Beispiellösung Serie 7

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1 D-MAVT FS 2014 K. Nipp A. Hiltebrand NUMERISCHE MATHEMATIK Beispiellösung Serie 7 1. a) Exakt: ( L = Rückwärts einsetzen Lz = b : z 1 = 0.5, z 2 = = 99 Rx = z : x 2 = 99, x = ( ) = b) Mit Runden ( ρ( 199) L = Rückwärts einsetzen ), R = ( ) ( , R = Lz = b : z 1 = 0.5, z 2 = = 99 Rx = z : x 2 = , x = ( ) 200 = 0 (Auslöschung!) (0, 0.5) schlechte Näherung der exakten Lösung ( 100, 99 ) c) Mit Runden und Vertauschen der Zeilen (relative Spaltenmaximumstrategie) ( ) ( ) ρ(0.995) L =, R = Rückwärts einsetzen Lz = y : z 1 = 1, z 2 = Rx = z : x 2 = 0.5, x 1 = = 0.5 Gute Näherung: (0.5, 0.5) = (ρ( ), ρ( )) ) ) Bitte wenden!

2 2. Entscheidend für die Konvergenz eines Iterationsverfahrens x k+1 = T x k + b ist der Spektralradius der Matrix T : Es muss gelten: ρ(t ) < 1. Mit M = A, B oder C gilt beim Jacobi-Verfahren T jac = D 1 (M D) und beim Gauss-Seidel-Verfahren T gs = (D + L) 1 R, wobei M = D + L + R (Skript S ). Der Spektralradius der Iterationsmatrix für das Jacobi- bzw. Gauss-Seidel-Verfahren kann z.b. wie folgt bestimmt werden: D=diag(diag(M)); R=triu(M)-D; L=tril(M)-D; Tjac=-D\(M-D); Tgs=-(D+L)\R; rho_jac=max(abs(eig(tjac))) rho_gs=max(abs(eig(tgs))) Dies liefert ρ(a) ρ(b) ρ(c) Jacobi Gauss-Seidel Das Jacobi-Verfahren konvergiert also nur für die Matrix A. Das Gauss-Seidel-Verfahren konvergiert für die Matrizen A und C (symmetrisch positiv definit!). Bemerkung: Die Matrix A ist strikt diagonal dominant. Das ist ein alternativer Weg, um zu sehen, dass für A sowohl das Jacobi- als auch das Gauss-Seidel-Verfahren konvergieren (vgl. S. 29). Siehe nächstes Blatt!

3 3. a) function [x, iter, time] = jac(a,b,x0,tol) tic D=diag(diag(A)); L=tril(A)-D; R=triu(A)-D; x=x0; % start with initial guess maxiter=2e3; iter=0; while (iter<maxiter) iter=iter+1; xold=x; x=d\((-l-r)*x+b); % Jacobi iteration without inverse if (norm(x-xold)<norm(x)*tol+tol) break; end % converged! end time=toc; if (iter==maxiter) disp([ no convergence after,int2str(iter), iterations ]); end; b) tol=1e-5; k_vec=10:5:40; iter_vec=zeros(1,length(k_vec)); for i=1:length(k_vec) k=k_vec(i); A=model(k); b=rhs(k); x0=zeros(size(b)); [x,iter]=jac(a,b,x0,tol); iter_vec(i)=iter; end plot(k_vec,iter_vec) xlabel( k ) ylabel( Anzahl Iterationen ) ici! c) Für das Gauss-Seidel-Verfahren muss man im Wesentlichen nur eine Zeile des Codes verändern: Statt des Jacobi-Updates x=d\((-l-r)*x+b); verwendet man das Gauss-Seidel-Update: x=(d+l)\((-r)*x+b); Das Gauss-Seidel-Verfahren braucht wie im Graphen ersichtlich deutlich weniger Iterationen als das Jacobi-Verfahren. Die approximative Lösung der Poissongleichung ist im zweiten Graphen dargestellt. Bitte wenden!

4 Jacobi Gauss Seidel Anzahl Iterationen k Siehe nächstes Blatt!

5 4. Multiple Choice. a) I) Bei der Diskretisierung von hyperbolischen Differentialgleichungen verlangt die CFL-Bedingung (i) Numerisches Abhängigkeitsgebiet Analytisches Abhängigkeitsgebiet (ii) Numerisches Abhängigkeitsgebiet Analytisches Abhängigkeitsgebiet Das analytisches Abhängigkeitsgebiet muss im numerischen Abhängigkeitsgebiet enthalten sein, sonst könnte man die Anfangsdaten (und damit die Lösung) ausserhalb des numerischen Abhängigkeitsgebiet abändern, ohne dass sich die numerische Approximation ändert. Siehe auch S. 151 im Skript. II) Bei der Wellengleichung u tt c 2 u xx = 0, c > 0 ist für das Differenzenverfahren (8.12) aus dem Skript die CFL-Bedingung immer erfüllt, wenn t = x gilt. (i) Richtig. (ii) Falsch. Die CFL-Bedingung ist für das Verfahren erfüllt, wenn t x 1 c Für grosse Wellengeschwindigkeiten c > 1 ist die CFL-Bedingung damit bei t = x verletzt. b) Gegeben sei die Koeffizienten-Matrix A = des linearen Gleichungssytems Ax = b Bitte wenden!

6 I) Wir wollen mit MATLAB für die Matrix T (ω) des SOR-Verfahrens den Spektralradius gegen den Parameter ω, 0 < ω < 2 plotten. Dazu betrachten wir den folgenden Code (Die Matrix A sei schon in L, R und D zerlegt und spectralradius gebe den Spektralradius der übergebenen Matrix zurück): omega_vec=0.001:0.001:1.999; rho=zeros(size(omega_vec)); for i=1:length(omega_vec) omega=omega_vec(i); T=... rho(i)=spectralradius(t); end plot(omega_vec,rho) xlabel( \omega ) ylabel( \rho(t(\omega)) ) Wie muss die unvollständige Zeile lauten? (i) T=(D+omega *L)\(-omega*R+(1-omega)*D); (ii) (iii) (iv) (v) T=(D-omega*L)\(-omega*R+(1+omega)*D); T=(D+omega*R)\(-omega*L+(1-omega)*D); T=(D-omega*R)\(-omega*L+(1+omega)*D); Keine der genannten Antworten ist richtig. Gemäss S. 30 im Skript gilt: T = (D + ωl) 1 ( ωr + (1 ω)d) Siehe nächstes Blatt!

7 II) Dieser Graph ist hier dargestellt: ρ(t(ω)) ω Für welche Werte von ω konvergiert das Verfahren? (i) Für alle ω (0, 2). (ii) Für alle ω (0.66, 1.44) (gerundete Werte). (iii) Für kein ω (0, 2). (iv) Keine der genannten Antworten ist richtig. Der Spektralradius ist immer kleiner als 1, das Verfahren konvergiert also für 0 < ω < 2. III) Das Verfahren konvergiert am schnellsten für folgende Werte von ω (mehrere Antworten möglich): (i) ω nahe bei 0 (ii) ω nahe bei 0.66 (iii) ω nahe bei 1.44 (iv) ω nahe bei 2 (v) ω nahe bei 1.04 (vi) Keine der genannten Antworten ist richtig. Der Spektralradius ist am kleinsten für ω 1.04 und daraus folgt die obige Antwort. Bitte wenden!

8 IV) Benutzen Sie die Fehlerabschätzung aus der Vorlesung e k T (ω) k e 0 für die 2-Norm, um abzuschätzen, wieviele Iterationen nötig sind, damit das SOR- Verfahren für ω = 0.8, bzw den absoluten Anfangsfehler (in der 2-Norm) um einen Faktor verkleinert. Für ω = 0.8 ist T (ω) 2 = und damit braucht man die folgende Mindestzahl von Iterationen (nur das Beste ankreuzen): (i) 25 (ii) 29 (iii) 33 (iv) 37 (v) 41 (vi) 45 V) Für ω = 1.04 ist T (ω) 2 = und damit braucht man die folgende Mindestzahl von Iterationen (nur das Beste ankreuzen): (i) 25 (ii) 29 (iii) 33 (v) 41 (iv) 37 (vi) 45 Es gilt e k 2 T (ω) k 2 e 0 2. Um den Fehler um einen Faktor zu reduzieren, muss also gelten: für ω = 0.8: T (ω) k k also sollte man im schlechtesten Fall 33 Iterationen benötigen. für ω = 1.04: T (ω) k k also sollte man im schlechtesten Fall 37 Iterationen benötigen. log , log T (ω) 2 log , log T (ω) 2 Bemerkung. Obwohl T (0.8) 2 < T (1.04) 2, konvergiert das SOR-Verfahren in der 2-Norm am schnellsten mit ω 1.04 (siehe Abbildung für ein Beispiel). Siehe nächstes Blatt!

9 Anzahl Iterationen ω VI) Im folgenden ist die 2-Norm für die Matrix T (ω) dargestellt T(ω) ω Bitte wenden!

10 Für welche Werte von ω konvergiert das Verfahren in der 2-Norm? (i) Für alle ω (0, 2). (ii) (iii) (iv) Für alle ω (0.79, 0.96) (gerundete Werte). Für alle ω (0, 1.59) (gerundete Werte). Für alle ω (0.66, 1.44) (gerundete Werte). (v) Für kein ω (0, 2). (vi) Keine der genannten Antworten ist richtig. Obwohl T (ω) 2 < 1 nur für 0 < ω < 1.59 gilt, konvergiert das SOR-Verfahren trotzdem für 0 < ω < 2, denn der Spektralradius und nicht die 2-Norm von T (ω) ist entscheidend. Zum Beispiel konvergiert das SOR-Verfahren für ω = 1.8 für das Beispiel nach 118 Schritten, auch wenn T (1.8) 2 = > 1, denn ρ(t (1.8)) = < 1. c) Die LR-Zerlegung ohne Zeilenvertauschungen ist für beliebige Matrizen A ein guter Algorithmus zum Lösen von linearen Gleichungssystemen Ax = b. (i) Richtig. (ii) Falsch. Die LR-Zerlegung ohne Zeilenvertauschungen ist für beliebige Matrizen A kein guter Algorithmus, siehe z. B. Aufgabe 1. (Für gewisse Klassen von Matrizen, wie z. B. diagonal dominante Matrizen, kann es jedoch ein guter Algorithmus sein.) Im allgemeinen braucht man jedoch eine gute Pivotstrategie, vgl. die Bemerkung auf S. 21 im Skript. Siehe nächstes Blatt!

11 d) Gegeben sei die Matrix A = ( 1) Dann ist der Spektralradius ϱ(a) der Matrix A gleich (i) 0 (ii) 3 (iii) 16 (iv) 23 Der Spektralradius ist gemäss Definition (S. 27 im Skript) ϱ(a) = max i=1,...,n λ i, wobei λ 1,..., λ n die Eigenwerte von A sind. Berechnen der Eigenwerte (mit Matlab oder von Hand) ergibt: 16, 3, 0, 0. Der Spektralradius von A ist damit 16. e) I) Das iterative Verfahren x k+1 = T x k + c, k = 0, 1,... mit ϱ(t ) < 1 konvergiert für beliebige Startwerte x 0 gegen einen eindeutigen Grenzwert x. (i) Richtig. (ii) Falsch. Korrekt nach Satz auf S. 28 im Skript. II) Wenn ϱ(t ) < 1, so ist I T immer invertierbar. (i) Richtig. (ii) Falsch. Korrekt durch Kombination von 2. auf S. 27 im Skript und dem ersten Teil des Beweises auf S. 26: Nach Ersterem existiert für ε > 0 eine Norm ε, so dass T ε ϱ(t )+ε. Wenn wir ε genügend klein wählen (genauer: ε < 1 ϱ(t )), so erhalten wir wegen ϱ(t ) < 1 auch T ε < 1. Damit folgt aber mit dem zitierten Beweis auch, dass I T regulär ist.