PS Numerische Mathematik für LAK WS 08/09, LV-Nr.: , HS Übungsblatt (bis )

Transkript

1 . Übungsblatt (bis ). Aufgabe. Skizzieren Sie die Einheitskugeln K (0,) im R 2 für die Normen, 2 und. 2. Aufgabe. Beweisen Sie x x 2 n x für alle x R n. 3. Aufgabe. Bestimmen Sie die relative Konditionszahl κ rel (x) der Abbildung f(x,x 2 ) = x /x 2 für x = (x,x 2 ) R 2 mit x 2 0. Zeigen Sie, dass κ rel (x) für alle x gilt. 4. Aufgabe. Zeigen Sie: sin x = O(x) für x gegen Aufgabe. Zeigen Sie: x 2 + 3x = O(x) für x gegen Aufgabe. Sei g(x,x 2 ) = x 2 ( x 2) + (x x )( x 2 ) mit x = (x,x 2 ) R 2. Beweisen Sie: g(x,x 2 ) = O( x + x 2 ) für x = (x,x 2 ) gegen (0,0). 7. Aufgabe. Sei g(x,x 2 ) = x 2 ( x 2) + (x x )( x 2 ) mit x = (x,x 2 ) R 2. Zeigen Sie: g(x,x 2 ) = O ( x + x 2 ) für x = (x,x 2 ) gegen (,).

2 2. Übungsblatt (bis ) 8. Aufgabe. Sei M(b, m, r, R) die Menge der Maschinenzahlen, die in der Vorlesung eingeführt worden ist (vgl. Kapitel 2, Folien 33 36), und x MIN, x MAX die betragsmäßig kleinste ( 0) bzw. größte Zahl in M(b,m,r,R). Zeigen Sie, dass x MIN = b r und x MAX = ( b m )b R gelten. 9. Aufgabe. In der Vorlesung ist die Reduktionsabbildung fl(x) eingeführt worden (vgl. Kapitel 2, Folie 37). Beweisen Sie die Abschätzung für den absoluten Rundungsfehler. fl(x) x b m 2 be. 0. Aufgabe. Berechnen Sie für die Darstellung im binären Zahlensystem und bestimmen Sie fl(x) in der Menge M(2,0, 64,63).. Aufgabe. Bestimmen Sie die Anzahl der Zahlen in der Menge M(6,6, 64,63). 2. Aufgabe. Seien A,B R n n und bezeichne die Operatornorm bezüglich irgendeiner Vektornorm (vgl. Kapitel 2, Folie 24). Beweisen Sie, dass AB A B erfüllt ist. 3. Aufgabe. Die sogenannte Frobenius-Norm einer Matrix A R n n ist durch ( n A F = a ij 2) /2 i,j= definiert. Zeigen Sie, dass Ax 2 A F x 2 gilt. 4. Aufgabe. Mit x = max i m x i bezeichnen wir die Maximumnorm im R n. Beweisen Sie, dass die durch n A = max a ij für A R n n i n j= definierte Zeilensummennorm (vgl. Kapitel 2, Folie 25) die zur Maximumnorm zugeordnete Grenzennorm ist, d.h., es gilt A = max { Ax x = }.

3 3. Übungsblatt (bis ) 5. Aufgabe. Schreiben Sie einen Matlab-Code, der die Gauß-Elimination ohne Pivotstrategie für eine gegebene Matrix A R n n durchführt. Benutzen Sie dabei nicht die in Matlab vordefinierte Funktion lu. Verwenden Sie möglichst wenig for-schleifen. 6. Aufgabe. Geben Sie einen Algorithmus an, der die LR-Zerlegung einer tridiagonalen Matrix A R n n ohne Pivotsuche durchführt. 7. Aufgabe. Sei A R n n eine tridiagonale Matrix. Wie vereinfachen sich die Rückwärtsund Vorwärtssubstitution in dem Fall, wenn die LR-Zerlegung ohne Pivotsuche durchgeführt worden ist. Von welcher Größenordnung sind die Anzahl der Multiplikationen und Divisionen? 8. Aufgabe. Das Gleichungssystem x x 2 x 3 = wird in einer Arithmetik mit drei dezimalen Ziffern gelöst. Wie lautet das Resultat a) exakt? b) mit Spaltenpivotsuche? c) mit totaler Pivotsuche? Kommentieren Sie Ihr Ergebnis. 9. Aufgabe. Berechnen Sie die LR-Zerlegung mit Spaltenpivotsuche für die folgende Matrix, d.h., geben Sie eine linke untere Dreiecksmatrix L (mit Diagonalelementen l ii = ), eine rechte obere Dreiecksmatrix R sowie eine Permutationsmatrix P an, so dass gilt PA = LR gilt mit A = Aufgabe. Berechnen Sie die LR-Zerlegung mit Spaltenpivotsuche für die folgende Matrix, d.h., geben Sie eine linke untere Dreiecksmatrix L (mit Diagonalelementen l ii = ), eine rechte obere Dreiecksmatrix R sowie eine Permutationsmatrix P an, so dass gilt PB = LR gilt mit B =

4 2. Aufgabe. Bei der Diskretisierung der zweiten Ableitung einer Funktion (etwa zur Lösung eines Randwertproblems gewöhnlicher Differentialgleichungen) auf einem äquidistanten Gitter x j = j/(n + ),j = 0,...,n +, tritt die folgende tridiagonale Matrix auf: 2 0 A = Weisen Sie nach, dass A positiv definit ist R n n. 2

5 4. Übungsblatt (bis ) 22. Aufgabe. Sei ( ) ( ) A = , b = Bestätigen Sie, dass (, ) T die exakte Lösung von Ax = b ist. Bestimmen Sie für r( x) = A x b ein x, so dass exakt r = (0 8,0 8 ) T gilt. Berechnen Sie κ (A). Wie klein sollte der relative Fehler in A sein, damit die Lösung bei exaktem b mit Sicherheit einen relativen Fehler kleiner als 0 8 besitzt. Hinweis: Nutzen Sie die Abschätzung x x + x κ (A) A A, wobei Ax = b und (A + A)(x + x) = b gelten. 23. Aufgabe. Sei A R n n regulär und symmetrisch. Zeigen Sie: κ 2 (A) = λ max λ min, wobei und gelten. λ max = max{ λ : λ ist Eigenwert von A} λ min = min{ λ : λ ist Eigenwert von A} 24. Aufgabe. Für nichtsymmetrische Matrizen ist λ max /λ min ein schlechtes Konditionsmaß. Betrachten Sie dazu ( ) ( ) A = und B = und zeigen Sie: κ 2 (A) = κ 2 (B), aber λ max (A) λ min (A) λ max(b) λ min (B). 25. Aufgabe. Seien T R n n und die einer Vektornorm zugeordnete Grenzennorm. Zeigen Sie: Gilt i=0 T i <, dann ist I T bijektiv. 26. Aufgabe. Vorgelegt sei das lineare Randwertproblem { εu (x) + b(x)u + c(x)u = f(x) für x (0,), u(0) = α, u() = β, ()

6 wobei b, c, f stetige Funktionen auf dem abgeschlossenen Intervall [0, ], ε > 0 und α, β reelle Zahlen sind. Diskretisieren Sie das Problem (), indem Sie die Schrittweite h = /(n+), n N, verwenden, indem Sie u (x) durch den zentralen Differenzenquotienten zweiter Ordnung u (x) h 2 ( u(x + h) 2u(x) + u(x h) ) approximieren und u (x) wie folgt diskretisiert wird: u(x + h) u(x) u h (x) u(x) u(x h) h falls b(x) < 0, falls b(x) 0. Welches lineare Gleichungssystem erhalten Sie? Wann ist die Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems zeilendiagonaldominant? Hinweis: Eine Matrix A R n n heißt zeilendiagonaldominant, wenn erfüllt ist. a ii n j=,j i a ij für alle i =,...,n 27. Aufgabe. Zeigen Sie, dass die Eigenwerte der in der 2. Aufgabe gegebenen Matrix A durch kπ λ k = 2 2cos n +, k =,...,n, und die zugehörigen Eigenvektoren durch v k = ( sin kπ ) 2kπ nkπ T,sin,...,sin R n n + n + n + gegeben sind. Mit anderen Worten: Zeigen Sie Av k = λ k v k für k =,...,n. (2) 2

7 5. Übungsblatt (bis ) 29. Aufgabe. Ein Polynom zweiten Grades soll nach der Methode der kleinsten Quadrate an die folgende Meßreihe angepaßt werden: x f(x) Bestimmen Sie das Polynom als eine Entwicklung um den Mittelpunkt, d.h. p 2 (x) = c 0 + c (x a) + c 2 (x a) 2 mit a = Aufgabe. Nach Einstein hängt die kritische Spannung v 0 für den photoelektrischen Effekt von der Frequenz f ab: ev 0 = f φ, wobei e = Elementarladung, = Plancksches Wirkungsquantum, φ = Materialkonstante. Die folgende Tabelle gibt entsprechende Messungen: f 0 3 (Hz) v 0 (Volt) Eine lineare Beziehung p zwischen v 0 und f soll diesen Daten so angepaßt werden, dass die Summe der Fehlerquadrate minimal wird. Geben Sie das Polynom ersten Grades p (t) an, so dass v 0 p (f). 3. Aufgabe. Eine Matrix A R n n heißt strikt zeilendiagonaldominant, wenn a ii > n j=,j i a ij für alle i =,...,n erfüllt ist. Analog wird A strikt spaltendiagonaldominant genannt, wenn a ii > n i=,i j a ij für alle j =,...,n gilt. Beweisen Sie die folgende Aussage: Ist A strikt zeilen- oder spaltendiagonaldominant, so ist A regulär (bzw. nicht-singulär). Bemerkung: Diese Aussage ist ein nützliches Hilfsmittel, um zum Beispiel in der folgenden Aufgabe die Invertierbarkeit der Koeffizientenmatrix zu garantieren. 32. Aufgabe. Eine Matrix, bei der die Betragssummen aller Zeilen gleich sind, heißt zeilenäquilibriert. Zeigen Sie: Durch Linksmultiplikation mit einer regulären Diagonalmatrix kann jede reguläre Matrix in eine zeilenäquilibrierte mit Zeilensumme transformiert werden.

8 33. Aufgabe. Wir setzen die 32. Aufgabe fort. Ist A zeilenäquilibriert, so gilt für jede reguläre Diagonalmatrix D κ (A) κ (DA), wenn die Kondition bzgl. der Norm berechnet wird. Interpretieren Sie die Aussage in. 34. Aufgabe. Wir betrachten die positiv definite Matrix 2 2 A = R n n. 2 2 Beweisen Sie, dass κ 2 (A) = O(n 2 ) gilt. Hinweis: Für kleines x läßt sich der Kosinus durch die Taylorentwicklung approximieren. cos x = x2 2 + O(x4 ) (x 0) 35. Aufgabe. Gegeben sei die Randwertaufgabe u (x) = 2 λeu(x), x (0,), u(0) = u() = 0 mit λ 0. Diskretisierung führt auf folgendes nichtlineares Gleichungssystem: u i+ 2u i + u i h 2 = 2 λeu i, u 0 = u N+ = 0 mit h = (N + ), N N, x i = ih, u i = u(x i ), i = 0,...,N +. Schreiben Sie das Gleichungssystem als Nullstellenproblem F(u) = 0 und geben Sie die Funktionalmatrix DF(u) an. Welche MATLAB-Funktion ist zur Zerlegung von DF(u) am besten geeignet? 2

9 6. Übungsblatt (bis ) 36. Aufgabe. Die Gleichung x+ln x = 0, deren Wurzel a 0.5 ist, soll iterativ gelöst werden. Wählen Sie unter folgenden Iterationsformeln: a) x n+ = ln x n, b) x n+ = e xn, c) x n+ = x n + e xn. 2 Welche Formel oder welche Formeln können benutzt werden? Welche sollte benutzt werden? Geben Sie eine noch bessere Formel an! 37. Aufgabe. Wir wollen uns nun mit der a-priori Abschätzung des Banachschen Fixpunktsatzes beschäftigen. Wieviele Iterationsschritte sind notwendig, wenn in der 36. Aufgabe mit der dritten Iterationsvorschrift und dem Startwert x 0 = gerechnet wird, um den Fixpunkt mit einer Genauigkeit von ǫ 0 8 zu berechnen? 38. Aufgabe. Wir wollen uns nun mit der a-posteriori Abschätzung des Banachschen Fixpunktsatzes beschäftigen. Geben Sie für dasselbe Verfahren wie in der 37. Aufgabe ein Abbruchkriterium an: Wie weit dürfen zwei nachfolgende Iterierte x k,x k höchstens auseinanderliegen, damit x k den Fixpunkt mit der Genauigkeit ǫ 0 8 approximiert? 39. Aufgabe. Eine Wurzel der Gleichung x 3 5x 2 + 4x 3 = 0 soll in der Nähe von x = 4 iterativ berechnet werden. Wählen Sie k in der Iterationsformel x n+ = 3 + (k 4)x n + 5x 2 n x3 n. k so, dass eine schnelle Konvergenz erreicht wird, und berechnen Sie die Wurzel auf 4 korrekte Dezimalen. 40. Aufgabe. Das Newtonverfahren kann auch zur Lösung des Eigenwertproblems Ax = λx, x 0, mit A R n n verwendet werden. Dabei sollen gleichzeitig ein Eigenwert und ein zugehöriger Eigenvektor mit x 2 2 = xt x = bestimmt werden. Wie lautet die Iterationsvorschrift? 4. Aufgabe. Seien p N, Φ C p (I), I R ein abgeschlossenes Intervall und x int I ein Fixpunkt von Φ. Zeigen Sie: Ist Φ (x ) < für p = bzw. Φ (k) (x ) = 0 für alle k =,...,p Φ (p) (x ) 0 } für p >, so hat das Iterationsverfahren x i+ = Φ(x i ) die Konvergenzordnung p.

10 42. Aufgabe. Der Satz über die lokal quadratische Konvergenz des Newtonverfahrens zur Bestimmung einer Nullstelle x D der Funktion F C (D, R n ) gilt nur, wenn F (x ) invertierbar ist. Im eindimensionalen Fall bedeutet das F (x ) 0. Es liege nun eine k-fache Nullstelle x einer Funktion f C k (D, R) vor. Zeigen Sie: Wird x n+ = ϕ(x n ) mit { x f(x)/f (x) falls x x ϕ(x) = x falls x = x gesetzt, so ist ϕ in x differenzierbar und das Newtonverfahren konvergiert lokal zumindest linear. Geben Sie eine Abschätzung für ϕ an. Hinweis: Wenn f in x eine Nullstelle der Ordnung k hat, dann existiert eine Funktion g : D R mit f(x) = (x x ) k g(x) und g (i) (x ) 0 für alle i =,...,k. Zusatzufgabe. Wir setzen die 42. Aufgabe fort. Das folgende modifizierte Verfahren hat lokal mindestens die Konvergenzordnung p = 2: { x n kf(x n )/f (x n ) falls x n x, x n+ = x falls x n = x. Hinweis: Benutzen Sie die 4. und die 42. Aufgabe. 2