2. Gauß-Integration. Prof. Dr. Wandinger 4. Scheibenelemente FEM 4.2-1

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1 Die analytische Integration der Steifigkeitsmatrix für das Rechteckelement ist recht mühsam. Für Polynome gibt es eine einfachere Methode zur Berechnung von Integralen, ohne dass die Stammfunktion benötigt wird. Diese so genannte Gauß-Integration liefert für Polynome den exakten Wert des Integrals und kann für beliebige Funktionen zur numerischen Integration verwendet werden. Prof. Dr. Wandinger 4. Scheibenelemente FEM 4.2-

2 Polynome ersten Grades: Polynome ersten Grades sind lineare Funktionen: p r =a 0 a r Bei der Berechnung der Elemente der Steifigkeitsmatrix wird von - bis integriert. Das Integral entspricht der Fläche unter der Funktion. Die Fläche ist ein Trapez, das sich leicht durch ein Rechteck mit gleichem Flächeninhalt ersetzen lässt. Prof. Dr. Wandinger 4. Scheibenelemente FEM 4.2-2

3 Es kann abgelesen werden: p p r dr=2 p 0 - r Zur Berechnung des Integrals muss der Wert des Polynoms an einer einzigen Stelle berechnet und mit einem Gewicht multipliziert werden. Prof. Dr. Wandinger 4. Scheibenelemente FEM 4.2-3

4 Polynome höheren Grades: Die Idee, die zur Integration von Polynomen ersten Grades geführt hat, wird verallgemeinert zu n p r dr= i= w i p x i Die Summe enthält n Gewichte w i und n Stützstellen x i, also insgesamt 2n noch zu bestimmende Werte. Polynome vom Grad 2n- haben 2n Koeffizienten: 2n p r =a 0 a r a 2 r 2 a 2n r 2n = k =0 a k r k Prof. Dr. Wandinger 4. Scheibenelemente FEM 4.2-4

5 Durch Koeffizientenvergleich lassen sich die Gewichte und Stützstellen so bestimmen, dass Polynome vom Grad 2n- exakt integriert werden. Die Stützstellen heißen Integrationspunkte oder Gauß- Punkte. Beispiel: n = 2 p r =a 0 a r a 2 r 2 a 3 r 3 p r dr=2 a a 2=w p r w 2 p r 2 Prof. Dr. Wandinger 4. Scheibenelemente FEM 4.2-5

6 Koeffizientenvergleich: 2. Gauß-Integration a 0 : 2 = w w 2 a : 0 = w r w 2 r 2 a 2 : 2 3 = 2 w r 2 w 2 r 2 a 3 : 0 = 3 w r 3 w 2 r 2 w =w 2 = w r r 2 2 r 2 =0 r = r 2 r = 3, r 2= 3 Prof. Dr. Wandinger 4. Scheibenelemente FEM 4.2-6

7 Tabelle der Gauß-Punkte: n 2 3 r w Prof. Dr. Wandinger 4. Scheibenelemente FEM 4.2-7

8 Allgemeine Funktionen: Wenn sich eine Funktion in eine Taylor-Reihe entwickeln lässt, dann kann der Wert des Integrals mit der Gauß-Integration näherungsweise berechnet werden. Die Genauigkeit ist umso besser, je mehr Integrationspunkte verwendet werden und je besser die Funktion durch den exakt integrierten Anteil der Taylor-Reihe dargestellt wird. Der Rechenaufwand ist proportional zur Anzahl der Integrationspunkte. Prof. Dr. Wandinger 4. Scheibenelemente FEM 4.2-8

9 Polynome von zwei Variablen: Polynome von zwei Variablen sind Produkte von Polynomen von einer Variablen. Eine bilineare Funktion ist das Produkt von zwei Polynomen ersten Grades: p r, s = a 0 a r b 0 b s Die Stützstellen für r und s sind die gleichen wie für Polynome von einer Variablen. Die Gewichte ergeben sich als Produkte der Gewichte für Polynome einer Variablen. Prof. Dr. Wandinger 4. Scheibenelemente FEM 4.2-9

10 Beispiel: Bilineare Funktion Eine bilineare Funktion lässt sich mit einem Integrationspunkt exakt integrieren: r=0, s=0, w=2 2=4 : p r, s dr ds p s =4 p 0, 0 =4 a 0 b 0 (-, -) (, ) (, -) r Prof. Dr. Wandinger 4. Scheibenelemente FEM 4.2-0

11 x s 2 x 2 s / r / 3 2 / 3 r / 3 w =4 w =w 2 =w 3 =w 4 = Prof. Dr. Wandinger 4. Scheibenelemente FEM 4.2-

12 3 x 3 s 3/5 w =w 3 =w 7 =w 9 = /5 3/ /5 r w 2 =w 4 =w 6 =w 8 = 40 8 w 5 = 64 8 Prof. Dr. Wandinger 4. Scheibenelemente FEM 4.2-2

13 Berechnung der Steifigkeitsmatrix: Die Steifigkeitsmatrix des Rechteckelements ist [ k E ]=t a b [ BE ] T [C ] [ B E ]dr ds Die Verzerrungs-Verschiebungs-Transformationsmatrix ist linear in r und s. Daher treten im Integranden quadratische Polynome in r und s auf. Das Integral kann mit 2 x 2 Integrationspunkten exakt berechnet werden. Prof. Dr. Wandinger 4. Scheibenelemente FEM 4.2-3

14 Berechnung des Integrals: 2. Gauß-Integration 4 [ k E ]=t a b i= w i [ B E r i, s i ] T [C ] [ B E r i, s i ] Prof. Dr. Wandinger 4. Scheibenelemente FEM 4.2-4