Übungsblatt 4 Musterlösung

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1 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen MA SS6 Übungsblatt 4 Musterlösung Aufgabe 7 (Nullstellen als Eigenwerte) Die Polynome {S n } n=0,,2,, S n P n, mit führem Koeffizienten eins, heißen Orthogonalpolynome bzgl. des Skalarproduktes, mit f,g := b a ω(x)f(x)g(x) dx, wobei [a,b], a < b, ein Intervall in R darstellt und ω(x) eine auf (a,b) positive Gewichtsfunktion ist, falls S n,s m = δ nm S n,s n = δ nm S n 2. a) Die Knoten {x i } i=0,,,n, welche gerade die Nullstellen zum Orthogonalpolynom S n sind, und die Gewichte ω i der Gauss-Quadratur Q n lassen sich in der Regel nicht analytisch berechnen. Man kann sie numerisch (mit dem Golub-Welsch Algorithmus) erhalten, wie die folge Aussage zeigt. Seien {S n } n=0,,2, Orthogonalpolynome und es gelte die Drei-Term-Rekursion S (x) = 0, S 0 (x) =, S n (x) = (x a n )S n (x) b 2 ns n 2 (x), n, wobei b n 0 gesetzt wird. Zeigen Sie, dass die Nullstellen von S n gerade die Eigenwerte der Tridiagonalmatrix a b 2. b 2 a 2.. J n = b n b n a n sind. b) Die aus der Vorlesung bekannten Legre-Polynome P n erfüllen die oben gegebene Definition mit ω(x). Stellen Sie die Matrix J n für die Legre-Polynome auf und zeigen Sie, dass die Gewichte der Gauss-Quadraturformel durch ( ) ω i = 2 Pj(x 2 i ) gegeben sind.

2 Lösung 7 (Nullstellen als Eigenwerte) a) Zu der Matrix J n betrachten wir die Untermatrizen a b 2 b 2 a 2 J k =, k n. a k b k b k a k Die Eigenwerte der Matrix J k sind gegeben als die Nullstellen des charakteristischen Polynoms χ k (x) := det(j k xi). Dazu definiren wir formal: Es gelten χ (x) = 0, χ 0 (x) =. χ (x) = det(a x) = a x = (a x)χ 0 (x), ( ) a x b χ 2 (x) = det 2 = (a a 2 x x)(a 2 x) b 2 2 = (a 2 x)χ (x) b 2 2χ 0 (x). b 2 Induktiv erhalten wir durch Entwicklung nach der k-ten Spalte χ k (x) = det(j k xi) = (a k x)det(j k ) b 2 kdet(j k 2 ) = (a k x)χ k (x) b 2 kχ k 2 (x). Für die Polynome S = χ, S 0 = χ 0 und S k (x) = ( ) k χ k (x), für k =,,n gilt nun die Rekursion S (x) = 0, S 0 (x) =, S k (x) = (x a k )S k (x) b 2 ks k 2 (x), k, wie leicht nachzurechnen ist. Da die Nullstellen von S k und χ k identisch sind, stellen die Eigenwerte von J n gerade die Nullstellen von S n dar. b) Die Legre-Polynome P n genügen der Drei-Term-Rekursion P 0 (x) =, P (x) = x, P n+ (x) = 2n+ n+ xp n(x) n n+ P n (x). Um daraus Orthogonalpolynome mit führem Koeffizienten zu konstruieren, wählt man die Transformation P n (x) = α n P n (x). Ziel ist es nun, eine Rekursionsformel für die Konstanten α n herzuleiten. Da für n = 0 und n = die Legre-Polynome bereits führen Koeffizienten haben, setzen wir α 0 = α =. 2

3 Anwen der Rekursionsformel liefert ( 2n+ P n+ (x) = α n+ P n+ = α n+ n+ xp n(x) n ) n+ P n (x) = α n+2n+ α n n+ x P n (x) α n+ n α n n+ P n (x). Die Forderung nach führem Koeffizienten führt auf die Bedingung α n+ 2n+ α n n+! = α n+ α n = n+ 2n+ α n+ = n+ 2n+ α n. () Damit erhalten wir wie gewünscht eine Drei-Term-Rekursion für P n : P n+ (x) = x P n (x) α n+ n α n n+ P n (x) (2) n+ 2n+ = x P n (x) α n n α n n+ P n (x) = x P n (x) α n n α n 2n+ P n (x) (2) = x P n (x) n n 2n 2n+ P n (x) ( 2 n = (x) P n (x) Pn (x) = (x a n+ ) P n (x) b 4n2 ) 2 P n+ n (x), wobei a n := 0 und b n := n 4(n ). 2 Die gesuchte Matrix J n ist schließlich von der Form 0 / 3 / 3 0 2/ 5 J n = 2/ 5 0. b n b n 0 Jetzt bestimmen wir die Formel für die Gewichte ω i. Die (Referenz-) Gauß Quadratur Q integriert die Polynomen P k, k n+ exakt, d.h. { 2 k = 0, ω i P k (x i ) = P k (x)dx = (,P k ) = (P 0,P k ) = 0 k n+. i=0 Damit folgt P 0 P 0 P 0 ω 0 2 P (x 0 ) P (x ) P (x n ) ω =, P n (x 0 ) P n (x ) P n (x n ) ω n 0 }{{}}{{}}{{} =:P=(π 0,π,,π n) =:w =2e wobei π i := (P 0,P (x i ),,P n (x i )). Die Vektoren π i sind Eigenvektoren zu J n, d.h. J n π i = x i π i, und stehen paarweise senkrecht aufeinander: x i π i π k = x i π k π i = π k J n π i = (π k J n π i ) = π i J n π k = x k π i π k, 3

4 wobei wir die Symmetrie von J n verwet haben. Damit gilt π i π k = 0 für k i, da J n einfache Eigenwerte hat (P n haben einfache Nullstellen). Insgesamt folgt, dass 2 = π i 2e = π i Pw = π i = π i ( ω j P 0, ω j P (x j ),, ω j π j = ω i πi π i = ω i Pj(x 2 k ). ) ω j P n (x j ) Aufgabe 8 (Adaptive Quadratur) Das Integral I = b f(x)dx soll mit einer adaptiven rekursiven Simpsonregel näherungsweise berechnet a werden. a) Für a = 0 und b = h bezeichne S h den Näherungswert der Simpsonregel (bzw. S h/2 den der summierten Simpsonregel zur Schrittweite h/2). Wie bereits bekannt, gilt Zeigen Sie, dass durch die Extrapolation I = S h +ch 5 +O(h 6 ). S h,h/2 = (6S h/2 S h )/5 das Verfahren eine Ordnung gewinnt, also I = S h,h/2 +O(h 6 ). b) Implementieren Sie die Funktion function I = quadstep(a, b, f, f3, f5, f, TOL) Übergeben Sie zusätzlich die Funktion f als anonyme Funktion und die gewünschte Toleranz TOL. Achten Sie darauf, dass pro Aufruf von quadstep die Funktion f nur zweimal neu ausgewertet wird. Initialisieren Sie vor dem ersten Aufruf eine globale Variable als einen Zähler für die Funktionsauswertungen global count; count = 3; Zählen Sie diesen innerhalb der Funktion quadstep um jede Funktionsauswertung von f nach oben. Berechnen Sie das Integral I = 0 xdx für die Toleranzen TOL = 0 4,0 6,0 8, und geben Sie jeweils den Fehler und die Anzahl der benötigten Funktionsauswertungen an. c) Implementieren Sie zum Vergleich die zusammengesetzte Simpsonformel für äquidistante Stützstellen. Stellen Sie fest, wie viele Funktionsauswertungen Sie benötigen, um einen Fehler in der gleichen Größenordnung wie in Teilaufgabe a) zu realisieren. Lösung 8 (Adaptive Quadratur) 4

5 a) Da I = S h +ch 5 +O(h 6 ) und I = S h/2 +2c ( ) 5 h +O(h 6 ), 2 S h S h/2 +ch 5( 2 4) +O(h 6 ) = 0 ch 5 = S h/2 S h 2 4 +O(h 6 ). Somit folgt schließlich I = S h + S h/2 S h +O(h 6 ) = 5S h +6S h/2 6S h +O(h 6 ) = 6S h/2 S h 5 +O(h 6 ). b) Ein möglicher Vorschlag für die quadstep Funktion lautet: function I = quadstep(a, b, f, f3, f5, f, TOL) global count; count = count + 2; h = b - a; m = (a + b)/2; I = /6*h*(f + 4*f3 + f5); f2 = feval(f, a *h); f4 = feval(f, b *h); I2 = /6*h/2*(f + 4*f2 + 2*f3 + 4*f4 + f5); I = (6*I2 - I)/5; if (abs(i - I2) < TOL) return; else I = quadstep(a, m, f, f2, f3, f, TOL/2) + quadstep(m, b, f3, f4, f5, f, TOL/2); und für das summierte Simpson Verfahren: function I = simpson(a, b, f, n) global count; h = 0.5*(b - a)/n; x = linspace(a, b, 2*n+); fx = feval(f, x); I = h/3*(fx() + 4*sum(fx(2:2:2*n)) + 2*sum(fx(3:2:2*n-)) + fx(2*n+)); count = count + + n + (n-) + ; Wir rufen beide Funktionen nach der Initialisierung mit folgem Skript auf: 5

6 f sqrt(x); f = feval(f, 0); f3 = feval(f, 0.5); f5 = feval(f, ); global count; for TOL = [e-4 e-6 e-8] count = 3; I = quadstep(0,, f, f3, f5, f, TOL); abs(2/3 - I) count for n = [ e6] count = 0; I = simpson(0,, f, n); abs(2/3 - I) count Die Ergebnisse sind dann: Simpson adaptiv Simpson summiert TOL count Fehler count Fehler e e e 06 e e e 08 e e e Aufgabe 9 (Numerische Integration: Matlab) Betrachten Sie das Integral I = +x dx. a) Bestimmen Sie in Matlab (a) die zugehörige Stammfunktion, (b) den exakten Wert von I auf dem gegebenen Intervall, 0 (c) näherungsweise das Integral bei Einteilug des Integrationsintervalls in n = 2,4,8 Teile, mit Hilfe der trapz, quad und quad8 Funktionen. b) Implementieren Sie die Rechteck-, Trapez- und Simpsonregel, und vergleichen Sie den jeweiligen Integrationsfehler und den numerischen Aufwand. Lösung 9 (Numerische Integration: Matlab) Das Matlab-Skript ist auf der Vorlesungseite zum herunterladen bereitgestellt. Die Ergebnisse vom Teil b) lauten 6

7 a) >> syms x >> int(/(x+)) log(x + ) >> int(/(x+),0,) log(2) >> double(intex) >> f >> n = 2; >> xlist = linspace(0,,n+); >> flist = double(subs(f2,xlist)); >> trapz(xlist,flist) >> quad(f2,0,) b) Exaktes Integral: 0 dx = log(2) x Rechteck Trapez Simpson n Ĩ(f) Fehler FA Ĩ(f) Fehler FA Ĩ(f) Fehler FA Hier steht FA üf die Anzahl der Funktionsauswertungen. 7