Übungsblatt 5 Musterlösung

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1 MSE SS7 Übungsblatt 5 Musterlösung Lösung 6 (Vergleich von direkten und iterativen Verfahren: Teil ) Aufwand Jacobi-Verfahren: Das Jacobi Verfahren lässt sich als x (k+) = x (k) +D (b Ax (k) ) x (k+) = D b D (L+U)x (k) mit den Matrizen M J = D (L+U) und N J = D schreiben. Der Aufwand besteht im wesentlichen aus einer Matrixmultiplikation, d.h. O(n ). Im dünnbesetzten Fall mit l Nicht-Null-Einträgen pro Zeile entspricht das O(ln). Lösung 7 (Analytische Eigenwertberechnung in D) a) Sei n gross. Betrachte den letzten Eigenwert λ n. Es gilt ( ( )) πn πn n+ λ n = cos π ( cosπ) = 4. n+ b) Um die Konditionszahl der Matrix A zu berechnen, brauchen wir noch den betragkleinsten Eigenwert λ min. Mit der Taylor-Entwicklung des Cosinus erhalten wir für den ersten Eigenwert ( ( )) π π n+ λ = cos ( ) =. n+ Das bedeutet, κ(a) für n gross. Mit dem Code % Plot der Eigenwerte von A=tridiag(-,,-) figure() 3 N = 6; 4 f = zeros(n,); 5 for j = :N 6 f(j) = *(-cos(pi*j/(n+))); 7 end plot(:n,f, Linewidth,) 9 title( Eigenwerte fuer n=6, FontSize,4) % Plot der Eigenvektoren von A figure() 3 v = zeros(n,); 4 c = sqrt(/(n+)); 5 for j = :N 6 for k = :N 7 v(k,j) = c*sin(pi*j*k/(n+)); end 9 end

2 subplot(,,); set(gca, FontSize,); title( Eigenvektor v_ ) 3 hold on; plot(:n,v(:,)); 4 axis([ 6.); 5 6 subplot(,,); 7 set(gca, FontSize,); title( Eigenvektor v_{} ) 9 hold on; plot(:n,v(:,)); 3 axis([ 6 -..); 3 3 subplot(,,3); 33 set(gca, FontSize,); 34 title( Eigenvektor v_{4} ) 35 hold on; plot(:n,v(:,4)); 36 axis([ 6 -..); 37 3 subplot(,,4); 39 set(gca, FontSize,); 4 title( Eigenvektor v_{6} ) 4 hold on; plot(:n,v(:,6)); 4 axis([ 6 -..); erzeugen wir die folgenden Plots für die Eigenwerte und zu einigen Eigenvektoren für n = : 4 Eigenwerte fuer n=

3 .. Eigenvektor v Eigenvektor v. 5 Eigenvektor v Eigenvektor v c) Eine mögliche Implementierung des gedämpften Jacobi-Verfahrens kann die folgende sein: function [u, err = djac(a,b,u,omega,max_iter) % Die Routine djac rechnet die approximierte des linearen 3 % Gleichungssystem Au=b mittels max_iter des gedaempften Jacobi-Verfahren. 4 % Die Funktion gibt auch eine Matrix err zurueck, die die Vektoren des 5 % echten Fehlers in den Spalten enthaelt. 6 7 k = ; 9 % Approximierte u = u; % Exakte 3 u_exakt = A\b; 4 5 err(:,) = u-u_exakt; 6 7 % Gedaempftes Jacobi-Verfahren while(k<max_iter) 9 u = u + (omega^(-))*diag(diag(a))\(b-a*u); err(:,end+) = u-u_exakt; k = k+; end Wir können sehen, dass der exakte Fehler err(:,k) = u-u_exakt auch berechnet 3

4 wird. Das wird nur gemacht, um die Glättungseigenschaften des Verfahrens zu analysieren. Um diese Eigenschaften zu visualisieren, betrachten wir das Skript-File: % Glaettungseigenschaften des Jacobi-Verfahrens close all; 3 4 % Intervall 5 Int = [ ; 6 7 % Anzahl der inneren Stuetzstellen n = 5; 9 % Laenge eines Elementes h = (Int()-Int())/(n+); 3 % Aufstellen des Knotenvektors 4 nodes = linspace(int()+h,int()-h,n); 5 6 % Aufstellen der Steifigkeitsmatrix 7 e = ones(n,); A = spdiags([-e,*e,-e,[-,,,n,n); 9 % Aufstellen des Lastvektors f = (h*h) * ones(n,); 3 % Berechnung der Eigenvektoren 4 V = zeros(n,n); 5 c = sqrt(/(n+)); 6 for j = n:-: 7 for k = :n V(k,j) = c*sin(pi*j*k/(n+)); 9 end 3 end 3 3 % Wahl der Startvektor fuer die Jacobi-Iteration 33 %u = V(:,); % Niederfrequenter Vektor 34 u = *V(:,n); % Hochfrequenter Vektor 35 %u = rand(n,); % Zufallsvektor figure() 3 plot(:n,u, Linewidth,); 39 title( Eigenvektor, FontSize,4) 4 4 % Glaettungsschritte 4 omega = /3; % Daempfungsparameter 43 max_iter = ; 44 [u, err = djac(a,f,u,omega,max_iter); % Plot des Fehler 47 figure(); 4

5 4 plot(:n,err(:,), b,:n,err(:,), r--, :n,err(:,max_iter), k--, Linewidth,); 5 title([ Fehler fuer \omega =,numstr(omega), FontSize,4) 5 LEG = legend(. Iteration,. Iteration,... 5 [numstr(max_iter),. Iteration, Location, north ); 53 set(leg, FontSize,5); Wenn wir als Startvektor den Vektor z n wählen, muss das Verfahren gedämpft werden, sonst werden die Oszillationen nicht genug geglättet. Als Beispiel schauen wir die Wirkung des gedämpften (ω = /3) und nicht gedämpften (ω = ) Jacobi- Verfahren nach Iterationen. Ohne Dämpfung wird der Fehler nicht geglättet und daher bleibt er noch hochfrequent. Wenn das Verfahren gedämpft wird, dann werden die Oszillationen tatsächlich reduziert Eigenvektor - -4 Fehler fuer =. Iteration. Iteration. Iteration Fehler fuer = Iteration. Iteration. Iteration Lösung (Fourierkoeffizienten) Eine Möglichkeit die Koeffizienten den Funktionen zuzuordnen, besteht darin, die Koeffizienten der Funktionen u i, i {,,3} zu berechnen (siehe Folien zu Kapitel IV) und dann 5

6 die zugehörigen Koeffizienten auszuwählen. Betrachtet man jedoch die Graphen von u und u 3, so stellt man fest, dass u ungerade ist (d.h. u ( x) = u (x) für jedes x R) und u 3 gerade ist (d.h. u 3 ( x) = u 3 (x) für jedes x R). Für die Koeffizienten einer beliebigen ungeraden π-periodischen Funktion f gilt: a k =, k N. Dies sieht man folgt ein (Wähle ρ = π): a k = f(x)cos(kx)dx = f(x)cos(kx)dx π π π = [ f(x)cos(kx)dx+ f(x)cos(kx)dx π π = [ f( x)cos( kx)dx+ f(x)cos(kx)dx π π = π = π π f( x) cos( kx) dx+ }{{}}{{} = f(x) =cos(kx) [ f(x)cos(kx)dx+ f(x)cos(kx)dx f(x)cos(kx)dx =. Das bedeutet, wir können die Koeffizienten Coeff zu der Funktion u zuordnen. Für die Koeffizienten einer beliebigen geraden π-periodischen Funktion f gilt: b k =, k N. Dies lässt sich wie folgt beweisen (Wähle ρ = π): b k = f(x)sin(kx)dx = f(x)sin(kx)dx π π π = [ f(x)sin(kx)dx+ f(x)sin(kx)dx π π = [ f( x)sin( kx)dx+ f(x)sin(kx)dx π π = π = π π f( x) sin( kx) dx+ }{{}}{{} =f(x) = sin(kx) [ f(x)sin(kx)dx+ Damit gelten die folgenden Zuordnungen: f(x)sin(kx)dx f(x)sin(kx)dx =. (f, Coeff ), (f, Coeff 3 ), (f 3, Coeff ). Alternativ könnte man auch einfach zu berechnende Fourierkoeffizienten ermitteln, um die Koeffizienten zuordnen zu können. Betrachte z.b. das Koeffizient a der Funktion u. Dann gilt: a = (π x)cos()dx =. π Dann könnten wir schon die Koeffizienten Coeff der Funktionu zuordnen, da die anderen a sind. 6

7 Lösung 9 (Numerische Lösung der Wärmeleitungsleichung) Wir wollen das folgende System gewöhnlicher Differentialgleichungen { y (t) = A h y(t), lösen, wobei A h = h y() = y,... R n n, h = n+ d.h. die Matrix A ist in der konstant. Aus der Aufgabe 5 wissen wir, dass die Matrix A diagonalisierbar ist, d.h. es gibt eine Basiswechselmatrix V, so dass ( ) iπ V AV = Λ = diag(λ,...,λ n ), mit λ i = cos. n+ Setze nun u(t) := V y(t). Dann erhalten wir das System () V Vy (t) = V AVy(t) { u (t) = Λu(t) u() = V y. a) Mit dem expliziten Euler-Verfahren lässt sich die Lösung komponentweise alsu k+,i = u k,i + tλ i u k,i schreiben. Die rekursive Anwendung des Verfahren führt zur Formel u k+,i = (+ tλ i ) k u,i. Damit die Lösung stabil bleibt, müssen wir + tλ i für jedes i =,...,n verlangen. Das ist äquivalent dazu + tλ i. Da alle Eigenwerte λ i < sind, erhalten wir die Einschränkung (den Vorfaktor /h nicht vergessen und den betragsgrößten Eigenwert betrachten) t λ n = h cos ( ) h nπ. n+ b) Beim impliziten Euler-Verfahren haben wir u k+,i = u k,i + tλ i u k+,i, das heißt ( ) ku u k+,i = tλ i. Damit wollen wir tλ i haben und das passiert genau dann, wenn tλ i ( tλ i ) tλ i tλ i, was immer erfüllt ist, weil λ i < für jedes i. Also gibt es beim impliziten Euler- Verfahren keine Abhängigkeit von der schritten bzgl. der Ortdiskretisierung. c) Beim Crank-Nicolson-Verfahren haben wir die Situation u k+,i = u k,i + t ) t + (λ i u k,i +λ i u k+,i u k+,i = λ i tλ u k,i. i Da für jeden Eigentwert λ i < gilt, ist dann + t λ i. Das bedeutet, das Crank- t λ i Nicolson-Verfahren ist numerisch stabil, unabhängig von der Ortdiskretisierung. 7

8 d) Mögliche Implementierungen von den oben genannten Verfahren: function [tn,yn=eulero_expl(f,tn,dt,y) 3 % Inizialisierung der Lösung 4 yn(:,) = y; 5 6 % Anzahl der Intervalle in der diskretisierung 7 n=length(tn); 9 % Lösung der Differentialgleichung via explizites Euler-Verfahren for i = :n yn(:,i) = yn(:,i-)+dt*feval(f,tn(i-),yn(:,i-)); end 3 end function [tn,yn=eulero_imp(a,tn,dt,y) 3 % Inizialisierung der Lösung 4 yn(:,) = y; 5 6 % Anzahl der Intervalle in der Ortdiskretisierung 7 [N, ~=size(a); 9 % Anzahl der Intervalle in der diskretisierung n=length(tn); % Lösung der Differentialgleichung via implizites Euler-Verfahren 3 for i = :n 4 yn(:,i) = (eye(n)-dt*a)\yn(:,i-); 5 end 6 end function [tn,yn=crank_nicolson(a,tn,dt,y) 3 % Inizialisierung der Lösung 4 yn(:,) = y; 5 6 % Anzahl der Intervalle in der Ortdiskretisierung 7 [N, ~=size(a); 9 % Anzahl der Intervalle in der diskretisierung n=length(tn); % Lösung der Differentialgleichung via Crank-Nicolson-Verfahren 3 for i = :n 4 yn(:,i) = yn(:,i-)+(dt/)*a*yn(:,i-); 5 yn(:,i) = (eye(n)-(dt/)*a)\yn(:,i); 6 end 7 end

9 zusammen mit dem Main File: % Angabe der Paramenter des Problems a=; b=; % Ortintervall, d.h. <= x <= b 3 t = ; T = ; % Anfangs- und Endszeitpunkt 4 N=; % Anzahl der Unterintervalle von [a,b 5 dx=(b-a)/(n+); % Definition der Ortsschrittweite 6 xn=a:dx:b; 7 y = ; % Anfangswert 9 % Aufbau der Matrix A, die aus der Ortsdiskretisierung der % Wärmeleitungsgleichung durch symmetrische finite Differenzen herkommt. A = diag(-*ones(n,))+diag(ones(n-,),-)+diag(ones(n-,),); A=A/(dx^); 3 4 % Implementierung der rechten Seite der Differentialgleichung y =f(t,y). 5 % In diesem Fall ist f(t,y)=ay, 6 func A*y; 7 % Anfangswert der Lösung 9 y = y*ones(n,); % Verschiede Wahl der schrittweite for i=:3 3 if (i==) 4 dt = (dx^)/; 5 elseif (i==) 6 dt = (dx^)/.9; 7 else dt =.75; 9 end 3 tn=t:dt:t; % Vektor der en, wobei wir die Lösung approximieren 3 3 % Berechnung der numerischen Lösung mit dem expliziten Euler-Verfahren 33 [tn,yn_ee = eulero_expl(func,tn,dt,y); 34 % Berechnung der numerischen Lösung mit dem imliziten Euler-Verfahren 35 [tn,yn_ei = eulero_imp(a,tn,dt,y); 36 % Berechnung der numerischen Lösung mit dem Crank-Nicolson-Verfahren 37 [tn,yn_cn = crank_nicolson(a,tn,dt,y); 3 39 % Plot der approximierten Lösungen 4 subplot(3,3,i); 4 set(gca, FontSize,); 4 if (i==) 43 title(sprintf( dt=dx^/ )) 44 elseif (i==) 45 title(sprintf( Explizites Euler-Verfahren\n dt=dx^/.9 )) 46 else 47 title(sprintf( dt=.75 )) 4 end 49 hold on; 9

10 5 plot(tn,yn_ee(,:), b ); 5 xlabel( ); 5 ylabel( ); 53 hold all subplot(3,3,3+i); 56 set(gca, FontSize,); 57 if (i==) 5 title(sprintf( Implizites Euler-Verfahren )) 59 end 6 hold on; 6 plot(tn,yn_ei(,:), b ); 6 xlabel( ); 63 ylabel( ); 64 hold all subplot(3,3,6+i); 67 set(gca, FontSize,); 6 if (i==) 69 title(sprintf( Crank-Nicolson-Verfahren )) 7 end 7 hold on; 7 plot(tn,yn_cn(,:), b ); 73 xlabel( ); 74 ylabel( ); 75 hold all 76 end 77 clear; Explizites Euler-Verfahren dt=dx / dt=dx /.9 5 dt= Implizites Euler-Verfahren Crank-Nicolson-Verfahren