9 Numerische Verfahren für Anfangswertaufgaben

Transkript

1 Numerik II 63 9 Numerische Verfahren für Anfangswertaufgaben Inhalt 9.1 Einige einfache Verfahren 9.2 Einschrittverfahren Definition und Eigenschaften 9.3 Runge-Kutta-Verfahren 9.4 Lineare Mehrschrittverfahren 9.5 Konvergenz von Einschrittverfahren 9.6 Nullstabilität linearer Mehrschrittverfahren 9.7 Schrittweitensteuerung 9 Numerische Verfahren für Anfangswertaufgaben TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

2 Numerik II Einige einfache Verfahren Wir betrachten die AWA y = f (t, y), y(t 0 ) = y 0. (AWA) Unter den Voraussetzungen von Satz 8.1 besitzt es eine eindeutige Lösung, sagen wir über dem Intervall I. Wir wollen diese Lösung y(t) für t [t 0, t end ] I durch das Euler-Verfahren a (auch Euler-Cauchy-Verfahren b oder Polygonzug-Verfahren), den Prototyp eines numerischen Verfahrens zur Lösung von AWAen, approximieren. Wie alle numerischen Methoden, die hier besprochen werden, basiert das Euler-Verfahren auf der Idee der Diskretisierung: Statt (AWA) über [t 0, t end ] zu lösen, geben wir uns damit zufrieden, Näherungswerte für die Lösung auf einer diskreten Teilmenge {t n : n = 0, 1,..., N} zu bestimmen. a LEONHARD EULER ( ) b AUGUSTIN LOUIS CAUCHY ( ) 9.1 Einige einfache Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

3 Numerik II 65 Wähle N N, h = (t end t 0 )/N und definiere t n := t 0 +nh, n = 0, 1,..., N, d.h. t 0 < t 1 < t N 1 < t N = t end. Die Zahl h > 0 heißt Schrittweite (ausser Bequemlichkeit gibt es vorerst keinen Grund, die Schrittweite h konstant zu wählen). Bezeichnet nun y n einen Näherungswert für y(t n ), n = 0, 1,..., N 1, dann ist (falls y C 2 [t 0, t end ]) y(t n+1 ) = y(t n + h) = y(t n ) + hy (t n ) h2 y (ξ) y(t n ) + hy (t n ) = y(t n ) + hf (t n, y(t n )) y n + hf (t n, y n ). (Explizites) Euler-Verfahren: y 0 gegeben, y n+1 := y n + hf (t n, y n ) (n = 0, 1,..., N 1). 9.1 Einige einfache Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

4 Numerik II 66 Zur Veranschaulichung einer GDG 1. Ordnung y = f(t, y) wird oft das assoziierte Richtungsfeld herangezogen: In jedem Punkt (t, y) R 2 wird ein Pfeil gezeichnet, der in die Richtung y = f(t, y) weist. Der Graph der Lösung der AWA y = f(t, y), y(t 0 ) = y 0, muss dann einerseits das Richtungsfeld respektieren (d.h. die Tangenten an den Graphen sind Elemente des Richtungsfelds), andererseits den Punkt (t 0, y 0 ) enthalten. Die nächste Abbildung zeigt, wie das Euler-Verfahren die logistische Gleichung y = y(1 y) mit AB y(0) = 1/10 löst. Statt der exakten Trajektorie zu folgen (was natürlich unmöglich ist), produziert das Euler-Verfahren eine stückweise lineare Lösung (einen Polygonzug). An der Stelle t 0 = 0 arbeitet das Euler-Verfahren mit der richtigen Steigung f(t 0, y 0 ) = 9/100, bereits an der Stelle t = 1 ist die Steigung falsch. In späteren Schritten entfernt man sich (potentiell) immer weiter von der exakten Lösung. 9.1 Einige einfache Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

5 Numerik II Euler Verfahren y =y(1 y), y(0)=1/ Einige einfache Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

6 Numerik II 68 4 Richtungsfeld von y =x(y 2) und Loesungen mit Anfangswerten y(0) = 1:0.5:1 9.1 Einige einfache Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

7 Numerik II 69 Konvergiert das Euler-Verfahren, d.h. strebt die Näherungslösung für h 0 gegen die exakte Lösung y(t)? Formal: Zu jedem Wert von h > 0 gehört eine Folge von Näherungen y n = y n (h), n = 0, 1,..., N(h) := (t end t 0 )/h. Das Verfahren heißt konvergent (in [t 0, t end ]), wenn gilt lim h 0+ max y n(h) y(t n ) = 0. 0 n N(h) (Konv) Satz 9.1 (Konvergenz des Euler-Verfahrens) Unter den Voraussetzungen von Satz 8.1 konvergiert das Euler-Verfahren, genauer: max y n(h) y(t n ) = O(h) für h 0. 0 n N(h) 9.1 Einige einfache Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

8 Numerik II 70 exakte Loesung Schrittweite h 0 Schrittweite h 1 Schrittweite h 2 t_0 t 9.1 Einige einfache Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

9 Numerik II 71 Modifiziertes Euler-Verfahren: y 0 gegeben, y n+1 := y n + hf ( t n h, y n hf (t n, y n ) ) (n = 0, 1,..., N 1). Verbessertes Euler-Verfahren: y 0 gegeben, y n+1 := y n h[f (t n, y n ) + f (t n + h, y n + hf (t n, y n ))] (n = 0, 1,..., N 1). Die Idee dieser beiden Verfahren macht man sich leicht im Richtungsfeld klar. Auch das modifizierte und das verbesserte Euler-Verfahren konvergieren: Eine triviale Modifikation des Beweises von Satz 9.1 zeigt, dass für diese Verfahren sogar max 0 n N(h) y n (h) y(t n ) = O(h 2 ) gilt. 9.1 Einige einfache Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

10 Numerik II exakte Loesung Euler Verfahren modifiziertes Euler Verf. verbessertes Euler Verf Einige einfache Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

11 Numerik II 73 Implizites Euler-Verfahren: y 0 gegeben, y n+1 := y n + hf (t n + h, y n+1 ) (n = 0, 1,..., N 1). Im Gegensatz zu allen bisher erwähnten Verfahren ist dieses Verfahren implizit, d.h. um y n+1 zu bestimmen, muss in jedem Schritt ein i.allg. nichtlineares Gleichungssystem gelöst werden. Wie in Satz 9.1 zeigt man auch für das implizite Euler-Verfahren max 0 n N(h) y n (h) y(t n ) = O(h) für h Einige einfache Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

12 Numerik II 74 Bisher traten in der Verfahrensgleichung ausschließlich Approximationen an die Lösung an zwei aufeinanderfolgenden Zeitpunkten auf, sog. Einschrittverfahren. Mehrschrittverfahren dagegen beruhen auf mehrere Stellen umfassenden Differenzenformeln, etwa y(t + h) y(t h) 2h 3y(t) 4y(t h) + y(t 2h) 2h = y (t) + h2 6 y (t) + O(h 4 ), = y (t) h2 3 y (t) + O(h 3 ). 9.1 Einige einfache Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

13 Numerik II 75 Diese Formeln führen, bei t = t n+1 ausgewertet, zur expliziten Mittelpunktsregel: (midpoint-rule, leapfrog method) y 0, y 1 gegeben, y n+1 = y n 1 + 2hf (t n, y n ) (n = 1, 2,..., N 1). (9.1) sowie einem impliziten Verfahren aus der sog. BDF-Familie (Backward Differentiation Methods) Ein BDF-Verfahren: y 0, y 1 gegeben, 3y n+1 4y n + y n 1 = 2hf (t n + h, y n+1 ) (n = 1, 2,..., N 1). Wie man sieht kann hier die Verfahrensgleichung erst dann ausgewertet werden, wenn neben den Anfangswerten y 0 auch eine Approximation y 1 vorliegt. Eine solche Anlaufrechnung erfordern alle Mehrschrittverfahren. 9.1 Einige einfache Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

14 Numerik II Einschrittverfahren Definition und Eigenschaften Ein Einschrittverfahren (ESV) hat die Form y n+1 = y n + hφ f (y n+1, y n, t n ; h). (ESV) Wir werden ausschließlich Verfahren untersuchen, bei denen die Verfahrensfunktion Φ f die folgenden beiden Eigenschaften besitzt: und Φ f 0 (y n+1, y n, t n ; h) 0 (V 1 ) Φ f (y n+1, y n, t n ; h) Φ f (y n+1, y n, t n ; h) M 1 y n+j yn+j. (V 2 ) j=0 Bei vernünftigen ESV ist (V 2 ) eine Folge der Lipschitz-Stetigkeit von f (vgl. Satz 8.1), die immer vorausgesetzt wird. 9.2 Einschrittverfahren Definition und Eigenschaften TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

15 Numerik II 77 Beispiele für etwas kompliziertere ESV: y n+1 y n = 1 4 h(k 1 + 3k 3 ) mit k 1 = f (t n, y n ), k 2 = f (t n h, y n hk 1), k 3 = f (t n h, y n hk 2), (Beispiel 1) ein explizites ESV, das zur Klasse der Runge-Kutta-Verfahren a b (vgl. 9.3) gehört und ein implizites ESV der Runge-Kutta-Klasse, y n+1 y n = 1 2 h(k 1 + k 2 ) mit k 1 = f (t n, y n ), k 2 = f (t n + h, y n hk hk (Beispiel 2) 2). a CARLE DAVID TOLMÉ RUNGE ( ) b MARTIN WILHELM KUTTA ( ) 9.2 Einschrittverfahren Definition und Eigenschaften TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

16 Numerik II 78 Das Verfahren (ESV) heißt konvergent, wenn lim h 0 t=t 0 +nh y n = lim h 0 t=t 0 +nh y n (h) = y(t) gilt und zwar für alle AWPe, die den Voraussetzungen von Satz 8.1 genügen (y(t) bezeichnet die Lösung eines solchen AWPs), gleichmäßig für alle t [t 0, t end ], für alle Lösungen {y n (h)} = {y n } von (ESV) mit Anfangswert y 0 (h), der lim h 0 y 0 (h) = y 0 erfüllt. Äquivalent: Der globale Diskretisierungsfehler e n = e n (h) := y(t n ) y n (h) strebt gleichmäßig gegen 0 (für h 0): lim h 0 max e n(h) = lim 0 n N h 0 max y(t n) y n (h) = 0. 0 n N 9.2 Einschrittverfahren Definition und Eigenschaften TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

17 Numerik II 79 Wir definieren den lokalen Diskretisierungsfehler (lokaler Abbruchfehler) eines Verfahrens T n = T n (h) im n-ten Schritt als die Differenz von linker Seite und rechter Seite der Verfahrensgleichung (so skaliert, dass für h 0 die Differentialgleichung approximiert wird) wenn anstelle der Näherungslösung die exakte Lösung eingesetzt wird. Ein Verfahren heißt konsistent von der Ordnung p, falls T n (h) = O(h p ) für h 0. Beispiel: Mittelpunktsregel T n = y(t n+1) y(t n 1 ) f(t n, y(t n )) 2h ] = [y (t n ) + h2 6 y (t n ) + O(h 4 ) y (t n ) = h2 6 y (t n ) + O(h 4 ), d.h. konsistent von der Ordnung p = Einschrittverfahren Definition und Eigenschaften TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

18 Numerik II 80 In der Literatur wird oft auch eine abweichende Definition des lokalen Diskretisierungsfehlers verwandt, und zwar basierend auf der Verfahrensgleichung in der Form (ESV), was zur Erhöhung um eine h-potenz führt. Motivation: Beschreibung des Fehlers in einem Schritt unter der Lokalisierungsannahme y n = y(t n ). In diesem Fall liefert 1 Schritt von (ESV) im Vgl. zur exakten Lösung ŷ n+1 (h) = y(t n ) + hφ f (ŷ n+1, y(t n ), t n ; h), y(t n+1 ) = y(t n ) + hφ f (y(t n+1 ), y(t n ), t n ; h) + ht n+1 (h). Wir bezeichnen die Differenz S n+1 (h) := y(t n+1 ) ŷ n+1 als Schrittfehler. Es gilt (mit (V 2 )) S n+1 h Φ f (y(t n+1 ), y(t n ), t n ; h) Φ f (ŷ n+1, y(t n ), t n ; h) + h T n+1 hm S n+1 + h T n+1, d.h. wegen (1 hm) S n+1 ht n+1 verhält sich S n für h 0 wie ht n. 9.2 Einschrittverfahren Definition und Eigenschaften TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

19 Numerik II 81 Relevanz von S n : Bei der Integration von (AWA) von t 0 bis t end sind (t end t 0 )/h Schritte erforderlich. Wird im n-ten Schritt der Schrittfehler S n begangen, so ergibt sich unter der vereinfachenden Annahme, dass diese Fehler sich nicht gegenseitig beeinflussen insgesamt ein akkumulierter (globaler) Fehler von t end t 0 h S(h) T (h). Die entscheidende Voraussetzung für diese vereinfachende Annahme ist, wie wir sehen werden, die Stabilität des Verfahrens. 9.2 Einschrittverfahren Definition und Eigenschaften TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

20 Numerik II Runge-Kutta-Verfahren Herleitung mittels Quadraturverfahren Ausgangspunkt wie immer y(t + h) = y(t) + [y(t + h) y(t)] = y(t) + Substitution: s = t + τh, 0 τ 1 t+h t y (s) ds = y(t) + h 1 0 y (t + τh) dτ. Approximiere durch Quadraturformel 1 0 g(τ) dτ m β j g(γ j ). j=1 ( ) Damit zumindest g 1 exakt integriert wird, fordern wir m j=1 β j = Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

21 Numerik II 83 Daraus folgt y(t + h) y(t) + h = y(t) + h m β j y (t + γ j h) j=1 m β j f (t + γ j h, y(t + γ j h)) j=1 (RK-1) Problem: y(t+γ j h) = y(t)+h γ j 0 y (t+τh) dτ sind unbekannt. Näherungen wieder durch Quadraturformeln, aber mit den alten Knoten γ j (j = 1,..., m) aus ( ) (sonst würden sich neue Unbekannte y(t + Knoten h) ergeben). γj 0 g(τ) dτ m α j,l g(γ l ) (j = 1,..., m). ( ) l=1 Damit zumindest g 1 exakt integriert wird, fordern wir m l=1 α j,l = γ j j = 1,..., m. 9.3 Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

22 Numerik II 84 Damit ergibt sich y(t + γ j h) y(t) + h m l=1 α j,ly (t + γ l h) = y(t) + h m l=1 α j,lf (t + γ l h, y(t + γ l h)) (RK-2) Abkürzung: kj := f (t + γ j h, y(t + γ j h)) (j = 1,..., m). ( m ) (RK-2): kj f t + γ j h, y(t) + h α j,l kl (j = 1,..., m). (RK-1): y(t + h) y(t) + h l=1 m β j kj. j=1 9.3 Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

23 Numerik II 85 m-stufiges Runge-Kutta-Verfahren (RKV): y n+1 = y n + h m β j k j mit k j = f ( j=1 t n + γ j h, y n + h ) m α j,l k l (j = 1,..., m). (RKV) l=1 Übliche Darstellung durch Butcher-Tableau a γ 1 α 1,1 α 1,m... γ m α m,1 α m,m a JOHN CHARLES BUTCHER ( 1933) β 1 β m 9.3 Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

24 Numerik II 86 Beispiele /2 1/2 symbolisiert ein zweistufiges explizites RKV, nämlich das verbesserte Euler-Verfahren: k 1 = f(t n, y n ), k 2 = f(t n + h, y n + hk 1 ), y n+1 = y n + h 2 (k 1 + k 2 ) ( ) = y n + h 2 f(t n, y n ) + f(t n + h, y n + hf(t n, y n )) Beachte: ein RKV ist explizit, wenn α j,l = 0 j l gilt, d.h. wenn die Koeffizienten α j,l eine echte untere Dreiecksmatrix bilden. 9.3 Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

25 Numerik II /4 1/4 2/3 1/4 5/12 1/4 3/4 symbolisiert ein zweistufiges implizites RKV: k 1 = f ( t n, y n + h( 1 4 k k 2) ), k 2 = f ( t n h, y n + h( 1 4 k k 2) ), ( zwei i.a. nichtlineare Gleichungen für k 1 und k 2 ) y n+1 = y n + h 4 (k 1 + 3k 2 ). (Beispiel 2 aus 9.2 is ein weiteres implizites zweistufiges RKV.) 9.3 Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

26 Numerik II /2 1/ /6 4/6 1/6 symbolisiert ein dreistufiges explizites RKV Verfahren dritter Ordnung von Kutta: k 1 = f (t n, y n ), k 2 = f ( t n h, y n hk 1), k 3 = f ( t n + h, y n + h( k 1 + 2k 2 ) ), y n+1 = y n h(k 1 + 4k 2 + k 3 ). 9.3 Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

27 Numerik II /3 1/ /3 0 2/3 0 1/4 0 3/4 symbolisiert ein dreistufiges explizites RKV Verfahren dritter Ordnung von Heun: k 1 = f (t n, y n ), k 2 = f ( t n h, y n hk 1), k 3 = f ( t n h, y n hk 2), y n+1 = y n + h 4 (k 1 + 3k 3 ) (vgl. Beispiel 1 aus 9.2). 9.3 Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

28 Numerik II /2 1/ /2 0 1/ /6 2/6 2/6 1/6 symbolisiert ein vierstufiges explizites RKV Klassisches Runge-Kutta-Verfahren: k 1 = f (t n, y n ), k 2 = f (t n h, y n hk 1), k 3 = f (t n h, y n hk 2), k 4 = f (t n + h, y n + hk 3 ), y n+1 = y n h(k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ). 9.3 Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

29 Numerik II 91 Eine alternative Form von (RKV) ist y n+1 = y n + h mit ỹ j = y n + h m β j f (t n + γ j h, ỹ j ) j=1 m α j,l f (t n + γ l h, ỹ l ) (j = 1,..., m) l=1 (RKV ) (setze k j = f (t n + γ j h, ỹ j )). Interpretation: ỹ j : Approximationen an die Lösung y zur Zeit t n + γ j h k j : Approximationen an die Steigungen y (t n + γ j h) 9.3 Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

30 Numerik II Konsistenzordnung bei Runge-Kutta-Verfahren Jedes RKV hat die Form y n+1 = y n +hφ f (y n+1, y n, t n ; h) mit Φ f (y n+1, y n, t n ; h) = m β j k j. j=1 Ein RKV ist genau dann konsistent (und damit konvergent), wenn m β j = 1. j=1 Um die Konsistenzordnung eines RKVs zu bestimmen (oder um m-stufige RKV mit möglichst hoher Konsistenzordnung zu konstruieren), sind komplizierte Rechnungen erforderlich. 9.3 Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

31 Numerik II 93 Wir untersuchen als Beispiel explizite dreistufige RKV, γ 2 γ γ 3 γ 3 α 3,2 α 3,2 0, β 1 β 2 β 3 und entwickeln T n+1 (h) = y(t n+1) y(t n ) h = y(t n+1) y(t n ) h Φ f (y(t n ), t n ; h) 3 β j k j j=1 nach Potenzen von h (unter der Voraussetzung, dass y bzw. f genügend oft differenzierbar sind). 9.3 Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

32 Numerik II 94 Für skalare AWA ergibt sich mit den Abkürzungen F := f t + f y f und G := f tt + 2f ty f + f yy f 2 (alle Ableitungen von f werden an der Stelle (t n, y(t n )) ausgewertet) die Beziehung Anderseits ist y(t n+1 ) y(t n ) h k 1 = f(t n, y(t n )) = f, = f F h (G + f yf )h 2 + O(h 3 ). k 2 = f(t n + hγ 2, y(t n ) + hγ 2 k 1 ) = f + hγ 2 F h2 γ 2 2G + O(h 3 ), k 3 = f(t n + hγ 3, y(t n ) + h(γ 3 α 3,2 )k 1 + hα 3,2 k 2 ) = f + hγ 3 F + h 2 (γ 2 α 3,2 F f y γ2 3G) + O(h 3 ). 9.3 Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

33 Numerik II 95 Das bedeutet: [ T n+1 (h) = 1 ] 3 j=1 β j Folgerungen: f + [ 1 2 β 2γ 2 β 3 γ 3 ] F h + [ ( 1 3 β 2γ 2 2 β 3 γ 2 3) 1 2 G + ( 1 6 β 3γ 2 α 3,2 )F f y ] h 2 + O(h 3 ) 1. Das Euler-Verfahren ist das einzige einstufige explizite RKV der Ordnung 1 (β 1 = 1). Es gibt kein einstufiges explizites RKV höherer Ordnung. 2. Die zweistufigen expliziten RKV der Ordnung 2 sind durch β 1 + β 2 = 1 und β 2 γ 2 = 1 2 charakterisiert. Beispiele sind das modifizierte (β 1 = 0, β 2 = 1, γ 2 = 1 2 ) und das verbesserte Euler-Verfahren (β 1 = β 2 = 1 2, γ 2 = 1). Kein explizites zweistufiges RKV besitzt die Ordnung Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

34 Numerik II Explizite dreistufige RKV der Ordnung 3 sind durch die vier Gleichungen β 1 + β 2 + β 3 = 1, β 2 γ β 3 γ 2 3 = 1 3, β 2 γ 2 + β 3 γ 3 = 1 2, β 3γ 2 α 3,2 = 1 6 charakterisiert. (Man kann zeigen, dass keine dieser Methoden die Ordnung 4 besitzt.) Beispiele sind das Verfahren von Heun (β 1 = 1 4, β 2 = 0, β 3 = 3 4, γ 2 = 1 3, γ 3 = α 3,2 = 2 3 ) und das Verfahren von Kutta (β 1 = 1 6, β 2 = 2 3, β 3 = 1 6, γ 2 = 1 2, γ 3 = 1, α 3,2 = 2). 4. Ähnliche (kompliziertere) Rechnungen zeigen, dass es eine zweiparametrige Familie expliziter vierstufiger RKV der Ordnung 4 gibt, von denen keines die Ordnung 5 besitzt. Ein Beispiel ist das klassische Runge-Kutta-Verfahren. Weitere Beispiele sind 9.3 Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

35 Numerik II /3 1/ /3 1/ /8 3/8 3/8 1/8 (3/8-Regel) /5 2/ /5 3/20 3/ /44 15/44 40/ / / /360 55/360 (Formel von Kuntzmann). 9.3 Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

36 Numerik II 98 Die oben beschriebene Methode, die Ordnung eines RKVs zu bestimmen, wird für Verfahren höherer Ordnung schnell unübersichtlich: Die Koeffizienten eines expliziten Verfahrens der Ordnung 3 müssen 4 Gleichungen erfüllen (s.o.), während bei einem Verfahren der Ordnung 8 bereits 200 nicht-lineare Gleichungen überprüft werden müssen. Die sog. Butcher- Theorie (vgl. J. C. Butcher, The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations. Runge-Kutta and General Linear Methods. John Wiley & Sons, Chichester 1987) erleichtert mit Hilfe graphentheoretischer Bäume die Buchhaltung bei den partiellen Ableitungen von f und erlaubt eine elegante Berechnung der Ordnung eines gegebenen RKVs (sie liefert aber keine Methode, ein Verfahren mit gewünschter Ordnung zu konstruieren). Wir beschränken uns hier darauf, notwendige Ordnungsbedingungen abzuleiten, die sich aus den speziellen AWPen y = y + t l 1, y(0) = 0, (l N) ergeben. 9.3 Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

37 Numerik II 99 Satz 9.2 (Notwendige Ordnungsbedingungen für RKV) Das durch das Butcher-Tableau c A b definierte RKV besitze die Ordnung p. Dann gelten b A k C l 1 e = (l 1)! (l + k)! = 1 l(l + 1)... (l + k) für l = 1, 2,..., p und k = 0, 1,..., p l. Dabei sind b := [β 1, β 2,..., β m ], A := [α j,ν ] 1 j,ν m, C := diag(γ 1, γ 2,..., γ m ) und e := [1, 1,..., 1] R m. 9.3 Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

38 Numerik II 100 Spezialfälle der notwendigen Bedingungen aus Satz 9.2 sind (für k = 0) b C l 1 e = m j=1 β j γ l 1 j = 1 l für l = 1, 2,..., p sowie (für l = 1 mit k k + 1) b A k 1 e = 1 k! für k = 1, 2,..., p. Bemerkung. Ein explizites m-stufiges RKV besitzt höchstens die Konsistenzordnung m, denn hier ist A m = O (A ist echte untere Dreiecksmatrix). Für die optimale Ordnung p(m) eines expliziten m-stufigen RKVs gilt sogar p(m) m 1 falls m 5, genauer: m p(m) Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

39 Numerik II Lineare Mehrschrittverfahren Bei Mehrschrittverfahren gehen, im Gegensatz zu den Einschrittverfahren, bei der Berechnung der Näherung y n+1 neben y n noch weiter zurückliegende Näherungen y n 1, y n 2,... mit ein. Die wichtigste Klasse der linearen Mehrschrittverfahren (LMV) besitzt die allgemeine Form r α j y n+j = h j=0 r β j f (t n+j, y n+j ), n = 0, 1, 2,.... (LMV) j=0 mit Konstanten {α j } r j=0 sowie {β j} r j=0. Da diese nur bis auf einen (von Null verschiedenen) Skalierungsfaktor eindeutig sind, wird oft die Normierung α r = 1 vorgenommen. Das Verfahren (LMV) ist explizit falls β r = 0, ansonsten implizit. Wir gehen zunächst auf spezielle Unterfamilien LMV ein. 9.4 Lineare Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

40 Numerik II Adams-Verfahren Adams-Verfahren sind von der speziellen Gestalt y n+r y n+r 1 = h r β j f (t n+j, y n+j ), (9.2) j=0 d.h. sie sind charakterisiert durch α r = 1, α r 1 = 1, sowie α 0 = α 1 = = α r 2 = 0. Die Koeffizienten β j ergeben sich aus der Forderung maximaler Ordnung für gegebenes r. Diese beträgt im expliziten Fall r, im impliziten r + 1. Erstere Verfahrensklasse werden als Adams-Bashforth-Verfahren bezeichnet, letztere als Adams-Moulton-Verfahren. 9.4 Lineare Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

41 Numerik II 103 Alternative Herleitung der Adams-Verfahren: Aus der Dgl. ergibt sich y(t n+r ) = y(t n+r 1 ) + tn+r tn+r y (τ) dτ = y(t n+r 1 ) + f (τ, y(τ)) dτ. t n+r 1 t n+r 1 Wählt man {β j } r j=0 nun so, dass tn+r t n+r 1 g(τ) dτ h r β j g(t n+j ) j=0 eine interpolatorische Quadraturformel darstellt a., so ergeben sich ebenso die Koeffizienten des jeweiligen (expliziten bzw. impliziten) Adams- Verfahrens. a d.h. man ersetze g durch das Interpolationspolynom durch die Wertepaare {(t n, g(t n )),..., (t n+r 1, g(t n+r 1 ))} vom Grad r 1 (expliziter Fall) bzw. durch {(t n, g(t n )),..., (t n+r, g(t n+r ))} vom Grad r (impliziter Fall) 9.4 Lineare Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

42 Numerik II 104 Für r = 1 bis 4 ergeben sich die expliziten Adams-Bashforth-Verfahren wie folgt: r = 1 : y n+1 = y n + hf (t n, y n ), r = 2 : y n+2 = y n+1 + h 2 ( f (t n, y n ) + 3f (t n+1, y n+1 )), r = 3 : y n+3 = y n+2 + h 12 (5f (t n, y n ) 16f (t n+1, y n+1 ) +23f (t n+2, y n+2 )), r = 4 : y n+4 = y n+3 + h 24 ( 9f (t n, y n ) + 37f (t n+1, y n+1 ) 59f (t n+2, y n+2 ) + 55f (t n+3, y n+3 )). Insbesondere erhalten wir für r = 1 das explizite Euler-Verfahren. 9.4 Lineare Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

43 Numerik II 105 Die impliziten Adams-Moulton-Verfahren für r = 1 bis 4 lauten: r = 1 : y n+1 = y n + h 2 (f (t n, y n ) + f (t n+1, y n+1 )), r = 2 : y n+2 = y n+1 + h 12 ( f (t n, y n ) + 8f (t n+1, y n+1 ) +5f (t n+2, y n+2 )), r = 3 : y n+3 = y n+2 + h 24 (f (t n, y n ) 5f (t n+1, y n+1 ) +19f (t n+2, y n+2 + 9f (t n+3, y n+3 ))), r = 4 : y n+4 = y n+3 + h ( 19f (tn, y n ) + 106f (t n+1, y n+1 ) f (t n+2, y n+2 ) + 646f (t n+3, y n+3 ) + 251f (t n+4, y n+4 ) ). Für r = 1 erhalten wir die Trapezregel. 9.4 Lineare Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

44 Numerik II Nyström-Verfahren Nyström-Verfahren besitzen die Form y n+r y n+r 2 = h r β j f (t n+j, y n+j ). (9.3) j=0 Als explizites Nyström-Verfahren mit r = 2 erhalten wir die bereits bekannte Mittelpunktsregel (9.1). Als implizites Nyström-Verfahren mit r = 2 ergibt sich die Simpson-Regel y n+2 y n = h 3 ( ) f (t n y n ) + 4f (t n+1, y n+1 ) + f (t n+2, y n+2 ). 9.4 Lineare Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

45 Numerik II BDF-Verfahren Im Gegensatz zu den Runge-Kutta- und Adams-Verfahren, die mit Hilfe von Quadratur hergeleitet wurden, beruht die Idee der BDF-Verfahren (backward differentiation formulas) auf numerischer Differentiation. Zur Konstruktion eines linearen r-schritt-verfahrens seien die Näherungen y n, y n 1,..., y n r+1 bekannt und die nächste Näherung y n+1 zu berechnen. Hierzu wird folgende Konstruktionsidee verwandt: das eindeutig be- (1) Lege durch die r + 1 Wertepaare {(t j, y j )} n+1 j=n r+1 stimmte Interpolationspolynom p P r. (2) Die fehlende Intepolationsvorschrift p(t n+1 ) = y n+1 (y n+1 ist noch zu berechnen) wird ersetzt durch die Vorschrift p (t n+1 ) = f(t n+1, y n+1 ), (9.4) d.h. dass p an der Stelle t n+1 die Differentialgleichung erfüllen soll. 9.4 Lineare Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

46 Numerik II 108 Die Newton-Darstellung des gesuchten Interpolationspolynoms ist gegeben durch p(t) =f n+1 + f n+1,n (t t n+1 ) + f n+1,n,n 1 (t t n+1 )(t t n ) + + f n+1,n,...,n r+2,n r+1 (t t n+1 ) (t t n r+2 ) Unter der vereinfachenden Annahme konstanter Schrittweite h erhält man aus des Newton-Darstellung von p p (t n+1 ) = r f n+1,n,...,n+1 j h j 1 (j 1)!. (9.5) j=1 Führt man die Notation der Rückwärtsdifferenzen ein: 0 y n+1 := y n+1 y n+1 := y n+1 y n, j y n+1 := ( j 1 y n+1 ) = j 1 y n+1 j 1 y n, j = 2, 3, Lineare Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

47 Numerik II 109 so läßt sich p (t n+1 ) ausdrücken als p (t n+1 ) = 1 h r j=1 j y n+1 j, und zusammen mit der Forderung (9.4) die Verfahrensvorschrift r j=1 1 j j y n+1 = hf(t n+1, y n+1 ) (9.6) des BDF-Verfahrens der Ordnung r, kurz BDFr genannt. Durch die Indexverschiebung n + 1 n + r erhalten wir die BDF-Verfahren in unserer STandardnotation für lineare Mehrschritttverfahren. 9.4 Lineare Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

48 Numerik II 110 Die BDF-Verfahren für r = 1 bis 6 lauten: r = 1 : y n+1 y n = hf (t n+1, y n+1 ), r = 2 : 3 2 y n+2 2y n y n = hf (t n+2, y n+2 ) r = 3 : 11 6 y n+3 3y n y n y n = hf (t n+3, y n+3 ), r = 4 : y n+4 4y n+3 + 3y n y n y n = hf (t n+4, y n+4 ), r = 5 : y n+5 5y n+4 + 5y n y n y n u n = hf (t n+5, y n+5 ), r = 6 : y n+6 6y n y n y n y n y n u n = hf (t n+6, y n+6 ). Für r = 1 erhalten wir das implizite Euler-Verfahren. 9.4 Lineare Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

49 Numerik II Der lokale Diskretisierungsfehler bei LMV Setzt man in (LMV) die exakte Lösung ein und beachtet, dass diese y (t n ) = f (t n, y(t n )) erfüllt, so erhalten wir (nach Division durch h) T n+r (h) = 1 r r α j y(t n+j ) h β j y (t n+j ). h j=0 Entwickelt man alle Auswertungen von y bzw. y an der Stelle t = t n y(t n+j ) = y(t n ) + jhy (t n ) + (jh)2 2 y (t n+j ) = y (t n ) + jhy (t n ) + (jh)2 2 j=0 y (t n ) + (jh)3 6 y (t n ) + (jh)3 6 y (t n ) +... y (t n ) +..., und sortiert Terme mit gleicher h-potenz, so erhält man die Darstellung Lineare Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

50 Numerik II 112 T n+r (h) = 1 r r α j y(t n ) + (jα j β j ) y (t n ) h j=0 j=0 r ( ) + h j 2 2 α j jβ j y (t n ) j=0 r ( ) + + h q j q+1 (q + 1)! α j jq q! β j y (q+1) (t n ) + O(h q+1 ). j=0 Konsistentz des LMV, also T n (h) 0 für h 0, liegt somit vor, sofern r α j = 0 sowie r jα j = r β j. (9.7) j=0 j=0 j=0 Konsistenzordnung p N liegt vor, wenn die ersten p + 1 Terme in eckigen Klammern verschwinden. 9.4 Lineare Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

51 Numerik II Charakteristische Polynome Bei der Analyse LMV spielen die mit den Koeffizienten {α j } r j=0 und {β j} r j=0 gebildeten charakteristischen Polynome ρ(ζ) := eine zentrale Rolle. r α j ζ j und σ(ζ) := j=0 r β j ζ j (9.8) j=0 Bei einem r-schrittverfahren gilt ρ P r und, bei impliziten r-schrittverfahren, σ P r. Bei expliziten LMV ist der Grad von σ kleiner als r. Mit Hilfe der charakteristischen Polynome lassen sich die beiden Konsistenzbedingungen (9.7) formulieren als ρ(1) = 0 und ρ (1) = σ(1). (9.9) 9.4 Lineare Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

52 Numerik II 114 Beispiel: Beim Adams-Moulton-Verfahren für r = 2 y n+2 = y n+1 + h ( ) f (t n, y n ) + 8f (t n+1, y n+1 ) + 5f (t n+2, y n+2 ), 12 gilt α 0 = 0, α 1 = 1, α 2 = 1, β 0 = 1 12, β 1 = 8 12, β 2 = 5 12 und man erhält die charakteristischen Polynome ρ(ζ) = ζ 2 ζ, σ(ζ) = 1 12 ( 5ζ 2 + 8ζ 1 ). 9.4 Lineare Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

53 Numerik II 115 Wegen α 0 + α 1 + α 2 = 0, 0 α α α 2 (β 0 + β 1 + β 2 ) = 0, 0 α α α 2 (0 β β β 2 ) = 0, 1 6 (0 α α 1 + 8α 2 ) 1 2 (0 β β β 2 ) = 0, 1 24 (0 α α α 2 ) 1 6 (0 β β β 2 ) = besitzt dieses Verfahren die Konsistenzordnung p = Lineare Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

54 Numerik II Anlaufrechnung Bei jedem Start (oder Neutsart) eines r-schrittverfahrens (r > 1) müssen zunächst neben den Anfangswerten y 0 die Approximationen y 1, y 2,..., y r 1 berechnet werden. Um die Ordnung p dieses Verfahrens aufrechtzuerhalten genügt es, die Anfangswerte mit einem Verfahren der Ordnung p 1 zu berechnen. Grund: da dies nur r 1 Mal erfolgt unabhängig von n verliert man im Grenzwert h 0 keine h-potenz durch die Akkumulation der Schrittfehler bei der Anlaufrechnung; somit ist die Konvergenzordnung des ab n = r benutzen Verfahrens ausschlaggebend. Beispiel: Zur Berechnung von y 1 bei der Anlaufrechnung für die Mittelpunktsregel (9.1), welche konsistent ist von der Ordnung p = 2, könnte man ohne Ordnungsverlust das explizite Euler-Verfahren heranziehen. 9.4 Lineare Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

55 Numerik II Prädiktor-Korrektor-Verfahren Eine beliebte Technik, das aufwändige Gleichungslösen in jedem Schritt eines impliziten LMV zu umgehen besteht darin, zunächst mittels eines expliziten Verfahrens gleicher Schrittlänge eine Näherung ŷ n+r zu berechnen (Prädiktor) und diesen Wert dann im impliziten Verfahren (Korrektor) anstelle von y n+r einzusetzen. Beispiel: Kombination des Adams-Bashforth-Verfahrens mit r = 1 (explizites Euler-Verfahren) mit dem Adams-Moulton-Verfahren der gleichen Schrittzahl (Trapezregel): ŷ n+1 = y n + hf (t n, y n ), y n+1 = y n + h 2 (f (t n, y n ) + f (t n+1, ŷ n+1 )), (Prädiktorschritt), (Korrektorschritt). Man kann zeigen, dass dieses Verfahren die Konsistenzordnung p = 2 besitzt. 9.4 Lineare Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

56 Numerik II Vergleich Ein- und Mehrschrittverfahren Vorteile von Einschrittverfahren: Einschrittverfahren sind selbststartend. Eine Änderung der Schrittweite h ohne Mehraufwand möglich. Integration über Unstetigkeitsstellen der Lösung bei Einschrittverfahren möglich ohne Ordnungsverlust, sofern diese nur Gitterpunkte sind. Vorteil von Mehrschrittverfahren: wenige Auswertungen der rechten Seite bei gleicher Konsistenzordnung. 9.4 Lineare Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

57 Numerik II Konvergenz von Einschrittverfahren Satz 9.3 (Beziehung lokaler-globaler Diskretisierungsfehler) Unter den gebenen Voraussetzungen (vgl. Satz 8.1 sowie (V 2 )) gilt ( ) e n ( e 0 + (t n t 0 ) max T j exp(m(t n t 0 )). 1 j n Insbesondere ist ein ESV genau dann konvergent, wenn es konsistent ist. 9.5 Konvergenz von Einschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

58 Numerik II 120 Satz 9.4 (Gesamtfehler bei expliziten ESV) Das explizite ESV (ESV) werde auf einem Rechner durch ỹ n+1 = ỹ n + hφ f (ỹ n, t n ; h) + ε n+1, ỹ 0 = y 0 + ε 0, realisiert. Ist ε n ε und T n T für alle n = 0, 1,..., so folgt y(t n ) ỹ n ( ε 0 + (t n t 0 )(T + ε h )) exp(m(t n t 0 )). Dilemma: Bei großer Schrittweite h ist (üblicherweise) T groß; wählt man h sehr klein, so ist zwar T klein, aber ε h groß, dh. der Anteil der Rundungsfehler dominiert den Gesamtfehler. Wichtig sind also Verfahren hoher Ordnung, weil dort T schon bei moderater Größe von h klein wird. 9.5 Konvergenz von Einschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

59 Numerik II Nullstabilität linearer Mehrschrittverfahren Konvergenz bei Einschrittverfahren: Beitrag des n-ten Schrittfehlers S n beschränkt durch e M(t end t 0 ) S n, was für h 0 noch gegen Null geht. Diese Eigenschaft nennt man auch Nullstabilität, und sie ist für ESV immer gegeben. Bei LMV ist dies nicht der Fall. Beispiel: Beim LMV y n+2 3y n+1 + 2y n = hf (t n, y n ) beträgt der lokale Diskretisierungsfehler Wir wenden es an auf die AWA T n+2 (h) = h 2 y (t n ) + O(h 2 ). y (t) = 0, y(0) = 0 mit Lösung y(t) 0. (9.10) Mit den Startwerten y 0 = y 1 = 0 liefert es tatsächlich die exakte Lösung. 9.6 Nullstabilität linearer Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

60 Numerik II 122 Setzt man jedoch y 1 = h um einen kleinen Fehler der Ordnung h bei der Approximation von y(t 1 ) zu simulieren, so erhält man für die Approximation der Lösung an der Stelle t = 1 folgende Werte (h = 1/N): N y N Wegen y 1 0 für h 0 sind diese Anfangsdaten zulässig. Wie man sieht konvergiert y N aber nicht gegen y(t N ) = y(1) = 0. Die Approximationen erfüllen die Differenzengleichung mit der Lösung y n+2 3y n+1 + 2y n = 0, n = 0, 1, 2,.... (9.11) y n = (2 n 1)y 1 (2 n 2)y 0 = 2y 0 y n (y 1 y 0 ), n Nullstabilität linearer Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

61 Numerik II Lösung linearer Differenzengleichungen Zur Lösung der homogenen linearen Differenzengleichung der Ordnung r α r y n+r + α r 1 y n+r α 0 y n = r α j y n+j = 0 (9.12) j=0 macht man den Ansatz y n = ζ n. Einsetzen in (9.12) führt nach Division durch ζ n auf die Bedingung r α j ζ j = 0, j=0 d.h. y n = ζ n löst (9.12) falls ζ Nullstelle des ersten charakteristischen Polynoms ρ(ζ) ist (vgl. (9.8)). 9.6 Nullstabilität linearer Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

62 Numerik II 124 Ist nun ρ(ζ) = α r (ζ ζ 1 )(ζ ζ 2 ) (ζ ζ r ) und sind die Nullstellen paarweise verschieden, so stellen {ζ n i }r i=1 insgesamt r linear unabgängige Lösungen von (9.12) dar. Aufgrund der Linearität und Homogenität von (9.12) ist jede Linearkombination y n = c 1 ζ n 1 + c 2 ζ n c r ζ n r, c 1,..., c r beliebig (9.13) ebenfalls Lösung. Zu gegebenen Anfangsbedingungen y 0,..., y r 1 werden die Koeffizienten c j bestimmt als Lösung des LGS c 1 + c c r = y 0, c 1 ζ 1 + c 2 ζ c r ζ r = y 1, c 1 ζ r c 2 ζ r c r ζ r 1 r = y r Nullstabilität linearer Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

63 Numerik II 125 Beispiel: Das charakteristische Polynom der DIfferenzengleichung (9.11) ist ρ(ζ) = ζ 2 3ζ + 2 = (ζ 1)(ζ 2). Fazit: Besitzt ρ(ζ) Nullstellen vom Betrag > 1, so kann das zugehörige LMV nicht konvergent sein. Fallen zwei Nullstellen zusammen, d.h. ζ i = ζ j, so sind ζ n i und ζ n j linear abhängig. Eine weitere linear unabhängige Lösung ist nζ n 1 i. Bei einer dreifachen Nullstelle ζ i ist n 2 ζ n 2 i Beispiel: Das (konsistente) LMV eine weitere etc. y n+2 2y n+1 + y n = h 2 (f (t n+2, y n+2 ) f (t n, y n )). angewandt auf y (t) = 0. Fazit: Besitzt ρ(ζ) mehrfache Nullstellen von Betrag 1, so kann ebenfalls keine Konvergenz vorliegen. 9.6 Nullstabilität linearer Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

64 Numerik II 126 Beispiel: Das konsistente LMV angewandt auf (9.10). y n+3 2y n y n y n = h 4 f(t n, y n ) Fazit: Bei mehrfachen Nullstellen mit Betrag < 1 liegt Konvergenz vor (lineares Wachstum wird übertroffen durch exponentielles Abklingen). Ein LMV heißt nullstabil, falls für die Nullstellen dessen ersten charakteristischen Polynoms ρ(ζ) gilt (a) ζ i 1 für alle i = 1, 2,..., r (b) Ist ζ i mehrfache Nullstelle, so gilt ζ i < 1. Beispiele: Die Adams-Verfahren sind nullstabil. Die BDF-Verfahren sind nullstabil für 1 r Nullstabilität linearer Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

65 Numerik II 127 Unsere Beispiele zeigen, dass Nullstabilität notwendig für die Konvergenz ist. Tatsächlich ist sie auch hinreichend, damit ein konsistentes LMV konvergiert. Satz 9.5 (Dahlquist, 1956) Für LMV angewandt auf (AWA) gilt Konsistenz + Nullstabilität Konvergenz. Bemerkungen 9.6 (a) Ein konsistentes LMV besitzt stets die Nullstelle ζ = 1 (vgl. (9.9)). (b) Wir werden sehen, dass außer Nullstabilität auch andere Stabilitätsbegriffe bei AWAen von Bedeutung sind. (c) Einschrittverfahren sind stets nullstabil. 9.6 Nullstabilität linearer Mehrschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

66 Numerik II Schrittweitensteuerung Kein Verfahren zur Lösung von AWAen arbeitet in der Praxis mit einer konstanten Schrittweite. Man wird vielmehr versuchen, die Schrittweite an das Verhalten der Lösung y anzupassen (ändert sich y in einem Bereich schnell, so ist dort eine kleine Schrittweite angebracht; in Bereichen, in denen y kaum variiert, ist eine größere Schrittweite ausreichend). Wir werden hier eine Schrittweitensteuerung vorstellen, die zum Ziel hat, den lokalen Diskretisierungsfehler T n zu kontrollieren: T n tol, n = 1, 2,..., mit einer vorgebenen Toleranz tol. Bei Systemen von DGen (insbesondere dann, wenn die Lösungskomponenten von unterschiedlicher Größenordnung sind) wird man für jede Komponente eine eigene absolute Fehlertoleranz und global eine relative Fehlertoleranz festsetzen. 9.7 Schrittweitensteuerung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

67 Numerik II 129 Satz 9.3 besagt, dass mit dem lokalen auch der (eigentlich interessierende) globale Diskretisierungsfehler kontrolliert wird. Um den lokalen Diskretisierungsfehler zu schätzen verwendet man zwei Methoden unterschiedlicher Konsistenzordnungen (sagen wir p und q mit p < q), um y n aus y n 1 zu berechnen: y n = y n 1 + hφ f (y n 1, t n 1 ; h) bzw. ŷ n = y n 1 + h Φ f (y n 1, t n 1 ; h) Für die zugehörigen lokalen Diskretisierungsfehler gelten: Daraus folgt T n = y(t n) y(t n 1 ) h T n = y(t n) y(t n 1 ) h Φ f (y(t n 1 ), t n 1 ; h) = O(h p ), Φ f (y(t n 1 ), t n 1 ; h) = O(h q ). T n T n = Φ f (y n 1, t n 1 ; h) Φ f (y n 1, t n 1 ; h) = 1 h (ŷ n y n ). 9.7 Schrittweitensteuerung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

68 Numerik II 130 Wegen T n T n = T n (1 + O(h q p )) T n erhalten wir aus eine (grobe) Schätzung für T n. 1 h y n ŷ n T n Ist 1 h y n ŷ n > tol, so wird die Schrittweite h verworfen und mit ) p ( h = α h tol h y n ŷ n ( ) eine neue Schrittweite h bestimmt. Die Wahl von h motiviert sich folgendermaßen: benutzte Schrittweite h: 1 h y n ŷ n T n = ch p + O(h p+1 ) ch p, erwünschte Schrittweite h: tol = T n = c h p + O( h p+1 ) c h p. (α ist hier ein Sicherheitsfaktor, etwa α = 0.9). 9.7 Schrittweitensteuerung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

69 Numerik II 131 Ausgehend von y n 1 werden jetzt neue Näherungen y n und ŷ n (an der Stelle t n 1 + h) berechnet. Diesen Prozess wiederholt man solange, bis 1 h y n ŷ n tol erfüllt ist. Dann wird ( ) verwendet, um eine neue (größere) Schrittweite für den nächsten Schritt (n n + 1) vorzuschlagen. Um den Aufwand in Grenzen zu halten, verwendet man zur Berechnung von y n und ŷ n zwei RKV (verschiedener Ordnungen), deren Butcher- Tableaus sich nur in b unterscheiden (d.h. A und c sind gleich, so dass die k j nur einmal berechnet werden müssen). Man spricht von eingebetteten RKV und schreibt c A b b z.b /2 1/2. Hier wird das Euler-Verfahren (p = 1) in das verbesserte Euler-Verfahren (p = 2) eingebettet. 9.7 Schrittweitensteuerung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

70 Numerik II 132 Ein populäres Beispiel ist die Fehlberg 4(5)-Formel: Hier werden zwei sechsstufige RKV der Ordnungen 4 bzw. 5 kombiniert Schrittweitensteuerung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

71 Numerik II 133 Ein weiteres Beispiel ist die Dormand-Prince 4(5)-Formel: Hier wird ein sechsstufiges RKV der Ordnung 4 in ein siebenstufiges der Ordnung 5 eingebettet Schrittweitensteuerung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010