Formelsammlung Numerik

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1 Formelsammlung Numerik Fachbereich Design und Informatik Fachhochschule Trier University of Applied Sciences

2 - 1-1 Grundlagen 1. Festlegungen: x - exakter Wert x - Näherungswert 2. Wahrer Fehler: 3. Absoluter Fehler: 4. Relativer Fehler: x = x x ɛ = x = x x δ = x x x = ɛ x wobei x 0 gilt 5. Maximaler absoluter Fehler (Schranke für ɛ): Bei bekanntem α x gilt: α x ɛ x α x x x + α x 6. Maximaler relativer Fehler (relativer Höchstfehler): ξ x α x x 7. Abschätzung der Maschinengenauigkeit: rd(x) - gerundeter Wert N - Basis t - Mantisenlänge x rd(x) x 1 2 N 1 t

3 2 Iterationsverfahren Iterationsverfahren 1. Idee: Überführung f(x) x = ϕ(x) f(x) ist äquivalent zu x = x + f(x) = ϕ(x) x = ϕ(x) - Iterationsvortschrift, ϕ - Schrittfunktion {x ν0,..., x νn } - Iterationsfolge Sei ϕ(x) im Interval I stetig, dann ist ξ die Lösung wenn gilt: 2. Existenz von Lösungen: ξ = ϕ(ξ) Falls ϕ(x) im Interval I unstetig, dann existiet keine Lösung Falls ϕ(x) im Interval I stetig, muß es mindestens eine Lösung geben 3. Lipschitz-Konstante: oder ϕ(x i ) ϕ(x i 1 ) x i x i 1 L ϕ(x i ) L 4. Eindeutigkeit von Lösungen: Eine Lösung ist eindeutig, wenn gilt: ϕ(x) L < 1

4 2 Iterationsverfahren Konvergenzverhalten: Die Iterationsfolge konvergiert monoton gegen die Lösung, falls: 0 ϕ(x) < 1 Die Iterationsfolge konvergiert oszillierend gegen die Lösung, falls: 1 < ϕ(x) < 0 6. Fehlerabschätzung nach dem 1-ten Schritt für den ν-ten Schritt (a priori) wobei ξ ν Lν 1 1 L 1 x 1 x 0 ϕ (x 1 ) 1 ϕ (x 1 ) x 1 x 0 ϕ = f f (f ) 2 7. Fehlerabschätzung nach dem ν-ten Schritt (a postpriori) ξ ν wobei L ν 1 L ν x ν x v 1 ϕ (x ν ) 1 ϕ (x ν ) x ν x v 1 ϕ = f f (f ) 2

5 2 Iterationsverfahren Konvergenzordnung: Satz: Iterationsfolge {x ν1,..., x νn } konvergiert von mindestens P -ter Ordnung gegen ξ wenn eine Konstante 0 M < existiert, so dass für P 1, P R gilt: x lim ν+1 ξ = M ν x ν ξ P Das Iterationsverfahren heißt dann ein Verfahren von mindestens P -ter Ordnung. Ein Verfahren besitzt genau die Ordnung P wenn M 0 gilt. Satz: Ist ϕ(x) für x I (p + 1) mal stetig und defferenzierbar und gilt mit: lim ν x ν = ξ ϕ(ξ) = ξ ϕ (ξ) = ϕ (ξ) =... = ϕ P 1 (ξ) ϕ P (ξ) 0 So hat das Verfahren die Ordnung P. 9. Newtonisches Iterationsverfahren: x i+1 = x i f(x) f (x) wobei f (x) 0

6 2 Iterationsverfahren Modifiziertes Newtonisches Iterationsverfahren (beim Vorliegen von mehrfachen Nullstellen): x i+1 = x i j f(x) f (x) wobei f (x) 0 und j die Vielfachheit der Nullstelle 11. Sekanten Verfahren (Regula falsi): 12. Horner-Schema: Erster Schritt: x i+1 = x i x k x i f(x k ) f(x i ) f(x i mit f(x k ) 0 f(x i ) und f(x k ) f(x i ) 0 x a n a n 1... a 1 a 0 c a n c... a 2 c a 1 c a n = a n a n 1 = a n c + a n 1... a 1 = a 2 c + a 1 a 0 = a 1 c + a 0 = f(c)/0! Zweiter Schritt: x a n a n 1... a 1 c a n c... a 2 c a n = a n a n 1 = a n c + a n 1... a 1 = a 2 c + a 1 = f (c)/1! N-ter Schritt: x c a n n = a n 1 n a n 1 n = f n (c)/n!

7 3 Iterative Lösung von Gleichungssystemen Iterative Lösung von Gleichungssystemen 1. Form eines Gleichungssystems: A x = a 2. Matrixdarstellung eines Gleichungssystems: a 11 a a 1n a 1 a 21 a a 2n a a n1 a n2... a nn a n 3. Lösbarkeit eines Gleichnungssystems: a a 0 det A genau eine Lösung: x -viele Lösungen det A 0 -viele Lösungen genau eine Lösung: x = A 1 a 4. Kondition eines Gleichungssystems (Hadamardsches Konditionsmaß) K h (A) = det A = det A ni=1 L i wobei L i = n k=1 a2 ik K h (A) < 0.01 schlechte Kondition K h (A) > 0.1 gute Kondition

8 3 Iterative Lösung von Gleichungssystemen Pivotisierung: Einfache Pivotisierung: Zur Elimination wird diejenige Zeile verwendet, die in der zu eliminierenden Spalte das betragsmäßig größte Element besitzt Vollständige Pivotisierung: Zur Elimination wir das betragsmäßig größte Element der Restmatrix verwendet 6. Nachiteration: Lösung des Gleichungssystem: A x = a Erste Lösung x 0 des Gleichungssysmems bestimmen (zum Beispiel mit dem Gausverfahren) Einsetzen der Lösung in das Gleichungssystem und Bestimmunng des residum-vektors: Wenn r 0 =: r 0 = a A x 0 x 0 ist die Lösung des Systems Sonst: Einen Korekturvektor z 1 bestimmen: A z 1 = r 0 x 1 = x 0 + z 1 setzen x 1 in das Gleichungssystem einsetzen r 1 = prüfen Das Verfahren solange fortsetzen, bis z i < ɛ wird x i als Lösung des GLS zurücklliefern

9 3 Iterative Lösung von Gleichungssystemen Definition der Norm: Eine Norm ist eine Abbildung von X R +, die jedem x X eine Zahl x R + zuordnet. Dabei gilt: x, wenn x x + y = x + y x, y X 8. Vektornormen: x 1 x 2 Sei x =. x n Maximumnorm: Norm der Betragssumme: Euklidische Norm: Allgemeine p-norm: x = max 1 i n ( x i ) x 1 = n i=1 ( x i ) x 2 = 2 n i=1 ( x i ) 2 x p = P n i=1 ( x i ) p

10 3 Iterative Lösung von Gleichungssystemen Matrixnormen: a 11 a a 1n a 21 a a 2n Sei A = a n1 a n2... a nn Zeilensummennorm: Spaltensummennorm: Euklidische Norm: A = max ( n 1 i n k=1 ( a ik )) A 1 = max 1 k n ( n i=1 ( a ik )) A 2 = 2 n i=1 n k=1 (a ik) Iterationsverfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen: Voraussetzungen: a 11 a a 1n a 21 a a 2n Sei A = a n1 a n2... a nn und a a 1 a 2. a n wobei det A 0 und a 0 Überführung: Bestimmung von B und c: A x = a x = B x + c

11 3 Iterative Lösung von Gleichungssystemen c = c 1 c 2. c n wobei c i = a i a ii b 11 b b 1n b 21 b b 2n B = b n1 b n2... b nn wobei b ij = { a ij a ii j i 0 j = i 11. Iteration in Gesamtschritten: x i (ν+1) = c i + n k=1 b ik x k (ν) 12. Iteration in Einzelschritten (Nutzung der bereits bekannten x k(ν+1) ): x i (ν+1) = c i + n k=i+1 b ik x k (ν) + i 1 k=1 b ik x k (ν+1) 13. Die Matrix der partiellen Ableitungen (Jakobi-Matrix): f 1 f 1 x 1 x 2... ϑ =. f 2 x 1 f 2 x 2... f n x f n x 2... f 1 x n f 2 x n. f n x n 14. Iterationsverfahren zum Lösen von nichtlinearen Gleichungssystemen: ϑ x ν+1 = f(x ν ) und x ν+1 = x ν + x ν+1

12 4 Numerische Integration Numerische Integration 1. Mittelwert-Regel (Fläche eines Rechtecks): β α f(x)dx f( β+α 2 ) (β α) + R wobei ξ (α, β) und R = f (ξ) 24 (β α) 3 2. Trapez-Regel (Fläche eines Trapezes): β α f(x)dx (β α) f(α)+f(β) 2 R wobei ξ (α, β) und R = f (ξ) 12 (β α) 3 3. Simpson-Regel (Fläche unter einer Parabel): β α [ ] f(x)dx (β α) 6 f(α) + 4 f( α+β 2 ) + f(β) R wobei ξ (α, β) und R = f IV (ξ) 2880 (β α)5

13 5 Numerische Differentiation Numerische Differentiation 1. 2-Punkt-Formel für f : f (x) f(x 0+h) f(x 0 ) h R wobei ξ (x 0, x 0 + h) und R = h 2 f (ξ) 2. 3-Punkt-Formeln für f : Mittelpunktformel: f (x) 1 2h [f(x 0 + h) f(x 0 h)] R wobei ξ (x 0, x 0 + h) und R = h 6 f (ξ) Endpunktformel: f (x) 1 2h [ 3f(x 0) + 4f(x 0 + h) f(x 0 + 2h)] + R wobei ξ (x 0, x 0 + h) und R = h2 3 f (ξ) 3. 3-Punkt-Formeln für f : Mittelpunktformel: f (x) 1 h 2 [f(x 0 h) 2f(x 0 ) + f(x 0 + h)] R wobei ξ (x 0, x 0 + h) und R = h2 12 f IV (ξ)

14 5 Numerische Differentiation Endpunktformel: f (x) 1 h 2 [f(x 0 ) 2f(x 0 + h) + f(x 0 + 2h)] R wobei ξ (x 0, x 0 + h) und R = h2 6 f IV (ξ) h 1 f (ξ)

15 Klausur, , Mathematik 2. Semester Name: Matrikelnr: Vorname: Anzahl der abgegebenen Blätter: Semester: Ich habe diese Klausur im Vollbesitz meiner Kräfte bearbeitet. Unterschrift: Bitte geben Sie die Klausur mit dem Aufgabenblatt ab und kennzeichnen Sie jedes Blatt mit Name und Matrikelnummer. Hilfsmittel sind nicht erlaubt. Bitte geben Sie die Klausur mit Aufgabenblatt ab. Demonstrieren Sie den Lösungsweg. Ein Ergebnis ohne den Lösungsweg bringt keine Punkte. Aufgabe 1 Summe Note max. Punkte 30 erz. Punkte Aufgaben 1) Eine rechteckige Gummimembran der Kantenlänge 5 x 5 werde durch einen konstanten Druck P(x, y) belastet. Die Membran ist in den Randpunkten befestigt. Einige Befestigungspunkte haben sich gelöst, Bild 1. Wir legen ein 5 x 5 Raster über die Membran, um ihre Verformung zu berechnen. Auf die Knoten der Membran wirke eine normierte gleichmäßige Belastung P(x,y) = 2 Die Verformung der Membran sei über die folgende Differentialgleichung beschrieben: sei u: f(x, y) 2 u + 2 u = P(x,y) x 2 y 2 Stellen Sie für die Punkte des Gitters das Gleichungssystem zur Berechnung der Verformungen und dessen erweiterte Koeffizientenmatrix auf. Folgende Formeln seien gegeben: Numerische Mathematik Prof. Dr.-Ing. F.N. Rudolph

16 f(x) = f(x+ x) - f(x- x) x 2 x f(x) = -3 f(x) + 4 f(x+ x) - f(x+2 x) x 2 x 2 f(x) = f(x+ x) 2 f(x) + f(x- x) x 2 x 2 2 f(x) = f(x) - 2f(x+ x) + f(x+2 x) x 2 x 2 y Bewegliche Knoten 25 x 252.cdr Feste Knoten Bild 1: Gummimembran mit Gitter Numerische Mathematik Prof. Dr.-Ing. F.N. Rudolph

17 Musterlösung: Festlegungen: x = y = h Reihe 1, Knoten 1-5 Knoten 1: fester Knoten: u 1 Knoten 2: fester Knoten: u 2 Knoten 3: fester Knoten: u 3 Knoten 4: bewegl. Knoten: Mittelkn. in x, Randkn. in y, Belast. = 2 u 3 2u 4 + u 5 + u 4 2u 9 + u 14 u 3 u 4 + u 5 + 2u 9 + u 14 Knoten 5: fester Knoten: u 5 Reihe 2, Knoten 6-10 Knoten 6: bewegl. Kn.: Randkn. in x, Mittelkn. in y, Belastung = 2 u 6 2u 7 + u 8 + u 1 2u 6 + u 11 u 1 u 6 2u 7 + u 8 + u 11 Knoten 7: bewegl. Knoten: Mittelkn. in x und y, Belast. = 2 u 6 2u 7 + u 8 + u 2 2u 7 + u 12 u 2 + u 6 4u 7 + u 8 + u 12 Knoten 8: bewegl. Knoten: Mittelkn. in x und y, Belast. = 2 u 7 2u 8 + u 9 + u 3 2u 8 + u 13 u 3 + u 7 4u 8 + u 9 + u 13 Knoten 9: bewegl. Knoten: Mittelkn. in x und y, Belast. = 2 u 8 2u 9 + u 10 + u 4 2u 9 + u 14 u 4 + u 8 4u 9 + u 10 + u 14 Knoten 10: fester Knoten: u 10 Reihe 3, Knoten Knoten 11: bewegl. Kn.: Randkn. in x, Mittelkn. in y, Belastung = 2 u 11 2u 12 + u 13 + u 6 2u 11 + u 16 u 6 - u 11 2u 12 + u 13 + u 16 Knoten 12: bewegl. Knoten: Mittelkn. in x und y, Belast. = 2 u 11 2u 12 + u 13 + u 7 2u 12 + u 17 u 7 + u 11 4u 12 + u 13 + u 17 Knoten 13: bewegl. Knoten: Mittelkn. in x und y, Belast. = 2 u 12 2u 13 + u 14 + u 8 2u 13 + u 18 u 8 + u 12 4u 13 + u 14 + u 18 Numerische Mathematik Prof. Dr.-Ing. F.N. Rudolph

18 Knoten 14: bewegl. Knoten: Mittelkn. in x und y, Belast. = 2 u 13 2u 14 + u 15 + u 9 2u 14 + u 19 u 9 + u 13 4u 14 + u 15 + u 19 Knoten 15: fester Knoten: u 15 Reihe 4, Knoten Knoten 16: fester Knoten: u 16 Knoten 17: bewegl. Knoten: Mittelkn. in x und y, Belast. = 2 u 16 2u 17 + u 18 + u 12 2u 17 + u 22 u 12 + u 16 4u 17 + u 18 + u 22 Knoten 18: bewegl. Knoten: Mittelkn. in x und y, Belast. = 2 u 17 2u 18 + u 19 + u 13 2u 18 + u 23 u 13 + u 17 4u 18 + u 19 + u 23 Knoten 19: bewegl. Knoten: Mittelkn. in x und y, Belast. = 2 u 18 2u 19 + u 20 + u 14 2u 19 + u 14 u 14 + u 18 4u 19 + u 20 + u 14 Knoten 20: fester Knoten: u 20 Reihe 5, Knoten Knoten 21: fester Knoten: u 21 Knoten 22: fester Knoten: u 22 Knoten 23: fester Knoten: u 23 Knoten 24: fester Knoten: u 24 Knoten 25: fester Knoten: u 25 Numerische Mathematik Prof. Dr.-Ing. F.N. Rudolph