Kapitel 6 Gewöhnliche Differenzialgleichungen (DGL)

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1 Kapitel 6 Gewöhnliche Differenzialgleichungen (DGL) Problemstellung Beispiele Klassifizierung von DGLs, Existenz und Eindeutigkeit des AWPs Einschrittverfahren Stabilität & Schrittweitenkontrolle Mehrschrittverfahren Numerische Mathematik II Herbsttrimester

2 Problemstellung: Differenzialgleichungen tauchen in vielen technischen mathematischen und naturwissenschaftlichen Vorgängen auf. Man kann gewisse Eigenschaften einer Funktion mit Hilfe Ihrer Ableitungen beschreiben kennt aber nicht den Verlauf der Funktion. Die Aufgabe der Mathematik besteht nun darin die Funktion selbst zu bestimmen. Eine geschlossene Lösungstheorie zur analytischen Lösung allgemeiner DGL existiert nicht (Ausnahme z.b. lineare DGL mit konstanten Koeffizienten). Man muss daher im Regelfall auf numerische Verfahren zurückgreifen. Bsp. 6.1 Wachstumsprozesse: Bezeichnen wir die Bevölkerungszahl mit y und die Wachstumsrate mit y. Es ist leicht einzusehen dass die Wachstumsrate proportional zur Bevölkerung ist: y (t) = cy(t). Die allgemeine Lösung lautet y t = k e ct mit einer Konstanten k. Die Lösung wird eindeutig wenn wir einen Anfangswert spezifizieren z.b. y 0 = y 0 k = y 0. Man spricht dann von einem Anfangswertproblem. Die obige DGL ist linear. Numerische Mathematik II Herbsttrimester

3 Bsp. 6.2 In Beispiel 6.1 haben wir angenommen, dass die Bevölkerung unendlich wachsen kann. Da der Lebensraum und offenbar die Ressourcen beschränkt sind nehmen wir an die Population kann einen Wert B nicht übersteigen. Man erhält dann die Modell-Gleichung: y t = cy t 1 y/b Falls y B entspricht dies Bsp 6.1. Wenn y = B findet keine Wachstum mehr statt. Die DGL ist nicht linear - es tauchen Terme in y 2 auf. Bsp. 6.3 Betrachten wir nun 2 wechselwirkende Populationen. Sei z.b. y 1 die Anzahl der Füchse und y 2 die Anzahl der Hasen. Nehmen wir an Füchse ernähren sich ausschließlich von Hasen und Hasen haben als natürliche Feinde nur Füchse. Das Nahrungsangebot für Hasen sei unbegrenzt. Man erhält das vereinfachte Modell: y 1 t = C 1 y 1 t y 2 t D 1 y 1 t y 2 t = C 2 y 2 t D 2 y 1 t y 2 t Dabei beschreibt C 1 die Vermehrung der Füchse, D 1 deren Sterberate, C 2 das Wachstum der Hasenpopulation D 2 deren Sterberate durch Gefressenwerden. Wir erhalten ein System gekoppelter DGL. Numerische Mathematik II Herbsttrimester

4 Numerische Mathematik II Herbsttrimester Bsp. 6.4 Das folgende System aus nichtlinearen Differenzialgleichungen beschreibt die Bewegung eines konventionellen Flächenflugzeuges in der Symmetrieebene (Quelle: Wohler, Schulte).. Differenzialgleichungen: Kräfte & Momente: Beiwerte & Flugzeugpolare: Atmosphäre (0-11km): cos sin sin cos cos sin V R V H q I M q mv F V g mv A m F g m W V y n m W A H F F Sl V H C M S V H C W S V H C A 0 0max ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( V l C V l q C C C C C kc C C C C C C m mq m m m m A W W A A A A 0 0, , ) ( H R g H H T H

5 Bsp. 6.5 Ein harmonischer ungedämpfter Oszillator kann beschrieben werden durch das Zusammenwirken von Federrückstellkraft (Hook) und Trägheitskraft (Newton). Es gilt also m x = m a = cx oder x = c/m x. Wir erhalten eine DGL zweiter Ordnung (wegen x ). Bsp 6.6 Inkompressible Strömungen werden beschrieben durch die Navier-Stokes Gleichungen. Diese lassen sich i.a. nur numerisch lösen. Es handelt sich um gekoppelte partielle DGL (d.h. Ableitungen nach >1 Variablen). Man beachte die Einsteinsche Summenkonvention: bei doppelten Indizes wird über den Index von 1-3 summiert. Massenbilanz: u x i i 0 Impulsbilanz: u t i u u i x j j x j u x i j u x i j 1 p x i DNS eines Freistrahls Numerische Mathematik II Herbsttrimester

6 Die nächsten Folien zeigen eine Vielzahl weiterer Beispiele aus der Automobilindustrie für die numerische Lösung gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen. Bsp 6.7 Betrachtungen am Motorgesamtsystem bzw. Gesamtfahrzeug. (Verbrauchs- und Performanceberechnung, Turboladerauswahl, Motor-Leistungsberechung) Numerische Mathematik II Herbsttrimester

7 Bsp 6.8 Numerische Strömungsmechanik in der Automobilindustrie (In-Zylinder Strömung, Auslasskrümmer, Kühlkreislauf) Numerische Mathematik II Herbsttrimester

8 Bsp 6.9 Thermomechanik und Dynamik und in der Automobilindustrie (Blocktememperaturen, Bohrungsverzüge, Pleuelberechnung, NVH (Noise, Vibration Harshness) Numerische Mathematik II Herbsttrimester

9 Bsp Wir betrachten die DGL y t = 1 + y t 2 mit Lösungsschar y t = tan (t + c). Differenzialgleichungen lassen sich mit Hilfe des Richtungsfeldes wie folgt veranschaulichen. Es gilt: y t = f(t, y(t)). Das heißt wenn die Lösung y t durch den Punkt (t, y) verläuft so muss er dort die Steigung y t = f(t, y(t)) haben. Die Lösungskurven der DGL laufen tangential zum Richtungsfeld. Die Lösung wird eindeutig durch fixieren eines Punktes. Beispielsweise muss im Punkt 0,0 die Lösung Steigung 1 haben Numerische Mathematik II Herbsttrimester

10 Klassifikation von Differenzialgleichungen Def. 6.1 (1) Sei f: a, b R m R m stetig. Dann nennt man y t = f t, y t eine gewöhnliche DGL erster Ordnung. (Bsp. 6.1) (2) Unter einer Lösung versteht man eine differenzierbare Funktion y: a, b R m die (1) erfüllt. (3) Für m > 1 spricht man von einem DGL System (Bsp. 6.3 & 6.4) (4) Man spricht von einem Anfangswertproblem (AWP) wenn y die DGL löst und zusätzlich gilt y t 0 = y 0 gilt. (Bsp. 6.1) (5) Wir bezeichnen weiterhin y (m) t = f t, y t, y t,, y m 1 (t) mit y t 0 = y 0, y t 0 = y 0 1,, y (m 1) t 0 = y 0 m 1 als AWP m.-ter Ordnung. Hier treten Ableitungen bis zur Ordnung m auf. (Bsp. 6.5) (6) Die DGL heißt linear wenn gilt y t = A t y t + g t mit A: a, b R m,m (Bsp. 6.1) (7) Die DGL heißt autonom falls y t = f y t, wenn also f nicht explizit von t abhängt. Numerische Mathematik II Herbsttrimester

11 (7) Die Differentialgleichungen oben heißen explizit. Eine implizite DGL erster Ordnung wäre beispielsweise: G t, y t, y (t) = 0. Wenn man diese nach y (t) auflösen kann wird sie explizit. (8) Verallgemeinert man das Problem auf mehrere Veränderliche also sucht man statt einer, z.b. zeitlich variablen Funktion, eine die (auch) vom Ort abhängt und treten in der DGL partielle Ableitungen auf spricht man von partiellen Differentialgleichung (Bsp. 6.6) im Gegensatz zur gewöhnlichen DGL. Bemerkung: Es ist immer möglich eine DGL y t = f t, y t, mit y t 0 = y 0, f: a, b R m R m in autonome Form zu bringen. Wir definieren hierzu eine zusätzliche nullte Komponente z 0 t = t. Offenbar gilt z 0 t = 1. Man erhält dann wie folgt ein äquivalentes System in autonomer Form mit F: a, b R m+1 R m+1 z 0 1 t 0 z y : = 1 f = 1 z 0 (t), z 1,, z 1 m y : = F z t z t 0 = 0 y m f m z 0 (t), z 1,, z m m y 0 Numerische Mathematik II Herbsttrimester

12 Weiterhin ist es immer möglich ein AWP m-ter Ordnung y (m) t = f t, y t,, y m 1 (t), y t 0 = y 0,, y (m 1) t 0 = y 0 m 1 in ein DGL System erster Ordung zur überführen. Hierzu werden Hilfsvariablen eingeführt: z 1 = y, z 2 = y,, z m = y (m 1). Differenzieren ergibt: z 1 = z 2,, z m 1 = z m, z m = y m = f t, z 1 t,, z m (t) oder z 1 z 2 z : = = : = F t, z t z m f t, z 1,, z m y 0 z t 0 = m 1 y 0 Oftmals ist numerische Software (z.b. auch MATLAB) nur für Systeme erster Ordnung geschrieben (die Umformung ist dann notwendig). Wir können uns für theoretische Betrachtungen auf DGLs erster Ordnung beschränken. Wenn notwendig können wir auch annehmen, dass diese autonom sind. Numerische Mathematik II Herbsttrimester

13 Wir befassen uns in diesem Kapitel ausschließlich mit Anfangswertproblemen gewöhnlicher DGL. Folgender Satz ist ein klassisches Resultat der Analysis (Beweis mit Banachschem Fixpunktsatz): Satz 6.2 (Picard Lindelöf): Sei f: a, b R m R m stetig in allen Argumenten und lipschitzstetig im zweiten Vektorargument, d.h. mit einer Konstanten L 0 gelte f t, y f t, z L y z t a, b, y, z R m dann besitzt das AWP eine eindeutige Lösung. Bemerkungen: Für m = 1 ersetze man die Norm durch den Betrag Wenn die Bedingungen aus Satz 6.2 nur lokal erfüllt sind gibt es immerhin eine lokale Lösung (d.h. definiert in der Umgebung des Startwertes) Ist f stetig partiell differenzierbar im zweiten Vektorargument dann genügt f lokal einer Lipschitz Bedingung Betrachte y = 3y 2/3, y 0 = 0. Die Lipschitzbedingung ist in 0 verletzt. Die Lösung ist nicht eindeutig: y α t t α + 3, α > 0 Numerische Mathematik II Herbsttrimester

14 Einschrittverfahren: Die Mehrzahl der numerischen Verfahren zur Lösung von AWPs arbeitet mit Diskretisierungen. Dazu wird das Intervall [a, b] zerlegt in diskrete Werte t 0 < t 1 < t 2 < mit den Schrittweiten h k t k+1 t k. Dann wird entweder die Ableitung in y t = f t, y t oder das Integral in der zum AWP (Def. 6.1) äquivalenten Formulierung y t = y 0 + f τ, y τ dτ t t 0 durch eine Näherung ersetzt. Wir bezeichnen die exakte Lösung an der Stelle t k mit y t k = y k. Die diskret definierte Näherungslösung des AWP bezeichnen wir im Folgenden mit u k y t k. Für die Ableitung benutzen wir die äquivalenten Bezeichnungen: u k = f k f(t k, u k ). ( ) Zur Illustration der Idee kehren wir zurück zu Beispiel 6.7. Numerische Mathematik II Herbsttrimester

15 Bsp Das denkbar einfachste numerische Verfahren erhält man indem man y (t i ) durch (y t i+1 y t i )/h i approximiert und in die DGL einsetzt: u n+1 u n + h n f n. Wir wollen eine Näherungslösung der DGL y t = 1 + y t 2 auf dem Intervall [0,1.2] berechnen mit y 0 = 0. Als Schrittweite wählen wir h = 0.2. Man erhält das Verfahren u 0 = 0, u n+1 u n (1 + u n 2 ). Exakte Lösung und numerische Lösung sind in der Abbildung unten gezeigt. Mit t i = i 0.2, i = 0,, 6 erhält man u i = [ ] Numerische Mathematik II Herbsttrimester

16 Def. 6.3 Elementare Einschrittverfahren: das explizite Euler-Verfahren ist definiert durch die Vorschrift: u n+1 u n + h n f n = u n + h n f(t n, u n ) das implizite Euler-Verfahren ist definiert durch u n+1 u n + h n f n+1 = u n + h n f t n+1, u n+1 Bemerkung: Man erhält das implizite Euler Verfahren indem man y (t i+1 ) durch (y t i+1 y t i )/h i approximiert (Rückwärtsdifferenz). In der Integralformulierung ( ) entspricht das der Approximation des Integrals durch den Wert am rechten Rand multipliziert mit der Länge des Integrationsintervalls. Das Verfahren heißt implizit weil u n+1 auf beiden Seiten der Gleichung auftaucht. Man muss bei der Berechnung i.a. eine nichtlineare Gleichung lösen. Numerische Mathematik II Herbsttrimester

17 Bevor wir weitere Verfahren definieren wollen wir uns mit Fragen der Konvergenz beschäftigen. Betrachten wir den Fehler an der Stelle t = 1 = t 5. Es gilt u 5 = u 4 + h 4 f 4. Der Fehler an der Stelle t = 1 (Differenz durchgezogene blaue (exakte Lsg DGL) und schwarze Linie (Euler Verfahren)) setzt sich aus 2 Komponenten zusammen: Zum einen dem Fehler der dadurch entsteht dass man bei t = 0.8 von der falschen Lösung losläuft, nämlich u 4 statt y 4. Zum andernen dadurch, dass man den Integranden im Integral durch eine Konstante ersetzt also die Änderung der Steigung vernachlässigt. Die gestrichelte blaue Linie zeigt die Exakte Lösung der DGL zum AW y 0.8 = u Numerische Mathematik II Herbsttrimester

18 Wir benutzen im Folgenden die Tatsache, dass Einschrittverfahren generell in der Form u n+1 u n + h n φ f (h, t, u) geschrieben werden können (vgl. z.b: Definition 6.3). Bei impliziten Verfahren steht φ f (h, t, u) allerdings für eine Vorschrift keine explizite Funktion. Def. 6.4 Globaler Fehler: Sei e h, t u n h y(t) mit h = (t t 0 )/n. Das Verfahren heißt konvergent auf a, b mit Ordnung p falls e h, t C h p. Lokaler Fehler: Sei u n eine numerische Lsg. der DGL und z n 1 die exakte Lsg. des AWP y t = f t, y t, y t n 1 = u n 1. Wir bezeichnen dann die Größe δ h, t, u z n 1 t n u n als lokalen Abbruchfehler. Der Konsistenzfehler ist definiert durch τ h, t, u δ h, t, u /h. Ein Verfahren heiß konsistent wenn lim h 0 τ h, t, u = 0 gleichmäßig in t, u. Die Konsistenzordnung ist p, falls τ h, t, u C h p. Für Einschrittverfahren ist obige Defintion äquivalent zu τ h, t, u (z n 1 t n z n 1 t n 1 )/h n 1 φ(h, t, u) Numerische Mathematik II Herbsttrimester

19 Globaler Fehler Lokaler Fehler Falscher Startwert 1 (globaler t = 0.8) 0.6 Der lokale (Abbruch-)Fehler entspricht also dem in einem Zeitschritt neu hinzukommenden Fehler. Aus der Verfahrensdefinition u n+1 u n + h n φ f (h, t, u) und der DGL f t n, y t n = y t n (u n+1 u n )/h n = φ f (h, t, u) folgt durch Grenzübergang h 0 die Notwendigkeit der Bedingung φ h, t, u = f t, u. Lemma 6.5 zeigt, dass diese notwendige lim h Voraussetzung äquivalent ist zur Konsistenz des Verfahrens. Später werden wir zeigen, dass für Einschrittverfahren (und nur für diese) Konsistenz auch schon hinreichend ist für Konvergenz. Numerische Mathematik II Herbsttrimester

20 Lemma 6.5 Die rechte Seite der DGL f(t, y) sei stetig in t und Lipschitz stetig in y. Dann ist das Einschrittverfahren mit der Verfahrensfunktion φ f genau dann konsistent wenn gilt lim φ h, t, u = f t, u gleichmäßig in t, u. h 0 Beweis: Sei z: = z n 1 die Lsg. des AWP y t = f t, y t, y t n 1 = u n 1. Nach Definition 6.4 gilt für Einschrittverfahren: τ h, t, u = (z t n z t n 1 )/h φ h, t, u = (Mittelwertsatz, beachte dass θ nicht für jede Komponente identisch ist) = z t + θh φ h, t, u = f t + θh, z(t + θh) φ h, t, u ( ) Wenn also lim τ h, t, u = 0 so folgt lim φ h, t, u = f t, u. Umgekehrt schätzt h 0 h 0 man τ h, t, u durch ( ) nach oben ab durch τ h, t, u = f t + θh, z(t + θh) φ h, t, u f t + θh, z t + θh f t + θh, z t + f t + θh, z t f t, z t + f t, z t φ h, t, u (Teleskopsumme) L z t + θh z t + f t + θh, z t f t, z t + f t, z t φ h, t, u Die ersten beiden Summanden konvergieren für h 0 gegen 0. Damit folgt aus lim φ h, t, u = f t, u dass lim τ h, t, u = 0 und daher das Verfahren h 0 konsistent ist. h 0 Numerische Mathematik II Herbsttrimester

21 Bsp Sei z Lösung des AWP z t = f t, z t, z t n = u n Es gilt nach Definition 6.4. τ h, t, u = z(t n+1) z(t n ) φ h, t, u ( ) h Wir entwickeln nun z in eine Talyorreihe um t n. Es gilt also z t n+1 = z t n + hz t n + h2 2 z t n + oder z t n+1 z t n = f t h n, u n + h 2 z t n + h2 6 z t n Einsetzen in ( ) liefert für das explizite Euler Verfahren (φ = f(t n, u n )): τ h, t, u = h 2 z t n + h2 6 z t n + = O(h) Das Euler Verfahren hat also Konsistenzordnung 1. Offenbar erhält man eine Methode zur Herleitung eines Verfahrens der Ordnung p indem man setzt (beachte z t = f t, z t ): φ h, t, u p k=1 h k 1 k! z k t = p k=1 h k 1 k! d k 1 f(t, z(t)) dtk 1 Das Problem dabei ist das aufwändige Ausrechnen der dabei auftretenden partiellen Ableitungen mit Hilfe der Kettenregel. Numerische Mathematik II Herbsttrimester

22 Da der globale Fehler sich zusammensetzt aus lokalem Abbruchfehler und dem Fehler der dadurch entsteht, dass wir von einer falschen Startlösung ausgehen, müssen wir uns damit befassen wie weit zwei Lösungen der DGL zu unterschiedlichen Anfangswerten voneinander abweichen können. Satz 6.6 Seien h und g Lösungen der DGL y t = f t, y t und die Funktion f genüge einer Lipschitzbedingung in der zweiten Variablen. Dann gilt: h t g t e L t t 0 h t 0 g t 0 Bemerkung: Aus Satz 6.6 folgt ebenfalls, dass die Lösung des AWPs eindeutig sein muss. Beweis: Mit Hilfe der Integralformulierung des AWP sieht man: g t h t = g t 0 h t 0 + f τ, g τ f τ, h τ dτ t t 0 und daher Numerische Mathematik II Herbsttrimester

23 t g t h t g t 0 h t 0 + L g τ h τ dτ t 0 Wir definieren φ t t t 0 g τ h τ dτ φ (t) = g t h t und daher für t t 0 α t φ t LΦ t g t 0 h t 0 ( ). Das AWP φ t = α t + LΦ t, φ t 0 = 0 hat für t t 0 die Lösung φ t = e L(t t 0) α τ e L(τ t 0) dτ Es folgt mit ( ) die Abschätzung für t t 0 t t 0 (nachrechnen). 0 φ t e L t t 0 g t 0 h t 0 e L τ t 0 dτ = 1 L g t 0 h t 0 e L(t t 0) 1 Schließlich erhält man für die Behauptung für t t 0 h t g t = φ t = α t + LΦ t g t 0 h t 0 + L 1 L g t 0 h t 0 e L t t 0 1 = g t 0 h t 0 e L t t 0 Für t < t 0 geht man analog vor. t t 0 Numerische Mathematik II Herbsttrimester

24 Satz 6.7 Konvergenz von Einschrittverfahren Sei y die exakte Lösung des AWP y t = f t, y t, y t 0 = y 0 und sei u i die von einem Einschrittverfahren erzeugte Näherungslösung gemäß u 0 y 0, u k u k 1 + h k 1 φ(h k 1, t k 1, u k 1 ). Die rechte Seite der Gleichung sei Lipschitz stetig im zweiten Argument und das Verfahren sei konsistent τ h, t, u C h p. Dann gilt: y t n u n C max k h k p el t n t 0 1 L Beweis: Es bezeichne im Folgenden z k die exakte Lösung der DGL zum Anfangswert (t k, u k ) für alle k. Dann gilt nach Definition des Konsistenzfehlers: τ h k 1, t k 1, u k 1 = z k 1 (t k ) u k h k 1 = z k 1 (t k ) z k (t k ) h k 1 p+1 Nach Voraussetzung gilt daher z k 1 (t k ) z k (t k ) Ch k 1 Mit Satz 6.6 sieht man (beachte z k 1 Lösung des AWP zum Anfangswert (t k 1, u k 1 ) aber auch zum Anfangswert (t k, z k 1 (t k )) ) z k 1 (t n ) z k (t n ) z k 1 (t k ) z k (t k ) e L t n t k Numerische Mathematik II Herbsttrimester

25 Wir betrachten wieder eine Teleskopsumme u n y t n = z n (t n ) z 0 t n = z k t n z k 1 t n u n y t n z k t k z k 1 t k C max k Bemerkungen: n k=1 {h p k 1 n } e L t n t k h k 1 k=1 n k=1 n e L t n t k Ch p+1 k 1 e L t n t k C max k k=1 t n h p k 1 e L t n t t 0 Für Einschrittverfahren folgt aus Konsistenz bereits Konvergenz. Die Konsistenzordnung entspricht der Konvergenzordnung (entspricht der Ordnung des lokalen Abbruchfehler -1) Wir haben beim Beweis die Abschätzung benutzt wie weit zwei Lösungen zu unterschiedlichen Startwerten voneinander abweichen können und den lokalen Abbruchfehler. Die Bedeutung des Satzes liegt darin, dass man Konsistenz sehr viel leichter überprüfen kann, z.b. mit der Taylorreihe. dt Numerische Mathematik II Herbsttrimester

26 Wir wollen nun weitere Verfahren kennenlernen. Hilfreich ist hier die Integralformulierung des AWP. Wir können nun verschiedene numerische Integrationsformeln zur Bestimmung der Verfahrensfunktion anwenden. t n+1 y(t n+1 ) = y(t n ) + f τ, y τ dτ t n Taucht bei der Integration ein Wert y t auf den man noch nicht bestimmt hat gibt es zwei Möglichkeiten: (1) man lässt den unbekannten Wert auf der rechten Seite stehen und erhält dann ein implizites Verfahren. Beim impliziten Euler t Verfahren setzt man z.b. n+1 f τ, y τ dτ h t n n f(t n, y t n+1 ) (2) Die zweite Methode besteht darin einen Schätzwert für das unbekannte f t, y t zu ermitteln. Hierbei kommt dann ein explizites Verfahren, häufig das Euler Verfahren, zum Einsatz. Numerische Mathematik II Herbsttrimester

27 Zunächst eine kurze Wiederholung aus der Analysis: Taylorreihe einer reell-wertigen Funktion von 2 Veränderlichen: f x 1 + h 1, x 2 + h 2 = f x 1, x 2 + h 1 f x x 1, x 2 + h 2 f x 1 x 1, x h x f x 2 1, x 2 + h x f x 1, x 2 + h 1 h 2 2 x 1 Kettenregel für Funktionen mit einem Parameter d dt f x 1(t), x 2 (t) = f x x 1, x 2 x 1 1 t + x 2 f x 1, x 2 + f x x 1, x 2 x 2 2 t Numerische Mathematik II Herbsttrimester

28 Satz 6.8 Beide Euler-Verfahren haben Konsistenzordnung p = 1. Alle folgenden Verfahren haben Konsistenzordnung p = 2. Die Mittelpunktsregel. Sie kann auch als 2-stufiges Runge-Kutta Verfahren angesehen werden. u n+1/2 = u n + h 2 f t nu n, u n+1 = u n + hf(t n+1/2, u n+1/2 ) Man schreibt auch: k 1 = f t n, u n, k 2 = f t n + h/2, u n + h/2 k 1, u n+1 = u n + hk 2 Das Heun-Verfahren entsteht aus der Trapezregel durch Schätzen von y n+1 mit einem Eulerschritt k 1 = f t n, u n, k 2 = f t n + h, u n + hk 1, u n+1 = u n + h 2 (k 1 + k 2 ) Man nennt es auch Prädiktor-Korrektor weil man u n+1 erst vorhersagt und dann korrigiert. Das Crank-Nicolson Verfahren entsteht ebenfalls aus der Trapezregel ist aber implizit: u n+1 = u n + h 2 f t n, u n + f t n+1, u n+1 Numerische Mathematik II Herbsttrimester

29 Beweis: Es gilt τ h, t, u = z(t n+1) z(t n ) φ h, t, u, z t h n = u n. Der Argumentation von Bsp folgend reicht es zu zeigen: φ h, t, u = p k=1 h k 1 k! d k 1 f t, z t dtk 1 + O hp Das Euler-Verfahren wurde bereits behandelt. Betrachten wir die Verfahren zweiter Ordnung. Die obige Summe lautet dann (Kettenregel): φ = f t n, z t n + h 2 f t t n, z t n + h 2 f y t n, z t n f t n, z t n ( ) Die Mittelpunktsregel hat die Verfahrensfunktion (Taylor) φ h, t n, u n = f t n + h/2, u n + h/2f t n, u n = f t n, u n + h 2 f t t n, u n + h 2 f t n, u n f y t n, u n + O h 2 Beim Heun-Verfahren lautet die Verfahrensfunktion φ h, t n, u n = 1 2 f t n, u n + f t n + h, u n + hf t n, u n = 1 2 f t n, u n + f t n, u n + hf t t n, u n + hf t n, u n f y (t n, u n ) + O h 2 In beiden Fällen hat man also Übereinstimmung mit ( ) bis auf O h 2. Numerische Mathematik II Herbsttrimester

30 Für das Crank Nicolson-Verfahren mit Verfahrensfunktion φ h, t n, u n = 1 2 f t n, u n + f t n+1, u n+1 betrachten wir wieder die Integralformulierung: t z t n+1 = z t n + n+1 f τ, z τ dτ = (Corollar 3.12) t n = z t n + h 2 f t n, u n + f t n+1, u n+1 1 f ξ, z ξ 12 dt2 h3 Es folgt τ h, t, u = z(t n+1) z(t n ) φ h, t, u = O(h 2 ). h d 2 Wir wollen als nächstes Einschrittverfahren höherer Ordnung definieren. Durch Abgleich der Koeffizienten mit p k=1 h k 1 k! d k 1 f t, z t dtk 1 + O hp kann dabei die gewünschte Konsistenzordnung erreicht werden. Numerische Mathematik II Herbsttrimester

31 Def. 6.9 Ein Einschrittverfahren der Form i 1 k i = f t n + α i h, u n + h j=1 β i,j k j für i = 1,, r (1) r u n+1 = u n + h j=1 γ j k j (2) heißt r-stufiges explizites Runge-Kutta Verfahren. Das RK-Verfahren ist genau dann konsistent wenn gilt r j=1 γ j = 1 Beweis: Für h = 0 gilt k i = f t n, u n. Die Behauptung folgt aus Lemma r 6.5 mit Φ t, h, u = j=1 γ j k j = f t n, u n. Bemerkungen: Die Werte k i sind Funktionsauswertungen von f(t, y(t)) zu definierten Zwischenschritten. Manchmal fordert man hier auch noch die sog. Zeilensummenbedingung: α i = i 1 j=1 Formel (2) kann als Quadraturformel interpretiert werden. Da in (1) die Summe bis i 1 läuft handelt es sich hier um explizite Verfahren. Man kann analog auch implizite RK-Verfahren definieren. Alle bisher betrachteten Verfahren können in obige Form gebracht werden und somit als Runge-Kutta Verfahren angesehen werden. β i,j Numerische Mathematik II Herbsttrimester

32 Satz 6.10 (Butcher-Schranken) Ein r-stufiges explizites Runge-Kutta Verfahren kann bestenfalls Konsistenzordnung p = r erreichen falls r 4. Für r = 5,6,7 gilt p r 1, für r = 8,9 gilt p r 2 für r 10 gilt p r 3. Bemerkungen: In obigem Sinn sind also RK-4 Verfahren optimal. Man kann Runge-Kutta Verfahren unterschiedlicher Konsistenzordnung kombinieren um den Fehler zu schätzen und damit die Schrittweite zu kontrollieren (vergleiche adaptive numerische Integration). Ein berühmter Vertreter dieser Gattung ist das 6-stufige Fehlberg Verfahren. Dort kann man die k i auf unterschiedliche Weisen so kombinieren, dass ein Verfahren 4. bzw. 5. Ordnung entsteht. Speziell entwickelt für die Anwendung bei partiellen DGLs gibt es auch sogenannte low-storage RK Verfahren, bei denen man die gesuchte Lösungsvariable weniger als r mal speichern muss. Implizite Runge Kutta Verfahren können maximal die Konsistenzordung p = 2r erreichen. Numerische Mathematik II Herbsttrimester

33 Def Das bekannteste klassische explizite Runge-Kutta Verfahren vierter Ordnung lautet: k 1 = f(t n, u n ) k 2 = f t n + h/2, u n + h/2 k 1 k 3 = f t n + h/2, u n + h/2 k 2 k 4 = f t n + h, u n + h k 3 u n+1 = u n + h 6 k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 Es hat Konsistenzordnung 4. Das folgende Zitat aus Referenz [2] beschreibt sehr treffend die Eigenschaften des obigen Verfahrens. For many scientific users, fourth-order Runge-Kutta is not just the first word on ODE integration, but the last word as well. In fact, you can get pretty far on this old workhorse, especially if you combine it with an adaptive stepsize algorithm. Numerische Mathematik II Herbsttrimester

34 Wir haben bereits festgestellt, dass bei impliziten Verfahrensfunktionen i.a. eine nichtlineare Gleichung zu lösen ist. Hierzu kann man auf die bekannten Verfahren der Numerik I zurückgreifen. Speziell kann man für ein implizites Verfahren φ 2 von Ordnung p die Fixpunktiteration (k+1) u n+1 = un + hφ 2 h, t n+1, u (k) n+1 (Korrektor) anwenden wobei der Anfangswert (0) u n+1 = u n + hφ 1 h, t n, u n (Prädiktor) mit einem beliebigen expliziten Verfahren berechnet werden kann, welches mindestens die Ordnung p 1 haben sollte. Das Prädiktor Korrektor Verfahren konvergiert, wenn φ 2 Lipschitz stetig in u k ist, denn dann gilt für die Iterationsfunktion ψ x u n + hφ 2, x ψ x ψ y = h φ 2 h, t n+1, x φ 2 h, t n+1, y hl x y. Mit anderen Worten die Abbildung ist für ausreichend kleines h kontrahierend ( Zeitschrittbedingung). In der Praxis bricht man meistens nach wenigen Iterationen ab (z.b. einer oder zwei). Formal erhält man dann wieder ein explizites Verfahren. Man vergleiche das obige Vorgehen mit dem Heun Verfahren. Numerische Mathematik II Herbsttrimester

35 y(t) y(t) Bsp Die Abbildungen unten zeigen die numerische Lösung unseres AWP aus Beispiel 6.10 y t = 1 + y t 2, y 0 = 0 auf dem Intervall 0,1 mit h = 0.2 für das explizite Euler Verfahren, das Crank- Nicolson Verfahren und Runge Kutta Verfahren 4. Ordnung. Das Runge Kutta Verfahren stimmt an den berechneten Stellen bereits fast perfekt mit der exakten Lösung überein Exakte Lsg. Euler explizit Crank Nicolson Runge Kutta 4. Ord Exakte Lsg. Euler explizit Crank Nicolson Runge Kutta 4. Ord t t Numerische Mathematik II Herbsttrimester

36 Stabilität & Schrittweitenkontrolle Die Stabilität von numerischen Verfahren spielt eine herausragende Rolle für deren Anwendbarkeit in der Praxis. Der Begriff Stabilität ist dabei nicht einheitlich definiert. Wir unterscheiden im Folgenden zwei Definitionen: Nullstabilität: Die Nullstabilität bezieht sich auf das Verhalten des Verfahrens im Grenzfall h 0. Das Integrationsintervall 0, T wird dabei festgehalten. Sie sichert eine schwache Sensitivität des Verfahrens gegenüber kleinen Änderungen in den Daten (z.b. Rundungsfehler). Nullstabilität ist also wichtig bei der Konstruktion von Verfahren. Absolute Stabilität: Die absolute Stabilität eines numerischen Verfahrens zur Lösung einer DGL bezieht sich auf die Beschränktheit der Lösung bei festem h und wachsendem Integrationsintervall 0, T, T. Die absolute Stabilität ist wichtig bei der Anwendung von Verfahren, da sich hieraus ein Kriterium an den Zeitschritt ableiten lässt. Numerische Mathematik II Herbsttrimester

37 Def Das numerische Verfahren zur Lösung des AWP mittels einem Einschrittverfahren heißt nullstabil, wenn für alle Störungen mit δ k ε gilt: h 0 > 0, C > 0: h 0, h 0 z h h n u n Cε 0 n N h wobei z n, u n die Lösungen der Probleme z n+1 = z n + h φ h, t n, z n + δ n+1, z 0 = y 0 + δ 0 Darstellen. u n+1 = u n + h φ h, t n, u n, u 0 = y 0 Bemerkungen: Man kann zeigen, dass Einschrittverfahren auf Grund der Lipschitzstätigkeit nullstabil sind. Konsistenz ist bei Einschrittverfahren hinreichend für die Konvergenz (Satz 6.7) Für Mehrschrittverfahren gilt dies i.a. nicht. Ein konsistentes Mehrschrittverfahren ist genau dann konvergent wenn es nullstabil ist (siehe Äquivalenzsatz von Lax-Richtmyer & Satz 6.17). Numerische Mathematik II Herbsttrimester

38 Zur Untersuchung der absoluten Stabilität betrachten wir ein spezielles Testproblem: y t = λy t, y 0 = 1 mit Re λ < 0 ( ) Man beachte, dass in diesem Fall lim y t = 0 gilt. Man stellt nun die t Mindestanforderung, dass das numerische Verfahren das asymptotische Verhalten korrekt wiedergibt: Def Ein numerisches Verfahren zur Approximation von ( ) heißt absolut stabil wenn gilt: u n 0 für n. Die numerische Lösung von ( ) hängt von h, λ ab. Wir bezeichnen mit A z hλ C u n 0 für n den Bereich der absoluten Stabilität des Verfahrens. Ein Verfahren heißt A-stabil wenn z C Re z < 0 A, d.h. das Verfahren liefert das richtige asymptotische Verhalten für alle h > 0. Bemerkung: Man fordert natürlich nicht, dass für jede DGL die asymptotische Lösung gegen Null strebt. Man beobachtet aber, dass für DGL deren exakte Lösung nicht gegen Null strebt die Eigenschaft der absoluten Stabilität kleine Störungen kontrolliert, also auch vorteilhaft ist. Numerische Mathematik II Herbsttrimester

39 Bsp Absolute Stabilität der Euler-Verfahren: Wir wollen die DGL y t = λy t, y 0 = 1 mit Re(λ) < 0 mit den Euler Verfahren lösen (beachte λ a + ib e a+ib t = e at [cos bt + i sin bt ]). Man erhält für die explizite Methode: u 0 = 1, u n+1 = u n + hλu n = u n 1 + hλ = u hλ n+1 Für absolute Stabilität muss gelten: 1 + hλ < 1 Wenn h positiv und λ reell ist, ist dies äquivalent zu h < 2/ λ. Das implizite Euler Verfahren ergibt: u 0 = 1, u n+1 = u n + hλu n+1 und daher u n+1 = u n = 1 1 hλ 1 hλ Absolute Stabilität erhält man also für den Bereich 1 hλ > 1. Wenn h positiv und λ reell ist, ist dies äquivalent zu h > 0 beliebig. Die Abbildungen zeigen die Bereiche absoluter Stabilität für das explizite (links) und das implizite Euler Verfahren (rechts). 1 Im(hλ) Re(hλ) Numerische Mathematik II Herbsttrimester Im(hλ) 1 n+1 Re(hλ)

40 Bsp 6.15 Wir berechnen mit den Euler Verfahren die Lösung des AWP y t = 1 y t, y 0 = 1. Für das explizite Verfahren muss gelten: h < 2. Die Abbildungen zeigen das Verhalten des expliziten (links) und impliziten (rechts) Verfahrens für verschiedene Schrittweiten h=2.1 h=1.9 h=2/3 exp(-t) 3 2/3 2.1 h=6 exp(-t) Numerische Mathematik II Herbsttrimester

41 y Bsp Das Crank-Nicolson und beispielhaft 3 explizite Runge-Kutta Verfahren haben die folgenden Stabilitätsbereiche (siehe auch Übung): Crank Nicolson Verfahren: A = z C Re(z) 0 Euler-Verfahren: A = z C 1 + z 1 Mittelpunktsregel: A = z C 1 + z + z2 2 1 Klassisches RK4: A = z C 1 + z + z2 + z3 + z Der Stabilitätsbereich der Crank-Nicolson Methode ist links zu sehen. Bei expliziten RK Verfahren nimmt die Größe des Bereichs mit der Ordnung zu. Er entspricht dem inneren der gekennzeichneten Flächen 4 in der Abbildung rechts. 3 Im(hλ) Euler explizit Heun Runge Kutta 4 Im(hλ) Re(hλ) Re(hλ) x Numerische Mathematik II Herbsttrimester

42 Bemerkung: Wir haben bisher nur die Stabilität skalarer DGL betrachtet. Wir wollen uns nun der Frage zuwenden wie wir den Stabilitätsbegriff auf DGL- Systeme verallgemeinern können und welche Schwierigkeiten dabei auftreten können. Betrachten wir zunächst ein lineares System von DGL mit konstanten Koeffizienten: y = A y(t). Die Matrix A sei diagonalisierbar, d.h. es gibt eine reguläre Matrix T und eine Diagonalmatrix D = diag(λ 1,, λ n ) mit T 1 AT = D. Es folgt dann mit z T 1 y die Äquivalenz von y t = A y t T 1 y = T 1 ATT 1 y z = T 1 ATz = Dz Die Gleichungen des transformierten Systems sind entkoppelt und daher lässt sich der skalare Stabilitätsbegriff aus Def auf Systeme von DGL übertragen. Die Stabilität muss dann für jede Komponente gewährleistet sein. Ein Problem tritt auf wenn die Eigenwerte stark unterschiedliche Größenordnungen haben. Solche DGL nennt man steif. Numerische Mathematik II Herbsttrimester

43 Def Man bezeichnet die lineare DGL y = A y t als steif, wenn sie Komponenten enthält deren Lösung für wachsendes t abklingen, jedoch mit sehr unterschiedlicher Geschwindigkeit: max Re λ i : Re λ i < 0 i min Re λ j : Re λ j < 0 1 j Bemerkungen: In der Praxis hat man oftmals mit nichtlinearen DLG zu tun. In diesem Fall kann man die DGL y t = f t, y t linearisieren. Sei o.b.d.a. y t = f y t y t f y τ + J f y τ y t y τ Dabei bezeichne J f die Jacobi Matrix der vektorwertigen Funktion f. Relevant sind dann die Eigenwerte der Jacobimatrix. Die Eigenwerte der Matrix J f charakterisieren das Verhalten der ursprünglichen Lösung nicht immer mit hinreichender Genauigkeit. Die Definition von Steifheit ist nicht einheitlich in der Literatur. Die Bezeichnung steif rührt von der Betrachtung mechanischer Systeme (z.b. steife Federn). Numerische Mathematik II Herbsttrimester

44 Bsp Betrachten wir das DGL System y 1 = 100y 1 y 1 0 = 1 y 2 = 2y 2 + y 1 y 2 0 = 1 Mit der exakten Lösung (siehe Abbildung rechts) y 1 t = e 100t y 2 t = 1 98 e 100t e 2t Die Eigenwerte der Matrix sind 2, Die erste Gleichung erfordert also einen Zeitschritt von h < 2/100. Man würde vermuten, dass die zweite Gleichung für t > 0.1 einen Zeitschritt 5 h < 2/2 verlangt. Dass dies nicht der Fall ist zeigt 4 die Abbildung rechts. Bei der numerischen Berech- 3 nung wurde der Zeitschritt ab t = 0.1 erhöht. Ob- 2 wohl die Lösung y 1 schon sehr klein ist muss zur Gewährleistung der Stabilität das Zeitschrittkri- 1 terium des dominierenden Eigenwertes eingehal- 0 ten werden, sonst explodiert die Lösung. Abhilfe schaffen hier implizite Verfahren y 1 y 2 Numerische Mathematik II Herbsttrimester

45 Automatische Schrittweitenwahl Wie bei der numerischen Quadratur kommt der automatischen Schrittweitenwahl auch bei der Lösung von Differenzialgleichungen eine große Bedeutung zu. Das Vorgehen ist sehr ähnlich zur numerischen Integration: Zunächst spezifiziert man die gewünschte Genauigkeit in einer geeigneten Norm, z.b. als absoluten Fehler y t u t = ε t t 0 oder relativen Fehler y t u t = ε t t 0 y t. Dann beschafft man sich einen Fehlerschätzer. Hier gibt es wieder zwei Varianten: Schätzung des Fehlers durch zwei Verfahren unterschiedlicher Ordnung, oder Schätzen des Fehlers unter Benutzung unterschiedlicher Schrittweiten Numerische Mathematik II Herbsttrimester

46 Variante I: Variable Schrittweite Sei z die exakte Lösung der DGL durch t k, u k. Wir berechnen eine Näherungslösung u k+1 mittels eines Schrittes der Länge 2h und eine Näherung u k+1 mittels zwei Schritten der Länge h. Für ein Verfahren der Ordnung p gilt dann: z t k + 2h u k+1 τ 2h p 2h p, z t k + 2h u k+1 2h(τ p h p ) Subtraktion liefert u k+1 u k+1 = (2 p 1)τ 2h p h p daraus folgt die Abschätzung des lokalen Fehlers: Δ τ p h p = u k+1 u k+1 2h 1 (2 p 1) Falls gilt Δ ε kann der Schritt akzeptiert werden. Andernfalls muss die Schrittweite verkleinert werden um den lokalen Fehler zu verringern. Dazu betrachte man den Übergang von einem Schritt der Länge h zu einem Schritt der Länge γh. Dann gilt für den lokalen Fehler τ p (γh) p = γ p p Δ ε γ = ε/δ Numerische Mathematik II Herbsttrimester

47 Variante II Die zweite Variante besteht darin zwei Verfahren unterschiedlicher Ordnung zu Verwenden, z.b. z t k + h u k+1 τ h p h p z t k + h u k+1, τ h p+1 h p+1 Es folgt unter der Annahme τ p h p τ p+1 h p+1 Δ: = u k+1 u k+1 τ h p h p τ p+1 h p+1 τ p h p τ p Δ/h p Beim Übergang von einem Schritt der Länge h zu einem Schritt der Länge γh erzielt das Verfahren der Ordnung p einen Fehler von τ p γh p Δ h p γh p = Δγ p. Wiederum gilt γ p Δ ε γ = ε/δ Bemerkungen: Für beide Varianten wird der Schritt akzeptiert wenn der lokale Fehler klein genug ist. Anderenfalls wird er verworfen und mit dem kleineren Zeitschritt wiederholt. Wenn die Näherung akzeptiert wird, wird trotzdem der Zeitschritt angepasst (vergrößert) für die nächste Iteration. p Numerische Mathematik II Herbsttrimester

48 Mehrschrittverfahren Def Mehrschrittverfahren Ein p-schritt Verfahren p 1 ist eines bei dem u n+1 von u n+1 p abhängt aber nicht von Werten u k mit k < n + 1 p. Wir betrachten im Folgenden nur lineare Mehrschrittverfahren. Sie sind von der Form: u n+1 = p 1 j=0 a j u n j p 1 + h b j f n j + b 1 f n+1 j=0 für u p, u p+1 Die Koeffizienten sind reell und es gilt a p 1 0 oder b p 1 0. Ist b 1 0 erhält man ein implizites Verfahren, ansonsten ein explizites Verfahren. Bemerkungen: Für p = 1 erhält man ein Einschrittverfahren Man benötigt Startwerte u 0,, u p 1 Numerische Mathematik II Herbsttrimester

49 Es gibt eine Reihe bekannter Familien von Mehrschrittverfahren: Adams-Verfahren entstehen indem wir a 0 = 1, a j = 0, j 1 setzen u n+1 = u n + h p 1 b j f n j j= 1 Im expliziten Fall (b 1 = 0) heißen Sie Adams-Bashforth Verfahren im impliziten Fall (b 1 0) Adams-Moulton Verfahren. Im impliziten Fall ist auch p = 0 erlaubt. Adams Verfahren sind konsistent wenn gilt: b j = 1 vgl. Def. 6.9) In beiden Fällen erhält man die Koeffizienten aus der t Integraldarstellung y t n+1 = y(t n ) + n+1 f τ, y τ dτ. Anstatt f wird das Interpolationspolynom integriert, welches im expliziten Fall in den Punkten t i, f i i = n + 1 p,, n interpoliert und im expliziten Fall in den Punkten t i, f i i = n + 1 p,, n + 1. Dabei wird eine äquidistante Diskretisierung t j = t 0 + jh vorausgesetzt, was eine nicht unerhebliche Einschränkung darstellt. t n Numerische Mathematik II Herbsttrimester

50 Die BDF Verfahren (Backward Differencing) erhält man durch setzen von b 1 0, b j = 0, j 0. u n+1 = p 1 j=0 a j u n j + hb 1 f n+1 Bei den BDF Methoden erhalten wir die Koeffizienten a j indem wir in y t = f t, y t die erste Ableitung y t n+1 ersetzen durch die erste Ableitung des Interpolationspolynoms vom Grad p in den p + 1 Knoten: t i, u i i = n + 1 p,, n + 1. Bemerkungen: Die Konsistenz von BDF Verfahren und im Allgemeinen von Mehrschrittverfahren ist nicht so leicht zu sehen wie im Fall der Adams Verfahren. Insbesondere folgt aus der Konsistenz eines Mehrschrittverfahrens nicht automatisch die Konvergenz im Gegensatz zu den Einschrittverfahren. Numerische Mathematik II Herbsttrimester

51 Satz 6.16 Das Mehrschrittverfahren ist genau dann konsistent wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: p 1 j=0 a j p 1 = 0 und ja j j=0 p 1 + b j j= 1 = 1 Satz 6.17 Ein konsistentes Mehrschrittverfahren ist genau dann nullstabil wenn es die sogenannte Wurzelbedingung erfüllt: Sei hierzu ρ r r p p 1 j=0 a j r p j das erste charakteristische Polynom des Verfahrens. Das Mehrschrittverfahren erfüllt die Wurzelbedingung wenn alle Wurzeln r i innerhalb des Einheitskreises in der komplexen Ebene mit Mittelpunkt 0 liegen und wenn alle auf den Rand fallenden Wurzeln einfach sind: r i 1 und ρ r i 0 falls r i = 1. Satz 6.18 (Lax-Richtmyer) Ein konsistentes Mehrschrittverfahren ist genau dann konvergent wenn es nullstabil ist und wenn der Fehler in den Anfangsdaten für h gegen Null gegen Null strebt. Numerische Mathematik II Herbsttrimester

52 Bsp p 1 Adams Bashforth Verfahren: aus u n+1 = u n + h j=0 b j f n j erhalten wir für p = 1: u n+1 = u n + hf n Für p = 2 sei P das Polynom welches in den Knoten f t n, t n 1 interpoliert: P t = f n 1 + t t n f n 1 n 1 dann gilt t n t n 1 P t n+1 = 2 f n f n 1, da t n+1 t n 1 = 2(t n t n 1 ) Offenbar gilt für das Integral t n+1 P τ dτ = h 2 P t n+1 + P t n = h 3 f t n 2 n f n 1 Insgesamt erhält man das Zweischritt- Verfahren u n+1 = u n + h 2 3 f n f n 1 Das Adams Bashforth Dreischritt-Verfahren lautet (siehe Übung) u n+1 = u n + h f n 16f n 1 + 5f n 2 Numerische Mathematik II Herbsttrimester

53 Bsp 6.19 Adams Moulton Verfahren: aus u n+1 = u n + h p 1 j= 1 erhalten wir für p = 0: u n+1 = u n + hf n+1 Für p =1 sei P das Polynom welches in den Knoten t n, t n+1 interpoliert P t n+1 = f n+1, P t n = f n und t n+1 b j f n j P τ dτ = h f 2 n+1 + f t n n. Insgesamt erhält man u n+1 = u n + h f 2 n+1 + f n also das Crank-Nicolson Verfahren. Für p =2 interpoliert man in den Knoten t n 1, t n, t n+1 und berechnet das Integral t n+1 t n P τ dτ mit der Simpson Regel. Man erhält: u n+1 = u n + h 12 5 f n+1 + 8f n f n 1 Eine Fixpunktiteration für das obige Verfahren lautet: (k+1) u n+1 = un + h 12 5f(t (k) n+1, u n+1) + 8fn f n 1 Zum Abschluss noch ein Verfahren vierter Ordnung: u n+1 = u n + h 24 9 f n f n 5f n 1 + f n 2 Numerische Mathematik II Herbsttrimester

54 Bsp 6.20 Ohne Herleitung drei Beispiele für BDF Verfahren: u n+1 = u n + hf n+1 u n+1 = 1 3 (4u n u n 1 ) + 2h 3 f n+1 u n+1 = 1 11 (18 u n 9u n 1 + 2u n 2 ) + 6h 11 f n+1 Bemerkungen Mehrschrittverfahren erfordern die Speicherung der vorangegangenen Schritte ( nur eine Funktionsauswertung im neuen Schritt) Adaptive Zeitschritte sind aufwändig (Koeffizienten ändern sich) Im Allgemeinen haben p-schritt Adams-Bashforth und BDF Verfahren die Ordnung p, Adams-Moulton Verfahren p + 1. BDF Verfahren haben einen großen Stabilitätsbereich. Sie sind für die Lösung von steifen Problemen attraktiv. Integriert man bei den Adams-Verfahren über ein Intervall der Länge 2h erhält man die expliziten Verfahren von Nyström z.b: u n+1 u n 1 + 2hf n und Milne Simpson (implizit) z.b. u n+1 u n 1 + h/3(f n 1 + 4f n + f n+1 ) Numerische Mathematik II Herbsttrimester

55 Die folgenden Abbildungen zeigen die äußere Begrenzung des Stabilitätsbereichs für Adams Bashforth & Adams Moulton Verfahren bzw. die innere Begrenzung für BDF Verfahren (aus Referenz [7]). Numerische Mathematik II Herbsttrimester

56 Bemerkungen: Man beachte, dass bei den Adams Verfahren der Stabilitätsbereich mit steigender Ordnung kleiner wird. Bei den BDF Verfahren ist bemerkenswert, dass die negative reelle Achse immer zum Stabilitätsbereich gehört. Es gibt keine nullstabilen BDF Verfahren der Ordnung größer 5. Es gelten die folgenden Limitierungen für lineare Mehrschrittverfahren (ohne Beweis) Erste Dahlquist Schranke: Es gibt kein nullstabiles q-schrittiges lineares Mehrschrittverfahren der Ordnung größer als q + 1 falls q ungerade ist und q +2 falls q gerade ist. Zweite Dahlquist Schranke: Ein lineares explizites Mehrschrittverfahren kann nicht A-stabil sein. Darüberhinaus gibt es kein A-stabiles lineares (implizites) Mehrschrittverfahren von höherer als zweiter Ordnung. Numerische Mathematik II Herbsttrimester

57 Zusammenfassung Bei der Analyse numerischer Verfahren zur Lösung von DGL unterscheidet man den globalen Fehler und den lokalen Abbruchfehler der durch die Konsistenzordnung charakterisiert wird. Wir haben zwei Stabilitätsbegriffe kennengelernt. Die Nullstabilität sichert die Stabilität des Verfahrens gegenüber kleinen Störungen für h 0. Einschrittverfahren sind, Lipschitzstetigkeit vorausgesetzt, automatisch nullstabil. Dies gilt nicht für Mehrschrittverfahren. Absolute Stabilität garantiert die Beschränktheit der Lösung für konstante Zeitschrittweite und wachsendes Integrationsintervall. Sie impliziert unter Umständen eine Schrittweitenbegrenzung. Nach dem Satz von Lax-Richtmyer impliziert Konsistenz und Nullstabilität die Konvergenz des Verfahrens. Die Bedeutung des Satzes liegt darin, dass Konvergenz deutlich schwieriger nachzuweisen ist. Man unterscheidet explizite und implizite Verfahren. Bei impliziten Verfahren taucht u n+1 auf beiden Seiten der Verfahrensvorschrift auf. Implizite Verfahren haben in der Regel einen deutlich größeren Stabilitätsbereich sind jedoch aufwändiger in der Auswertung. Numerische Mathematik II Herbsttrimester

58 Zusammenfassung Das explizite und implizite Euler-Verfahren ist auf Grund der niedrigen Ordnung für die meisten praktischen Belange ungeeignet. Einschrittverfahren haben generell den Vorteil der einfachen Steuerung der Schrittweite. Sie sind auch einfach auszuwerten und zu programmieren. Des Weiteren sind Sie unter schwachen Voraussetzungen nullstabil. Runge-Kutta Verfahren bilden eine sehr große Klasse von Einschrittverfahren. In der Praxis werden am häufigsten explizite RK Verfahren verwendet. Man benötigt jedoch relativ viele Funktionsauswertungen mit wachsender Ordnung. Eingebettete RK Verfahren bieten effiziente Möglichkeiten der Zeitschrittsteuerung. Mehrschrittverfahren (lineare) bieten hohe Ordnung mit wenigen Funktionsauswertungen. Die Nullstabilität und daher die Konvergenz sind nicht automatisch gewährleistet und müssen beim Entwurf beachtet werden. Die Anpassung der Zeitschrittweite ist relativ komplex. Anlaufwerte müssen durch ein Einschrittverfahren generiert werden. Numerische Mathematik II Herbsttrimester

59 Zusammenfassung Steife Systeme zeichnen sich durch stark unterschiedliche Zeitskalen aus. Der Einsatz expliziter Verfahren ist hier nicht sinnvoll. Man benötigt Verfahren mit großem Stabilitätsbereich. A-stabile Verfahren niedriger Ordnung sind das implizite Euler Verfahren, das Crank-Nicolson Verfahren und die BDF2 Methode. BDF Verfahren höherer Ordnung haben ebenfalls einen großen Stabilitätsbereich. Eine weitere alternative sind implizite RK Verfahren höherer Ordnung. Numerische Mathematik II Herbsttrimester