Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen. Übung 8 - Lösungsvorschlag

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1 Technische Universität Chemnitz Chemnitz, 2. Januar 21 Prof. R. Herzog, M. Bernauer Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen WS29/1 Übung 8 - Lösungsvorschlag 1. Ziel dieser Aufgabe ist die Umsetzung des DG(1)-Verfahrens zur Lösung des AWPs (t) = f(t, (t)) für t [, T ], () =. (4.1) a) Geben Sie die DG-Diskretisierung (4.4) von (4.1) an. Wie ist der Raum V h,p beim DG(1)-Verfahren zu wählen? Eine Basis für V h,p wird entsprechend der Anmerkung in der VL stückweise aus den Basen für P p (I i ; R n ) konstruiert, und zwar so, dass der Träger jedes Basiselements stets genau einem Intervall I i enstpricht. Es genügt, in der DG-Diskretisierung nur mit den Elementen dieser Basis zu testen, anstatt mit allen v V h,p. Damit reduziert sich die Summation der Integrale in der Formulierung (4.4) auf die Integration über je ein Intervall I i. Insbesondere ermöglicht dies auch die schrittweise Lösung der auftretenden Gleichungsssteme von links (t = ) nach rechts (t = T ). Jedes Zeitintervall I i = (t i 1, t i ] kann vermöge der Beziehung t = T (ξ) = t i 1 + ξ (t i t i 1 ) (1) auf das Einheitsintervall (, 1] transformiert werden. Damit kann eine (polnomiale) Funktion v : I i R n mit Hilfe einer (wiederum polnomialen) Funktion v : (, 1] R n ausgewertet werden: v(t (ξ)) = v(ξ). (2) Es genügt daher, ohne explizite Kenntnis einer Basis von V h,p (bzw. von P p (I i ; R n )), eine Basis von P p ((, 1]; R n ) anzugeben. b) Zeigen Sie, dass aus (1) und (2) die Beziehung v (t) = 1 v (ξ) (3) t=t (ξ) h i folgt. 1

2 c) Nutzen Sie (1) (3) um die Integrale über I i auf Integrale über das Einheitsintervall zu transformieren. Nach der Transformation der Integrale auf (, 1] muss man in der Lage sein, Elemente aus dem Raum V h,p in diesem Intervall auszuwerten. Dies geschieht mit Hilfe sogenannter Formfunktionen, die so gewählt sind, dass sie eine Basis für den Raum P p ((, 1]; R n ) bilden. d) Überzeugen Sie sich, dass die Polnome im Fall p = 1 eine solche Basis bilden. v 1 (ξ) := 1 ξ und v 2 (ξ) := ξ e) Wie kann man mit Hilfe dieser Basis und der Werte v + P 1 ((, 1]; R n ) bzw. dessen Ableitung darstellen? und v(1) ein v f) Setzen Sie die erhaltenen Darstellungen für die Funktion bzw. die Ableitung noch in die transformierten Integrale aus Aufgabenteil 1c) ein. Die erhaltenen Integrale müssen jetzt noch in geeigneter Weise ausgewertet werden. Um das Verfahren möglichst flexibel zu halten, greifen wir dafür auf numerische Integration zurück. g) Geben Sie die Trapez- und die Simpsonregel zur Auswertung des Integrals an. f(x) dx h) Schreiben Sie eine MATLAB-Routine, die bei gegebener rechter Seite die gesuchten Integrale auf dem variablen Zeitintervall (t i 1, t i ] mit den Funktionswerten i 1 + und i mit Hilfe der angegebenen Transformation auf das Einheitsintervall auswertet. i) Schreiben Sie eine MATLAB-Funktion mit der Schnittstelle function [t,] = DG1(f, t, T, h,, quadrature), welche das DG(1)-Verfahren implementiert. Die Funktionsparameter sind dabei wie üblich gegeben. Der Parameter quadrature soll die Werte Simpson und Trapez annehmen können und bestimmen, welche Quadraturformel zur numerischen Integration verwendet wird. Verwenden Sie zur Auswertung der auftretenden Integrale die Routine aus Aufgabenteil 1h). Die entstehenden nichtlinearen Gleichungsssteme der Form F (x) = zur Bestimmung der unbekannten Funktionswerte i 1 + und i können Sie mit dem Banachschen Fixpunktsatz lösen. Verwenden Sie als Abbruchkriterium den Test, ob F (x) < 1 13 ist. Die Werte i 1 + und i (i = 1,..., N) entsprechen gerade den Koeffizienten der gesuchten Funktion h auf dem Intervall I i Die Rückgabeparameter t und können Sie z.b. so gestalten, dass für jedes Zeitintervall I i der linke und rechte Randpunkt in t abgespeichert werden. 2

3 Entsprechend sollen dann in die Werte der Lösung in diesen beiden Randpunkten mitgespeichert werden. Diese Form der Rückgabewerte erleichtert die grafische Darstellung der Ergebnisse. j) Programmieren Sie eine Routine, welche die Ergebnisse des DG(1)-Verfahrens geeignet darstellt. Insbesondere sollten die Sprünge in der Lösung zu sehen sein. Zuletzt sollten Sie ihren Code verifizieren. Dazu gehen Sie bitte wie folgt vor: k) Testen Sie ihr Programm am Räuber-Beute-Modell mit den bewährten Parametern = (1, 1), α 1 = 1, α 2 = 2, β 1 = β 2 =.5 im Zeitintervall [, 2]. Verwenden Sie für quadrature den Wert Simpson. Geben Sie die Lösung zur Schrittweite h =.25 grafisch aus und vergleichen Sie in geeigneter Weise mit einer bekannten Lösung. Stellen Sie zusätzlich den Bereich [4, 8] [6, 115] vergrößert dar. Verfeinern Sie nun die Schrittweite zu h =.5 und geben Sie noch einmal die entsprechenden Lösungen aus. Stellen Sie wieder den Bereich [4, 8] [6, 115] vergrößert dar. l) Testen Sie ihr Programm auch am AWP (t) = (t) 2 für t [,.9], () = 1, dessen exakte Lösung durch (t) = 1 1 t mit einer Singularität in t = 1 gegeben ist. Bestimmen Sie zu den Schrittweiten h k =.5.5 k, k =, 1,..., 7 die Lösung mit DG(1) jeweils unter Verwendung der Trapez- und der Simpsonregel. Bestimmen Sie die auftretenden Fehler (wie gehabt in der diskreten Maximumsnorm) und schätzen Sie damit die Konvergenzordnung beider Varianten. Geben Sie alle Ergebnisse in einer Tabelle aus. Was beobachten Sie? Zeichnen Sie zusätzlich die Lösungen (bei Rechnung mit der Simpsonregel) zu den Schrittweiten h k für k {, 3} in einer Grafik. Hinweis. Achten Sie bei der Berechnung der diskreten Maximumsnorm darauf, wie die Lösung in den Gitterpunkten auszuwerten ist, siehe die Definition von V bzw. V h,p. (14 Punkte) Zusatz. Verwenden sie zur Lösung der auftretenden nichtlinearen Gleichungsssteme das Newton-Verfahren. Geben Sie die benötigte Ableitung in einer geeigneten Form an. Führen Sie dann die gleichen Tests wie in den Aufgaben 1k) und 1l) durch. (3 Punkte) Lösung: 3

4 a) Die DG-Formulierung dieses Problems im Falle p = 1 lautet: Finde h V h,1 mit h () =, sodass N { ( h (t) f(t, h (t)) ) } v h (t) dt + [ h ] i 1 v + h,i 1 = I i i=1 gilt v h V h,1 mit dem Raum V h,1 := {v : [, T ] R n : v Ii P 1 (I i ; R n ) für i = 1,..., N} V, also einem Teilraum von V, der aus stückweise linearen Polnomen besteht. b) Mit der Kettenregel folgt: v (ξ) (2) = d dξ v(t (ξ)) = v (T (ξ)) T (ξ) (1) = v (T (ξ)) (t i t i 1 ) = v (T (ξ)) h i. c) Mit den angegebenen Beziehungen folgt: ( h (t) f(t, h (t)) ) v h (t) dt I i = = h i ( h (T (ξ)) f(t (ξ), h (T (ξ))) ) v h (T (ξ)) T (ξ) dξ ( 1 h i ŷ h (ξ) f(t (ξ), ŷ h(ξ)) ) v h (ξ) dt, wobei noch festzulegen ist, wie ŷ h und v h zu wählen sind. d) Im Fall p = 1 besteht der Raum P 1 ((, 1]; R n ) aus Polnomen vom Grad 1. Die beiden angegeben Funktionen sind wegen a 1 v 1 (ξ) + a 2 v 2 (ξ) = a 1 (1 ξ) + a 2 ξ = a 1 + (a 2 a 1 ) ξ = a 1 = a 2 = linear unabhängig. Ein lineares Polnom v P 1 ((, 1]; R n ) ist durch zwei Werte eindeutig bestimmt. In diesem Fall verwenden wir den Wert im rechten Randpunkt, v(1), und den Grenzwert im linken Randpunkt, v +. Dann gilt die Darstellung v(ξ) = v + (1 ξ) + v(1) ξ, es lässt sich also jedes Element aus P 1 ((, 1]; R n ) mit Hilfe der angegebenen Funktionen darstellen. Damit bilden diese eine Basis. 4

5 e) Sind die Funktionswerte v(1) und v + bekannt, so ergibt sich die Darstellung der Funktion wie im letzten Punkt angegeben. Durch Differentiation erhalten wir: v (ξ) = v + ( 1) + v(1) = v(1) v+. f) Die gesuchte Näherung h ist im Intervall I i durch die Werte + h,i 1 und h,i bestimmt. Damit ergibt sich für die Integrale die Darstellung ( h (t) f(t, h (t)) ) v h (t) dt I i ( ) 1 = h i ( h h,i + h,i 1 ) f( T (ξ), + h,i 1 (1 ξ) + h,i ξ) v h (ξ) dξ, i wobei noch die Basisfunktionen 1 ξ und ξ für v h (ξ) eingesetzt werden müssen. Insgesamt erhalten wir also in jedem Zeitintervall I i ein nichtlineares Gleichungssstem aus 2 Gleichungen in den Unbekannten + h,i 1 und h,i : ( h,i h + h,i 1 i f ( ) T (ξ), + h h,i 1 (1 ξ) + h,i ξ) i { 1 ξ ξ = h,i 1 v+ h,i 1. dξ + + h,i 1 v+ h,i 1 Diese Ssteme koppeln nur in eine Richtung (nämlich genau der Zeitrichtung) und können damit nacheinander, beginnend bei I 1, gelöst werden. g) Die Trapezregel lautet Die Simpsonregel ist h) Siehe evalf_dg1.m. i) Siehe DG1.m j) Siehe plotdg.m k) Siehe Abbildung 1. f(x) dx 1 2( f() + f(1) ). f(x) dx 1 6 l) Siehe Abbildung 2, sowie Tabelle 1. ( f() + 4 f ( ) 1) + f(1). 2 Man sieht, dass das DG(1)-Verfahren bei Verwendung der Simpsonregel, die in diesem Fall einer exakten Integration entspricht, die Ordnung 3 besitzt. Man nennt diesen Effekt Superkonvergenz. Genauer gilt der folgende Satz: 5

6 (a) Lösung zu h =.25. (b) Lösung zu h =.25 (Zoom). (c) Lösung zu h =.5. (d) Lösung zu h =.5 (Zoom). Abbildung 1: Ausgabe für Aufgabe 1k). Abbildung 2: Ausgabe für Aufgabe 1l) zu den Schrittweiten h =.5 (blau) und h =.625 (rot). 6

7 Tabelle 1: Fehler und geschätzte Konvergenzordnungen bei Verwendung der Trapez- und Simpsonregel beim DG(1)-Verfahren. h Simpson EOC Trapez EOC 5.e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e Satz. Das DG(p)-Verfahren ist superkonvergent in den Stützpunkten t i, d.h.: Für den Fehler e := h gilt: max e(t i) K 1 i N max 1 i N {hp+2 i sup I i (p+1) } + K max [t,t +T ] e 2, mit einer im Allgemeinen exponentiell von L und T abhängigen Konstanten K = K(L, T ). Für den Beweis siehe etwa [Rannacher, 29, Satz 4.4]. Beachte: Dieser Effekt ist nur in den Stützpunkten des Zeitgitters zu beobachten, der Fehler an Zwischenstellen konvergiert mit einer niedrigeren Ordnung. Ebenso erkannt man, dass eine hinreichende Genauigkeit bei der Durchführung des Verfahrens, insbesondere bei der numerischen Integration, erreicht werden muss, um diesen Superkonvergenzeffekt zu erzielen. Bei Verwendung der Trapezregel erreicht man nur die Ordnung (Lösungsverhalten linearer RWPe) Wir betrachten in dieser Aufgabe die Dgl. 2. Ordnung a) Zeigen Sie, dass die allgemeine Lösung von (4) ist. w + w =. (4) w(x) = c 1 sin x + c 2 cos x, c 1, c 2 R, b) Finden Sie je ein Intervall [, b] und dazu je einen Satz von Randbedingungen so, dass (4) mit diesen Daten w() =?, w(b) =? 7

8 genau eine unendlich viele keine Lösung(en) besitzt. Lösung: a) Durch zweimaliges Differenzieren erhalten wir (2 Punkte) w (x) = c 1 cos x c 2 sin x, w (x) = c 1 sin x c 2 cos x = (c 1 sin x + c 2 cos x) = w(x). b) Wir wählen zuerst b = π/2 und dazu die RBen w() = und w(π/2) =. Dann ergeben sich die Bedingungen w() = c 2 = und w(π/2) = c 1 =, und daraus die eindeutige Lösung w(x) =. Nun wählen wir b = π mit den RBen w() = und w(π) =. Dann ergeben sich die Bedingungen w() = c 2 = und w(π) = c 2 =, also ist jede Funktion der Gestalt c 1 sin x eine Lösung. Zuletzt wählen wir wieder b = π, aber diesmal die RBen w() = und w(π) = π. Dann ergeben sich die Bedingungen w() = c 2 = und w(π) = c 2 = π. In diesem Fall existiert also keine Lösung des RWPs. Siehe auch [Stoer and Bulirsch, 22, Abschnitt 7.3]. 8

9 Literatur R. Rannacher. Skript zur Vorlesung Numerische Mathematik 1, 29. Lecture Notes. J. Stoer and R. Bulirsch. Introduction to Numerical Analsis. Springer-Verlag New York, 22. 9