f(x) dx soll numerisch approximiert werden durch eine

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1 NumaMB H4 Verständnisfragen-Teil (4 Punkte) Es gibt zu jeder der Aufgaben vier Teilaufgaben. Diese sind mit bzw. zu kennzeichnen (hinschreiben). Bewertung: Vier Fragen richtig beantwortet ergibt Punkte. Drei Fragen richtig beantwortet und die 4. nicht beantwortet ergibt.5 Punkte. Zwei Fragen richtig beantwortet und zwei nicht beantwortet ergibt einen Punkt. Alle anderen Fälle ergeben Punkte. Beantworten Sie in jeder der Aufgaben mindestens zwei Fragen mit oder! VF-: Es seien x MIN bzw. x MAX die kleinste bzw. gröÿte (strikt) positive Zahl sowie eps die relative Maschinengenauigkeit in der Menge M(b, m, r, R) der Maschinenzahlen gemäÿ Vorlesung/Buch und D : [ x MAX, x MIN ] [x MIN, x MAX ]. Ferner beschreibe fl : D M(b, m, r, R) die Standardrundung. Alle Zahlen sind im Dezimalsystem angegeben.. Für alle x D gilt fl(x) x.. In M(, 4, 4, 4) gilt x MIN Die Zahl.5 ist in M(,, 99, 99) exakt darstellbar. 4. Für alle x D gilt fl(x) x( + ε) für ein ε mit ε eps. VF-: Aufgaben zur relativen Kondition.. Die Funktion f(x, x ) : x e x ist für alle (x, x ) mit x gut konditioniert.. Eine gute Kondition eines Problems impliziert eine geringe Fehlerfortpanzung in einem Verfahren zur Lösung des Problems. 3. Bei einem stabilen Algorithmus ist der durch Rundungseekte verursachte Fehler im Ergebnis von derselben Gröÿenordnung wie der durch die Kondition des Problems bedingte unvermeidbare Fehler. 4. Die Addition zweier Zahlen mit demselben Vorzeichen ist gut konditioniert. VF-3: Es seien A R n n beliebig aber regulär, b R n und gesucht sei die Lösung x R n von Ax b.. Für die Konditionszahl κ(a) der Matrix A gilt κ(a).. Zeilenäquilibrierung (B D A) führt auf eine Matrix B mit κ (B) κ (A). 3. Es existiert immer eine L R-Zerlegung A L R von A. 4. Es sei A Q R eine Q R-Zerlegung von A. Es gilt x Q T b. VF-4: Es seien A, B R n n symmetrisch positiv denite Matrizen. Sei A L D L T die Cholesky-Zerlegung von A.. A B ist immer symmetrisch positiv denit.. Es gilt det(a) det(d). 3. Sei κ( ) die Konditionszahl bezüglich der Euklidischen Norm. Es gilt κ(a) κ(d). 4. Es existiert immer eine L R-Zerlegung A L R von A.

2 VF-5: Es sei A R m n und G,..., G k Givens-Rotationen, so dass G k... G G A R, mit einer oberen Dreiecksmatrix R.. Es sei κ( ) die Konditionszahl bezüglich der Euklidischen Norm. Es gilt κ(g j ) für alle j,..., k.. Die Produktmatrix G k... G kann man geometrisch als eine Rotation interpretieren. 3. Es gilt: A Q R, mit Q G...G k. 4. Das Givens-Verfahren zur Berechnung einer Q R-Zerlegung von A ist ohne Pivotisierung ein stabiles Verfahren. VF-6: Es seien A R m n, mit Rang(A) n, und b R m. Weiter sei Q R m m eine orthogonale Matrix und R R m n eine obere Dreiecksmatrix so, dass Q A R gilt. Sei x R n die eindeutige Minimalstelle des Minimierungsproblems min x R n A x b. Weiter sei Θ [, π ) der Winkel zwischen A x und b.. Je gröÿer der Winkel Θ, desto schlechter ist das Problem konditioniert.. Es gilt R x Q b. 3. Es gilt A T A x A T b. 4. Sei Q b b, mit b R n, b R m n. Es gilt A x b. b VF-7: Gesucht ist ein Fixpunkt der Abbildung Φ(x) + x, mit x. Für x R, x, wird die Fixpunktiteration x k+ Φ(x k ), k,,,... deniert.. Die Aufgabe Φ(x) x hat eine eindeutige Lösung in [, ).. Alle Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes sind für Φ auf dem Intervall [, ] erfüllt. 3. Die Konvergenzordnung der Fixpunktiteration ist in diesem Fall. 4. Die Fixpunktiteration konvergiert für beliebige Startwerte x >. VF-8: Sei x eine Nullstelle der Funktion f(x) e x 4.. f hat eine eindeutige Nullstelle x.. Die Bisektionsmethode, mit Startwerten a, b, konvergiert gegen eine Nullstelle x. 3. Die Bisektionsmethode, mit Startwerten a, b, konvergiert gegen eine Nullstelle x. 4. Das Newton-Verfahren, angewandt auf f, konvergiert für jeden Startwert x gegen eine Nullstelle x.

3 VF-9: Sei f : R n R n stetig dierenzierbar und x eine Lösung des Nullstellenproblems f(x).. Das vereinfachte Newton-Verfahren benötigt die Ableitung f (Jacobi-Matrix) nicht.. Wenn f (x ) regulär ist, so konvergiert das Newton-Verfahren für alle Startwerte die hinreichend nahe bei x liegen, und die Konvergenzordnung ist. 3. Das Sekantenverfahren erlaubt nur die Dimension n. 4. Eine Dämpfungsstrategie beim Newton-Verfahren gewährleistet für jeden Startwert die Konvergenz des Verfahrens. VF-: Es sei P (f x,..., x n ) das LagrangeInterpolationspolynom zu den Daten (x, f(x )),..., (x n, f(x n )) mit a x <... < x n b. Es sei δ n der führende Koezient dieses Polynoms und [x,..., x n ] f die dividierte Dierenz der Ordnung n von f.. Sei f(x) x 3 + x. Es gilt [x, x, x, x 3 ]f.. Die Wahl von äquidistanten Stützstellen ist optimal wenn man bei der Polynominterpolation den Interpolationsfehler minimieren will. 3. Es gilt P (f x,..., x n )(x) δ n x n + P (f x,..., x n )(x) für alle x. 4. Es gilt P (f x, x,..., x n )(x) P (f x n, x n,..., x )(x) für alle x. VF-: Es sei f C[a, b]. Das Integral I(f) b f(x) dx soll numerisch approximiert werden durch eine a Quadraturformel Q m (f) (b a) m j w jf(x j ), mit a x <... < x m b.. Die absolute Kondition, bezüglich der Maximumnorm, der Bestimmung von I(f) ist gut.. Sei Q (f) die Simpsonregel. Es gilt Q (p) I(p) für alle Polynome p vom Grade Bei der Gauÿ-Quadratur hängen die Gewichte w j von der Funktion f ab. 4. Newton-Cotes-Formeln basieren auf der analytischen Integration eines Lagrange- Interpolationspolynoms an f, wobei die Stützstellen so gewählt werden, dass der Fehler minimal wird. VF-: Wir betrachten Einschrittverfahren zur Lösung einer gewöhnlichen Dierentialgleichung y (t) f(t, y), t [t, T ], mit Anfangswert y(t ) y.. Bei impliziten Einschrittverfahren ist die Konvergenzordnung immer höher als bei expliziten Einschrittverfahren.. Der lokale Abbruchfehler misst den maximalen Fehler zwischen numerischer Annäherung und exakter Lösung. 3. Bei Einschrittverfahren ist die Konsistenzordnung der Regel höher als die Konvergenzordnung. 4. Der lokale Abbruchfehler wird verwendet, um die Konsistenzordnung des zugehörigen Verfahrens zu bestimmen. 3

4 Aufgabe Es sei A (7 Punkte) a) Führen Sie eine Zeilenäquilibrierung von A durch. Geben Sie die zur Skalierung benutzte Diagonalmatrix D und die resultierende Matrix B : D A jeweils explizit an. b) Bestimmen Sie die L R-Zerlegung der skalierten Matrix B D A mit Spaltenpivotisierung, d.h. P B L R. Geben Sie die Matrizen P, L und R explizit an. c) Lösen Sie das Gleichungssystem A x b mit Hilfe der in Teil b) bestimmten L R-Zerlegung für eine gegebene rechte Seite b (, 3., 33) T. (Achtung: Andere Lösungswege werden mit Punkten bewertet.) a) Zeilenäquilibrierung: D.5, B : DA Bem.: Die Einträge von D werden in der Praxis als Vektor gespeichert. b) LR-Zerlegung: Tausche(,) Tausche(,3) also: L Gauss Gauss , R.875.5, P Achtung: Die Matrix P wird in der Praxis nie aufgestellt. Hinweis: Bei nur 5 angegebenen Stellen werden die zu.5743 und damit ergibt sich anstelle der 7 ein Wert von.449. () (4) c) Es gilt: A x b P D A x P D b L R x P D b Substituiere Rx y und löse L y.65 y 3.3 y Mache im Anschluss die Substitution rückgängig: R x x 3.5 x ( 4) Hinweis: Verwendet man nur 5 gültige Stellen, so ergibt sich folgende Lösung: L y.65 y y R x x 3.5 x ( 4) () 4

5 Aufgabe (9 Punkte) In festen Abständen von. Sekunden wurde ein Signal abgetastet, hinter dem man eine Schwingung der Form f(t) sin(ω t) + c vermutet. Es ergab sich folgende Messwerttabelle: t i...3 f i.5.3. a) Stellen Sie das zugehörige nichtlineare Ausgleichsproblem F (x) min explizit auf (Messwerte schon einsetzen!). b) Für das Gauÿ-Newton-Verfahren ist der Startwert x (ω, c ) (.9,.4) gegeben. Stellen Sie das zugehörige linearisierte Ausgleichsproblem für den ersten Schritt auf. c) Bestimmen Sie die Lösung x des so entstandenen linearen Ausgleichsproblems mit Hilfe einer Q R-Zerlegung über Householder-Transformationen. Geben Sie x explizit an. d) Bestimmen Sie nach diesem Schritt das Residuum (in der euklidischen Norm) sowohl des linearisierten Problems als auch des nichtlinearen Ausgleichsproblems. Teil a) Die i-te Zeile der zu minimierenden Funktion F (x) F (ω, c) lautet: F i (x) : f(t i ) f i sin(ωt i ) + c f i. Gesucht ist somit x mit F (x ) min x R F (x) mit x (ω, c) und sin(ω.) + c (.5) F (x) F (ω, c) sin(ω.) + c sin(ω.3) + c.3 () Teil b) Aufgestellt werden soll F (x ) + F (x ) x min x ( ω, c ) T R Hier ist Damit ergibt sich: F i (x) (t i cos(ωt i ) ) ω c min ( ω, c ) R () Teil c) Zur Lösung des Systems aus b) verwenden wir ein Tableau. (s.a. α (.6845) β α (.47698).89 β res

6 Die nächste Iterierte lautet somit: x x + x ω c (4) Teil d) Das Residuum des linearisierten Problems können wir aus dem transformierten System explizit angeben: r F (x ) + F (x ) x (.4744).474. Der Residualvektor des nicht linearen Systems ergibt sich zu (f(t) sin(9.554 t).6): sin(9.554.).6 (.5).543 F (x ) F (9.554,.6) sin(9.554.).6 sin( ) F (x ) () 6

7 Aufgabe 3 Ist eine Vereinfachung der Aufgabe 3 aus der Klausur F7 Gegeben sei die D-Fixpunktgleichung y (x y) x F y x 3 + x y cos : (x, y) : F (x, y). F (x, y) (9 Punkte) a) Zeigen Sie, dass die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes von Banach für den Bereich E : [, ] [, ] erfüllt sind. Verwenden Sie die -Norm. b) Führen Sie ausgehend vom Startwert (x, y ) : (, ) zwei Iterationsschritte durch, d. h. berechnen Sie (x, y ). c) Geben Sie eine a-priori- und eine a-posteriori-fehlerabschätzung für (x, y ) an unter Verwendung der - Norm. d) Wie viele Iterationsschritte sind ausgehend vom Startwert (x, y ) : (, ) höchstens erforderlich, um den Fixpunkt in der -Norm bis auf einen Fehler von ε : 6 5 anzunähern? F(,y) y Im R gibt es Monotonie nur entlang von Linien bzw. Kurven Daraus lässt sich i.a. nicht auf auschlieÿliche Randextrema schlieÿen. Zudem gibt es lokale Randextrema: Siehe F (, y) links. Zum Rand gehören im R nämlich neben den Eckpunkten auch die Verbindungskanten (siehe rechts). zu a) i) E ist abgeschlossen. ii) Selbstabbildung: Wegen (x, y) [, ] gilt x y [, ] und folglich cos ((x y)/) [cos(/), ] [ , ]. Daraus folgt F (x, y) y (x y) < cos F (x, y) x 3 + x y cos 3 + cos() <. 6 Insgesamt gilt also F (E) Ẽ : [,.46667] [.43879, ] E F ist selbstabbildend auf Ẽ E. iii) Kontraktivität: Da E konvex ist und F stetig dierenzierbar ist, dürfen wir zum Nachweis die Ableitung benutzen. Als Jacobi-Matrix ergibt sich x y F (x, y) 3 4 x y 3 3 x y x y 4 sin 4 sin. Wegen (x, y) E [, ] gilt (s.o.) (x y)/ / sowie sin((x y)/) [ sin(/), sin(/)], so dass wir durch elementweise Betragsabschätzung (zulässig in der - und -Norm, nicht jedoch in der -Norm) erhalten: F (x, y) { max 3 + 7, 7 + } : L <, d. h. F ist kontraktiv auf E. Somit sind die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt. (5) 7

8 Bemerkung: In Ẽ [,.46667] [.43879, ] gilt 5 9 F (x, y) Hier bringt die Einschränkung auf Ẽ also nicht sehr viel. zu b) Startwert: x :. Schritt: x : x y x. Schritt: x : y x y : und für c) x x cos 6, x x zu c) Es gilt x x / und somit gemäÿ a-priori-abschätzung () x x L L x x Es gilt x x /6 und somit gemäÿ a-posteriori-abschätzung (< 5.). 4 x x zu d) Es gilt gemäÿ a-priori-abschätzung L L x x (<.9). () ε( L) ln x n x ln L Ln x n x L x x 6 5 ln ln ln 5 ln! ε 5 ln ln ln Es sind also höchstens n 33 Schritte erforderlich, um eine Genauigkeit von ε : 6 5 zu erreichen. () 8

9 Aufgabe 4 Gegeben sei die Wertetabelle x i 3 f(x i ) 4 6 (5 Punkte) a) Berechnen Sie die fünf fehlenden dividierten Dierenzen im folgenden Newton-Schema: x x [x ]f x [x, x ]f x 3 3 [x 3 ]f [x, x 3 ]f [x, x, x 3 ]f (Geben Sie die zu ergänzenden Werte dabei separat und mit nachvollziehbarem Rechenweg unterhalb der Aufgabenstellung an.) b) Stellen Sie für das Interpolationspolynom p 3 (x) vom Grad 3 zur gegebenen Wertetabelle eine Newton- Darstellung auf. Berechnen Sie anschlieÿend p 3 () durch Horner-artige Auswertung dieser Newton-Darstellung. c) Für die n-ten Ableitungen von f gelte max x [,3] f (n) (x) 3 n+ für n N. Bestimmen Sie unter dieser Annahme eine möglichst scharfe Abschätzung für f() p 3 (). Zu a): Wir erhalten Das vollständige Newton-Schema lautet damit [x ]f f(x ) 4, [x 3 ]f f(x 3 ) 6, Zu (b): Die Newton-Darstellung von p 3 lautet Auswertung in Horner-artiger Form ergibt [x, x ]f [x ]f [x ]f x x 4, [x, x 3 ]f [x 3]f [x ]f x 3 x 6 3 4, [x, x, x 3 ]f [x 3, x ]f [x, x ]f x 3 x 4 ( ) 3 x x 4 x x p 3 (x) + (x + ) (x + )(x ) + (x + )(x )(x ). p 3 () + ( + )( + ( )( + ( )) () Zu (c): Aus der Darstellung des Interpolationsfehlers (siehe Formelsammlung) und der Abschätzung für die Ableitungen folgt f() p 3 () 3 ( x i ) max i y [,3] f (4) (y) 4! ( 3) (3) 9

10 Aufgabe 5 Gegeben sei das Anfangswertproblem (6 Punkte) y (t) + 4 t y (t) + t y(t) t für t [, ], y(), y (). Wenden Sie die implizite Trapezregel mit Schrittweite h an, um Näherungen für y() und y () zu berechnen. Lösung: Zunächst schreiben wir das Problem als System von Dierentialgleichungen erster Ordnung in den Unbekannten y : y, y : y. Wir erhalten das System y (t) y (t), y (t) 8 t y (t) + t y (t) 4t, mit den Anfangswerten y (), y (). () In Matrixschreibweise (Anm.: muss nicht verwendet werden) haben wir y (t) y (t) 8 t t ( y (t) y (t) ) (. 4t) Wir bezeichnen mit y : y (), y : y () die Anfangswerte für die implizite Trapezregel, und mit y, y die Werte nach einem Zeitschritt. Einsetzen in die Verfahrensvorschrift (siehe Formelsammlung) mit Schrittweite h liefert y y y y + [ ( y 8 y + 4)] [ ( y y. 8)] Wir setzen nun die Anfangswerte ein und bringen die Terme mit y, y auf die linke Seite. Damit ergibt sich das Gleichungssystem ( [ ( ). 8 8 ) y y + Auösen unter Ausnutzung der Dreiecksstruktur ergibt ] 4 y, y ( )( ) 3. Damit erhalten wir die Näherungen y(), y () 3. (4)