8 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen

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1 8 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 03 8 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 8. Grundlagen In der Numerik von gewöhnlichen Differentialgleichungen werden vorwiegend Aufgaben folgender Art behandelt: Definition 8.. (Aufgabenstellung) gegeben ist eine Anfangswertaufgabe: explizites Differentialgleichungssystem Ordnung: Anfangswert: y = f(x, y ) mit f : R R n R n y(x 0 ) = y 0 = ( y 0,.. ) T.,y0 n R n gesucht ist der Funktionswert ( Vektor) y(b) an der rechts von x 0 liegenden Stelle b. Es ist also nicht die Lösungsfunktion als solche gesucht, sondern der Funktionswert der Lösung an einer bestimmten Stelle b > x 0. Bemerkung 8.. Unter vernünftigen Voraussetzungen an die Funktion f etwa: f ist auf [x0, b] R n stetig bzgl. y gleichmäßig lipschitzstetig, d.h. es gibt eine Konstante L > 0 mit für alle x [x 0, b] und y, y R n f(x, y ) f(x, y ) L y y ist die Anfangswertaufgabe 8.. eindeutig lösbar. In vielen Anwendungen gilt n =, d.h. es handelt sich um eine explizite Differentialgleichung. Ordnung. Bemerkung 8..3 Differentialgleichungen (oder auch Differentialgleichungssysteme) höherer Ordnung können immer auf ein äquivalentes Differentialgleichungssystem. Ordnung zurückgeführt werden: Die DGL z (n) = f(x, z, z, z,...,z (n ) ) (6) n ter Ordnung. Fachhochschule Aachen. Januar 008

2 04 8. Grundlagen wird durch: y = z y = z y n y n. = z (n ) = z (n ) überführt in das Differentialgleichungssystem. Ordnung: y = y y = y 3. = y n y n = f(x, y, y,...,y n ) y n Eine Lösung z der Differentialgleichung 6 der Ordnung n führt zur Lösung (7) y = (z, z,..., z (n ) ) T des Differentialgleichungssystems 7 und umgekehrt eine Lösung y = (y, y,...,y n ) T des Differentialgleichungssystems 7 führt zu der Lösung der Differentialgleichung 6 der Ordnung n. Beispiel 8..4 ( Körper Problem) z = y Befindet sich im Punkt P (t) im Raum eine Masse M und bewegt sich mit der Geschwindigkeit P (t), sowie in Punkt P (t) eine Masse M mit Geschwindigkeit P (t), so beeinflussen sich die Massen gegenseitig aufgrund der Gravitation. Es gilt: P = γ M P = γ M ( P P ) P P 3 ( P P ) P P 3 (Ableitungen nach der Zeit t) wobei γ = m 3 Mit für i =, und P i (t) = P ix (t) P iy (t) P iz (t), P i(t) = P ix (t) P iy(t) P iz (t) die Gravitationskonstante ist. Kg s und P i (t) = P P P ix (t) iy(t) iz (t) y (t) = P x (t), y (t) = P y (t), y 3 (t) = P z (t), y 4 (t) = P x (t), y 5(t) = P y (t), y 6(t) = P z (t) Mathematik III/Numerik Fachbereich 8

3 8 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 05 y 7 (t) = P x (t), y 8 (t) = P y (t), y 9 (t) = P z (t), y 0 (t) = P x (t), y (t) = P y (t), y (t) = P z (t) führt das auf das Differentialgleichungssystem. Ordnung: y = y 4 y = y 5 y 3 = y 6 y 4 = γ M y 5 = γ M y 6 = γ M y 7 y ( (y7 y ) + (y 8 y ) + (y 9 y 3 ) ) 3 y 8 y ( (y7 y ) + (y 8 y ) + (y 9 y 3 ) ) 3 y 9 y 3 ( (y7 y ) + (y 8 y ) + (y 9 y 3 ) ) 3 y 7 = y 0 y 8 = y y 9 = y y 0 = γ M y = γ M y = γ M y y 7 ( (y7 y ) + (y 8 y ) + (y 9 y 3 ) ) 3 y y 8 ( (y7 y ) + (y 8 y ) + (y 9 y 3 ) ) 3 y 3 y 9 ( (y7 y ) + (y 8 y ) + (y 9 y 3 ) ) 3 Satz 8..5 (Rückführung der Anfangswertaufgabe auf eine Integralgleichung) Es sei eine Anfangswertaufgabe y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 gegeben. Integriert man die Gleichung y = f(x, y), unter der Voraussetzung, dass y und y eine Funktion von x ist, über dem Intervall [x 0, x] (d.h. linker Randpunkt ist das feste x 0 und der rechte Randpunkt das variable x), so erhält man (wegen der oberen Grenze x wird hier t als Integrationsvariable eingeführt, es wird komponentenweise integriert): x x 0 y (t) dt = y(x) y(x 0 ) = x x 0 x y(x) = y(x 0 ) + x 0 y(x) = y 0 + f(t, y(t)) dt f(t, y(t)) dt x x 0 x x 0 f(t, y(t)) dt mit y(x0 ) = y 0 f(t, y(t)) dt Fachhochschule Aachen. Januar 008

4 06 8. Grundlagen Die Anfangswertaufgabe ist also äquivalent zur Integralgleichung y(x) = y 0 + x x 0 f(t, y(t)) dt (8) Diese Integralgleichung ist mathematisch gesehen genauso kompliziert wie die Anfangswertaufgabe, denn die Anfangswertaufgabe besteht (im Wesentlichen) aus einer Gleichung, in der eine unbekannte Funktion y und deren Ableitung y vorkommen in der Integralgleichung taucht dieselbe unbekannte Funktion y und ein Integral über diese Funktion auf. Bemerkung 8..6 (Ansatz für numerische Verfahren) Intervallaufteilung: x 0 < x <... < x k < x k+ <... < x n = b unter der Voraussetzung, dass man y k = y(x k ) schon kennt, die Integralgleichung 8 lokal für das Intervall von x k bis x k+ anwenden: y(x k+ ) = y k+ = y k + x k+ x k f(t, y(t)) dt das in dieser Gleichung stehende Integral x k+ f(t, y(t)) dt x k näherungsweise mit einer (interpolatorischen) Quadraturformel berechnen. f(x, y(x)) x k x k x k x k+ Mathematik III/Numerik Fachbereich 8

5 8 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 07 Beispiel 8..7 (explizites Euler Verfahren) Nimmt man zur näherungsweisen Berechnung des Integrals die (linksseitige) Rechteckregel: x k+ x k f(t, y(t)) dt f(xk, y k ) (x k+ x k ) Skizze: bekannt f(x k, y k ) f(x, y(x)) x k x k x k x k+ so erhält man die Formel: y k+ y k + h k f(x k, y k ) mit h k = x k+ x k Das auf dieser Formel beruhende Verfahren heißt explizites Euler Cauchy Polygonzugverfahren. Algorithmus 8..8 (explizites Euler Verfahren) Gegeben: Anfangswertaufgabe y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0. Gesucht: Funktionswert (eigentlich: Vektor) y(b) mit b > x 0. Vorgehen: Unterteile das Intervall [x 0, b] in viele kleine Teilintervalle x 0 < x < x <... < x n = b und setze h k = x k+ x k (Teilintervalllänge des k-ten Intervalls). Ausgehend vom Anfangswert (x 0, y 0 ) berechne iterativ für k = 0,,,..., n : Dann gilt: y k+ = y k + h k f(x k, y k ) y n y(x n ) = y(b) Man kann zeigen: Sei h = max{ h k 0 k < n } die größte der beteiligten Teilintervalllängen, so gilt für den Fehler: y n y(b) O(h) d.h. das Euler Cauchy Verfahren hat die Ordnung. Fachhochschule Aachen. Januar 008

6 08 8. Grundlagen Beispiel 8..9 gegeben: Anfangswertaufgabe y = x + y, y(0) =.0 }{{} f(x,y) gesucht: y(.0) Es soll das Euler Cauchy Polygonzugverfahren mit konstanter Schrittweite h = 0. durchgeführt werden. Anfangswert: x 0 = 0.0, y 0 =.0 x = 0., y = y 0 + h f(x 0, y 0 ) = x = 0., y = y + h f(x, y ) = x 3 = 0.3, y 3 = y + h f(x, y ) = x 4 = 0.4, y 4 = y 3 + h f(x 3, y 3 ) = x 5 = 0.5, y 5 = y 4 + h f(x 4, y 4 ) = x 6 = 0.6, y 6 = y 5 + h f(x 5, y 5 ) = x 7 = 0.7, y 7 = y 6 + h f(x 6, y 6 ) = x 8 = 0.8, y 8 = y 7 + h f(x 7, y 7 ) = x 9 = 0.9, y 9 = y 8 + h f(x 8, y 8 ) = x 0 =.0, y 0 = y 9 + h f(x 9, y 9 ) = Ein Näherungswert für den gesuchten Funktionswert y(.0) ist y 0 = Bemerkung 8..0 (geometrische Beschreibung des Euler Cauchy Verfahrens) Im eindimensionalen Fall kann das explizite Euler Cauchy-Polygonzugverfahren geometrisch anhand des Richtungsfeldes der Differentialgleichung y = f(x, y) hergeletitet werden: Zur Anfangswertaufgabe y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 sei der Funktionswert der Lösung y(x) an der Stelle b > x 0 gesucht. Hierzu wird auf der x Achse die Strecke von x 0 nach b in kleine Teilintervalle unterteilt: x 0 < x < x <... < x n = b Aufgrund des Anfangswertes kennen wir den Funktionswert y 0 der Lösung y(x) an der Stelle x 0 die Lösung y(x) soll ja durch den Punkt (x 0, y 0 ) gehen. Ausgehend von diesem Anfangswert (x 0, y 0 ) wird jetzt wie folgt ein Näherungswert y für den Funktionswert y(x ) der Lösung y(x) an der Stelle x ermittelt:. Man setzt den Punkt (x 0, y 0 ) in die rechte Seite der Differentialgleichung ein und erhält die Steigung y 0 = f(x 0, y 0 ) der (ansonsten unbekannten) Lösungskurve y(x) im Punkt (x 0, y 0 ).. Hiermit ist die Tangente der Lösungskurve im Punkt (x 0, y 0 ) bekannt: diese geht durch den Punkt (x 0, y 0 ) und hat die Steigung y 0 = f(x 0, y 0 ). Mathematik III/Numerik Fachbereich 8

7 8 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 09 Skizzen: 3. In einer (kleinen) Umgebung von x 0 wird die Lösung y(x) ganz gut durch ihre Tangente angenähert: Es gilt nach Taylor: y(x) y(x 0 ) + y (x 0 ) (x x 0 ) }{{} Tangente von y(x) in (x 0,y 0 ) Durch Einsetzen von x für x folgt mit y(x 0 ) = y 0 und y (x 0 ) = y 0 = f(x 0, y 0 ): y(x ) y := y 0 + f(x 0, y 0 ) (x x 0 ) Mit dieser Formel kann also anhand des Anfangswertes (x 0, y 0 ) ein Näherungswert y für den Funktionswert der (unbekannten) Lösung y(x) an der Stelle x ermittelt werden! a.) Anfangswert: b.) Linienelement mit Steigung f(x 0, y 0 ) ermitteln: y 0 (x0, y 0 ) y 0 (x0, y 0 ) x 0 x x 0 x c.) Linienelement zu Tangente vervollständigen: d.) Tangente an der Stelle x auswerten: y 0 (x 0, y 0 ) x 0 x Mit diesem Verfahren bzw. der Formel y (x, y ) y 0 (x 0, y 0 ) x 0 x y = y 0 + (x x 0 ) f(x 0, y 0 ) ist es also gelungen, ausgehend vom Anfangspunkt (x 0, y 0 ) einen weiter rechts liegenden Punkt (x, y ) zu ermitteln mit y y(x ). Dies kann nun iterativ fortgesetzt werden: y = y + (x x ) f(x, y ), y y(x ) y 3 = y + (x 3 x ) f(x, y ), y 3 y(x 3 ). y n = y n + (x n x n ) f(x n, y n ), y n y(x n ) = y(b) Fachhochschule Aachen. Januar 008

8 0 8. Grundlagen Die Linienelemente in den Punkten (x k, y k ) legen die Geradenstücke von (x k, y k ) nach (x k+, y k+ ) fest und man gelangt mit diesen Geradenstücken von einem Punkt zum nächsten: Skizze: y 0 y y y y 3 0 y 4 y 5 y 6 y 7 y 9 y(b) y 8 x 0 x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = b Diese Skizze motiviert auch den Namen Polygonzugverfahren, der in der Literatur ebenfalls für dieses Euler Cauchy Verfahren verwendet wird. Beispiel 8.. (implizites Euler Verfahren) Nimmt man zur näherungsweisen Berechnung des Integrals die (rechtsseitige) Rechteckregel: x k+ x k f(t, y(t)) dt f(xk+, y k+ ) (x k+ x k ) Skizze: unbekannt f(x k+, y k+ ) f(x, y(x)) x k x k x k x k+ so erhält man die Formel: y k+ y k + h k f(x k+, y k+ ) mit h k = x k+ x k In dieser Formel taucht der zu berechnende Wert (Vektor) y k+ sowohl auf der linken Seite, als auch auf der rechten Seite als zweites Argument der Funktion f auf es handelt sich somit um eine implizite Gleichung für y k+. Diese implizite Gleichung muss dann gelöst werden im Allgemeinen iterativ. Das auf dieser Formel beruhende Verfahren heißt implizites Euler Verfahren. Mathematik III/Numerik Fachbereich 8

9 8 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Algorithmus 8.. (implizites Euler Verfahren) Gegeben: Anfangswertaufgabe y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0. Gesucht: Funktionswert (eigentlich: Vektor) y(b) mit b > x 0. Vorgehen: Unterteile das Intervall [x 0, b] in viele kleine Teilintervalle x 0 < x < x <... < x n = b und setze h k = x k+ x k (Teilintervalllänge des k-ten Intervalls). Ausgehend vom Anfangswert (x 0, y 0 ) berechne iterativ für k = 0,,,..., n : y k+ = y k + h k f(x k+, y k+ ) Diese (für jeden Schritt von x k nach x k+ anfallende) implizite Gleichung muss iterativ ausgehend von einem geeigneten Startvektor gelöst werden. Dann gilt: y n y(x n ) = y(b) Auch dieses Verfahren hat die Ordnung, d.h. mit h = max{ h k 0 k < n } gilt für den Fehler: y n y(b) O(h) Bemerkung 8..3 (Durchführung der Fixpunktiteration in jedem Schritt) Die in jedem Schritt des impliziten Euler Verfahrens (iterativ) zu lösende Fixpunktgleichung: kann umgeschrieben werden zu also zu y k+ = y k + h k f(x k+, y k+ ) y k+ y }{{} k = h k f(x k+, y k + y k+ y k ) }{{} =: z =: z z = h k f(x k+, y k + z) wobei z = 0 ein vernünftiger Startvektor für die Fixpunktiteration ist. Hierbei kann die Gleichung z = h k f(x k+, y k + z) selbst als Fixpunktgleichung verwendet und mit dieser Gleichung die Fixpunktiteration durchgeführt werden. die Gleichung umgeformt werden zu einer Nullstellengleichung: g( z) = z h k f(x k+, y k + z) = 0 für welche dann das (ggf. mehrdimensionale) Newton Verfahren zur Nullstellenbestimmung (mit Startvektor 0) durchgeführt werden kann. Fachhochschule Aachen. Januar 008

10 8. Grundlagen Beispiel 8..4 gegeben: Anfangswertaufgabe y = x + y, y(0) =.0 }{{} f(x,y) gesucht: y(.0) Es soll das implizite Euler Verfahren mit konstanter Schrittweite h = 0. durchgeführt werden. Die in jedem Schritt zu lösende implizite Gleichung lautet: z = h f(x k+, y k + z) = h x k+ + y k + z a.) Jeweilige Berechnung der impliziten Gleichung mit dem allgemeinen Iterationsverfahren b.) Jeweilige Berechnung der impliziten Gleichung mit dem Newton Verfahren Startwert jeweils 0 (die Iteration wird abgebrochen, sobald sich zwei iterierte Werte um weniger als 0 0 unterscheiden): k x k y k Anzahl Iterationen a.) b.) Beispiel 8..5 (Trapezregel) Die Berechnung des Integrals mit der Trapezregel: x k+ x k f(t, y(t)) dt (x k+ x k ) ( f(xk, y k ) + ) f(x k+, y k+ ) Skizze: Mathematik III/Numerik Fachbereich 8

11 8 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 3 bekannt unbekannt f(x k, y k ) f(x k+, y k+ ) f(x, y(x)) x k x k x k x k+ führt mit h k = x k+ x k auf die ebenfalls implizite Gleichung: y i+k = y k + h k f(x k, y k ) + h k f(x k+, y k+ ) für den zu berechnenden Wert y k+. Das auf dieser Formel beruhende (implizite) Verfahren für Differentialgleichungsn heißt Trapezregel. Algorithmus 8..6 (Trapezregel) Gegeben: Anfangswertaufgabe y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0. Gesucht: Funktionswert (eigentlich: Vektor) y(b) mit b > x 0. Vorgehen: Unterteile das Intervall [x 0, b] in viele kleine Teilintervalle x 0 < x < x <... < x n = b und setze h k = x k+ x k (Teilintervalllänge des k-ten Intervalls). Ausgehend vom Anfangswert (x 0, y 0 ) berechne iterativ für k = 0,,,..., n : y k+ = y k + h k f(x k, y k ) + h k f(x k+, y k+ ) Diese (für jeden Schritt von x k nach x k+ anfallende) implizite Gleichung muss iterativ ausgehend von einem geeigneten Startvektor gelöst werden. Dann gilt: y n y(x n ) = y(b) Dieses Verfahren hat die Ordnung, d.h. mit h = max{ h k 0 k < n } gilt für den Fehler: y n y(b) O(h ) Bemerkung 8..7 Mit z = y k+ y k kann diese implizite Gleichung umgeschrieben werden zu z = h f(x k, y k ) + h f(x k+, y k + z) und diese Gleichung kann (ausgehend vom Startvektor 0) Fachhochschule Aachen. Januar 008

12 4 8. Grundlagen entweder direkt zur Iteration verwendet werden, oder (nach Umformung in eine Nullstellengleichung) mit dem Newton Verfahren gelöst werden. Beispiel 8..8 gegeben: Anfangswertaufgabe y = x + y, y(0) =.0 }{{} f(x,y) gesucht: y(.0) Es soll die Trapezregel mit konstanter Schrittweite h = 0. durchgeführt werden. Die in jedem Schritt zu lösende implizite Gleichung lautet: z = h f(x k, y k ) + h f(x k+, y k + z) = h x k + y k + h x k+ + y k + z a.) Jeweilige Berechnung der impliziten Gleichung mit dem allgemeinen Iterationsverfahren b.) Jeweilige Berechnung der impliziten Gleichung mit dem Newton Verfahren Startwert jeweils 0 (die Iteration wird abgebrochen, sobald sich zwei iterierte Werte um weniger als 0 0 unterscheiden): Definition und Bemerkung 8..9 k x k y k Anzahl Iterationen a.) b.) Zur Berechnung des neuen Wertes y k+ wird in allen Verfahren das Integral x k+ f(t, y(t)) dt x k über ein Interpolationspolynom ϕ(t) für die unbekannte Funktion f(t, y(t)) näherungsweise berechnet. Je nachdem, wo die Stützstellen dieses Interpolationspolynoms liegen, unterscheidet man die Verfahrenstypen: Mathematik III/Numerik Fachbereich 8

13 8 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 5 Einschrittverfahren: Bei den Einschrittverfahren liegen alle Stützstellen des Interpolationspolynoms ϕ im aktuellen Integrationsintervall [x k, x k+ ]: f(x, y) ϕ(x) x k x k t k t k... t km x k+ Mehrschrittverfahren Bei den Mehrschrittverfahren sind die Stützstellen des Interpolationspolynoms ausschließlich unter den bereits durch die Intervallaufteilung gegebenen x Werten: bekannt unbekannt ϕ(x) f(x k, y k ) f(x k, y k ) f(x k, y k ) f(x, y(x)) f(x k+, y k+ ) x k x k x k x k+ Je nachdem, ob x k+ zu den Stützstellen des Interpolations dazugehört oder nicht, spricht man von einem expliziten (gehört nicht dazu) oder einem impliziten (gehört dazu) Mehrschrittverfahren. 8. Einschrittverfahren Definition und Bemerkung 8.. (Runge Kutta Verfahren) Zur Berechnung des nächsten Näherungswertes y k+ für y(x k+ ) ausgehend vom aktuellen Wert y k werden im Intervall [x k, x k+ ] die Länge des Interalls sei h = x k+ x k die m Stützstellen x kj = x k + a j h für das Interpolationspolynom zugrunde gelegt. Die systematische Berechnung des Interpolationspolynoms ϕ(x) (mit zum Teil noch unbekann- Fachhochschule Aachen. Januar 008

14 6 8. Einschrittverfahren ten Stützwerten) und die anschließende näherungsweise Berechnung des Integrals x k+ f(t, y(t)) dt über dieses Interpolatinspolynom ϕ(x) führt auf Gleichungen folgender Form: K = f (x k + a h, y k + h m ) b j K j j= = f (x k + a h, y k + h m ) b j K j und K K m x k j=. = f (x k + a m h, y k + h m ) b mj K j y k+ = y k + h j= m c j K j mit fest vorgegebenen, von den konkreten Stützstellen (und vom Verfahren) abhängenden Konstanten a i, c i und b ij, i, j m. Das auf diesen Formeln beruhende Verfahren heißt m stufiges Runge Kutta Verfahren. Die Koeffizienten, welche dieses Verfahren vollständig beschreiben, werden häufig in einer Tabelle, dem sogenannten Butcher Diagramm, angegeben: Bemerkung 8.. j= a b b... b m a b b... b m a m b m b m... b mm c c... c m Die bislang kennengelernten Verfahren sind von diesem Typ:. explizites Euler Verfahren: Stufenzahl m ist. und y k+ = y k + h f(x k, y k ) }{{} =: K K = f(x k + 0 h, y k + h 0 K ) y k+ = y k + h K Butcher Diagramm für das explizite Euler Verfahren: 0 0 (9) Mathematik III/Numerik Fachbereich 8

15 8 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 7. implizites Euler Verfahren: y k+ = y k + h f(x k+, y k+ ) }{{} =: K Stufenzahl m ist. und K = f(x k + h, y k + h K ) y k+ = y k + h K Butcher Diagramm für das implizite Euler Verfahren: 3. Trapezregel: Stufenzahl m ist. und ( y k+ = y k + h f(x k, y k ) + }{{} f(x ) k+, y k+ ) }{{} =: K =: K K K = ( ) f x k + 0 h, y k + h (0 K + 0 K ) = ( ) f x k + h, y k + h ( K + K ) y k+ = y k + h ( K + K ) Butcher Diagramm für die Trapezregel: Definition Ein Runge Kutta Verfahren, bei dem die Matrix der Koeffizienten b ij eine strikte untere Dreiecksmatrix ist: a a b a 3 b 3 b a m b m b m... b m(m ) 0 c c... c m c m Fachhochschule Aachen. Januar 008

16 8 8. Einschrittverfahren heißt (m stufiges) explizites Runge Kutta Verfahren. Bei den meisten expliziten Runge Kutta Verfahren gilt darüber hinaus, dass a 0 = 0 gilt. In diesem Fall werden die Einträge gleich 0 im Butcher Diagramm fortgelassen, so dass ein solches explizites Runge Kutta Verfahren dann durch das Schema beschrieben wird. a b a 3 b 3 b a m b m b m... b m(m ) c c... c m c m. Ein Runge Kutta Verfahren, bei dem die Matrix der Koeffizienten b ij eine untere Dreiecksmatrix ist: a b a b b a m b m b m... b mm c c... c m heißt (m stufiges) diagonal implizites Runge Kutta Verfahren. Sind darüberhinaus alls Diagonalelemente b jj gleich, so spricht man von einem einfach diagonal impliziten Runge Kutta Verfahren. 3. Ist die Matrix b ij keine untere Dreiecksmatrix, so spricht man von einem (m stufigen) voll impliziten Runge Kutta Verfahren. Bemerkung 8..4 Bei einem expliziten Runge Kutta Verfahren ist das System 9 zur Bestimmung der K s ein explizites Gleichungssystem, d.h.. zuerst kann K ausgerechnet werden,. anschließend kann K mit Hilfe von K berechnet werden, 3. dann kann K 3 mit Hilfe von K und K berechnet werden 4. usw. Nach der Berechnung aller K s wird y k+ mit Hilfe der K s berechnet. Bei einem impliziten Runge Kutta Verfahren ist das Gleichungssystem 9 zur Bestimmung der K s ein implizites Gleichungssystem, welches iterativ zu lösen ist. Hierbei kann Mathematik III/Numerik Fachbereich 8

17 8 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 9 entweder das System 9 selbst zur Fixpunktiteration verwendet, oder (nach Umformung in eine Nullstellengleichung) ein Newton Verfahren angewendet werden. Als Startwert kann man jeweils K j = f(x k, y k ) für alle j verwenden. Es kann gezeigt werden, dass bei vernünftigen Aufgabenstellungen und hinreichend kleinen Schrittweiten h das System 9 für die K s eine eindeutige Lösung hat. Definition 8..5 (Konsistenzordnung eines Einschrittverfahrens) Sei y k+ der mittels des Einschrittverfahrens ausgehend von der Stelle x k und exaktem Anfangswert y k = y(x k ) berechnete Näherungswert für die exakte Lösung y(x k+ ) an der Stelle x k+ = x k + h und gilt: y(x k+ ) y k+ h O(h p ) so heißt p die Konsistenzordnung des Verfahrens und das Verfahren heißt konsistent, falls p gilt. (Der Bruch in obiger Gleichung ist der durch h geteilte lokale Fehler, also der Fehler, der im Punkt x k+ vorliegt, falls y k im Punkt x k noch fehlerfrei war.) Definition und Bemerkung 8..6 Sei y n der mittels Intervallaufteilung (Konvergenzordnung eines Einschrittverfahrens) x 0 < x <... < x n = b ausgehend von dem Anfangswert y(x 0 ) = y 0 bestimmte Näherungswert für die Lösung y(x n ) = y(b), so heißt p die Konvergenzordnung des Verfahrens, wenn ( y(x n ) y n ) O(h p ) gilt (globaler Fehler). Man kann zeigen, dass bei einem Einzelschrittverfahren die Konvergenzordnung und die Konsitenzordnung gleich sind! Algorithmus 8..7 Butcher Diagramm: (verbessertes Euler Verfahren) (es handelt sich somit um ein stufiges explizites Verfahren!) In Formeln: K = f(x k, y k ) K = f(x k + h, y k + hk ) Fachhochschule Aachen. Januar 008

18 0 8. Einschrittverfahren und oder kürzer in einer Formel: y k+ = y k + h K y k+ = y k + h f(x k + h, y k + h f(x k, y k )) Die Konvergenzordnung des verbesserten Euler Verfahrens ist. Algorithmus 8..8 Butcher Diagramm: (Verfahren von Heun) (es handelt sich somit um ein explizites Verfahren, die Stufenzahl m ist!) In Formeln: K = f(x k, y k ) K = f(x k + h, y k + h K ) und y k+ = y k + h (K + K ) Die Ordnung des Verfahrens ist. Algorithmus 8..9 Butcher Diagramm: (Klassisches Runge Kutta Verfahren) (Wiederum ein explizites Verfahren, die Stufenzahl m ist 4!) In Formeln: K = f(x k, y k ) K = f(x k + h, y k + h K ) K 3 = f(x k + h, y k + h K ) K 4 = f(x k + h, y k + h K 3 ) und 6 3 y k+ = y k + h ( 6 K + 3 K + 3 K K 4) Das klassische Runge Kutta Verfahren hat die Ordnung Mathematik III/Numerik Fachbereich 8

19 8 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Beispiel 8..0 gegeben: Anfangswertaufgabe y = x + y, y(0) =.0 }{{} f(x,y) gesucht: y(.0) Es soll das klassische Runge Kutta Verfahren mit konstanter Schrittweite h = 0. durchgeführt werden. k x k y k K s K = K = K 3 = K 4 = K = K = K 3 = K 4 = K = K = K 3 = K 4 = K = K = K 3 = K 4 = K = K = K 3 = K 4 = Der mit dem klassischen Runge Kutta Verfahren berechnete Näherungswert lautet: y(.0) Algorithmus 8.. (Gauß Verfahren der Ordnung 4) Butcher Diagramm: Es handelt sich somit um ein stufiges implitzites Verfahren. In Formeln: K = f(x k K = f(x k h, y k + h ( 4 K h, y k + h ( K )) K + 4 K )) Fachhochschule Aachen. Januar 008

20 8.3 Schrittweitensteuerung und y k+ = y k + h (K + K ) Algorithmus 8.. (Gauß Verfahren der Ordnung 6) Butcher Diagramm: Es handelt sich somit um ein 3 stufiges implitzites Verfahren. (Auf eine explizite Angabe der Formelm wird hier verzichtet!) 8.3 Schrittweitensteuerung Ist eine Anfangswertaufgabe y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 gegeben und ist der Funktionswert y(b) der Lösung y(x) an der Stelle b > x 0 gesucht, so muss man, um mit einem numerischen Verfahren die Lösung einigermaßen genau zu bestimmen, das Intervall in Teilintervalle aufteilen: x 0 < x < x <... < x n = b um dann ausgehend vom Funktionswert y 0 an der Anfangsstelle x 0 schrittweise über y y(x ), y y(x ),... zum gewünschten Näherungswert y n y(x n ) = y(b) zu gelangen. Wählt man (zu) viele kleine Teilintervalle, so ist das Ergebnis zwar sehr genau, dafür ist der Rechenaufwand aber sehr hoch. Wählt man (zu) wenige große Teilintervalle, ist der Rechenaufwand sehr gering, dafür dürfte das Ergebnis aber zu ungenau sein. Wie bei der numerischen Integration (Adaptive Quadratur) ist es anzustreben, bei einer vorgegebenen Genauigkeitsschranke (b x 0 ) ε > 0 die Schrittweiten der Intervallaufteilung jeweils so groß zu wählen, dass die vorgegebene Genauigkeitsschranke gerade noch unterboten wird. Tunlichst sollte die Wahl der passenden Schrittweiten dem numerischen Verfahren selbst überlassen werden, so dass das Verfahren selbständig die lokalen Schrittweiten den lokalen Bedürfnissen anpasst. Bei den adaptiven Verfahren ist es in jedem Berechnungsschritt (Berechnung von y k+ ausgehend von x k und y k ) erforderlich, den hierbei gemachten lokalen Fehler zu schätzen, um entscheiden zu können, ob das Ergebnis genau genug ist und zum nächsten Teilintervall übergegangen werden kann Mathematik III/Numerik Fachbereich 8

21 8 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 3 oder ob das Ergebnis zu ungenau ist und ausgehend von x k mit einer kleineren Schrittweite neu gerechnet werden muss. Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, den lokalen Fehler zu schätzen: Bemerkung 8.3. (Schätzung des lokalen Fehlers). Rechnung mit einem Verfahren und unterschiedlichen Schrittweiten: Sei V ein Verfahren mit Konsistenzordnung (=Konvergenzordnung) q, weiter sei Ỹ der mittels dieses Verfahrens und Schrittweite h = x k+ x k in einem Schritt mit Schrittweite h ausgehend von (x k, y k ) berechnete Näherungswert für y(x k+ ), Y der mittels dieses Verfahrens mit Schrittweite h in zwei Schritten ausgehend von (x k, y k ) berechnete Näherungswert für y(x k+ ) so ist (Y Ỹ) q eine Schätzung für den lokalen Fehler der (besseren) Näherung Y und F = (Y Ỹ) q ist ein Schätzwert für den Betrag eben dieses (lokalen) Fehlers.. Rechnung mit zwei unterschiedlichen Verfahren und gleicher Schrittweite: Sei V ein Verfahren der Konsistenzordnung (=Konvergenzordnung) q und Ṽ ein Verfahren mit Konsistenzordnung mindestens q +, weiter sei Y der ausgehend von (x k, y k ) mit dem Verfahren V und Schrittweite h = x k+ x k berechnete Näherungswert für y(x k+ ), und Ỹ der ausgehend von (x k, y k ) mit dem Verfahren Ṽ und derselben Schrittweite h berechnete Näherungswert für y(x k+ ), so ist die Differenz Y Ỹ eine Schätzung für den lokalen Fehler der (schlechteren) Näherung Y und F = Y Ỹ ist ein Schätzwert für den Betrag eben dieses (lokalen) Fehlers. Ein möglicher Ansatz zur Schrittweitensteuerung ist dann (nach dem Buch Numerik Algorithmen von Frau Prof. Dr. G. Engeln Müllges) der folgende: Fachhochschule Aachen. Januar 008

22 4 8.3 Schrittweitensteuerung Algorithmus 8.3. (Schrittweitensteuerung) Es sei eine Fehlerschranke (b x 0 ) ε > 0 vorgegeben. In folgendem Algorithmus wird sichergestellt, dass in jedem Integrationsschritt der Intervalllänge h der lokale Fehler ungefähr gleich h ε ist. Ausgehend vom aktuellen Punkt (x k, y k ) und Schrittweite h = x k+ x k werden zwei Näherungswerte Y bzw. Ỹ für den nächsten Wert y(x k+) berechnet, entweder mit ein und demselben Verfahren V der Ordnung q und den beiden Schrittweiten h (Näherung Ỹ und h (Näherung Y) oder mit zwei Verfahren V der Ordnung q (Näherung Y) und Ṽ der Ordnung mindestens q + (Näherung Ỹ) und der Betrag des hierbei gemachten Fehlers F nach Bemerkung 8.3. geschätzt. Mit dieser Fehlerschätzung F wird die folgende Steuergröße berechnet: S = q h ε F Ist S, so wird der Fehler als klein genug angesehen, der Wert Y wird als Näherungswert für y(x k+ ) akzeptiert, man geht zum nächsten x Wert x k+ über und wählt als neue Schrittweite: h = min{, S } h d.h. die Schrittweite wird nächsten Schritt geringfügig vergrößert, Ist S <, so wird der Fehler als zu groß angesehen, der Schritt ausgehend von x k muss mit der kleineren Schrittweite: h = max{, S } h und neuem x k+ = x k + h wiederholt werden Einbettungsformeln erleichtern die Schrittweitensteuerung, wenn pro Schritt mit zwei unterschiedlichen Verfahren Näherungen berechnet werden. Hierbei ist es hilfreich, wenn die beiden verwendeten Verfahren V und Ṽ so in einem Zusammenhang stehen, dass etwa die Zwischen und Hilfswerte, welche zur Ausführung eines Schrittes mit dem Verfahren V berechnet werden, bei der Durchführung des Schrittes mit Verfahren Ṽ wiederverwendet werden können, so dass für Ṽ nicht alles neu berechnet werden muss. Solche Paare zusammenhängender Verfahren V und Ṽ heißen Einbettungsformeln. Einbettungsformeln sind vor allem bei expliziten Runge Kutta Verfahren weit verbreitet. Mathematik III/Numerik Fachbereich 8

23 8 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 5 Beispiele hierzu sind das verbesserte Polygonzugverfahren (Ordnung, übernimmt die Rolle von Verfahren V) mit dem Koeffizientenschema: ausgeschrieben: und 0 K = f(x i, y i ) K = f(x i + h, y i + h ) Y = y i + h (0 K + K ) und folgendes Runge Kutta Verfahren der Ornung 3 (übernimmt die Rolle von Verfahren Ṽ), Koeffizientenschema: ausgeschrieben: und K = f(x i, y i ) 6 K = f(x i + h, y i + h ) K 3 = f(x i + h, y i + h ( K + K )) Ỹ = y i + h ( 6 K + 3 K + 6 K 3) Wie man sieht, werden in beiden Verfahren V und Ṽ die Größen K und K gleich berechnet und verwendet bei Verfahren Ṽ kommt zusätzlich ein K 3 hinzu. Bei den Formeln für die Näherungswerte Y bzw. Ỹ treten dann unterschiedliche Koeffizienten auf. Man kann die Koeffizienten beider Verfahren in ein Schema hineinschreiben: 3 V 0 Ṽ Bemerkung (Koeffizientenschema für Einbettungsformeln) Das Koeffizientenschema einer allgemeinen (expliziten) Einbettungsformel lautet: a b a 3 b 3 b a m b m b m,m V c c... c m c m Ṽ c c... c m c m (i. Allg. sind die letzten Koeffizienten c m, c m,... gleich 0) Fachhochschule Aachen. Januar 008

24 6 8.3 Schrittweitensteuerung In jedem Schritt mit diesen Verfahren werden die Hilfsgrößen wie folgt berechnet: K = f(x i, y i ) K = f(x i + a h, y i + h b K )... m K m = f(x i + a m h, y i + h b ml K l ) und anschließend mit denselben Hilfsgrößen die beiden Näherungen: l= Y = y i + h m c i K i i= und Ỹ = y i + h m c i K i i= berechnet. Bemerkung (Einbettungsformel von England) Eine bekanntes Formelpaar von diesem Typ sind die England Formeln mit Ordnung q = 4 für V und 5 für Ṽ. Sie haben folgendes Koeffizientenschema: V Ṽ Beispiel (Beispiel zur Schrittweitensteuerung) Beute Räuber Differentialgleichungssystem (Lotka Volterra): y (t) = a y (t) ( y (t)) y (t) = y (t) (y (t) ) y (t) = Beute und y (t) = Räuber. Zeitliche Entwicklung der Populationen, berechnet mit der Formel von England (a = 0.0, y (0) = 3.0, y (0) =.0): Mathematik III/Numerik Fachbereich 8

25 8 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 7 4 "beute" "raeuber" Entwicklung der Schrittweiten: 0. "schrittweite" Fachhochschule Aachen. Januar 008

26 8 8.4 Stabilität, steife Differentialgleichungen 8.4 Stabilität, steife Differentialgleichungen In der Praxis auftretende Differentialgleichungssysteme haben häufig die Eigenschaft, dass sich die Lösungen aus abklingenden e Funktionen e λt zusammensetzen mit λ C und negativem Realteil Re(λ) < 0. Beachte: ist λ = a + b i mit a, b R und a > 0, so ist: e λt = e at (cos(bt) + i sin(bt)) eine oszillierende, aber wegen a > 0 betragsmäßig abklingende (komplexe) Funktion. Man möchte natürlich, dass auch eine numerisch bestimmte Näherungslösung für das Differentialgleichungssystem genauso abklingende Bestandteile hat. Hierzu sind je nach Verfahren an die zu verwendende Schrittweite h Bedingungen zu knüpfen! Definition 8.4. Das Anfangswertproblem (Testproblem) (λ C, Re(λ) < 0) heißt Testproblem. y (x) = λ y(x), y(0) = Die exakte Lösung des Testproblems lautet bekanntlich y(x) = e λx Da Re(λ) < 0 handelt es sich bei der Lösung um eine betragsmäßig monoton fallende Funktion. Ist x k+ = x k + h, so gilt für die exakte Lösung: y(x k+ ) = e λx k+ = e λ(x k + h) = e λh e λx k = e λh y(x k ) d.h. die exakte Lösung y(x k+ ) an der Stelle x k+ erhält man aus der exakten Lösung y(x k ) an der Stelle x k durch Multiplikation mit dem Faktor e λh. Wegen Re(λ) < 0 ist der Betrag dieses Faktors e λh kleiner als. Bemerkung 8.4. (numerische Verfahren für die Testaufgabe) Wendet man ein Runge Kutta Verfahren auf die Testdifferentialgleichung y = λy an, so geht ebenfalls der Näherungswert y k+ für y(x k+ ) durch Multiplikation mit einem Faktor F(λh) aus dem Näherungswert y k für y(x k ) hervor, d.h. es gibt eine (komplexe) Funktion F(z), so dass dieser Faktor gleich F(λh) ist: y k+ = F(λh) y k Diese (komplexe) Funktion F(z) heißt Stabilitätsfunktion des numerischen Verfahrens. Bemerkung (Explizites Euler-Verfahren für das Testproblem) Wendet man das explizite Euler Verfahren mit Schrittweite h auf das Testproblem an, so erhält man y(x k+ ) y k+ = y k + h f(x k, y k ) = y k + hλ y k = ( + λh) y k Mathematik III/Numerik Fachbereich 8

27 8 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 9 d.h. die Stabilitätsfunktion des expliziten Euler Verfahrens ist F(z) = + z. Damit das qualitative Verhalten der exakten Lösung (betragsmäßig abklingend) auch für die numerisch bestimmte Näherungslösung gilt, ist zu fordern, dass auch der beim Euler Verfahren verwendete Faktor F(λh) = ( + λh) betragsmäßig kleiner als ist, es ist also zu fordern: F(λh) < mit F(z) = + z Ist diese (vom Wert λ abhängende) Bedingung für die verwendete Schrittweite h verletzt, so kommt mit dem Euler Verfahren ein unsinniges Ergebnis heraus! Beispiel Es wird das Testproblem mit λ = 00 und das explizite Euler Verfahren zugrundegelegt. Die exakte Lösung y(x) = e 00x ist eine extrem schnell abklingende e Funktion. Die Stailitätsbedingung für das Euler Verfahren + λh < führt mit λ = 00 auf h < 0.0 Wählt man die Schrittweite h = 0.005, so ist diese Bedingung erfüllt und die für das Intervall [0, ] mit dem Euler Verfahren berechneten Lösung sieht wie folgt aus: "h=0.005.txt" Wie man sieht, stimmt die Lösung mit der exakten Lösung sehr gut überein. Wählt man als Schrittweite h = 0.05, so ist diese Bedingung verletzt und die für das Intervall [0, ] mit dem Euler Verfahren berechnete Näherungslösung Fachhochschule Aachen. Januar 008

28 Stabilität, steife Differentialgleichungen.e+07 "h=0.05.txt" e+07 8e+06 6e+06 4e+06 e e+06-4e+06-6e+06-8e hat mit der exakten Lösung nicht viel zu tun. Bemerkung (Klassisches Runge Kutta Verfahren für das Testproblem) Wendet man das klassische Runge Kutta Verfahren auf die Testdifferentialgleichung y = λy an, so erhält man die Formel: ) y k+ = ( + (λh) + (λh) + (λh)3 + (λh)4 y k 3! 4! D.h. die Stabilitätsfunktion für das klassiche Runge Kutta Verfahren lautet: F(z) = + z + z + z3 3! + z4 4! Um auch hier abklingendes Verhalten der Näherungslösung zu bekommen, muss für die zu verwendende Schrittweite h gefordert werden. F(λh) < Beispiel Es wird das Testproblem mit λ = 00 und das explizite klassiche Runge Kutta Verfahren zugrundegelegt. Die exakte Lösung y(x) = e 00x ist eine extrem schnell abklingende e Funktion. Die Stailitätsbedingung für das klassiche Runge Kutta Verfahren führt mit λ = 00 auf h < Wählt man die Schrittweite h = 0.0, so ist diese Bedingung erfüllt und die für das Intervall [0, ] mit dem klassichen Runge Kutta Verfahren berechnete Lösung sieht wie folgt aus: Mathematik III/Numerik Fachbereich 8

29 8 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 3 "rk_0_0.txt" Wie man sieht, stimmt die Lösung mit der exakten Lösung sehr gut überein. Wählt man als Schrittweite h = 0.03, so ist diese Bedingung verletzt und die für das Intervall [0, ] mit dem klassichen Runge Kutta Verfahren berechnete Näherungslösung "rk_0_03.txt" hat mit der exakten Lösung nicht viel zu tun. Bemerkung In den Anwendungen bei Differentialgleichungsen ist das Problem, dass sich die Lösungen häufig aus abklingenden e Funktionen mit unterschiedlichen Abklingkonstanten λ und λ zusammensetzen, etwa: hier hat man λ = und λ = 000. y(t) = c e} {{ } t +c e} 00 {{ } t +... y (t) y (t) Fachhochschule Aachen. Januar 008

30 3 8.4 Stabilität, steife Differentialgleichungen Im Vergleich zu y (t) ist der Bestandteil y (t) extrem schnell abklingend und schon für kleine Werte für t spielt y (t) in der Lösung y(t) keinerlei Rolle mehr. Damit der von λ = 000 herrührende Bestandteil auch in der numerischen Lösung keine Rolle spielt, muss dennoch für dass gewählte Verfahren mit Stabilitätsfunktion F(z): F(λ h) < gelten, ansonsten sind die Ergebnisse unbrauchbar. Definition (steifes Differentialgleichungssystem) Ein Differentialgleichungssystem heißt steif, falls in der Lösung abklingende e Funktionen mit stark unterschiedlichen Abklingkonstanten λ k, k =,,... beteiligt sind. Quantitativ: die Zahl St = max{ Re(λ k) } min{ Re(λ k ) } heißt Steifheitsmaß. Das System heißt steif, falls das Steifheitsmaß St größer als 000 ist. Beispiel In der Lösung des Differentialgleichungssystems: ( ) ( ) ( ) ( y y 50 sin(00t) = y 3 y ) mit Anfangswerten y (0) = und y (0) = tauchen die e Funktionen e t (also λ = ) und e 000 t (also λ = 000) auf. Löst man dieses System mit dem Euler Cauchy Polygonzugverfahren, so muss für den Hauptbestandteil e t der Lösung gelten. F(λ h) < also h < also h < Damit also der Hauptbestandteil e t der Lösung qualitativ richtig erfasst wird, reicht eine Schrittweite h < aus. für den (eigentlich in der Lösung keine große Rolle spielenden) Bestandteil e 000t muss gelten. F(λ h) < also 000h < also h < 0.00 Obwohl dieser Bestandteil e 000t in der exakten Lösung keine große Rolle spielt, muss im numerischen Verfahren dennoch eine winzig kleine Schrittweite zugrunde gelegt werden, damit dieser auch in der numerischen Lösung keine Rolle spielt! Je nachdem, ob und wie diese Bedingung eingehalten wird, sehen die berechneten Lösungen (etwa für y (t)) aus: Mathematik III/Numerik Fachbereich 8

31 8 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 33. Rechnung mit h = 0.000, die Stabilitätsbedingung ist bei weitem erfüllt: 5 "h_000.txt" so in etwa sieht die exakte Lösung für y (t) aus!. Rechnung mit h = 0.009, die Stabilitätsbedingung ist so gerade noch erfüllt: 5 "h_009.txt" "h_000.txt" erst nach einiger Zeit klingt der von λ = 000 herrührende, stark oszilierende Bestandteil der numerischen Lösung ab die berechnete Lösung nähert sich mehr und mehr der exakten Lösung. 3. Berechnung mit h = 0.000, die Stabilitätsbedingung ist knapp nicht mehr erfüllt: Fachhochschule Aachen. Januar 008

32 Stabilität, steife Differentialgleichungen 5 "h_000.txt" "h_000.txt" der von λ = 000 herrührende, stark oszilierende Bestandteil der numerischen Lösung schaukelt sich auf! Die ermittelte Lösung stimmt immer weniger mit der exakten Lösung überein. Definition (Stabilitätsgebiet, Stabilitätsintervall) Sei V ein numerisches Einschrittverfahren mit Stabilitätsfunktion F(z), d.h. bei Anwendung auf die Testdifferentialgleichung y = λy erhält man die Iterationsvorschrift: Die Menge komplexer Zahlen: y k+ = F(λh) y k S := {z C F(z) < } heißt das Stabilitätsgebiet des Verfahrens V. Ist bei der Lösung eines Differentialgleichungssystems eine (abklingende) e Funktion mit Abklingkonstante λ C (Re(λ) < 0) beteiligt, muss die Schrittweite so bemessen sein, dass λ h im Stabilitätsgebiet liegt! Die Menge reeller Zahlen I := {x R F(x) < } heißt das Stabilitätsintervall des Verfahrens V (es handelt sich meißt wirklich um ein Intervall!). Bemerkung 8.4. (Stabilitätsgebiet/Stabilitätsindervall einfacher Verfahren). das Stabilitätsgebiet des Euler Cauchy Polygonzugverfahrens ist das Innere des Kreises um mit Radius : Mathematik III/Numerik Fachbereich 8

33 8 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 35 Skizze: i 3 Das Stabilitätsintervall ist (, 0).. Skizze des Stabilitätsgebietes des klassischen Runge Kutta Verfahrens: i 3 Das Stabilitätsintervall ist (.78, 0). Man kann zeigen: Bemerkung 8.4. Für alle expliziten Runge Kutta Verfahren ist die Stabilitätsfunktion F(z) ein Polynom in z, das Stabilitätsgebiet ist ein (links des Nullpunktes) liegendes beschränktes Gebiet und das Stabilitätsintervall ist ein endliches Intervall der Form ( a, 0) mit a > 0. Bemerkung (Stabilitätsfunktion/ Gebiet/ Interval des impliziten Euler Verfahrens) Die Anwendung des impliziten Euler Verfahrens auf die Testdifferentialgleichung y = λy führt auf die explizite Gleichung y k+ = λh y k Die Stabilitätsfunktion lautet somit: F(z) = z Das Stabilitätsgebiet ist das Äußere des Kreises um mit Radius : Fachhochschule Aachen. Januar 008

34 Stabilität, steife Differentialgleichungen i 3 Definition (A Stabilität) Ein Runge Kutta Verfahren mit Stabilitätsgebiet S heißt A stabil oder absolut stabil, falls C = {z C Re(z) < 0 } S gilt. Bei einem absolut stabilen Verfahren werden ohne Einschränkung für die Schrittweite alle abklingenden e Funktionen qualitativ richtig berechnet. Das implizite Euler Verfahren ist absolut stabil. Beispiel Es wird das Testproblem mit λ = 00 und das implizite Euler Verfahren zugrundegelegt. Die exakte Lösung y(x) = e 00x ist eine extrem schnell abklingende e Funktion. Bereits mit der recht großen Schrittweite h = 0. erhählt man qualitativ die richtige Lösung: "ime_0_.txt" Es liegt λ h = = 0 im Stabilitätsgebiet. Für jede positive Schrittweite liegt λ h im Stabilitätsgebiet! Bemerkung Wird die (eindimensionale) Trapezregel (Stabilitätsfunktion/ Gebiet/ Intervall der Trapezregel) Mathematik III/Numerik Fachbereich 8

35 8 NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 37 y k+ = y k + h f(x k, y k ) + h f(x k+, y k+ ) auf die Testdifferentialgleichung y = λy angewendet, so erhält man also die (explizite) Gleichung: Die Stabilitätsfunktion ist somit Die Bedingung ist für alle z mit Re(z) < erfüllt, y k+ = y k + λh y k + λh y k+ y k+ = + λh λh F(z) = + z z Skizze des Stabilitätsgebietes der Trapezregel: F(z) < y k = + z z i 3 Somit folgt: auch die (ebenfalls implizite) Trapezregel ist absolut stabil. Man kann zeigen: Bemerkung (Stabilität von Runge Kutta Verfahren) Alle impliziten Runge Kutta Verfahren sind absolut stabil. Ein explizites Runge Kutta Verfahren kann nicht absolut stabil sein! Bemerkung Für steife Differentialgleichungssysteme darf man kein explizites Runge Kutta Verfahren verwenden! Fachhochschule Aachen. Januar 008