UE Numerische Mathematik für LA

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1 UE Numerische Mathematik für LA Übungsbeispiele zur VO Numerische Math für LA G. Schranz-Kirlinger Kapitel : Fehlerbetrachtungen. Berechnen Sie sinx dx mit Hilfe der Trapezregel für verschiedene Schrittweiten h Berechnen Sie cosx dx mit Hilfe der Trapezregel für verschiedene Schrittweiten h Numerischen Differentiation. Betrachten Sie die Konstruktion eines Verfahren der Ordnung 4 aus der asymptotischen Entwicklung des zentralen Differenzenquotienten. Sei fx = e x x =. Berechnen Sie betrachten Sie Dh = fx + h fx h 2h Dh f = Dh e x = h2 6 f + Oh 4. Erstellen Sie eine Tabelle der Form Dh Dh e h 2 Dh Dh 2 6 e Dh 2 3 Dh e für h = 2, 4, 8, 2 0 4, 0 4, 2 0 8, 0 8, 0 9. Bemerkung: Zu diesem Beispiel gibt es zusätzliche Unterlagen, die Sie von den ÜbungsleiterInnen erhalten. 4. Auswirkungen von Rechenfehlereffekten. Berechnen Sie den Wert von ln + x für x = 0, in 0-stelliger Taschenrechnerarithmetik. 5. Rungsfehleranalyse. Geben Sie eine detaillierte Rungsfehleranalyse von für x an. y = cosx x 2 6. Berechnen Sie numerisch mit Hilfe des Differenzenquotienten des zentralen Differenzenquotienten die Ableitung der Funktion fx = sinx an der Stelle x = π 4 für verschiedene Werte von h. 7. Berechnen Sie numerisch mit Hilfe des Differenzenquotienten des zentralen Differenzenquotienten die Ableitung der Funktion fx = cosx an der Stelle x = π 4 für verschiedene Werte von h. 8. Bearbeiten Sie das Thema Gleitkommazahlen normalisierte Gleitkommadarstellung, subnormale Zahlen, etc.. Schreiben Sie eine Zusammenfassung präsentieren Sie diese. 9. Werten Sie die beiden identen Algorithmen x + x x + + x für verschieden Werte von x mit verschiedene Genauigkeiten aus.

2 0. Bestimmen Sie die Lösung des linearen Gleichungssystems 0 7. x 0 = 2 2 y 4 untersuchen Sie die Abhängigkeit der Lösung von der Genauigkeit bzw. Zahl der Dezimalstellen zur Darstellung der reellen Zahl 2.. Untersuchen Sie die Eigenschaften der äquivalenten Formeln x = b b 2 c c x = b + b 2 c zur Lösung der quadratischen Gleichung x 2 + bx + c = 0, b, c R für die Fälle b 2 c b 2 c durch die Betimmung der Kondition der Berechnungsschritte. 2. Schätzen Sie den relativen Rungsfehler bei der Berechnung von durch die Analyse der Fehlerfortpflanzung ab. z = 3. Untersuchen Sie, welche der schrittweisen Möglichkeiten x2 + + x x 3 oder x 3 zur Berechnung von x 3 2 einen geringeren Rungsfehler ergibt. 4. Berechnen Sie die Konditionszahlen der Matrizen

3 Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme 5. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden g, g 2 R, die durch die Parameterdarstellung x, 5 2, 0 g : = + ζ x 2, 0, 0 g 2 : x, 0 = x 2 0, 8, 0 + µ 0, 45 gegeben sind. Berechnen Sie auch die exakte Lösung die Konditionszahl κ 2 A der Koeffizientenmatrix A des zu lösenden Gleichungssystms, geben Sie auch eine geometrische Interpretation an. Betrachten Sie auch die Umskalierung der beiden Richtungsvektoren 2, 0, 0 erläutern Sie die Auswirkungen. 200, 0 00, 0,, 0 0, 45 0, 0 0, Lösen untersuchen Sie die folgenden Gleichungssysteme A i x = b, mit i =, 2 den beiden Koeffizientenmatrizen A =, A 2 2 =.0000 jeweils der Inhomogenität b = der Inhomogenität mit Störung b = LU-Zerlegung. Führen Sie eine LU-Zerlegung ohne bzw. mit Zeilentausch für das Gleichungssystem A x = b mit der 2 2-Matrix A, A = , b = in 0-stelliger Dezimalrechnung Taschenrechnerarithmetik durch. Berechnen Sie κ 2 A = A 2 A LU-Zerlegung. Führen Sie eine LU-Zerlegung in Matlab ev. in Maple durch. Dazu sei die Matrix a gegeben für einen Parameter a R. Geben Sie an, für welchen Wert von a R diese LU-Zerlegung nicht existiert. 9. Berechnen Sie die Lösungen der beiden Gleichungssysteme aus dem Beispiel.3 im Skriptum zur VO berechnen Sie jeweils auch die Konditionszahlen κ 2 A κ A. 20. Man schreibe ein Matlab-Programm, das den Gauß Algorithmus einmal ohne Pivot einmal mit Spaltenpivot durchführt. Testen Sie das Programm anhand des Beispiels A x = b mit a ij = i + j, b i = N + i, i, j =, 2,..., N Geben Sie jeweils für N = 0, 25, 50, 00 die Werte des Lösungsvektors x an. 2. Lösen Sie ohne Rechnerunterstützung das lineare Gleichungssystem 0 4 x = x 2 2 einmal mit Gauß Algorithmus ohne Pivotsuche einmal mit Gauß Algorithmus mit Pivotsuche. Verwenden Sie dabei jeweils eine dreistellige dezimale Gleitpunktarithmetik. Das Ergebnis nach jeder Operation auf drei gültige Dezimalstellen ren. 22. Gegeben seien die Matrizen A = , B = Berechnen Sie Konditionszahlen κ A κ B. 3

4 Lösen Sie für die Vektoren b =, T, b = δ, δ T ˆ b = δ, δ T mit einer kleinen reellen Zahl δ > 0 die Gleichungssysteme A x = b, A x + x = b + b A x + ˆ x = b + ˆ b. Vergleichen Sie die jeweiligen relativen Fehler x ˆ x x x mit der allgemeinen Fehlerschätzung x x κa b b. 23. Es sei A R m n mit n m eine Matrix b R m ein gegebener Vektor. Zeigen Sie: Eine Lösung der Gaußschen Normalgleichungen ist auch eine Lösung des Minimierungsproblems für x R n. A T A x = A T b A x b 2 min Jede Lösung des Minimierungsproblems ist auch Lösung der Gaußschen Normalgleichungen. 24. Bestimmen Sie zu den Stützpunkten j x j f j dasjenige Polynom px = a 0 + a x + a 2 x 2 zweiten Grades, welches die Summe der Fehlerquadrate minimiert. 3 px j f j 2 j=0 Hinweis: Lösen Sie die zugehörigen Normalgleichungen. 25. QR-Zerlegung. Schreiben Sie eine kurze Ausarbeitung zum Thema QR-Zerlegung diskutieren Sie den Unterschied zur LU-Zerlegung. Bestimmen Sie weiters eine QR-Zerlegung der Form AP = QR für die Matrix A = Konstrueiren Sie eine LU-Zerlegung der Matrizen Schreiben Sie ein Matlab-Programm zur Erzeugung einer LU-Zerlegung. Vergleichen Sie dieses mit dem Matlab eigenen Programm zur LU-Zer-legung. 28. Schreiben Sie ein Matlab-Programm zur Rangbestimmung einer Matrix A R n m mit m n. Erzeugen Sie dazu mit dem Gaußschen Algorithmus ein Schema, aus dem Sie den Rang ablesen können. Nutzen Sie dieses Programm, um zu entscheiden, ob ein lineares Gleichungssystem lösbar ist. 29. Cholesky-Zerlegung. Schreiben Sie eine kurze Ausarbeitung zum Thema Cholesky-Zerlegung diskutieren Sie den Unterschied zur LU-Zerlegung. Weiters schreiben Sie ein Matlab-Programm zur Cholesky-Zerlegung einer symmetrischen tridiagonalen Matrix T R n n, das ist eine Matix der Form T = t ij i,j=,...,n mit t ij 0, i, j mit i j = t ij = t ji. 4

5 Kapitel 3: Nichtlineare Gleichungssysteme 30. Bestimmenen Sie die Nullstelle x von fx = x e x, x [0.5, 0.69] mit dem Anfangswert x 0 = Betrachten Sie speziell n = Berechnen Sie die Nullstelle für die Funktion mit Startwert x 0 =.2 mit Hilfe des Newtonverfahrens. fx = x 3 2, 32. Berechnen Sie mit Hilfe des Newtonverfahrens eine Nullstelle von fx = arctanx, verwenden Sie auch das gedämpft Newtonverfahren mit einem geeigneten Dämpfungsfaktor. 33. Iterative Apporoximation der Zahl π: u := 2, u k+ = 2 2 k 2 k u k 2, k =, 2,... Für welches k ist die Approximation am besten? Interpretieren Sie die Ergebnisse. 34. Zeigen Sie, dass die Iteration x n+ = cosx n für x 0 R gegen den einzigen Fixpunkt χ, χ = cosχ, konvergiert. a Formulieren Sie das Newtonverfahren zur Berechnung von χ. Konvergiert dieses Verfahren ebenfalls für jeden Startwert? b Vergleichen Sie die Konvergenzgeschwindigkeit der beiden Iterationsverfahren. 35. Gegeben sei die Gleichung x + ln x = 0 deren eindeutige Lösung im Intervall [0.5, 0.6] liegt. Betrachten Sie zur approximativen Lösung dieser Gleichung die folgenden drei Iterationsverfahren zu verschiedenen Startwerten. x n+ := lnx n, x n+ := exp x n, x n+ := x n + exp x n Die Funktion ln x soll an der Stelle x = a > 0 nährerungsweise berechnet werden. Das kann z.b. mit dem Newtonverfahren zur Bestimmung einer Nullstelle der Funktion fx = e x a geschehen. Geben Sie die zugehörige Iterationsvorschrift an weisen Sie die quadratische Konvergenz nach. Berechnen Sie für a = Startwert x 0 = die ersten vier Iterierten x, x 2, x 3, x 4. Auf wieviele Nachkommastellen genau stimmen diese mit dem tatsächlichen Wert 0 = ln überein? 37. Es sei F : R 2 R 2 definiert durch F u, v = sin u + + v, + sin v + u T. 2 4 a Untersuchen Sie die Kontraktionseigenschaft von F u, v jeweils be-züglich 2. b Berechnen Sie den Fixpunkt x R 2 von F u, v mittels der gewöhnlichen Fixpunktiteration, für den Startwert x 0 = 0, 0 T. Wie oft ist bei der Verwendung der a priori-fehlerabschätzung zu iterieren, bis garantiert werden kann? 38. Gegeben sei das nichtlineare Gleichungssystem x n x 0 2 uv + u v = 0 uv = 0 a Bestimmen Sie die exakten Lösungen dieses nichtlinearen Gleichungssystems. 5

6 b Führen Sie für die Startwerte x 0 = 0, 0 T x 0 =, T jeweils den ersten Iterationsschritt des Newton - Verfahrens durch. 39. Betrachten Sie die Beispiele 3.2.., aus dem Skriptum. Rechnen Sie die Beispiele iterativ mit dem Newtonverfahren nach stellen Sie einen Vergleich an. 40. Lösen Sie die Gleichung arcsin = 3 2x 4x mit dem Newtonverfahren durch die Formulierung einer geeigneten Fixpunktabbildung mit einer Fixpunktiteration. 4. Lösen Sie das nichtlineare Gleichungssystem mit einem Newton-Verfahren. sinzy + 2xλ = 0 xz coszy + 2yλ = 0 xy coszy + 2zλ = 0 x 2 + y 2 + z 2 4 = Man schreibe ein Matlab-Programm zur Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems mittels der folgenden Variante des Newton-Verfahrens: mit x n+ = x n A n F x n für n = 0,,..., A kp+j = D xk p F für j = 0,,..., p k = 0,,.... Hierbei bezeichnet D x F die Jacobi-Matrix der Abbildung F im Punkt x. Man breche die Iteration ab, falls die Bedingung x n x n tol erstmalig erfüllt ist oder falls n = n max gilt. Hier sind p N, n max N 0 tol> 0 frei wählbare Parameter. 6

7 Kapitel 4: Interpolation 43. Betrachten Sie die Funktion fx = cosx auf dem Intervall [0, 2π]. Führen Sie verschiedene Polynominterpolationen px durch vgl. Skriptum zur Vorlesung für fx = sinx auf [0, 2π] geben Sie jeweils den Fehler fx px an der Stelle π 3 an: a Polynom vom Grad : x 0 = 0, x = π 2 b Polynom vom Grad 2: x 0, x, x 2 = π 4 c Polynom vom Grad 3: x 0, x, x 2, x 3 = π 6 d gerades Polynom 4. Grades: x 0, x, x 2 e gerades Polynom 3. Grades: x 0, x f Taylorpolynom vom Grad n = 4 g Lagrangeelementarpolynome x 0, x, x 2 h Theoretische Abschätzung des Interpolationsfehlers für c an der Stelle π Interpolieren Sie die Funktion von Runge auf [, ] auf zwei Arten: fx = 25x 2 + a Äquidistanten Punkten x j = + 2j n j = 0,,..., n b An den Nullstellen des n + -ten Tschbyscheff Polynoms T n+ 45. Nevilleschema. Schreiben Sie eine kurze Ausarbeitung zum ThemaNevilleschema. Die Stützpunkte 0,,, 3 3, 2 sind gegeben. Berechnen Sie den Wert des Interpolationspolynoms an der Stelle x = Berechnen Sie zu den drei Stützpunkten x j, tan 2 x j für j = 0,, 2 mit den Stützstellen x 0 = π 6, x = π 4, x 2 = π 3 unter Verwendung des Nevilleschemas das Interpolationspolynom. 47. Bestimmen Sie das Interpolationspolynom in der Newtondarstellung zu den Stützstellen: j x j f j Wir betrachten die Funktion fx = x 8. Bestimmen Sie zu fx das interpolierende Polynom vom Grad n 6 zu den Stützstellen. j x j Approximieren Sie die Funktion fx = log 2 x. a Berechnen Sie das Interpolationspolynom zu fx mit den Stützstellen 6, b Bestimmen Sie die lineare Ausgleichsgerade zu diesen Stützstellen vergleichen Sie sie mit dem Interpolationspolynom aus a. 50. Berechnen Sie für die Stützpunkte {x k, y k } = {0, 0,, 3, 2, 2, 3, } die Dividierten Differenzen [x 0, x ] [x 0, x, x 2 ] [x 0, x, x 2, x 3 ] geben Sie das Newtonsche Interpolationspolynom an. 5. Gesucht ist ein Polynom 4. Grades, das eine Funktion mit den Eigenschaften f = 2, f =, f4 = 3, f 4 = 2 f 4 = interpoliert. Ziehen Sie dazu Hermite-Interpolation heran. 7

8 Kapitel 5: Quadratur 52. Berechnen Sie allgemein den Verfahrensfehler von Trapezregel, Simpsonregel Pulcherrima auf dem Intervall [a, b]. Weiters berechnen Sie das Integral e 8t dt mit Hilfe der Simpsonregel Pulcherrima für die zwei Genauigkeiten Leiten Sie die numerische Quadraturformel Pulcherrima auf zwei Arten her. Vergleichen Sie dazu im Skriptum zur Vorlesung die Herleitung der Simpsonregel. 8