Kapitel 8. Lineare Gleichungssysteme III: iterative Verfahren

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1 Kapitel 8. Lineare Gleichungssysteme III: iterative Verfahren Inhalt: 8.1 Fixpunkt-Iteration 8.2 Verfahren der konjugierten Gradienten 8.3 Anwendungsbeispiel Numerische Mathematik I 323

2 Kap. 8: Lineare Gleichungssysteme III: iterative Verfahren Ziel: Lösung des linearen Gleichungssystems mit regulärer Matrix A R n n, b R n. Ax = b Das Gaußsche Eliminationsverfahren erfordert bei Bandmatrizen mit der Bandbreite m den Aufwand 1 3 nm2. Für große Matrizen (n > 10 6, m > 10 2 ) sind dies bereits Rechenoperationen. Bei vielen Aufgaben für zwei- und dreidimensionale Modelle treten Matrizen mit sehr vielen Nullen in den Matrixeinträgen auf, die keine echte Bandstruktur aufweisen. Das Gaußsche Eliminationsverfahren würde zum Auffüllen vieler dieser Stellen führen. Iterationsverfahren bestimmen die Lösung x näherungsweise und nutzen dabei die Struktur der Matrix A aus, indem sie nur auf die von Null verschiedenen Einträge der Matrix A zugreifen. Dies ermöglicht eine kompakte Speicherung dünn besetzter Matrizen (matlab sparse ) und spart Rechenoperationen. Gute iterative Verfahren haben die Komplexität O(nm), wobei m die durchschnittliche Anzahl der von Null verschiedenen Einträge pro Zeile der Matrix ist. Numerische Mathematik I 324

3 Allgemeine Form der Fixpunkt-Iteration 8.1 Fixpunkt-Iteration Allgemeine Form der Fixpunkt-Iteration Mit einer beliebigen invertierbaren Matrix C R n n gilt die Äquivalenz Ax = b Cx = Cx Ax +b x = (I C 1 A)x +C 1 b. Man versucht C so zu wählen, dass zu gegebenem Vektor x (k) der neue Vektor mit wenig Aufwand zu berechnen ist, x (k+1) = (I C 1 A)x (k) +C 1 b die Iterationsfunktion φ : R n R n, φ(x) = (I C 1 A)x +C 1 b kontrahierend ist und eine möglichst kleine Kontraktionszahl besitzt. Zuerst betrachten wir zwei Verfahren, die wenig Aufwand zur Berechnung von x (k+1) erfordern. Numerische Mathematik I 325

4 Gesamtschrittverfahren (Jacobi-Verfahren) Gesamtschrittverfahren (Jacobi-Verfahren) Die Matrix A habe Diagonalelemente a ii Wähle beliebigen Startvektor x (0) R n, z.b. x (0) i 2. Für k = 0,1,2,... = bi a ii. für i = 1,2,...,n: ( löse die i-te Gleichung nach x i ) x (k+1) i = 1 n a ii b i a ij x (k) j. j=1 j i Einzelschrittverfahren (Gauß-Seidel-Verfahren) Die Matrix A habe Diagonalelemente a ii Wähle beliebigen Startvektor x (0) R n, z.b. x (0) i 2. Für k = 0,1,2,... = bi a ii. für i = 1,2,...,n: ( löse die i-te Gleichung nach x i ) x (k+1) i = 1 i 1 n b i a ij x (k+1) j a ij x (k) j. a ii j=1 j=i+1 Numerische Mathematik I 326

5 Beispiel: eindimensionales Modellproblem Beispiel: eindimensionales Modellproblem Zur numerischen Lösung des Randwertproblems 2. Ordnung u (x) = f(x), x [0,1], mit u(0) = u(1) = 0 führt man die übliche Diskretisierung u (x k ) 2u(x k) u(x k 1 ) u(x k+1 ) h 2, h = 1 n+1, x k = kh, 0 k n+1, durch und löst das lineare Gleichungssystem Au = b mit der Tridiagonalmatrix A = R n n zur rechten Seite b k = h 2 f(x k ), 1 k n. Für spätere Zwecke halten wir fest: die Eigenwerte von A sind ( ) kπ λ k = 2 1 cos, 1 k n, n+1 und zugehörige Eigenvektoren sind ( v k = sin jkπ ). n +1 1 j n Numerische Mathematik I 327

6 Beispiel: eindimensionales Modellproblem Zu f(x) 1 sowie n = 4 ist die exakte Lösung u = (2,3,3,2) T. Gesamt- und Einzelschrittverfahren liefern die Werte der folgenden Tabellen. Tabelle 8.1: GSV zum 1-dim. Modellproblem, h = 1 5 x (0) x (1) x (2) x (3) x (4) x (5) x (6) x (7) x (20) Tabelle 8.2: ESV zum 1-dim. Modellproblem, h = 1 5 x (0) x (1) x (2) x (3) x (4) x (5) x (6) x (7) x (20) Numerische Mathematik I 328

7 Darstellung der Iterationsfunktion Darstellung der Iterationsfunktion Die Matrix A wird in drei Teile zerlegt gemäß A = L+D +R mit 0 0 a a 12 a 1n.. a..... L = , D =, R = an 1,n a n1 a n,n a nn 0 0 Proposition a) Die Iterationsfunktion des Gesamtschrittverfahrens lautet φ GSV (x) = (I D 1 A)x +D 1 b. b) Die Iterationsfunktion des Einzelschrittverfahrens lautet φ ESV (x) = (I (L+D) 1 A)x +(L +D) 1 b. Wir nennen J := (I D 1 A) = D 1 (L +R), H 1 := (I (L+D) 1 A) = (L +D) 1 R, die Iterationsmatrizen der beiden Verfahren. (Gesamtschrittverfahren) (Einzelschrittverfahren) Numerische Mathematik I 329

8 Konvergenz der Fixpunktiteration Konvergenz der Fixpunktiteration bei beliebigem Startvektor x (0) R n Satz x (k+1) = (I C 1 A)x (k) +C 1 b (8.1.1) Die Matrizen A und C seien regulär, der Vektor x sei die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b, und B := I C 1 A bezeichne die Iterationsmatrix in (8.1.1). Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) Die Fixpunktiteration (8.1.1) konvergiert bei beliebigem Startvektor x (0) R n gegen x. (ii) B hat den Spektralradius ρ(b) = max{ λ ; λ Eigenwert von B} < 1. (iii) Es gibt eine natürliche Matrixnorm. auf R n n mit B < 1. Numerische Mathematik I 330

9 Natürliche Matrixnormen Erinnerung an 2.1.2, Numerik I: Natürliche Matrixnormen Die Funktion q : R n n R heißt natürliche Matrixnorm, wenn es eine Norm. auf dem R n gibt mit q(a) = max{ Ax ; x R n, x = 1}. Beispiele natürlicher Matrixnormen: a) Zeilensummennorm A, Spaltensummennorm A 1 und Spektralnorm A 2, siehe und (Numerik I). b) Es sei T R n n regulär. Dann ist durch x T := T 1 x, x R n, eine Norm auf R n definiert. Die zugehörige natürliche Matrixnorm ist A T := T 1 AT = max{ Ax T ; x R n, x T = 1}. Numerische Mathematik I 331

10 Hilfssatz zum Spektralradius von Matrizen Die Äquivalenz von (ii) und(iii): Hilfssatz zum Spektralradius von Matrizen Gegeben sei die Matrix B R n n mit Spektralradius ρ(b). a) Für jede natürliche Matrixnorm q : R n n R gilt ρ(b) q(b). b) Zu beliebigem ǫ > 0 existiert eine natürliche Matrixnorm q : R n n R mit q(b) ρ(b)+ǫ. Insgesamt gilt also: ρ(b) = inf{q(b) : q ist natürliche Matrixnorm auf R n n }. Bemerkung: a) In Kapitel 2 (Einführung der Spektralnorm) wurde gezeigt, dass für hermitesche Matrizen A C n n der Spektralradius und die Spektralnorm übereinstimmen: ρ(a) = A 2. b) Der Satz liefert die fundamentale Beziehung ρ(b) = limsup k wobei. eine beliebige Matrixnorm sein darf. ( B k ) 1/k, (8.1.2) Numerische Mathematik I 332

11 Hilfssatz zum Spektralradius von Matrizen Beweis: (a) Mit der zugehörigen Vektornorm. auf R n ist Bx = λx = λ x für jeden Eigenvektor zum betragsgrößten Eigenwert λ, also auch q(b) = B op λ. In Teil (b) wird eine reguläre Matrix T = T 1 T 2 zur Definition einer natürlichen Matrixnorm konstruiert. Hierbei dient T 1 zur Erstellung der Jordan-Normalform von B λ 1 d T 1 1 BT 1 =, λ n 1 d n 1 wobei λ 1,...,λ n die Eigenwerte von B und d 1,...,d n 1 entweder 0 oder 1 sind. Die Matrix T 2 = diag(1,ǫ,...,ǫ n 1 ) liefert eine Skalierung der Nicht-Diagonalelemente λ 1 ǫd T 1 2 T 1 1 BT 1 T 2 = λ n 1 λ n. ǫd n 1 Mit T = T 1 T 2 liefert die natürliche Matrixnorm q : R n n R, q(a) = A T, den Wert q(b) = T 1 2 T 1 1 BT 1 T 2 = max{ λ 1 +ǫd 1,..., λ n 1 +ǫd n 1, λ n } ρ(b)+ǫ. λ n Numerische Mathematik I 333

12 Hilfssatz zum Spektralradius von Matrizen Beweis von 8.1.6: x sei die Lösung von Ax = b, also gilt x = Bx +c. Wir setzen e (k) := x (k) x und erhalten e (k+1) = x (k+1) x = Bx (k) +c Bx c = Be (k), also e (k) = B k e (0). Daher ist (i) in Satz äquivalent zur Beziehung lim k Bk y = 0 für alle y R n. (8.1.3) 1. Die Bedingung (ii) in ist notwendig für (i): Falls (ii) nicht erfüllt ist, besitzt B einen Eigenwert λ C mit λ > 1. Sei w C n \{0} ein zugehöriger Eigenvektor. Dann ist B k w = λ k w = λ k w w keine Nullfolge, also konvergiert wenigstens eine der Folgen B k (Rew), B k (Imw) nicht gegen den Nullvektor. Dies widerspricht (8.1.3). 2. Die Bedingung (iii) (und damit auch (ii)) in ist hinreichend für (i): Sei q eine natürliche Matrixnorm (mit zugehöriger Vektornorm. ), für die q(b) < 1 gilt. Dann folgt für alle y R n und k N also ist (8.1.3) erfüllt. B k y q(b) B k 1 y (q(b)) k y, Numerische Mathematik I 334

13 Satz: lineare Konvergenz der Fixpunktiteration Die Konvergenz ist i.a. linear, also von der Form O(q k ), wobei q = ρ(b) der Spektralradius von B ist: Satz: lineare Konvergenz der Fixpunktiteration Falls die Fixpunktiteration (8.1.1) bei beliebigem Startwert x (0) gegen die Lösung x von Ax = b konvergiert, so gilt Bemerkung: lim sup k ( x (k) x ) 1/k ρ(b). x (0) x a) Falls L := q(b) < 1 mit einer natürlichen Matrixnorm q gilt, so ist die Iterationsfunktion φ sogar kontrahierend bzgl. der zugehörigen Vektornorm auf R n, die Kontraktionskonstante ist L. Deshalb gelten in diesem Fall sogar die a-priori und a-posteriori Fehlerabschätzungen des Banachschen Fixpunktsatzes??. Diese sollten als Abbruchkriterien verwendet werden. b) Selbst wenn q(b) 1, aber ρ(b) < 1 gilt, so wird nach einigen Schritten die lineare Konvergenz e (k) 0 mit der Geschwindigkeit ρ(b) k k0 sichtbar. Dies liegt an der fundamentalen Beziehung (8.1.2). Numerische Mathematik I 335

14 Satz: lineare Konvergenz der Fixpunktiteration Beweis: Aus der Voraussetzung und Satz folgt ρ := ρ(b) < 1. Sei ǫ > 0 und q eine natürliche Matrixnorm mit q(b) < ρ+ǫ. Dann gilt für den Fehler e (k) = x (k) x in der zugehörigen Vektornorm Es folgt in dieser speziellen Vektornorm ( e (k) = B k e (0) q(b) k e (0) (ρ+ǫ) k e (0). lim sup k x (k) x x (0) x ) 1/k ρ+ǫ. Da auf R n alle Normen äquivalent sind, folgt für jede weitere Norm ( ) 1/k x (k) x lim sup k x (0) x ρ+ǫ. Weil ǫ > 0 beliebig gewählt werden kann, folgt die Behauptung. Numerische Mathematik I 336

15 Definition und Satz: GSV und ESV für stark diagonaldominante Matrizen Es folgen zwei Anwendungen von Satz Definition und Satz: GSV und ESV für stark diagonaldominante Matrizen Eine Matrix A R n n heißt stark diagonaldominant, falls a ii > n a ij für alle 1 i n. j=1 j i Ist A stark diagonaldominant, so gilt für die Iterationsmatrizen J und H 1 ρ(j) J < 1, ρ(h 1 ) J < 1. Numerische Mathematik I 337

16 Definition und Satz: GSV und ESV für stark diagonaldominante Matrizen Beweis: Die Voraussetzung liefert a ii 0 für alle i. Also sind J und H 1 wohldefiniert. Die erste Abschätzung folgt sofort aus ρ(j) J = D 1 1 (L +R) = max a ij < 1. 1 i n a ii j i Sei nun µ C ein Eigenwert von H 1 mit zugehörigem Eigenvektor w und w = 1. Dann ist µw = (D +L) 1 Rw = µ(d +L)w = Rw = µw = D 1 (µl +R)w. (8.1.4) Daraus erhalten wir µ = µw = D 1 (µl +R)w D 1 (µl +R) 1 i 1 n = max µa ij + a ij. 1 i n a ii j=1 j=i+1 (8.1.5) Die Annahme µ 1 führt zum Widerspruch 1 i 1 n µ max µa ij + µa ij < µ. 1 i n a ii j=1 j=i+1 Also gilt µ < 1 und (8.1.5) ergibt 1 i 1 n µ max a ij + a ij = J < 1. 1 i n a ii j=1 j=i+1 Numerische Mathematik I 338

17 Definition: Schwach diagonaldominante Matrix In der Praxis treten häufig Matrizen auf, die ein etwas schwächeres Kriterium erfüllen Definition: Schwach diagonaldominante Matrix Eine Matrix A R n n heißt schwach diagonaldominant, wenn a ii n a ij für alle 1 i n, j=1 j i und wenn mindestens ein 1 r n existiert mit a rr > n a rj. j=1 j r Numerische Mathematik I 339

18 Definition: Unzerlegbare Matrix Zusätzlich verlangt man eine weitere Eigenschaft: Definition: Unzerlegbare Matrix Eine Matrix A R n n heißt zerlegbar, wenn es zwei nichtleere Indexmengen I,J {1,2,...,n} gibt mit und I J = {1,2,...,n}, I J =, a i,j = 0 für alle i I, j J. Mit anderen Worten: A ist zerlegbar, wenn es eine Permutationsmatrix P gibt, so dass [ ] PAP T A11 0 = A 21 A 22 gilt. Falls keine solche Zerlegung existiert, heißt A unzerlegbar oder auch irreduzibel. Die Irreduzibilität lässt sich auch so feststellen: Zu beliebigen Indizes 0 r,s n gibt es eine Kette weiterer Indizes k 1,...,k m mit a r,k1 0, a k1,k 2 0, a k2,k a km,s 0. (8.1.6) Numerische Mathematik I 340

19 Satz: GSV und ESV für schwach diagonaldominante unzerlegbare Matrizen Nun lässt sich Satz erweitern Satz: GSV und ESV für schwach diagonaldominante unzerlegbare Matrizen Die Matrix A R n n sei schwach diagonaldominant und unzerlegbar. Dann gilt: a) A ist regulär, b) alle Diagonalelemente a ii sind ungleich 0, c) sowohl das Gesamtschrittverfahren als auch das Einzelschrittverfahren konvergieren für jeden Startvektor x (0). Numerische Mathematik I 341

20 Satz: GSV und ESV für schwach diagonaldominante unzerlegbare Matrizen Beweis: Da A unzerlegbar ist, enthält A keine Nullzeile. Aus der schwachen Diagonaldominanz folgt dann a ii > 0 für alle i, und die Matrizen J und H 1 sind wohldefiniert. Wie in folgt aus der schwachen Diagonaldominanz ρ(j) J 1, ρ(h 1 ) J 1. Wir müssen also nur ausschließen, dass Eigenwerte vom Betrag 1 auftreten. Angenommen, es existiert ein Eigenwert λ C von J mit λ = 1. Sei v zugehöriger Eigenvektor mit v = 1. Der Index r sei gegeben mit v r = 1. Aus λv = Jv folgt (in jeder Zeile i) v i = λv i 1 a ij v j, 1 i n. (8.1.7) a ii j i Für einen Index s liefert die schwache Diagonaldominanz sowie v j 1 v s 1 a sj < 1. a ss j s Wegen v r = 1 ist r s. Aufgrund der Unzerlegbarkeit existiert eine Kette r,k 1,...,k m,s wie in (8.1.6). Wir erhalten aus (8.1.7) den Widerspruch v km. v r 1 a km,km a km,j v j + a km,s }{{} j k m,s 0 v s < 1, 1 a rr a r,j v j + a r,k1 v k1 }{{} < 1. j r,k 1 0 Numerische Mathematik I 342

21 Satz: Konvergenz von ESV für positiv-definite Matrizen Für H 1 verläuft der Beweis von ähnlich, siehe dazu (8.1.5). Für eine weitere Klasse von Matrizen konvergiert das Einzelschrittverfahren Satz: Konvergenz von ESV für positiv-definite Matrizen Falls A positiv definit ist, so konvergiert das Einzelschrittverfahren. Numerische Mathematik I 343

22 Satz: Konvergenz von ESV für positiv-definite Matrizen Beweis: Die Diagonalelemente von A erfüllen a ii > 0, also ist H 1 wohldefiniert. Wir definieren zunächst die Vektornorm x A := x T Ax und zeigen für die zugehörige Operatornorm H 1 A = max{ H 1 x A ; x A = 1} < 1. Dann ist auch ρ(h 1 ) H 1 A < 1 (Hilfssatz 8.1.8). Man beachte die Äquivalenz H 1 A < 1 x T H T 1 AH 1x < x T Ax für alle x 0 x T (A H T 1 AH 1)x > 0 für alle x 0. Mit X := (D +L) 1 und der Symmetrie von A = L+D +L T (also R = L T ) folgt und weiter A H T 1 AH 1 H 1 = XR = X(A+X 1 ) = I +XA, = A (I +XA) T A(I +XA) = A (I +AX T )A(I +XA) = A A AX T A AXA AX T AXA = (AX T A+AXA+AX T AXA) = AX T (X 1 +(X T ) 1 +A) XA }{{} = D = AX T DXA = (XA) T D(XA). Die Diagonalmatrix D ist positiv definit (wegen a ii > 0 wie oben), X und A sind regulär, also ist (XA) T D(XA) ebenfalls positiv definit (Sylvesterscher Trägheitssatz). q.e.d. Numerische Mathematik I 344

23 Das SOR (=successive over-relaxation)-verfahren Um die Konvergenz beim ESV zu beschleunigen, wird in jedem Berechnungsschritt (innere Schleife des ESV) eine Verlängerung der Korrektur vorgenommen: Das SOR (=successive over-relaxation)-verfahren Die Matrix A habe Diagonalelemente a ii 0. Weiter sei ω R. (ω wird Relaxationsparameter genannt.) 1. Wähle beliebigen Startvektor x (0) R n, z.b. x (0) i 2. Für k = 0,1,2,... für i = 1,2,...,n x (k+1) i = 1 i 1 b i a ii j=1 a ij x (k+1) j n j=i+1 = bi a ii. a ij x (k) j x (k+1) i = ω x (k+1) i +(1 ω)x (k) i. Bemerkung: Eine entsprechende Änderung beim Gesamtschrittverfahren liefert das JOR-Verfahren; dies wird hier nicht diskutiert. Numerische Mathematik I 345

24 Beispiel: Beispiel: Tabelle 8.3: SOR zum 1-dim. Modellproblem aus 8.1.4, h = 1 5, ω = 1.2 x (0) x (1) x (2) x (3) x (4) x (5) x (6) x (7) x (13) Tabelle 8.4: SOR zum 1-dim. Modellproblem aus 8.1.4, h = 1 5, ω = 1.3 x (0) x (1) x (2) x (3) x (4) x (5) x (6) x (7) x (9) Zur Wahl des optimalen Relaxationsparameters vgl.?? Numerische Mathematik I 346

25 Iterationsfunktion des SOR-Verfahrens Iterationsfunktion des SOR-Verfahrens Mit A = L+D +R wie in lautet die Iterationsfunktion des SOR-Verfahrens φ SOR (x) = H ω x +ω(d +ωl) 1 b. mit der Iterationsmatrix H ω = (D +ωl) 1 ((1 ω)d ωr). Herleitung: Umstellung der Gleichungen in gibt Dies lautet a ii x (k+1) i 1 i +ω a ij x (k+1) j j=1 = ωb i ω n j=i+1 a ij x (k) j +(1 ω)a ii x (k) i. (D +ωl)x (k+1) = ωb +((1 ω)d ωr)x (k). Bemerkung: Für ω = 1 ist φ SOR = φ ESV in Numerische Mathematik I 347

26 Satz: Konvergenzanalyse Satz: Konvergenzanalyse a) von Kahan: Für beliebiges A mit Diagonalelementen a ii 0 und beliebiges ω R ist ρ(h ω ) ω 1. Die Konvergenz des SOR-Verfahrens kann also höchstens für ω (0, 2) eintreten. b) von Reich und Ostrowski: Für jede positiv definite Matrix A und jedes ω (0,2) gilt ρ(h ω ) < 1, also ist das SOR-Verfahren konvergent. Numerische Mathematik I 348

27 Satz: Konvergenzanalyse Beweis: a) Mit L = D 1 L und R = D 1 R schreibt man H ω um in H ω = (D +ωl) 1 ((1 ω)d ωr) = (I +ω L) 1 D 1 D ((1 ω)i ω R). }{{} = I Weil L und R strikte untere bzw. obere Dreiecksmatrizen sind, folgt deth ω = det(i +ω L) 1 det((1 ω)i ω R) = (1 ω) n. Weil deth ω gleich dem Produkt aller Eigenwerte von H ω ist, folgt ρ(h ω) 1 ω. b) Wir zeigen H ω A < 1 wie in Dies ist wieder äquivalent zur positiven Definitheit der Matrix A H T ωah ω. Mit X := (D +ωl) 1 und R = A D L ist H ω = X((1 ω)d ω(a D L)) = X(D+ωL ωa) = X( X 1 ωa) = I +ωxa. Weiter ergibt sich wie in A H T ω AHω = ωaxt (X 1 +(X T ) 1 +ωa) XA }{{} = (2 ω)d = ω(2 ω)ax T DXA mit der positiv definiten Matrix AX T DXA aus Weil ω(2 ω) > 0 für alle ω (0,2) gilt, ist alles gezeigt. Numerische Mathematik I 349

28 Beispiel: Beispiel: Die Modellmatrix A = tridiag( 1,2, 1) R n n in Beispiel besitzt die Eigenwerte ( ) kπ λ k = 2 1 cos, 1 k n. n+1 Einfache Rechnung ergibt für J = D 1 (L +R) = 1 (2I A) die Eigenwerte 2 Mit h := 1 n+1 ist µ k = cos kπ n+1. ρ(j) = cosπh = 1 π2 h 2 +O(h 4 ), 2 ρ(h 1 ) = ρ(j) 2 = cos 2 πh = 1 π 2 h 2 +O(h 4 ), ω 1 für ω ω, ρ(h ω) = ( 1 ωρ(j)+ 2 ω 4 2 ρ(j) 2 4(ω 1)) für ω < ω. Der Wert ω = ω 2 = 1+ (1,2) liefert das Minimum 1 ρ(j) 2 ρ(h ω ) = ω 1 = 1 1 ρ(j) ρ(j) 2 = 1 sinπh 1+sinπh = 1 2πh +O(h2 ). Dies ist eine deutliche Verbesserung der Rate der linearen Konvergenz. Numerische Mathematik I 350

29 Diskussion: Diskussion: Die im Beispiel gemachte Beobachtung trifft bei Matrizen eines speziellen Typs zu, die bei der Diskretisierung partieller Dgl n auftreten. In diesen Spezialfällen ( M-Matrizen) gilt ρ(h 1 ) = ρ(j) 2 < 1 und ρ(h ω) hat die in angegebene Form. Das absolute Minimum liegt beim optimalen Relaxationsparameter 1 < ω 2 = 1+ 1 ρ(j) < 2, 2 es hat den Wert ρ(h ω ) = ω 1 = 1 1 ρ(j) ρ(j) < 1. 2 ρ(j) ρ(h 1 ) ρ(h ω ) ω linkes Bild, s. Beispiel rechtes Bild ω * = Numerische Mathematik I 351