Ausgleichsprobleme. 3 Nichtlineare Ausgleichsprobleme

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Ausgleichsprobleme. 3 Nichtlineare Ausgleichsprobleme"

Adam Böhme
vor 5 Jahren
Abrufe

1 1 Normalengleichung Ausgleichsprobleme A T A T = AA 2 Orthogonalisierungsverfahren A = Q R 3 Nichtlineare Ausgleichsprobleme Typeset by FoilTEX 1

Charakteristisch für diese Art von Problemstellung ist, dass die Anzahl n der Parameter in der Regel viel kleiner ist als

2 Motivation Ausgleichsprobleme treten meist dann auf, wenn aus Messdaten Parameter wie z. B. Naturkonstanten oder Materialeigenschaften bestimmt werden sollen. Charakteristisch für diese Art von Problemstellung ist, dass die Anzahl n der Parameter in der Regel viel kleiner ist als die Anzahl m der Daten. Beispiel. Erdbeschleunigung g und Baumhöhe h bestimmen. y = h 1 2 gt2 Theoretisch genügen 2 Messungen, um ein 2 2 LGS zu erhalten, aus dem sich g, h bestimmen lassen. Typeset by FoilTEX 2

3 Motivation (2) Problem. Messungen sind immer fehlerbehaftet! Daher führe m 2 Messungen durch und bestimme g, h so, dass die Messungen bestmöglich beschrieben werden. Dazu verwendet man z. B. den Last Square Fit Messungen Messungen - theoret. Wert 2 min Definition. Seien A R m n, b R m, Rang A = n, und eine Norm auf R m gegeben. Dann heißt das Minimierungsproblem: Gesucht sei x R n mit Ax b = inf y Rn Ay b lineares Ausgleichsproblem (LAGP) (bezüglich der Norm ). Da der Rang einer Matrix A R m n immer kleiner gleich min(m,n) ist, folgt automatisch aus der Voraussetzung Rang A = n, dass m n gilt. Typeset by FoilTEX 3

4 Parabelförmige Flugbahn Problemstellung: Finde Ausgleichskurve (least squares fit) Anfangsgeschwindigkeit v = (v x,v y ) 6 Ortsfunktion x(t) = v x t, y(t) = v y t 1 2 gt2 unbekannte Größen v y, g Messdaten: 1 2 i t i y i Typeset by FoilTEX 4

5 Parabelförmige Flugbahn Aufstellen des Minimierungsproblems y i = v y t i 1 2 gt2 i R 7 2 A := (a ij ) i,j mit a i1 = t i, a i2 = 1 2 t2 i, i = 1,...,7 ( ) y A vy = min g ( vy g ) = min Typeset by FoilTEX 5

6 Normalengleichung Idee: Erzeuge quadratische Systemmatrix A A T A R n n und löse das resultierende lineare Gleichungssystem. Definition: Man nennt A T Ax = A T b Normalengleichung von Ax = b. Satz: Das lineare Ausgleichproblem hat eine eindeutige Lösung, die durch A T Ax = A T b gegeben ist. Typeset by FoilTEX 6

7 Parabelförmige Flugbahn Normalengleichung und Lösung ( ) ( ) y A vy = min A T vy A = A T y g g ( )( vy g ( ) ( ) vy 1.96 = = g ) = ( ) Typeset by FoilTEX 7

8 Parabelförmige Flugbahn Visualisierung Typeset by FoilTEX 8

9 Reaktionsgeschwindigkeit Problemstellung: Finde Ausgleichskurve (least squares fit) Arrhenius-Gesetz K(T) = C exp ( E ) RT Gaskonstante R = J mol K K 1.4 x Messdaten gesuchte Größen: Faktor C Aktivierungsenergie E Messpaare (T i,k i ), 1 i T Typeset by FoilTEX 9

10 Reaktionsgeschwindigkeit Aufstellen des Minimierungsproblems logc 1 RT i E = logk i R 21 2 A := (a ij ) i,j mit a i1 = 1, a i2 = 1 RT i, i = 1,...,21 ( ) logc logk A = min E K 1.4 x Messdaten least squares fit K Messdaten least squares fit T T Typeset by FoilTEX 1

11 Approximation der exp-funktion durch Polynom, Normalengleichung Stützpunkte: x i = x +(i 1) δx, y i = expx i, 1 i n z.b. x = 2, δx =.2, n = 11, A T A = , A = ,y =.3679, A T y = x = (A T A) 1 A T y = Typeset by FoilTEX 11

12 Approximation der exp-funktion durch Polynom QR-Zerlegung: A = QR Q = R 3 3 = ,(Q T y) 3 = x = R (QT y) 3 = Typeset by FoilTEX 12

13 Approximation der exp-funktion durch Polynom Polynom 2. Grades exp Funktion Datenpunkte 6 4 Polynom 2. Grades exp Funktion Datenpunkte Links: Approximation im Bereich [ 2, ] bei 11 äquidistanten Stützstellen Rechts: Approximation im Bereich [ 2, 2] bei 11 äquidistanten Stützst. Typeset by FoilTEX 13

14 Normalengleichung vs. QR-Zerlegung Ebene E := {x R 3 : x 3 = ax 1 +bx 2 } 3 gemessene Punkte auf E: p 1 = (1,1, 1) T, p 2 = (ε,,ε) T, p 3 = (,ε, 2ε) T 1 ε 2ε 1 1 ( ε a b) ε }{{} A = min, A T A = ( ) 1+ε ε 2 Die Normalengleichung kann für ε < eps nicht mehr gelöst werden, κ(a T A) = (2+ε 2 )/ε 2. Typeset by FoilTEX 14

15 Orthogonalisierungsverfahren ( ) R Vorüberlegung: Sei A in der speziellen Form A =, R (m n) n, R R m n gegeben und R sei eine obere Dreiecksmatrix. Dann gilt: Ax b 2 = ) R ( x ( b1 b 2 ) 2 = Rx b b 2 2 b 2 2 x ist Lösung des linearen Ausgleichproblems Rx = b 1. ( ) R Satz. Sei A = Q ˆR mit einer orthonormalen Matrix Q und ˆR =, R obere -Matrix. Dann ist die Lösung x des linearen Ausgleichproblems gegeben durch Rx = (Q T b) 1 Typeset by FoilTEX 15

16 Orthogonalisierungsverfahren (2) Bemerkung Folgendes gilt es zu beachten: 1. Für m n ist der Aufwand etwa doppelt so hoch wie bei dem Zugang über die NG. Für m n ist der Aufwand etwa gleich. 2. Rundungsfehlereinfluss durch Kondition von R bestimmt! Satz. Es gilt κ 2 (A T A) = (κ 2 (R)) 2 Typeset by FoilTEX 16

17 Normalengleichung vs. QR-Zerlegung Durch die QR Zerlegung ergeben sich bei Rechnung auf Maschinengenauigkeit eps für ε < eps 1 Q = 2 2 2ε 1 1 ε 1 1, R = 2ε. eps eps ε 1 1 Das resultierende GLS kann also noch gelöst werden, κ(r) = κ(a T A) = eps 2/ε. = QR Zerlegung numerisch stabiler als Normalengleichungs-Methode Typeset by FoilTEX 17

18 Nichtlineare Ausgleichsprobleme Sei F : R n R m eine zweimal stetig-differenzierbare Funktion, dann heißt x mit F(x) F(y), y R n Lösung des nichtlinearen Ausgleichproblem. Herleitung eines Lösungsweges: Definiert man g(y) := F(y) 2 = F(y) T F(y), so erhält man als notwendige Bedingung: Dg(x) =, Dg(y) = 2DF(y) T F(y). Bemerkung. Im Spezialfall eines linearen Ausgleichsproblems gilt F(y) = Ay b und somit DF(y) = A, g(y) = 2A T (A T y b) und man erhält aus Dg(x) = die Normalengleichung. Das nichtlineare System G(y) := DF(y) T F(y) = kann nun über ein Newton-Verfahren gelöst werden, d. h. y k+1 = y k DG(y k ) 1 DF(y k ) T F(y k ) m DG(y k ) = DF(y k ) T DF(y k )+ HF (y k ) T F }{{} j (y k ). j=1 Hesse-Matrix Typeset by FoilTEX 18

19 Algorithmus: Gauß-Newton-Verfahren Input: Startiterierte y for k =, 1, 2,... do DF(y k ) T DF(y k )δy k = DF(y k ) T F(y k ) y k+1 = y k δy k end for 1. Das Gauß-Newton-Verfahren führt die Lösung eines nichtlinearen Ausgleichsproblems auf eine Folge von linearen Ausgleichsproblemen zurück, d. h. δy k ist die Lösung des linearen Ausgleichsproblems DF(y k )x F(y k ). 2. Man erhält den Algorithmus ebenfalls, indem man F(y) durch F(y k ) + DF(y k )(y y k ) linearisiert. Im Idealfall, dass die Beobachtungswerte mit der Theorie perfekt übereinstimmen, gilt F(x) =. Dies motiviert folgende Vereinfachung DG(y k ) DF(y k ) T DF(y k ) Typeset by FoilTEX 19

Ähnliche Dokumente

eps für alle x D. 4. Die Zahl 256 ist in M(2, 4, 6, 6) exakt darstellbar.

eps für alle x D. 4. Die Zahl 256 ist in M(2, 4, 6, 6) exakt darstellbar. IGPM RWTH Aachen Verständnisfragen-Teil NumaMB H13 (24 Punkte) Es gibt zu jeder der 12 Aufgaben vier Teilaufgaben. Diese sind mit wahr bzw. falsch zu kennzeichnen (hinschreiben). Es müssen mindestens zwei