierung der Lösung 4 yn(:,) y; 6 % Anzahl der Intervalle in der Ortdiskretisierung 7 [N, ~size(a); 9 % Anzahl der Intervalle in der Zeitdiskretisierung nlength(tn); % Lösung der Differentialgleichung via implizites Euler Verfahren 3 for i :n 4 yn(:,i) (eye(n) dt*a)\yn(:,i ); end 6 end function [tn,yncrank_nicolson(a,tn,dt,y) 3 % Inizialisierung der Lösung 4 yn(:,) y; 6 % Anzahl der Intervalle in der Ortdiskretisierung 7 [N, ~size(a); 9 % Anzahl der Intervalle in der Zeitdiskretisierung nlength(tn); % Lösung der Differentialgleichung via Crank Nicolson Verfahren 3 for i :n 4 yn(:,i) yn(:,i )+(dt/)*a*yn(:,i ); yn(:,i) (eye(n) (dt/)*a)\yn(:,i); 6 end 7 end zusammen mit dem Main File: 4

5 % Angabe der Paramenter des Problems a; b; % Ortintervall, d.h. < x < b 3 t ; T ; % Anfangs und Endszeitpunkt 4 N; % Anzahl der Unterintervalle von [a,b dx(b a)/(n+); % Definition der Ortsschrittweite 6 xna:dx:b; 7 y ; % Anfangswert 9 % Aufbau der Matrix A, die aus der Ortsdiskretisierung der % Wärmeleitungsgleichung durch symmetrische finite Differenzen... herkommt. A diag( *ones(n,))+diag(ones(n,), )+diag(ones(n,),); AA/(dx^); 3 4 % Implementierung der rechten Seite der Differentialgleichung... y'f(t,y). % In diesem Fall ist f(t,y)ay, 6 A*y; 7 % Anfangswert der Lösung 9 y y*ones(n,); % Verschiede Wahl der Zeitschrittweite for i:3 3 if (i) 4 dt (dx^)/; elseif (i) 6 dt (dx^)/.9; 7 else dt.7; 9 end 3 tnt:dt:t; % Vektor der Zeiten, wobei wir die Lösung... approximieren 3 3 % Berechnung der numerischen Lösung mit dem expliziten... Euler Verfahren 33 [tn,yn_ee eulero_expl(func,tn,dt,y); 34 % Berechnung der numerischen Lösung mit dem imliziten... Euler Verfahren 3 [tn,yn_ei eulero_imp(a,tn,dt,y); 36 % Berechnung der numerischen Lösung mit dem... Crank Nicolson Verfahren 37 [tn,yn_cn crank_nicolson(a,tn,dt,y); 3 39 % Plot der approximierten Lösungen 4 subplot(3,3,i); 4 set(gca,'fontsize',); 4 if (i) 43 title(sprintf('dtdx^/')) 44 elseif (i) 4 title(sprintf('explizites Euler Verfahren\n dtdx^/.9')) 46 else 47 title(sprintf('dt.7')) 4 end 49 hold on; plot(tn,yn_ee(,:),'b');

6 xlabel('zeit'); ylabel('loesung'); 3 hold all 4 subplot(3,3,3+i); 6 set(gca,'fontsize',); 7 if (i) title(sprintf('implizites Euler Verfahren')) 9 end 6 hold on; 6 plot(tn,yn_ei(,:),'b'); 6 xlabel('zeit'); 63 ylabel('loesung'); 64 hold all 6 66 subplot(3,3,6+i); 67 set(gca,'fontsize',); 6 if (i) 69 title(sprintf('crank Nicolson Verfahren')) 7 end 7 hold on; 7 plot(tn,yn_cn(,:),'b'); 73 xlabel('zeit'); 74 ylabel('loesung'); 7 hold all 76 end 77 clear; 6