4. Runge-Kutta-Verfahren 4.1 Konstruktion und Beispiele

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1 4. Konstruktion und Beispiele Ausgangspunkt wie immer (Substitution: s = t + τh, 0 τ ) y(t + h) = y(t) + [y(t + h) y(t)] = y(t) + = y(t) + h 0 y (t + τh) dτ. Approximiere Integral durch Quadraturformel t+h t y (s) ds g(τ) dτ 0 j= m β j g(γ j ) ( ) mit Knoten γ j und Gewichten β j. Damit zumindest g exakt integriert wird, fordern wir m j= β j =. Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 4

2 4. Konstruktion und Beispiele Daraus folgt m y(t + h) y(t) + h β j y (t + γ j h) = y(t) + h j= m β j f (t + γ j h, y(t + γ j h)). j= (RK-) Problem: y(t + γ j h) = y(t) + h γ j 0 y (t + τh) dτ sind unbekannt. Näherungen wieder durch Quadraturformeln, aber mit den alten Knoten γ j (j =,..., m) aus ( ) (sonst würden sich neue Unbekannte y(t + Knoten h) ergeben). γj 0 g(τ) dτ m α j,l g(γ l ) (j =,..., m). ( ) l= Damit zumindest g exakt integriert wird, fordern wir wie oben m l= α j,l = γ j j =,..., m. Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 42

3 4. Konstruktion und Beispiele Damit ergibt sich y(t + γ j h) y(t) + h m l= α j,ly (t + γ l h) = y(t) + h m l= α j,lf (t + γ l h, y(t + γ l h)). (RK-2) Abkürzung: k j := ( f (t + γ j h, y(t + γ j h)) (j =,..., m). (RK-2): kj f t + γ j h, y(t) + h ) m l= α j,l k l (j =,..., m). (RK-): y(t + h) y(t) + h m j= β k j j. m-stufiges Runge-Kutta-Verfahren (RKV): m y n+ = y n + h β j k j mit j= ( ) m k j = f t n + γ j h, y n + h α j,l k l l= (j =,..., m). (RKV) Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 43

4 4. Konstruktion und Beispiele Butcher-Matrix (John Charles Butcher, 933) (auch Runge-Kutta-ABC): γ α, α,m... γ m α m, α m,m β β m Beispiele /2 /2 symbolisiert ein zweistufiges explizites RKV (ein RKV ist explizit, wenn α j,l = 0 j l gilt), nämlich das verbesserte Euler-Verfahren. Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 44

5 4. Konstruktion und Beispiele 0 /4 /4 2/3 /4 5/2 /4 3/4 symbolisiert ein zweistufiges implizites RKV: k = f ( t n, y n + 4 hk 4 hk 2), k 2 = f ( t n h, y n + 4 hk hk 2), ( zwei i.a. nichtlineare Gleichungen für k und k 2 ) y n+ = y n + 4 h(k + 3k 2 ). (Beispiel 2 aus Abschnitt 2.2 ist ein weiteres implizites zweistufiges RKV.) Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 45

6 4. Konstruktion und Beispiele /2 / /6 4/6 /6 symbolisiert ein dreistufiges explizites RKV. Verfahren dritter Ordnung von Kutta: k = f (t n, y n ), k 2 = f ( t n + 2 h, y n + 2 hk ), k 3 = f (t n + h, y n hk + 2hk 2 ), y n+ = y n + 6 h(k + 4k 2 + k 3 ). Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 46

7 4. Konstruktion und Beispiele /3 / /3 0 2/3 0 /4 0 3/4 symbolisiert ein dreistufiges explizites RKV. Verfahren dritter Ordnung von Heun: k = f (t n, y n ), (Vgl. Beispiel aus Abschnitt 2.2.) k 2 = f ( t n + 3 h, y n + 3 hk ), k 3 = f ( t n h, y n hk 2), y n+ = y n + 4 h(k + 3k 3 ). Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 47

8 4. Konstruktion und Beispiele /2 / /2 0 / /6 2/6 2/6 /6 symbolisiert ein vierstufiges explizites RKV. Klassisches Runge-Kutta-Verfahren: k = f (t n, y n ), k 2 = f (t n + 2 h, y n + 2 hk ), k 3 = f (t n + 2 h, y n + 2 hk 2), k 4 = f (t n + h, y n + hk 3 ), y n+ = y n + 6 h(k + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ). Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 48

9 4. Konstruktion und Beispiele Eine alternative Form von (RKV) ist m y n+ = y n + h β j f (t n + γ j h, ỹ j ) mit ỹ j = y n + h j= m α j,l f (t n + γ l h, ỹ l ) l= (j =,..., m). (RKV ) Setze k j = f (t n + γ j h, ỹ j ). Die ỹ j können als Approximationen an die Lösung y zur Zeit t n + γ j h interpretiert werden, die k j als Approximationen an y (t n + γ j h). Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 49

10 4.2 Konsistenzordnung Jedes RKV hat die Form y n+ = y n + hφ f (y n, t n ; h) mit Φ f (y n, t n ; h) = m β j k j. Es ist ein Einschrittverfahren (ρ(ζ) = ζ ), also stabil und (vgl. Abschnitt 2.3) genau dann konsistent, wenn Φ f (y(t n ), t n ; 0) = f (t n, y(t n ))ρ () erfüllt ist, was hier zu m j= β j = äquivalent ist. Ein RKV ist deshalb genau dann konvergent, wenn gilt. m β j = j= j= Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 50

11 4.2 Konsistenzordnung Um die Konsistenzordnung eines RKVs zu bestimmen (oder um m-stufige RKV mit möglichst hoher Konsistenzordnung zu konstruieren), sind wie im Fall der Taylor-Verfahren (siehe Abschnitt 2.5) komplizierte Rechnungen erforderlich. Wir untersuchen als Beispiel explizite dreistufige RKV, und entwickeln γ 2 γ 2 0 0, γ 3 γ 3 α 3,2 α 3,2 0 β β 2 β 3 h R n+ = y(t n+) y(t n ) Φ f (y(t n ), t n ; h) = y(t n+) y(t n ) h h 3 β j k j nach Potenzen von h (unter der Voraussetzung, dass y bzw. f genügend oft differenzierbar sind). j= Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 5

12 4.2 Konsistenzordnung Für skalare AWPe ergibt sich mit den Abkürzungen F := f t + f y f und G := f tt + 2f ty f + f yy f 2 (alle Ableitungen von f werden an der Stelle (t n, y(t n )) ausgewertet) die Beziehung Anderseits ist y(t n+ ) y(t n ) h k = f(t n, y(t n )) = f, = f + 2 F h + 6 (G + f yf )h 2 + O(h 3 ). k 2 = f(t n + hγ 2, y(t n ) + hγ 2 k ) = f + hγ 2 F + 2 h2 γ 2 2G + O(h 3 ), k 3 = f(t n + hγ 3, y(t n ) + h(γ 3 α 3,2 )k + hα 3,2 k 2 ) = f + hγ 3 F + h 2 (γ 2 α 3,2 F f y + 2 γ2 3G) + O(h 3 ). Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 52

13 4.2 Konsistenzordnung Das bedeutet: [ h R n+ = ] 3 j= β j f + [ 2 β ] 2γ 2 β 3 γ 3 F h Folgerungen. + [ ( 3 β 2γ 2 2 β 3 γ 2 3) 2 G + ( 6 β 3γ 2 α 3,2 )F f y ] h 2 + O(h 3 ).. Das Euler-Verfahren ist das einzige einstufige explizite RKV der Ordnung (β = ). Es gibt kein einstufiges explizites RKV höherer Ordnung. 2. Die zweistufigen expliziten RKV der Ordnung 2 sind durch β + β 2 = und β 2 γ 2 = 2 charakterisiert. Beispiele sind das modifizierte (β = 0, β 2 =, γ 2 = 2 ) und das verbesserte Euler-Verfahren (β = β 2 = 2, γ 2 = ). Kein explizites zweistufiges RKV besitzt die Ordnung 3. Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 53

14 4.2 Konsistenzordnung 3. Explizite dreistufige RKV der Ordnung 3 sind durch die vier Gleichungen β + β 2 + β 3 =, β 2 γ β 3 γ 2 3 = 3, β 2 γ 2 + β 3 γ 3 = 2, β 3γ 2 α 3,2 = 6 charakterisiert. (Man kann zeigen, dass keine dieser Methoden die Ordnung 4 besitzt.) Beispiele sind das Verfahren von Heun (β = 4, β 2 = 0, β 3 = 3 4, γ 2 = 3, γ 3 = α 3,2 = 2 3 ) und das Verfahren von Kutta (β = 6, β 2 = 2 3, β 3 = 6, γ 2 = 2, γ 3 =, α 3,2 = 2). 4. Ähnliche (kompliziertere) Rechnungen zeigen, dass es eine zweiparametrige Familie expliziter vierstufiger RKV der Ordnung 4 gibt, von denen keines die Ordnung 5 besitzt. Ein Beispiel ist das klassische Runge-Kutta-Verfahren. Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 54

15 4.2 Konsistenzordnung Weitere Beispiele sind (3/8-Regel) /3 / /3 / /8 3/8 3/8 /8 (Formel von Kuntzmann) /5 2/ /5 3/20 3/ /44 5/44 40/ /360 25/360 25/360 55/360 Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 55

16 4.2 Konsistenzordnung Die oben beschriebene Methode, die Ordnung eines RKVs zu bestimmen, wird für Verfahren höherer Stufenzahl schnell unübersichtlich: Die Koeffizienten eines expliziten dreistufigen Verfahrens müssen 4 Gleichungen erfüllen (s.o.), während bei einem achtstufigen Verfahren bereits 200 nichtlineare Gleichungen überprüft werden müssen. Die sog. Butcher-Theorie (vgl. J. C. Butcher, The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations. Runge-Kutta and General Linear Methods. John Wiley & Sons, Chichester 987) erleichtert mit Hilfe graphentheoretischer Bäume die Buchhaltung bei den partiellen Ableitungen von f und erlaubt eine elegante Berechnung der Ordnung eines gegebenen RKVs (sie liefert aber keine Methode, ein Verfahren mit gewünschter Ordnung zu konstruieren). Wir beschränken uns hier darauf, notwendige Ordnungsbedingungen abzuleiten, die sich aus den speziellen AWPen y = y + t l, y(0) = 0, (l N) ergeben. Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 56

17 4.2 Konsistenzordnung Theorem 4. (Notwendige Ordnungsbedingungen für RKV) Das durch die Butcher-Matrix c A b T definierte RKV besitze die Ordnung p. Dann gelten Dabei sind b T A k C l e = (l )! (l + k)! = l(l + )... (l + k) für l =, 2,..., p und k = 0,,..., p l. b := [β, β 2,..., β m ] T, A := [α j,ν ] j,ν m, C := diag(γ, γ 2,..., γ m ) und e := [,,..., ] T R m. Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 57

18 4.2 Konsistenzordnung Spezialfälle der notwendigen Bedingungen aus Satz 4. sind (für k = 0) b T C l e = m j= β j γ l j = l für l =, 2,..., p sowie (für l = mit k k + ) b T A k e = k! für k =, 2,..., p. Bemerkung. Ein explizites m-stufiges RKV besitzt höchstens die Konsistenzordnung m, denn hier ist A m = O (A ist echte untere Dreiecksmatrix). Für die optimale Ordnung p(m) eines expliziten m-stufigen RKVs gilt sogar p(m) m falls m 5, genauer: m p(m) Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 58

19 4.3 Absolute Stabilität Wir wenden ein m-stufiges RKV auf die Testgleichung y = λy an und erhalten mit ĥ = λh [ ] y n+ = + ĥbt (I m ĥa) e y n =: R(ĥ)y n, so dass (bei festem h) lim n y n = 0 (für alle y 0 ) genau dann gilt, wenn R(ĥ) < erfüllt ist. In Analogie zu Abschnitt 3.5 definieren wir den Stabilitätsbereich eines RKVs durch Für ein beliebiges m-stufiges RKV gilt R A := {ĥ C : R(ĥ) < }. R(ĥ) = + ĥbt (I m ĥa) e = + ĥ j b T A j e. j= Besitzt das Verfahren die Ordnung p, so folgt p R(ĥ) = j!ĥj + ĥ j b T A j e. j=0 j=p+ Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 59

20 4.3 Absolute Stabilität Ist das RKV explizit, so folgt m R(ĥ) = + ĥ j b T A j e. j= Insbesondere hängt der Stabilitätsbereich eines m-stufigen expliziten RKVs der Ordnung m ( m 4) wegen R(ĥ) = m j=0 j!ĥj nicht von den Koeffizienten des Verfahrens ab. Außerdem besitzt kein explizites RKV einen unbeschränkten Stabilitätsbereich (denn R ist ein Polynom). 3 Verfahren dritter Ordnung von Heun 3 klassisches Rung Kutta Verfahren Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 60

21 4.4 Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren Kein Verfahren zur Lösung von AWPen arbeitet in der Praxis mit einer konstanten Schrittweite. Man wird vielmehr versuchen, die Schrittweite an das Verhalten der Lösung y anzupassen (ändert sich y in einem Bereich schnell, so ist dort eine kleine Schrittweite angebracht; in Bereichen, in denen y kaum variiert, ist eine größere Schrittweite ausreichend). Wir werden hier eine Schrittweitensteuerung vorstellen, die zum Ziel hat, den Konsistenzfehler K n+ := h R n+ (wird in der Literatur oft lokaler Diskretisierungsfehler genannt, vgl. Abschnitt 2.3) zu kontrollieren: K n tol, n =, 2,..., mit einer vorgebenen Toleranz tol. Bei Systemen von DGen (insbesondere dann, wenn die Lösungskomponenten von unterschiedlicher Größenordnung sind) wird man für jede Komponente eine eigene absolute Fehlertoleranz und global eine relative Fehlertoleranz festsetzen. Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 6

22 4.4 Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren Das folgende Lemma besagt, dass mit dem Konsistenzfehler auch der (eigentlich interessante) globale Diskretisierungsfehler kontrolliert wird. Lemma 4.2 Für den globalen Diskretisierungsfehler e n = y(t n ) y n eines Einschrittverfahrens gilt e n (t n t 0 ) κ n exp(m(t n t 0 )). Dabei ist κ n := max{ K j : j = 0,,..., n} und M die Lipschitzkonstante der Verfahrensfunktion (vgl. (V 2 ) aus Abschnitt 2.2). Um den Konsistenzfehler zu schätzen, verwendet man zwei Methoden unterschiedlicher Konsistenzordnungen (sagen wir p und q mit p < q), um y n aus y n zu berechnen: y n = y n + hφ f (y n, t n ; h) bzw. ŷ n = y n + hˆφ f (y n, t n ; h). Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 62

23 4.4 Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren Für die zugehörigen Konsistenzfehler gelten: Daraus folgt K n = y(t n) y(t n ) h ˆK n = y(t n) y(t n ) h Φ(y n, t n ; h) = O(h p ), ˆΦ(y n, t n ; h) = O(h q ). K n ˆK n = ˆΦ(y n, t n ; h) Φ(y n, t n ; h) = h (ŷ n y n ). Wegen K n ˆK n = K n ( + O(h q p )) K n erhalten wir aus eine (grobe) Schätzung für K n. h y n ŷ n K n Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 63

24 4.4 Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren Ist h y n ŷ n > tol, so wird die Schrittweite h verworfen und mit ( ) p h = α h tol h y n ŷ n ( ) eine neue Schrittweite h bestimmt (α ist hier ein Sicherheitsfaktor, etwa α = 0.9). Ausgehend von y n werden jetzt neue Näherungen y n und ŷ n (an der Stelle t n + h) berechnet. Diesen Prozess wiederholt man so lange, bis h y n ŷ n tol erfüllt ist. Dann wird ( ) verwendet, um eine neue (größere) Schrittweite für den nächsten Schritt (n n + ) vorzuschlagen. Die Wahl von h nach ( ) motiviert sich folgendermaßen: benutzte Schrittweite h: h y n ŷ n K n = ch p + O(h p+ ) ch p, erwünschte Schrittweite h: tol = K n = c h p + O( h p+ ) c h p. Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 64

25 4.4 Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren Um den Aufwand in Grenzen zu halten, verwendet man zur Berechnung von y n und ŷ n zwei RKV (verschiedener Ordnungen), deren Butcher-Matrizen sich nur im Vektor b unterscheiden (d.h. A und c sind für beide Verfahren gleich, so dass die Größen k j nur einmal berechnet werden müssen). Man spricht von eingebetteten RKV und schreibt c A b T, z.b. ˆb T /2 /2. Im Beispiel wird ein RKV der Ordnung (das Euler-Verfahren) in ein RKV der Ordnung 2 (das verbesserte Euler-Verfahren) eingebettet. Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 65

26 4.4 Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren Ein populäres Beispiel ist die Fehlberg 4(5)-Formel: Hier werden zwei sechsstufige RKV der Ordnungen 4 bzw. 5 kombiniert. Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 66

27 4.5 Implizite und halb-implizite Verfahren Ist die Matrix A eines m-stufigen RKVs keine echte untere -Matrix (ist das RKV also implizit), so muss in jedem Zeitschritt ein nicht-lineares Gleichungssystem der Form k = f (t n + γ h, h m l= α,lk l ). k m. =. f (t n + γ m h, h m l= α m,lk l ) ( ) gelöst werden. Dieses System hat also mn Unbekannte, wenn y = f(t, y) aus n Gleichungen besteht. Mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes erkennt man, dass ( ) für genügend kleine h eindeutig lösbar ist. In der Praxis wird man dieses System aber nicht mit der Fixpunktiteration, sondern mit einem Newton- bzw. Quasi-Newton-Verfahren lösen. Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 67

28 4.5 Implizite und halb-implizite Verfahren Ist A eine untere (aber keine echte untere) -Matrix, so nennt man das zugehörige RKV halb-implizit. Das System ( ) zerfällt dann in m Systeme mit jeweils n Unbekannten. Implizite RKV werden oft mit Hilfe von Gauß-Quadraturformeln konstruiert. Dies sind Formeln der Bauart b a g(τ)dτ = m β j g(γ j ) + R m (g). j= Hier werden die Gewichte β j und Knoten γ j so gewählt, dass R m (p) = 0 für Polynome p möglichst hohen Grads d erfüllt ist. Man kann zeigen (vgl. Numerik I), dass eine optimale Wahl auf d = 2m führt (man sagt die Quadraturformel hat den Exaktheitsgrad 2m). Die zugehörigen RKV (auch sie werden Gauß-Formeln genannt) haben die Ordnung 2m. Beachte, dass kein m-stufiges RKV eine höhere Ordnung besitzen kann. Warum? Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 68

29 4.5 Implizite und halb-implizite Verfahren Für m = ergibt sich die implizite Mittelpunktsregel 2 2, welche die Ordnung 2 besitzt. Für m = 2 und m = 3 ergeben sich die Gauß-Formeln bzw mit den Konsistenzordnungen 4 bzw. 6. Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 69

30 4.5 Implizite und halb-implizite Verfahren Bei Gauß-Radau-Integrationsformeln wählt man einen Knoten als (entweder linken oder rechten) Endpunkt des Integrationsintervalls. Die übrigen Knoten und alle Gewichte werden so bestimmt, dass sich ein möglichst hoher Exaktheitsgrad ergibt. Man kann zeigen, dass eine Gauß-Radau-Formel mit m Knoten den Exaktheitsgrad 2m besitzt. Daher haben die zugehörigen impliziten RKV die Konsistenzordnung 2m. Zu dieser Klasse gehören die Verfahren und Schließlich kann man noch beide Enden des Integrationsintervalls als Knoten wählen und die übrigen Daten so bestimmen, dass die zugehörige Integrationsformel den Exaktheitsgrad 2m 2 (bzw. das zugehörige implizite RKV die Konsistenzordnung 2m 2) besitzt. Man spricht von Gauß-Lobatto-Formeln. Ein Beispiel ist die Trapezregel (für m = 2) Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 70

31 4.5 Implizite und halb-implizite Verfahren Ein Vorteil von impliziten gegenüber expliziten RKV ist ihr wesentlich größerer Stabilitätsbereich (wird im nächsten Kapitel diskutiert). Wir betrachten die Trapezregel 0 0 /2 /2 /2 /2 d.h. k = f (t n, y n ), k 2 = f (t n+, y n + h(k + k 2 )/2), y n+ = y n + h(k + k 2 )/2, oder kürzer: y n+ = y n + h(f (t n, y n ) + f (t n+, y n+ ))/2. Die zugehörige Stabilitätsfunktion ist R(ĥ) = ( + ĥ/2)/( ĥ/2) und es gilt: R(ĥ) < + ĥ/2 < ĥ/2 Real(ĥ) < 0. Die Trapezregel ist daher A-stabil. (Man nennt ein Verfahren A-stabil, wenn sein Stabilitätsbereich die (offene) linke Halbebene enthält.) Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 7

32 4.6 Kollokationsmethoden Kollokationsmethoden sind spezielle implizite RKV, die auf Grund ihrer Konstruktion sehr viel leichter zu analysieren sind als allgemeine RKV. Mit gegebenen setzen wir 0 γ < γ 2 < < γ m t (j) := t n + γ j h (j =, 2,..., m) und suchen ein Polynom p vom Grad m (bei Systemen von k DGen ist das ein Vektor p = [p, p 2,..., p k ] T aus k Polynomen vom Grad höchstens m), das die m + Interpolationsbedingungen p(t n ) = y n, p (t (j) ) = f (t (j), p(t (j) )) (j =, 2,..., m) erfüllt. Die Näherung y n+ an der Stelle t n+ wird dann definiert durch y n+ := p(t n+ ). Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 72

33 4.6 Kollokationsmethoden p ist ein Polynom vom Grad m, das durch die letzten m dieser Interpolationsbedingungen eindeutig bestimmt ist. In Lagrange-Form besitzt es die Darstellung p (t n + τh) = m j= l j(t n + τh)k j mit l j (t n + τh) = m τ γ i j i= und k j := p (t (j) ). γ j γ i Jetzt folgt für jedes i {, 2,..., m} Analog: p(t (i) ) p(t n ) = t (i) t n p (t n + sh) ds = t (i) m t n j= l j(t n + sh)k j ds = h m ( γi j= 0 l j(r) dr ) k j =: h m j= α i,jk j. p(t n+ ) p(t n ) = h ( m ) j= 0 l j(r) dr k j =: h m j= β jk j. Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 73

34 4.6 Kollokationsmethoden Daraus folgt y n+ = p(t n+ ) = p(t n ) + h m j= β jk j = y n + h m j= β jk j mit k j = p (t (j) ) = f (t (j), p(t (j) )) = f (t n + γ j h, y n + m l= α j,lk l ). Mit anderen Worten: Jedes Kollokationsverfahren ist ein (implizites) RKV. Implementiert wird es in der Form (RKV) bzw. (RKV ), d.h. zu gegebenen γ j (j =, 2,..., m) bestimmt man zunächst (i, j =, 2..., m). α i,j = γ i 0 l j(r) dr und β j = 0 l j(r) dr Nicht jedes implizite RKV ist ein Kollokationsverfahren. Beispiel /3 /3 /3 /4 3/4 repräsentiert kein Kollokationsverfahren. Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 74

35 4.6 Kollokationsmethoden Theorem 4.3 (Konsistenzordnung bei Kollokationsverfahren) Für ein m-stufiges Kollokationsverfahren mit der Butcher-Matrix c A b T sind die folgenden drei Aussagen äquivalent: Das Verfahren besitzt die Konsistenzordnung m + p. 0 τ j m j= (τ γ j) dτ = 0 für j = 0,,..., p. b T C l e = /l für l =, 2,..., m + p. Dabei sind C := diag(γ, γ 2,..., γ m ) und e := [,,..., ] T R m. Michael Eiermann (TU Freiberg) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 203/4 75