5 Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen

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1 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Eine Differentialgleichung (DG) beschreibt eine Beziehung zwischen einer gesuchten Funktion y und ihren Ableitungen. Ist dabei y = y(t) eine Funktion, die nur von einer Variablen hier t abhängt, so spricht man von einer gewöhnlichen Differentialgleichung (gdg). Da explizite Lösungen nur in wenigen Ausnahmefällen zur Verfügung stehen, ist der Einsatz numerischer Methoden zur Lösung von DGen unvermeidbar. Wir befassen uns hier ausschließlich mit numerischen Verfahren zur Lösung gewöhnlicher DGen: Zum Einen wegen der überragenden Rolle, die sie in vielen Anwendungen spielen, zum Zweiten aber auch wegen ihrer Bedeutung für die Entwicklung und Analyse von numerischen Methoden zur Lösung partieller DGen (das sind DGen für Funktionen mehrerer Variablen), die sehr viel schwieriger zu lösen sind und hier leider nur an einem Beispiel behandelt werden können. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

2 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge Ein Beispiel Wir betrachten einen Satellit im Kraftfeld von Erde und Mond unter den Annahmen, dass die drei Körper sich in einer festen Ebene bewegen und die beiden großen Körper mit konstanter Winkelgeschwindigkeit und konstantem Abstand um ihren gemeinsamen Schwerpunkt rotieren. Der Satellit hat also keinerlei Einfluss auf die Bahnen von Erde und Mond. In einem mitrotierenden Koordinatensystem (bezüglich dem Erde und Mond ruhend sind) mit dem gemeinsamen Schwerpunkt von Erde und Mond als Ursprung wird die Bahn (x, y) = (x(t), y(t)) des Satelliten durch ein System von DGen zweiter Ordnung beschrieben: Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Ein Beispiel TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

3 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 120 x = x + 2y µ x + µ [(x + µ) 2 + y 2 ] µ x µ 3/2 [(x µ ) 2 + y 2 ], 3/2 y = y 2x µ y [(x + µ) 2 + y 2 ] µ y 3/2 [(x µ ) 2 + y 2 ]. 3/2 Hier ist µ = 1/82.45 das Verhältnis zwischen der Masse des Mondes zur Gesamtmasse von Erde und Mond und µ = 1 µ. Die Längeneinheit ist so gewählt, dass der Abstand zwischen Erde und Mond 1 ist, wobei der Mond auf der positiven reellen Achse und die Erde auf der negativen reellen Achse plaziert werden. Die Zeiteinheit ist so gewählt, dass die Winkelgeschwindigkeit der Rotation ebenfalls 1 beträgt, d.h. der Mond die Erde in 2π Zeiteinheiten umrundet. Man spricht von einem restringierten Dreikörperproblem ( restringiert, weil der dritte Körper die beiden anderen nicht beeinflusst). Außerdem sind Anfangsbedingungen erforderlich: Der Satellit möge sich zur Zeit t = 0 in der Position (x(0), y(0)) = (1.2, 0) befinden und die Geschwindigkeit (x (0), y (0)) = (0, 1.05) besitzen. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Ein Beispiel TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

4 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 121 Wir transformieren dieses System in ein System erster Ordnung und setzen dazu y 1 = x, y 2 = y, y 3 = x, y 4 = y. Damit ergibt sich y 1 = y 3, y 2 = y 4, y 3 = y 1 + 2y 4 µ y 1 + µ [(y 1 + µ) 2 + y 2 2 ]3/2 µ y 1 µ [(y 1 µ ) 2 + y 2 2 ]3/2, y 4 = y 2 + 2y 3 µ y 2 [(y 1 + µ) 2 + y 2 2 ]3/2 µ y 2 [(y 1 µ ) 2 + y 2 2 ]3/2 mit den Anfangsbedingungen y 1 (0) = 1.2, y 2 (0) = y 3 (0) = 0 und y 4 (0) = Die Lösung (x(t), y(t)) = (y 1 (t), y 2 (t)) ist eine geschlossene Bahn mit Periode T = Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Ein Beispiel TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

5 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge E M Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Ein Beispiel TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

6 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge Geschwindigkeit in x Richtung Geschwindigkeit in y Richtung t Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Ein Beispiel TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

7 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge Definitionen und theoretischer Hintergrund Ein Gleichungssystem der Form y 1 = f 1 (x, y 1, y 2,..., y n ) y 2 = f 2 (x, y 1, y 2,..., y n ). =. y n = f n (x, y 1, y 2,..., y n ) (DG) heißt explizites System gewöhnlicher Differentialgleichungen (gdg) erster Ordnung in den n unbekannten Funktionen y 1, y 2,..., y n. Jedes System von n Funktionen y 1 = y 1 (x),..., y n = y n (x) C 1 [a, b], das (DG) für alle x [a, b] erfüllt, heißt Lösung von (DG) über [a, b]. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Definitionen TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

8 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 125 Beispiel. Das System { y 1 = 1 y 2 = 2y 1 } besitzt die Lösungen über (, ). y 1 (x) = x + α, y 2 (x) = x 2 + 2αx + β (α, β R) Für eine eindeutige Lösung: Zusatzbedingungen, etwa Anfangsbedingungen, z.b. y 1 (0) = 1, y 2 (0) = 2. Dann ist y 1 (x) = x + 1, y 2 (x) = x 2 + 2x + 2 die einzige Lösung. Allgemein: Das Problem, eine Lösung von (DG) zu finden, die die Anfangsbedingung y 1 (x 0 ) = y 0,1,..., y n (x 0 ) = y 0,n (AB) erfüllt, heißt Anfangswertproblem (AWP) für die gdg (DG). Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Definitionen TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

9 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 126 Mit y := y 1., f := f 1., y 0 := y 0,1., y n f n y 0,n Kurzschreibweise: y = f (x, y), (DG ) y(x 0 ) = y 0. (AB ) Bemerkung. gdgen höhere Ordnung lassen sich auf Systeme von gdgen erster Ordnung umschreiben: Aus y + 3y + y = sin(x) wird etwa y 3 3y 3 y 2 + sin(x) y 2 = y 3 y 1 (y 1 = y, y 2 = y 1 = y, y 3 = y 2 = y ). y 2 Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Definitionen TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

10 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 127 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung: Satz 5.1 (Satz von Picard-Lindelöf) Gegeben ist das AWP y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0. (AWP) f sei stetig im Quader Q := {(x, y) : x x 0 a, y y 0 b} R n+1 und es sei M := max{ f (x, y) : (x, y) Q}. Außerdem erfülle f in Q die Lipschitzbedingung f (x, y) f (x, ỹ) L y ỹ (x, y), (x, ỹ) Q. (Lip) Dann besitzt das Problem (AWP) genau eine Lösung über I := [x 0 α, x 0 + α], wobei α = min{a, b/m}. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Definitionen TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

11 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 128 Stetige Abhängigkeit von den Daten: Die Voraussetzungen von Satz 1 seien erfüllt. Sind y, z Lösungen der AWPe y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 bzw. z = g(x, z ), z (x 0 ) = z 0 über I (g sei stetig in Q) und gilt sowie y 0 z 0 γ f (x, y) g(x, y) δ ( (x, y) Q), dann folgt für x I y(x) z (x) γ e L(x x 0) + δ L ( ) e L(x x0) 1. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Definitionen TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

12 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge Euler-Verfahren Gesucht: Lösung eines AWP im Intervall I = [x 0, x end ]: y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0. Diskretisiere I durch (der Einfachheit halber) äquidistantes Gitter mit Schrittweite h = (x end x 0 )/m, Ω h = {x 0 < x 1 <... < x m = x end } mit x j := x 0 + jh (j = 0,..., m) Es bezeichne y j einen Näherungswert für y(x j ), j = 1,..., m. Dann y j+1 y(x j+1 ) = y(x j + h) = y(x j ) + hy (x j ) h2 y (ξ) y(x j ) + hy (x j ) = y(x j ) + hf (x j, y(x j )) y j + hf (x j, y j ). Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Euler-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

13 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 130 Eulersches Polygonzugverfahren oder explizites Euler-Verfahren: y 0 ist gegeben, y j+1 = y j + hf (x j, y j ) (j = 0, 1,...) Aufwand pro Schritt: Eine Auswertung von f. Beispiel. AWP: [ ] y 1 (x) [ ].5 y2 (x) y 1 (x)y 2 (x) [ ] y1 (.5) [ ] 1 y 2(x) =.5 y 1 (x) 2 + 5x, y 2 (.5) = 2. Rechenvorschrift des Eulerschen Polygonzugverfahrens (x j =.5 + jh): [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (1) (1) (1) (2) y 0 1 y j+1 y j.5 y j y (1) j y (2) j y (2) =, 0 2 y (2) = j+1 y (2) + h j.5 [y (1) (j = 0, 1,...). j ] 2 + 5x j Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Euler-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

14 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge Richtungsfeld von y =t(y 2) und Loesungen mit Anfangswerten y(0) = 1:0.5:1 Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Euler-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

15 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 132 Zur Veranschaulichung einer GDG 1. Ordnung y = f(t, y) wird oft das assoziierte Richtungsfeld herangezogen: In jedem Punkt von (t, y) wird ein Pfeil gezeichnet, der in die Richtung y = f(t, y) weist. Der Graph der Lösung des AWPs y = f(t, y), y(t 0 ) = y 0, muss einerseits das Richtungsfeld respektieren (d.h. die Tangenten an den Graphen sind Elemente des Richtungsfelds), andererseits den Punkt (t 0, y 0 ) enthalten. Die nächste Abbildung zeigt, wie das Euler-Verfahren die logistische Gleichung y = y(1 y) mit AB y(0) = 1/10 löst. Statt der exakten Trajektorie zu folgen (was natürlich unmöglich ist), produziert das Euler-Verfahren eine stückweise lineare Lösung (einen Polygonzug). An der Stelle t 0 = 0 arbeitet das Euler-Verfahren mit der richtigen Steigung f(t 0, y 0 ) = 9/100, bereits an der Stelle t = 1 ist die Steigung falsch. In späteren Schritten entfernt man sich (potentiell) immer weiter von der exakten Lösung. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Euler-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

16 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge Euler Verfahren y =y(1 y), y(0)=1/10 Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Euler-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

17 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 134 Varianten des Polygonzugverfahrens Modifiziertes Polygonzugverfahren: y 0 ist gegeben, y j+1 = y j + hf (x j + h 2, y j + h 2 f (x j, y j )) (j = 0, 1,...). Aufwand pro Schritt: Zwei Auswertungen von f. Verbessertes Polygonzug-Verfahren: y 0 ist gegeben, y j+1 = y j + h 2 [f (x j, y j ) + f (x j + h, y j + hf (x j, y j ))] (j = 0, 1,...). Aufwand pro Schritt: Zwei Auswertungen von f. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Euler-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

18 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 135 Beispiel. AWP y (x) = y(x) 2, y(0) = 4 besitzt in I = [0, ) die Lösung y(x) = 1/(x +.25). Polygonzugverfahren: y 0 = 4, y j+1 = y j + hyj 2 (j = 0, 1,...). Modifiziertes Polygonzugverfahren: y 0 = 4, y j+1 = y j + h(y j +.5 hyj 2 ) 2 (j = 0, 1,...). Verbessertes Polygonzugverfahren: y 0 = 4, y j+1 = y j +.5 h[yj 2 + (y j + hyj 2 ) 2 ] (j = 0, 1,...). Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Euler-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

19 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 136 Eine weitere wichtige Variante ist das implizite Euler-Verfahren: y 0 ist gegeben, y j+1 = y j + hf (x j+1, y j+1 ) (j = 0, 1,...). Aufwand pro Schritt: Eine Auswertung von f sowie Lösung eines i.a. nichtlinearen Gleichungssystems. Im Beispiel: y 0 = 4, y j+1 löst y j+1 = y j + hy 2 j+1 (j = 0, 1,...). Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Euler-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

20 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 137 h = 10 1 : x j exakt E-Euler modifiziert verbessert I-Euler Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Euler-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

21 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 138 h = 10 2 : x j exakt E-Euler modifiziert verbessert I-Euler Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Euler-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

22 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge Runge-Kutta-Verfahren Konstruktion. Es bezeichne y(x) die Lösung von (AWP) an der Stelle x I. Gesucht: Näherung für y(x + h). y(x + h) = y(x) + [y(x + h) y(x)] = y(x) + (Substitution: s = x + th, 0 t 1) x+h x y (s) ds = y(x) + h 1 0 y (x + th) dt. Approximiere durch Quadraturformel 1 0 g(t) dt m γ i g(α i ). i=1 ( ) Damit zumindest g 1 exakt integriert wird, fordern wir m i=1 γ i = 1. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

23 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 140 Damit ergibt sich y(x + h) y(x) + h = y(x) + h m γ i y (x + α i h) i=1 m γ i f (x + α i h, y(x + α i h)) i=1 (RK-1) Problem: y(x + α i h) = y(x) + h α i 0 y (x + th) dt sind unbekannt. Näherungen wieder durch Quadraturformeln, aber mit den alten Knoten α j (j = 1,..., m) aus ( ) (sonst würden sich neue Unbekannte der Form y(x + Knoten h) ergeben). αi 0 g(t) dt m β i,l g(α l ) (i = 1,..., m). ( ) l=1 Damit zumindest g 1 exakt integriert wird, fordern wir m l=1 β i,l = α i i = 1,..., m. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

24 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 141 Damit ergibt sich m y(x + α i h) y(x) + h β i,l y (x + α l h) = y(x) + h l=1 m β i,l f (x + α l h, y(x + α l h)) Abkürzung: k i := f (x + α i h, y(x + α i h)) (i = 1,..., m). (RK-1): y(x + h) y(x) + h m i=1 γ ik i. (RK-2): k i f (x + α i h, y(x) + h m l=1 β i,lk l ) (i = 1,..., m). m-stufiges Runge-Kutta-Verfahren (RKV): m y j+1 = y j + h γ i k i (j = 0, 1,...) mit i=1 l=1 k i = f (x j + α i h, y j + h m β i,l k l ) (i = 1,..., m). l=1 (RK-2) (RK) Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

25 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 142 α 1 β 1,1 β 1,m Butcher-Tableau:... α m β m,1 β m,m γ 1 γ m Beispiele /2 1/2 0 1/2 1/2 symbolisiert ein zweistufiges explizites RKV (ein R-K-V heißt explizit, wenn β i,l = 0 i l gilt), nämlich eine Variante des verbesserten Euler-Verfahrens. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

26 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge /4 1/4 2/3 1/4 5/12 1/4 3/4 symbolisiert ein zweistufiges implizites RKV: k 1 = f (x j, y j + hk 1 /4 hk 2 /4), k 2 = f (x j + 2h/3, y j + hk 1 /4 + 5hk 2 /12) ( zwei i.a. nichtlineare Gleichungen für k 1 und k 2 ), y j+1 = y j + h(k 1 /4 + 3k 2 /4). Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

27 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge /2 1/ /6 2/3 1/6 symbolisiert ein dreistufiges explizites RKV, das Verfahren von Heun: k 1 = f (x j, y j ), k 2 = f (x j + h/2, y j + hk 1 /2), k 3 = f (x j + h, y j hk 1 + 2hk 2 ), y j+1 = y j + h(k 1 + 4k 2 + k 3 )/6. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

28 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge /2 1/ /2 0 1/ /6 1/3 1/3 1/6 symbolisiert ein vierstufiges explizites RKV, das klassische Runge-Kutta-Verfahren: k 1 = f (x j, y j ), k 2 = f (x j + h/2, y j + hk 1 /2), k 3 = f (x j + h/2, y j + hk 2 /2), k 4 = f (x j + h, y j + hk 3 ), y j+1 = y j + h(k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )/6. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

29 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 146 Beispiel. AWP y (x) = y(x) 2, y(0) = 4 besitzt in I = [0, ) die Lösung y(x) = 1/(x +.25). Verfahren von Heun: y 0 = 4, k 1 = yj 2, k 2 = (y j +.5 hk 1 ) 2, k 3 = (y j + h( k 1 + 2k 2 )) 2, y j+1 = y j + h(k 1 + 4k 2 + k 3 )/6 (j = 0, 1,...). Klassisches Runge-Kutta-Verfahren: y 0 = 4, k 1 = yj 2, k 2 = (y j +.5 hk 1 ) 2, k 3 = (y j +.5 hk 2 ) 2, k 4 = (y j + hk 3 ) 2, y j+1 = y j + h(k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )/6 (j = 0, 1,...). Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

30 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 147 h = 10 1 : x j exakt verb. Euler Heun klass. RKV Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Runge-Kutta-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

31 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge Einschrittverfahren Ein Einschrittverfahren (ESV) hat die Form y n+1 = y n + hφ f (y n+1, y n, t n ; h). (ESV) Wir werden ausschließlich Verfahren untersuchen, bei denen die Verfahrensfunktion Φ f die folgenden beiden Eigenschaften besitzt: und Φ f 0 (y n+1, y n, t n ; h) 0 (V 1 ) Φ f (y n+1, y n, t n ; h) Φ f (y n+1, y n, t n ; h) M 1 y n+j yn+j. (V 2 ) j=0 Bei vernünftigen ESV ist (V 2 ) eine Folge der Lipschitz-Stetigkeit von f (vgl. Satz 5.1), die immer vorausgesetzt wird. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Einschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

32 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 149 Beispiele für etwas kompliziertere ESV: y n+1 y n = 1 4 h(k 1 + 3k 3 ) mit k 1 = f (t n, y n ), k 2 = f (t n h, y n hk 1), k 3 = f (t n h, y n hk 2), (Beispiel 1) ein explizites ESV, das zur Klasse der Runge-Kutta-Verfahren gehört, und ein implizites ESV der Runge-Kutta-Klasse, die sog. Trapezregel y n+1 y n = 1 2 h(k 1 + k 2 ) mit k 1 = f (t n, y n ), k 2 = f (t n + h, y n hk hk (Beispiel 2) 2). Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Einschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

33 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 150 Das Verfahren (ESV) heißt konvergent, wenn lim h 0 t=t 0 +nh y n = lim h 0 t=t 0 +nh y n (h) = y(t) gilt und zwar für alle AWPe, die den Voraussetzungen von Satz 5.1 genügen (y(t) bezeichnet die Lösung eines solchen AWPs), gleichmäßig für alle t [t 0, t end ], für alle Lösungen {y n (h)} = {y n } von (ESV) mit Anfangswert y 0 (h), der lim h 0 y 0 (h) = y 0 erfüllt. Äquivalent: Der globale Diskretisierungsfehler e n = e n (h) := y(t n ) y n (h) strebt gleichmäßig gegen 0 (für h 0): lim h 0 max e n(h) = lim 0 n N h 0 max y(t n) y n (h) = 0. 0 n N Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Einschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

34 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 151 exakte Loesung Schrittweite h 0 Schrittweite h 1 Schrittweite h 2 t_0 t Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Einschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

35 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 152 Setzt man die exakte Lösung in (ESV) ein, so werden linke und rechte Seite nicht übereinstimmen. Es ergibt sich ein Residuum R n+1 (h) = R n+1 := y(t n+1 ) y(t n ) hφ f (y(t n+1 ), y(t n ), t n ; h). R n+1 ist eng verknüpft mit dem Schrittfehler S n+1. Gilt y n = y(t n ) (Lokalisierungsannahme), so liefert (ESV) in Schritt n + 1: ŷ n+1 (h) = y(t n ) + hφ f (ŷ n+1, y(t n ), t n ; h). Gleichzeitig gilt für die exakte Lösung y(t n+1 ) = y(t n ) + hφ f (y(t n+1 ), y(t n ), t n ; h) + R n+1. Wir definieren nun den Schrittfehler durch S n+1 (h) = S n+1 := y(t n+1 ) ŷ n+1 (h) Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Einschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

36 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 153 Es folgt S n+1 = h [Φ f (y(t n+1 ), y(t n ), t n ; h) Φ f (ŷ n+1, y(t n ), t n ; h)] + R n+1 und, mit (V 2 ), S n+1 hm S n+1 + R n+1, d.h. (1 hm) S n+1 R n+1. Man kann zeigen, dass Schrittfehler und Residuum für h 0 dasselbe Verhalten aufweisen. Wir definieren nun den lokalen Diskretisierungsfehler T n = T n (h) (lokaler Abbruchfehler) eines Verfahrens im n-ten Schritt als T n (h) := R n(h), h das heißt als Differenz von linker Seite und rechter Seite der Verfahrensgleichung (so skaliert, dass für h 0 die Differentialgleichung approximiert wird) wenn anstelle der Näherungslösung die exakte Lösung eingesetzt wird. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Einschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

37 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 154 Das Verfahren (ESV) heißt konsistent, wenn lim h 0 t=t 0 +nh T n (h) = 0 gilt für alle AWPe, die den Voraussetzungen von Satz 5.1 genügen, und für alle t [t 0, t end ]. Entsprechend heißt das Verfahren (ESV) konsistent von der Ordnung p, falls T n (h) = O(h p ) für h 0 gilt für alle AWPe mit genügend glattem f und alle t = t 0 + nh [t 0, t end ]. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Einschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

38 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 155 y(t n+1 ) globaler DF y(t n ) Schrittfehler y n+1 y n = ^y(t n ) t n t n+1 Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Einschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

39 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 156 Die anschauliche Bedeutung der Konsistenz ergibt sich aus der offensichtlichen Identität T n+1 (h) = 1 h (y(t n+1) y(t n )) }{{} Sekantensteigung der Lösung Φ f (y(t n+1 ), y(t n ), t n ; h). }{{} Näherung dieser Steigung Wir wollen eine Beziehung zwischen lokalem und globalem Diskretisierungsfehler beweisen. Dazu ein Hilfssatz Satz 5.2 (Wachstumsverhalten rekursiv definierter Folgen) Es gelte y n+1 (1 + K n ) y n + M n (n = 0, 1,..., n 0 ) mit M n, K n 0. Dann gilt auch die Abschätzung n n y n+1 y 0 + exp (n = 0, 1,..., n 0 ). j=1 M j j=1 K j Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Einschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

40 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 157 Satz 5.3 (Beziehung zwischen lokalem und globalem Dis.-Fehler) Unter den gebenen Voraussetzungen (vgl. Satz 5.1 sowie (V 2 )) gilt ( ) e n ( e 0 + (t n t 0 ) max T j exp(m(t n t 0 )). 1 j n Insbesondere ist ein ESV genau dann konvergent, wenn es konsistent ist. Satz 5.3 besagt, dass bei ESV der Konsistenzordnung p der globale Diskretisierungsfehler wie h p gegen 0 strebt (für h 0). Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Einschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

41 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 158 Ist f p-mal stetig differenzierbar, so kann man sich Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p mit der Methode des Taylor-Abgleichs konstruieren: Man entwickelt die (unbekannte) Lösung y(t n + h) formal nach Potenzen von h, y(t n + h) = y(t n ) + hy (t n ) h2 y (t n ) +, und nutzt aus, daß y (t) = f (t, y(t)) gilt, z.b. y (t n ) = f (t n, y(t n )), y (t n ) = f t (t, y(t)) t=tn + f y (t, y(t))y (t) t=tn = f t (t n, y(t n )) + f y (t n, y(t n ))f (t n, y(t n )). Bricht man etwa nach dem zweiten Term ab, so ergibt sich mit y n+1 = y n + h [ f (t n, y n ) h (f t(t n, y n ) + f y (t n, y n )f (t n, y n )) ] ein Verfahren zweiter Ordnung. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Einschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

42 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 159 Es ist klar, daß man dieses Verfahren (oder gar die analogen Verfahren für p > 2) nur dann verwenden kann, wenn f einfach zu differenzieren ist (automatische Differentiation). Für die skalare GDG y (t) = ty(t) ergibt sich z.b. [ y n+1 = y n h2 + ht n h2 t 2 ] n im Fall von p = 2 und [ y n+1 = y n h2 + ht n h2 t 2 n h3 t n h3 t 3 ] n im Fall von p = 3. Für p = 1 erhält man stets das Euler-Verfahren. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Einschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

43 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 160 In diesem Beispiel (mit AB y(0) = 1, dh. mit exakter Lösung y(t) = exp(0.5t 2 )) ergibt sich als (normalisierter) globaler Diskretisierungsfehler h p max y(t n) y n 0 n N für die Taylor-Verfahren der Ordnung p {1, 2, 3}: N h p = 1 p = 2 p = e e e e e e e e e e e e e e e e-1 Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Einschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

44 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 161 Satz 5.4 (Gesamtfehler bei expliziten ESV) Das explizite ESV (ESV) werde auf einem Rechner durch ỹ n+1 = ỹ n + hφ f (ỹ n, t n ; h) + ɛ n+1, ỹ 0 = y 0 + ɛ 0, realisiert. Ist ɛ n ε und T n T für alle n = 0, 1,..., so folgt y(t n ) ỹ n ( ɛ 0 + (t n t 0 )(T + ε h )) exp(m(t n t 0 )). Dilemma: Bei großer Schrittweite h ist (üblicherweise) T groß; wählt man h sehr klein, so ist zwar T klein, aber ε h groß, dh. der Anteil der Rundungsfehler dominiert den Gesamtfehler. Wichtig sind also Verfahren hoher Ordnung, weil bei dort T schon bei moderater Größe von h klein wird. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Einschrittverfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

45 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge Schrittweitensteuerung Kein Verfahren zur Lösung von AWPen arbeitet in der Praxis mit einer konstanten Schrittweite. Man wird vielmehr versuchen, die Schrittweite an das Verhalten der Lösung y anzupassen (ändert sich y in einem Bereich schnell, so ist dort eine kleine Schrittweite angebracht; in Bereichen, in den y kaum variiert, ist eine größere Schrittweite ausreichend). Wir werden hier eine Schrittweitensteuerung vorstellen, die zum Ziel hat, den lokalen Diskretisierungsfehler T n+1 (und damit den globalen Diskretisierungsfehler) zu kontrollieren: T n tol, n = 1, 2,..., mit einer vorgebenen Toleranz tol. Bei Systemen von DGen (insbesondere dann, wenn die Lösungskomponenten von unterschiedlicher Größenordnung sind) wird man für jede Kopmponente eine eigene absolute Fehlertoleranz und global eine relative Fehlertoleranz festsetzen, Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Schrittweitensteuerung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

46 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 163 Um den lokalen Diskretisierungsfehler zu schätzen, verwendet man zwei Methoden unterschiedlicher Konsistenzordnungen (sagen wir p und q mit p < q), um y n aus y n 1 zu berechnen: y n = y n 1 + hφ f (y n 1, t n 1 ; h) bzw. ŷ n = y n 1 + h Φ f (y n 1, t n 1 ; h) Für die zugehörigen lokalen Diskretisierungsfehler gelten: Daraus folgt T n = y(t n) y(t n 1 ) h T n = y(t n) y(t n 1 ) h Φ f (y n 1, t n 1 ; h) = O(h p ), Φ f (y n 1, t n 1 ; h) = O(h q ). T n T n = Φ f (y n 1, t n 1 ; h) Φ f (y n 1, t n 1 ; h) = 1 h (ŷ n y n ). Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Schrittweitensteuerung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

47 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 164 Wegen T n T n = T n (1 + O(h q p )) T n erhalten wir aus eine (grobe) Schätzung für T n. 1 h y n ŷ n K n Ist 1 h y n ŷ n > tol, so wird die Schrittweite h verworfen und mit ) p ( h = α h tol h y n ŷ n ( ) eine neue Schrittweite h bestimnmt (α ist hier ein Sicherheitsfaktor, etwa α = 0.9). Ausgehend von y n 1 werden jetzt neue Näherungen y n und ŷ n (an der Stelle t n 1 + h) berechnet. Diesen Prozess wiederholt man solange bis 1 h y n ŷ n tol erfüllt ist. Dann wird ( ) verwendet, um eine neue (größere) Schrittweite für den nächsten Schritt (n n + 1) vorzuschlagen. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Schrittweitensteuerung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

48 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 165 Die Wahl von h nach ( ) motiviert sich folgendermaßen: benutzte Schrittweite h: 1 h y n ŷ n T n = ch p + O(h p+1 ) ch p, erwünschte Schrittweite h: tol = T n = c h p + O( h p+1 ) c h p. Um den Aufwand in Grenzen zu halten, verwendet man zur Berechnung von y n und ŷ n zwei RKV (verschiedener Ordnungen), deren Butcher-Matrizen sich nur in b unterscheiden (d.h. A und c sind gleich, so daß die k j nur einmal berechnet werden müssen). Man spricht von eingebetteten RKV und schreibt c A b b z.b /2 1/2 Hier wird das Euler-Verfahren (p = 1) in das verbesserte Euler-Verfahren (p = 2) eingebettet.. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Schrittweitensteuerung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

49 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 166 Ein populäres Beispiel ist die Fehlberg 4(5)-Formel: Hier werden zwei sechsstufige RKV der Ordnungen 4 bzw. 5 kombiniert Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Schrittweitensteuerung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

50 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 167 Ein weiteres Beispiel ist die Dormand-Prince 4(5)-Formel: Hier wird ein sechsstufiges RKV der Ordnung 4 in ein siebenstufiges der Ordnung 5 eingebettet Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Schrittweitensteuerung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

51 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge Absolute Stabilität Bekanntlich streben die Lösungen y(t) von y = Ay, A R n n (konstant) gegen 0 (für t ), wenn Re(λ) < 0 für alle Eigenwerte λ von A gilt. Wir suchen Bedingungen an ein ESV, so dass die Näherungslösungen dasselbe asymptotische Verhalten besitzen. Wir wenden z.b. ein m-stufiges RKV auf die Testgleichung y = λy an und erhalten mit ĥ = λh [ ] y n+1 = 1 + ĥb (I m ĥa) 1 e y n =: R(ĥ)y n, so dass (bei festem h) lim n y n = 0 (für alle y 0 ) genau dann gilt, wenn R(ĥ) < 1 erfüllt ist. Allgemein gilt für jedes ESV (angewandt auf die Testgleichung) y n+1 = R(ĥ)y n mit einer verfahrensspezifischen Funktion R von ĥ = λh. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Absolute Stabilität TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

52 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 169 Wir definieren den Stabilitätsbereich eines ESVs durch R A := {ĥ C : R(ĥ) < 1}. Ein ESV heißt absolut stabil, wenn R A {ĥ : Re ĥ < 0} gilt. Für ein beliebiges m-stufiges RKV gilt R(ĥ) = 1 + ĥb (I m ĥa) 1 e = 1 + j=1 ĥj b T A j 1 e. Besitzt das Verfahren die Ordnung p, so folgt R(ĥ) = p j=0 1 j!ĥj + j=p+1 ĥj b A j 1 e. Ist das RKV explizit, so folgt R(ĥ) = 1 + m j=1 ĥj b T A j 1 e. Insbesondere hängt der Stabilitätsbereich eines m-stufigen expliziten RKVs der Ordnung m (1 m 4) wegen R(ĥ) = m j=0 1 j!ĥj nicht von den Koeffizienten des Verfahrens ab. Außerdem besitzt kein explizites RKV einen unbeschränkten Stabilitätsbereich (denn R ist ein Polynom). Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Absolute Stabilität TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

53 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge Verfahren dritter Ordnung von Heun 3 klassisches Rung Kutta Verfahren Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Absolute Stabilität TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

54 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 171 Beim impliziten Euler-Verfahren ist R(ĥ) = 1 1 ĥ } so dass hier R A = {ĥ : 1 ĥ > 1 (Außengebiets des Kreises um 1 mit Radius 1) gilt. Bei der Trapezregel ist 1 + ĥ/2 R(ĥ) = 1 ĥ/2 so dass hier R A = {ĥ : Re ĥ < 0} (linke Halbebene) gilt. Beide Verfahren sind damit absolut stabil. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Absolute Stabilität TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

55 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge Was sind steife Differentialgleichungen? Es gibt keine zufriedenstellende Definition der Bauart eine DG heißt steif, wenn... Wir beschreiben verschiedene Aspekte des Phänomens Steifheit einer DG an Beispielen: Beispiel 1. Die beiden AWPe [ ] [ ] 2 1 y 2 sin t = y +, y(0) = 1 2 2(cos t sin t) [ ] [ ] 2 1 y 2 sin t = y +, y(0) = (cos t sin t) [ ] 2, (AWP 1 ) 3 [ ] 2, (AWP 2 ) 3 haben dieselbe Lösung Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Steife Differentialgleichungen TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

56 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 173 [ ] 2 y(t) = exp( t) 2 + [ ] sin t. cos t y y Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Steife Differentialgleichungen TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

57 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 174 Wir lösen beide Probleme für t [0, 10] mit der MATLAB-Routine ode45 (die ein eingebettetes RKV, das Verfahren von Dormand-Prince, verwendet, bei dem zwei RKV der Ordnungen 4 bzw. 5 kombiniert werden), wobei wir eine relative Toleranz von 0.01 vorgeben. 3 System 1: 64 Schritte (ode45) 3 System 2: Schritte (ode45) y 2 y y 1 y Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Steife Differentialgleichungen TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

58 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 175 Obwohl die exakte Lösung in beiden Fällen dieselbe ist, erfordert die Lösung von (AWP 2 ) etwa 200-mal mehr Aufwand als die von (AWP 1 ): AWP h min h max h Schritte (AWP 1 ) 2.27e e e-1 64 (AWP 2 ) 5.98e e e Lösen wir die beiden Probleme mit der MATLAB-Routine ode23tb (die die Trapezregel mit der Gear-Formel der Ordnung 2 kombiniert), so ergibt sich (relative Toleranz wie oben = 0.01): AWP h min h max h Schritte (AWP 1 ) 2.13e e e-1 19 (AWP 2 ) 2.13e e e-1 20 Beide Probleme werden ohne Schwierigkeiten gelöst. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Steife Differentialgleichungen TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

59 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge System 1: 19 Schritte (ode23tb) 3 System 2: 20 Schritte (ode23tb) y 2 y y 1 y Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Steife Differentialgleichungen TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

60 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 177 Die Unterschiede zwischen den beiden AWPen werden sichtbar, wenn wir alle Lösungen der zugehörigen Systeme betrachten. Im ersten Fall ergibt sich [ ] [ ] [ ] 1 1 sin t y = κ 1 exp( t) + κ 2 exp( 3t) +, 1 1 cos t während im zweiten Fall [ ] [ ] [ ] 1 1 sin t y = κ 1 exp( t) + κ 2 exp( 1000t) cos t die allgemeine Lösung ist. (Beide Systeme sind inhomogene lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten, wobei die Eigenwerte der Koeffizientenmatrix im ersten Fall λ 1 = 1, λ 2 = 3 und im zweiten Fall λ 1 = 1, λ 2 = 1000 sind.) Die Lösungen der konkreten AWPe sind jeweils durch κ 1 = 2 und κ 2 = 0 (!) gegeben. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Steife Differentialgleichungen TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

61 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 178 In beiden Fällen ist die Lösung aus einem Gleichgewichtsanteil, nämlich [sin t, cos t], und einem transienten Anteil der Form exp(λ 1 t)a 1 + exp(λ 2 t)a 2 zusammengesetzt. Die Unterschiede liegen in der Geschwindigkeit, mit der der transiente Teil (für t ) verschwindet. Obwohl in der exakten Lösung der AWPe gar nicht erkennbar ist, wie schnell der abklingende Anteil verschwindet (κ 2 = 0), bestimmt sie die erforderliche Schrittweite. Würde man in (AWP 2 ) die AB in y(0) = [0, 1] ändern, so würde κ 1 = κ 2 = 0 folgen, d.h. der transiente Teil ist in der Lösung y(t) = [sin t, cos t] vollständig unsichtbar. Selbst dann wäre ode45 nur mit extrem kleiner Schrittweite in der Lage, die Aufgabe zu lösen. Wir betrachten die Stabilitätsbereiche R A : Für ode45 kann man zeigen, dass R A R [ 3, 0] (Stabilitätsintervall). Will man für (AWP 1 ) also λh R A (für alle Eigenwerte λ) garantieren, genügt es, h < 1 zu fordern (die durchschnittliche Schrittweite von h resultiert aus der geforderten Genauigkeit!). Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Steife Differentialgleichungen TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

62 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 179 Dagegen muss für (AWP 2 ) h < gefordert werden, damit λh R A für alle λ folgt und es sind Stabilitätsprobleme, die zu der kleinen durchschnittlichen Schrittweite von h führen. Das Verfahren ode23tb ist absolut stabil, so dass hier λ h für alle h > 0 (in jedem der beiden Fälle (AWP 1 ) und (AWP 2 )) im Stabilitätsbereich liegt. Für y = Ay + b(t) heißt max Re λ / min Re λ λ Λ(A) λ Λ(A) Steifigkeitsquotient des linearen DG Systems. Ein lineares DG System mit konstanten Koeffizienten heißt steif, wenn seine Eigenwerte alle negativen Realteil besitzen und sein Steifigkeitsquotient groß ist. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Steife Differentialgleichungen TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

63 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 180 Um die Problematik dieser gebräuchlichen Definition zu erläutern, betrachten wir ein weiteres AWP (mit derselben Lösung): [ ] [ ] [ ] 2 1 y 2 sin t 2 = y +, y(0) =. (AWP 3 ) (cos t sin t) 3 Die Matrix dieses Systems besitzt die Eigenwerte λ 1 = 1, λ 2 = und sein Steifigkeitsquotient beträgt 1000 (wie bei (AWP 2 )). Trotzdem hat ode45 keine ernsten Probleme: AWP h min h max h Schritte (AWP 3 ) 1.19e e e-1 44 (ode45) (AWP 3 ) 1.25e e e-1 22 (ode23tb) Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Steife Differentialgleichungen TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

64 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 181 Ob ein System steif ist oder nicht kann also nicht immer aus dem Steifigkeitsquotienten abgelesen werden. Auch Definitionen wie ein System ist steif, wenn max Re λ groß ist (etwa max Re λ 1) sind natürlich wenig hilfreich (die Variablentransformation t 0.001t macht aus (AWP 2 ) ein Problem, das dieselbe Steifigkeit besitzt, bei dem aber max Re λ = 1 gilt). Pragmatische Definitionen für Steifigkeit sind: Ein System ist steif, wenn Stabilitätsanforderungen und nicht Genauigkeitsanforderungen die Größe der Schrittweite bestimmen. Ein System heißt steif, wenn gewisse Komponenten der Lösung sehr viel schneller abklingen als andere. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Steife Differentialgleichungen TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

65 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 182 Beispiel 2. Die Differentialgleichung y (t) = λ(y(t) g(t)) + g (t) ( ) besitzt die allgemeinen Lösung y(t) = γ exp(λt) + g(t) (γ R). Wir wählen g als glatte Funktion, z.b. g(t) = arctan t und λ = 10. Auch hier setzt sich die Lösung aus einem glatten (g(t) = Gleichgewichtsanteil) und einem schnell abklingenden Teil (γ exp(λt) = transienter Anteil) zusammen. Wir wählen die AB y(0) = 0 und approximieren die exakten Lösung y(t) = arctan t für t [0, 5] mit dem expliziten Euler-Verfahren (R A = {ĥ : ĥ + 1 < 1}) und dem impliziten Euler-Verfahren (R A = C \ {ĥ : ĥ 1 1}). Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Steife Differentialgleichungen TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

66 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Steife Differentialgleichungen TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

67 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge h= h= h= Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Steife Differentialgleichungen TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

68 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge h= h= h= Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Steife Differentialgleichungen TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

69 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge Die Wärmeleitungsgleichung Problem. Die Temperatur u(x, t), 0 x π, in einem homogenen Stab mit konstantem Querschnitt habe zur Zeit t = 0 den Wert u(x, 0) = f(x). Der Stab sei wärmeisoliert außer an den Rändern x = 0 und x = π, wo die Temperatur konstant auf u(0, t) = u(π, t) = 0 gehalten wird (t > 0). Bestimme die Wärmeverteilung u(x, t ), 0 x π, im Stab zur Zeit t > 0. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Die Wärmeleitungsgleichung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

70 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 187 Mathematisches Modell. Energieerhaltungssatz und Fouriersches Gesetz (Jean-Baptiste-Joseph Fourier, ), Wärme fließt in Richtung abfallender Temperatur und zwar umso intensiver, je größer die Temperaturdifferenzen sind, führen auf die Aufgabe: Gesucht ist eine Funktion u : [0, π] [0, ) R, (x, t) u(x, t), die die folgenden Eigenschaften besitzt: u t (x, t) = γ2 2 u (x, t), x2 0 < x < π, t > 0 (WLG) mit einer Materialkonstanten γ( 1). Außerdem u(x, 0) = f(x), 0 x π, (Anfangsbedingung) (AB) Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Die Wärmeleitungsgleichung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

71 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 188 z.b. f(x) = 3 sin(x) sin(2x) + sin(3x), u(0, t) = u(π, t) = 0, t 0, (Randbedingungen). (RB) Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Die Wärmeleitungsgleichung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

72 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge Waerme Zeit Ort Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Die Wärmeleitungsgleichung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

73 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 190 (WLG) heißt Wärmeleitungsgleichung. Für komplizierte Anfangs- und Randbedingungen oder ortsabhängige Materialkonstanten kann man die Lösung solcher Probleme nicht explizit angeben. Es lässt sich jedoch beweisen, dass (WLG), (AB), (RB) auch dann ein sachgemäß gestelltes Problem (im Sinne von Jacques Salomon Hadamard ( )) ist: 1. Es besitzt eine Lösung. 2. Diese Lösung ist eindeutig. 3. Sie hängt stetig von den Daten (den Anfangs- und Randbedingungen) ab! Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Die Wärmeleitungsgleichung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

74 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 191 Diskretisierung durch finite Differenzen: Bestimme u nur noch auf den Linien (Linienmethode) Ω i = {(x i, t) : x i = ih und t 0}, i = 1, 2,..., n. Dabei ist h := π/(n + 1) die Schrittweite (Gitterweite) in x-richtung. Unsere Näherungen für u(x i, t) werden wir mit u i (t) : [0, ) R bezeichnen (wir wissen: u i (0) = f(x i )). Dazu müssen wir die partiellen Ableitungen 2 u/ x 2 aus (WLG) durch Ausdrücke annähern, die wir auf den Gitterlinien bestimmen können. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Die Wärmeleitungsgleichung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

75 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 192 Dazu betrachten wir zuerst eine Funktion in einer Variablen, f : R I = [α, β] R, x f(x), und nehmen an, dass f in x 0 I differenzierbar ist. Weil f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h gilt, liegt es nahe, f (x 0 ) etwa durch eine der drei Formeln f(x 0 + h) f(x 0 ) h (Vorwärtsdifferenz) (Vorw-Diff) f(x 0 ) f(x 0 h) h (Rückwärtsdifferenz) f(x 0 + h) f(x 0 h) (zentrale Differenz) 2h anzunähern. Dabei soll die Schrittweite h natürlich klein sein. (Rück-Diff) (Zent-Diff) Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Die Wärmeleitungsgleichung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

76 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 193 Die zweite Ableitung f (x 0 ) approximieren wir durch eine zentrale Differenz zweiter Ordnung f (x 0 ) f (x 0 + h) f (x 0 ) h f(x 0 +h) f(x 0 ) h f(x 0) f(x 0 h) h h = f(x 0 + h) 2f(x 0 ) + f(x 0 h) h 2. (Zent-Diff-2) Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Die Wärmeleitungsgleichung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

77 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 194 Diskretisierungsfehler: a) Ist f in I zweimal stetig differenzierbar, so gilt f(x 0 + h) f(x 0 ) h = f (x 0 ) + C 1 h mit C max x I f (x) (analog für Rückwärtsdifferenz). b) Ist f in I dreimal stetig differenzierbar, so gilt mit C max x I f (x). f(x 0 + h) f(x 0 h) 2h c) Ist f in I viermal stetig differenzierbar, so gilt = f (x 0 ) + C 3 h 2 f(x 0 + h) 2f(x 0 ) + f(x 0 h) h 2 = f (x 0 ) + C 4 h 2 mit C max x I f (4) (x). Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Die Wärmeleitungsgleichung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

78 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 195 Analog bei partiellen Ableitungen, z.b.: und u u(x + h, t) u(x, t) (x, t) = x h + O(h) für h 0 2 u u(x + h, t) 2u(x, t) + u(x h, t) (x, t) = x2 h 2 + O ( h 2) für h 0. O (h p ) für h 0 (sprich: Groß O von h p ) ist eines der Landau-Symbole (Edmund Georg Hermann Landau, ) und wie folgt definiert: f(y) = O(g(y)) für y a : f(y)/g(y) ist beschränkt für y a. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Die Wärmeleitungsgleichung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

79 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 196 Also: Approximiere u 2 / x 2 (x, t 0 ) durch eine zentrale Differenz zweiter Ordnung. Für n = 4 ergibt sich dann (mit u 0 (t) = u 5 (t) 0). u 1(t) = u 0(t) 2u 1 (t) + u 2 (t) h 2, u 2(t) = u 1(t) 2u 2 (t) + u 3 (t) h 2, u 3(t) = u 2(t) 2u 3 (t) + u 4 (t) h 2, u 4(t) = u 3(t) 2u 4 (t) + u 5 (t) h 2. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Die Wärmeleitungsgleichung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

80 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 197 Alternativ: u (t) = 1 h 2 A 4u(t) mit A 4 = Bekannt sind die Anfangsbedingungen f(h) u(0) = f(2h) f(3h) f(4h). Es handelt sich also um ein AWP für ein System gdgn (semi-diskrete Form der Wärmeleitungsgleichung). Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Die Wärmeleitungsgleichung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

81 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 198 Explizites Euler-Verfahren (Leonhard Euler, ): Ziel: Berechne Näherungen u i,j für die Lösung u(ih, jk) von (WLG), (AB), (RB), wobei 1 i n, 1 j m. Bestimme u (0) := [u 1,0, u 2,0,..., u n,0 ] T = [f(x 1 ), f(x 2 ),..., f(x n )] T aus der gegebenen Anfangsbedingung. Für j = 1, 2,..., m berechne u (j) = [u 1,j, u 2,j,..., u n,j ] T durch u (j) = [I + τa n ] u (j 1). (5.6) Dabei bezeichnen I die (n n)-einheitsmatrix, τ = k/h 2, A n die Tridiagonalmatrix A n = tridiag(1, 2, 1) R n n (s.o.) und u (j) den Vektor, der die Näherungen für die Temperatur zur Zeit t = jk enthält. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Die Wärmeleitungsgleichung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

82 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 199 Für k = 1/11, h = π/30: 10 8 Temperatur Zeit Ort Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Die Wärmeleitungsgleichung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

83 Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 200 Die folgende Tabelle zeigt, dass man für kleinere Werte von k sogar noch unsinnigere Werte erhält. Erst wenn die Zeitschrittweite k winzig ist, ergeben sich brauchbare Näherungen. k u(7h, 1) u(14h, 1) u(21h, 1) u(28h, 1) 1/ / / / / / (h = π/30, k = 0 bedeutet hier, dass es sich bei den zugehörigigen u-werten um die Funktionswerte der exakten Lösung handelt.) Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Die Wärmeleitungsgleichung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010