Numerische Analysis - Matlab-Blatt 5

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1 Prof. Dr. Stefan Funken Universität Ulm M.Sc. Andreas Bantle Institut für Numerische Mathematik Dipl.-Math. oec. Klaus Stolle Sommersemester 05 Numerische Analysis - Matlab-Blatt 5 Lösung (Besprechung in den Matlab-Tutorien in KW 5/6) Hinweise: Siehe Matlab-Blatt /. Aufgabe 8 (Newton-Cotes Formeln) (7+5 Punkte) Die klassische Newton-Cotes-Formel bei einer äquidistanten Knotenwahl a = x 0 x x... x n = b lautet ( n ) b Î n (f) = (b a) ω k f(x k ) f(x)dx. k= (i) Schreiben Sie eine Funktion I = newtoncotes(f,a,b,n,method) a die das Integral b f(x)dx mit Hilfe der summierten Mittelpunktsregel a b n xk n ( ) xk +x k f(x)dx = f(x)dx h k f (h k := x k x k ) x k a k= bzw. der summierten Trapezregel b a f(x)dx = n k= xk x k f(x)dx k= n k= h k f(x k )+f(x k ) numerisch berechnet. Als Eingabeparameter erhält die Funktion das function handle f die Intervallgrenzen a,b die Anzahl der Teilintervalle n (h k := x k x k ) einen String method, der angibt ob die summierte Mittelpunktsregel ( Mittelpunkt ) oder die summierte Trapezregel ( Trapez ) verwendet werden soll. Verwenden Sie zur Berechnung äquidistante Teilintervalle der Schrittweite h = (b a)/n. function I = newtoncotes(f,a,b,m,method) 3 %*** Schrittweite und Stuetzstellen berechnen 4 h = (b-a)/m; 5 t = linspace(a,b,m+); 6 7 if strcmp(method, Mittelpunkt ) 8 %*** Mittelpunkte berechnen 9 x = (t(:end-)+t(:end))/; 0 I = h*sum(f(x)); elseif strcmp(method, Trapez ) %*** Gewichtsfunktion definieren

2 3 w = ones(,m+); w() = 0.5; w(m+) = 0.5; 4 I = h*sum(w.*f(t)); 5 else 6 error( Methode zur Berechnung des Integrals wird nicht unterstuetzt. ) 7 end (ii) Schreiben Sie ein Testskript testnewtoncotes.m, welches die Integrale e x +x 3 + dx und +x x dx numerisch berechnet. Plotten Sie jeweils den Fehler für n =,,..., 4 Teilintervalle zur exakten Lösung, welche Sie mit der Matlab-Funktion integral berechnen können. clear all; close all; clc; 3 %*** definiere ANzahl der Intervalle 4 m =.^(:4); 5 6 %*** Beispiel 7 f exp(x) + x.^3+./(x.^4+); 8 a = -; b = ; 9 I_exact = integral(f,a,b); 0 %*** Beispiel 3 % f 4 % a = -0; b = 0; 5 % I_exact = integral(f,a,b); 6 7 %*** Initialisiere Variablen 8 errm = zeros(length(m),); 9 errt = zeros(length(m),); 0 for k=:length(m) 3 %*** Mittelpunktsformel 4 I_M = newtoncotes(f,a,b,m(k), Mittelpunkt ); 5 errm(k) = abs(i_m-i_exact); 6 7 %*** Trapezsummenformel 8 I_T = newtoncotes(f,a,b,m(k), Trapez ); 9 errt(k) = abs(i_t-i_exact); 30 end 3 3 %*** Fehler darstellen 33 figure 34 loglog(m,errm, *-,m,errt, r*- ) 35 legend( Mittelpunkt, Trapez ) 36 loglogtriangle(e,e4,e-,, l ) Aufgabe 9 (Adaptive Quadratur) In dieser Aufgabe betrachten wir Integrale der Form 0 x α dx, α (0,). ( Punkte) Da der Integrand stetig, aber nicht stetig differenzierbar auf [0, ] ist, erhalten wir mit der summierten Mittelpunktsregel bzgl. äquidistanten Teilintervalle der Länge h nicht mehr die optimale Konvergenz O(h ). (i) Bestimmen Sie numerisch die Konvergenzrate des Fehlers für die summierte Mittelpunktsformel zu äquidistanten Intervallen für verschiedene Werte von α (0, ). Welche Vermutung für die Konvergenzrate können Sie daraus für allgemeines α (0,) ableiten? Konvergenzrate: O ( h +α)

3 0 Mittelpunkt Trapez clc, clear all,close all 3 %*** definiere Intervallgrenzen 4 a = 0; b = ; 5 %*** definiere alpha 6 alpha = 0.5; 7 %*** definieren integrand und berechne exaktes Integral 8 f x.^alpha; 9 Iex = /(alpha+)*(b^(alpha+)-a^(alpha+)); 0 n =.^(:3); 3 for k=:length(n) 4 5 t = linspace(a,b,n(k)+); 6 x = (t(:end-)+t(:end))/; 7 h = (b-a)/n(k); 8 IM(k) = h*sum(f(x)); 9 err(k) = abs(iex-im(k)); 0 end loglog(n,err, -r*,n,e-*n.^(-alpha-), -k ) Um die optimale Konvergenz des Fehlers O(h ) auch für Integranden zu erreichen, die keine C -Regularität besitzen, führen wir ein graduiertes Gitter für die Teilintervalle ein: x i = ( ) β i, i = 0,...,n, β > 0. n Bzgl. dieser graduierten Knoten x i approximieren wir das Integral dann durch eine modifizierteßummierte Mittelpunktsformel. (ii) Zunächst Untersuchen wir die Abhängigkeit des Quadraturfehlers von β. Schreiben Sie dazu eine Skript adapquad.m, welches zu α {/3, /, 7/8} und n = 04 den Quadraturfehler der summierten Mittelpunktsformel bzgl. der graduierten Knoten in Abhängigkeit von β [, 5] plottet. Zeichnen Sie dabei außerdem auch

4 das diskrete Minimum der Funktion ein. close all; clear all; clc; 3 %*** definiere alpha 4 alpha = [/3 / 7/8]; 5 6 %*** definiere Intervallgrenzen 7 a = 0; b = ; 8 n = 04; 9 0 for k=:length(alpha) %*** definieren integrand und berechne exaktes Integral f x.^alpha(k); 3 Iex = /(alpha(k)+)*(b^(alpha(k)+)-a^(alpha(k)+)); 4 5 %*** berechne Integral fuer graduiertes Gitter 6 % setze beta 7 beta = linspace(,5,500); 8 9 for j = :length(beta) 0 % berechne St tzstellen t = linspace(a,b,n+).^beta(j); x = (t(:end-)+t(:end))/; 3 h = t(:end)-t(:end-); 4 IGrad = (b-a)*sum(h.*f(x)); 5 errgrad(j) = abs(igrad-iex); 6 7 end 8 9 %*** bestimme optimales beta 30 [errgradopt(k),ind] = min(abs(errgrad)); 3 3 %*** Plotte Ergebnisse 33 figure( k)

5 34 set(gca, FontSize,) 35 plot(beta,errgrad) 36 hold on; 37 plot(beta(ind),errgradopt(k), r* ); 38 xlabel( beta ) 39 ylabel( Error ) 40 title( { [ alpha =,numstr(alpha(k)),, n =,numstr(n), with betamin =, numstr(beta(ind))] } ) 4 4 end 6 x alpha = , n = 04 with betamin = Error beta x 0 6 alpha = 0.5, n = 04 with betamin = Error beta (iii) Um für jedes α ein optimales β zu finden, soll nun die Abhängigkeit β(α) bestimmt werden. Dabei wählt man folgenden Ansatz β opt (α) = 3 (+α) k mit k N.

6 8 x 0 8 alpha = 0.875, n = 04 with betamin = Error beta Schreiben Sie ein Skript getoptbeta.m,welchesfür n = 04und α [0.,0.99]jeweils das optimale β min (α) > 0 numerisch ermittelt. Plotten Sie β min (α) über + α in einer doppelt logarithmischer Skala. Bestimmen Sie außerdem den Wert von k N, für den die Schranke β opt (α) eine gute Näherung an β min (α) liefert. (x-achse: +α, y-achse: β min bzw. β opt ). close all; clear all; clc; 3 %*** definiere alpha 4 alpha = linspace(0.,0.99,5); 5 a = 0; b = ; 6 n = 04; 7 8 for k = :length(alpha) 9 %*** definiere Integrand 0 f x.^alpha(k); beta = linspace(,5,00); 3 for j= :length(beta) 4 %*** werte Mittelpunktsformel aus 5 Iex = /(alpha(k)+)*(b^(alpha(k)+)-a^(alpha(k)+)); 6 t = linspace(a,b,n+).^beta(j); 7 x = (t(:end-)+t(:end))/; 8 h = t(:end)-t(:end-); 9 IGrad = (b-a)*sum(h.*f(x)); 0 %*** berechne Fehler errbeta(j) = abs(iex-igrad); end 3 [~,ind] = min(abs(errbeta)); 4 betamin(k) = beta(ind); 5 6 end 7 8 %% plot result 9 set(gca, FontSize,) 30 loglog(+alpha,betamin, *-,+alpha,3*(+alpha).^(-), *-,+alpha,3*(+alpha).^(-), *-,+alpha,3*(+alpha).^(-3), *- ) 3 xlabel( +\alpha ) 3 ylabel( \beta ) 33 legend( Numerisch, k = -, k = -, k = -3 )

7 Numerisch k = k = k = 3 β α Für k= ergibt sich eine gute Näherung. (iv) Schreiben Sie ein Skript getconvrate.m, welches zu α = / den Quadraturfehler für die äquidistanten Teilintervalle und die graduierten Teilintervalle mit dem in (iii) gewonnenen Wert für β opt über n =,,..., 3 plottet. Verwenden Sie eine doppelt logarithmische Skala. Welche Konvergenzraten ergeben sich? clear all; close all; 3 4 a = 0; b = ; 5 alpha = /; 6 f x.^alpha; 7 beta = 3/(+alpha); 8 9 %*** berechne exaktes Integral 0 Iex = /(alpha+)*(b^(alpha+)-a^(alpha+)); n =.^(:3); 3 4 for k=:length(n) 5 %**** summierte MPR 6 t = linspace(a,b,n(k)+); 7 x = (t(:end-)+t(:end))/; 8 h = (b-a)/n(k); 9 IM(k) = h*sum(f(x)); 0 %*** graduiertes Gitter t = t.^beta; 3 x = (t(:end-)+t(:end))/; 4 h = t(:end)-t(:end-); 5 IGrad(k) = (b-a)*sum(h.*f(x)); 6 7 %*** Fehler berechnen 8 errm(k) = abs(iex-im(k)); 9 errgrad(k) = abs(iex-igrad(k)); 30 end 3 3 figure 33 set(gca, FontSize,) 34 loglog(n,errm, *-,n,errgrad, +-,n,e-*n.^(--alpha), -k,n,e-*n.^(-), -k ) 35 ylabel( Quadraturfehler )

8 36 xlabel( n ) 37 legend( Aequidistant, Graduiert, Rate N^{.5}, Rate N^ ) 38 title( Konvergenz Raten ) Konvergenz Raten Aequidistant Graduiert Rate N.5 Rate N Quadraturfehler n Mit dem äquidistanten Gitter erhält man näherungsweise eine Konvergenzrate von.5, mit dem graduierten Gitter erhält man in etwa quadratische Konvergenz. Mehr Informationen zur Vorlesung und den Übungen finden Sie auf