Numerische Methoden 2

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1 Numerische Methoden 2 von I. S. Beresin und N. P. Shidkow Mit 11 Abbildungen m VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1971

2 INHALT 6. Lösung von linearen algebraischen Gleichungssystemen Klassifikation der Methoden Der Gaußsche Algorithmus Der Gaußsche Algorithmus mit Pivotsuche Der verkettete Gaußsche Algorithmus Matrizeninversion Berechnung von Determinanten Der Jordansche Algorithmus Der Jordansche Algorithmus ohne Aufrechnung der Unbekannten Die Anwendung des Jordanschen Algorithmus zur Lösung von Aufgaben der linearen Optimierung Die Quadratwurzelmethode Orthogonalisierungsverfahren.... ' Methode der konjugierten Gradienten Blockmethoden Die Quadratwurzelmethode Der Jordansche Algorithmus Matrizeninversion durch Zerlegung in Blöcke Lineare Operatoren. Normen von Operatoren Bndlichdimensionale lineare normierte Räume Lineare Operatoren im endlichdimensionalen normierten Raum und ihr Zusammenhang mit Matrizen Die Konvergenz von Matrizenfolgen und Matrizenreihen Überblick über die Methoden der sukzessiven Approximation Lineare Gesamtschrittverfahren erster Ordnung Konvergenz der linearen Gesamtschrittverfahren erster Ordnung. Einfache Iteration Das Verfahren von RICHABDSON Matrizeninversion mit Methoden der sukzessiven Approximation Lineare Einzelschrittverfahren erster Ordnung Das Verfahren von SEIDEL Konvergenz des Verfahrens von SEIDEL Das Relaxationsverfahren Die Methode des steilsten Abstiegs Übungen 91

3 6 Inhalt 7. Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen und zur Lösung von Systemen nichtlinearer algebraischer und transzendenter Gleichungen Einführung Lokalisierung von Nullstellen Allgemeine Bemerkungen Lokalisierung reeller Wurzeln bei algebraischen Gleichungen Einfache Iterationsverfahren zur Lösung algebraischer und transzendenter Gleichungen Das Prinzip der kontrahierenden Abbildungen und seine Anwendung zum Beweis der Konvergenz von Iterationsverfahren Die einfachen Iterationsverfahren: die Regula falsi und das Newtonsche Verfahren Über eine Möglichkeit der Konvergenzverbesserung bei Iterationsverfahren Der Einfluß von Fehlern auf die Konvergenz der Iterationsverfahren Iterationsverfahren höherer Ordnung zur Lösung der Gleichung f(x) = Die Methode von TSCHEBYSCHEFF zur Konstruktion von Iterationsverfahren höherer Ordnung Die Konstruktion von Iterationsverfahren höherer Ordnung mit Hilfe des Satzes von KÖNIG Die Methode von AITKEN zur Konstruktion von Iterationsverfahren höherer Ordnung Beispiel Lösung von Gleichungssystemen Ein Iterationsverfahren zur Lösung von Systemen spezieller Form Das Newtonsche Verfahren Verfahren des Abstiegs Das Verfahren von LOBATSCHEWSKI zur Lösung von algebraischen Gleichungen (GBAEFTE-Verfahren) Das GRAEFFE-Verfahren. Reelle, dem absoluten Betrag nach verschiedene Nullstellen Das GRAEFFE-Verfahren. Komplexe Wurzeln Das GRAEFFE-Verfahren. Benachbarte oder gleiche Wurzeln Die von LEHMEB entwickelte Variante des GRAEFFE-Verfahrens Zwei Iterationsverfahren zur Lösung algebraischer Gleichungen Verfahren des Abstiegs Das Parabelverfahren Berechnung der Werte eines Polynoms, seiner Ableitungen sowie einige andere Operationen mit Polynomen Das HoRNER-Schema Die Berechnung des Quotienten und des Restes bei der Division von P n (x) durch ein quadratisches Polynom Die Berechnung der Ableitungen eines Polynoms ' Die Berechung der Wurzeln algebraischer Gleichungen durch Abspalten von Paktoren Das Verfahren von LEST 175

4 Inhalt Das Verfahren von FRIEDMAN Das Verfahren von HITOHCOCK zur Abspaltung eines quadratischen Faktors Übungen Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Einführung Das Verfahren von KRYLOW Das Minimalpolynom einer Matrix Die Bestimmung des Minimalpolynoms ( Die Bestimmung der Eigenvektoren der Matrix Das Verfahren von LANCZOS Die Bestimmung der Eigenwerte Die Bestimmung der Eigenvektoren Das Verfahren von DANILEWSKI Übersicht über andere Methoden zur Bestimmung des charakteristischen Polynoms Das Verfahren von LEVERRIER Die Methode des Ränderns Die Escalatormethode Das Verfahren von SAMTJELSON Die Interpolationsmethode Bestimmung von Schranken für die Eigenwerte Der Fall einer symmetrischen Matrix Der Fall einer nichtsymmetrischen Matrix Iterationsverfahren zur Lösung des teilweisen Eigenwertproblems Der Fall einer symmetrischen Matrix / Der Fall einer nichtsymmetrischen Matrix einfacher Struktur Einige Bemerkungen zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen allgemeiner Struktur Die Methode der Drehungen zur Bestimmung von Eigenwerten und Eigenyektoren symmetrischer Matrizen (Verfahren von JACOBI) Über Iterationsverfahren zur Lösung des vollständigen Eigenwertproblems Die Dreiecksiteration Dreiecksorthogonalmatrizenverfahren Konvergenzbeschleunigung von Iterationsprozessen bei der Lösung von Aufgaben der linearen Algebra Konvergenzbeschleunigung bei Iterationsverfahren zur Lösung von Systemen linearer algebraischer Gleichungen. Allgemeine Bemerkungen Das Verfahren von GAWURIN Das Verfahren von LJUSTERNIK Der <5 2 -Prozeß von AITKEH Konvergenzverbesserung bei Iterationsverfahren zur Bestimmung von Eigenwerten von Matrizen 269

5 - ' ; " - _ ^ - - \ 8 Inhalt Die Kondition von Systemen und Fehlerabschätzung bei der numerischen Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme Der Begriff der Kondition eines Systems Abschätzung der Genauigkeit der Näherungslösungen linearer algebraischer Gleichungssysteme Die Kondition von Matrizenprodukten Übungen 277 Literatur 280 Namen- und Sachregister 282