12 Gewöhnliche Differentialgleichungen

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1 12 Gewöhnliche Differentialgleichungen 12.1 Der Satz von Picard-Lindelöf Definition (Explizite Differentialgleichung erster Ordnung) Ω 1 R, Ω 2 R n seien offen und f : Ω 1 Ω 2 R n, (x,y) f (x,y) stetig. Eine explizite gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung ist eine Gleichung der Form (12.1.1) y (x) = f (x,y(x)) für eine differenzierbare Abbildung y : Ω 1 Ω 2. In manchen Fällen ist es möglich, die Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen durch Integration zu bestimmen. Z.B. führt die Differentialgleichung y (x) = y(x) durch Multiplikation mit e x auf beiden Seiten zur Differentialgleichung ỹ (x) = 0 mit ỹ muss daher konstant sein, d.h. ỹ(x) = e x y(x). ỹ(x) = e x y(x) = c mit einer Konstanten c R. Ferner gilt c = y(0), also y(x) = y(0)e x. In den meisten Fällen ist aber eine explizite Lösung nur sehr schwer oder garnicht zu finden. Allerdings ist dies für viele Zwecke auch nicht nötig, sondern man interessiert sich meist bloß für die Existenz, die Eindeutigkeit und die Eigenschaften einer Lösung. Wir wollen nun untersuchen, ob und wieviele Lösungen es von (12.1.1) gibt. 197

2 12 Gewöhnliche Differentialgleichungen Satz (Picard-Lindelöf) Ω 1 R, Ω 2 R n seien offen und f : Ω 1 Ω 2 R n stetig. Ferner genüge f im zweiten Argument der folgenden lokalen Lipschitz-Bedingung: Zu jedem (ξ,η) Ω 1 Ω 2 existiere ein r > 0 und ein L > 0, so dass (12.1.2) f (x,y 1 ) f (x,y 2 ) L y 1 y 2, x Ω 1 U(ξ,r) und y 1,y 2 Ω 2 U(η,r). Dann existiert zu jedem (ξ,η) Ω 1 Ω 2 ein ɛ > 0 mit U(ξ,ɛ) Ω 1 und eine eindeutige bestimmte differenzierbare Funktion y : U(ξ,ɛ) Ω 2 mit und y (x) = f (x,y(x)), x U(ξ,ɛ) (12.1.3) y(ξ) = η. Gleichung (12.1.3) nennt man auch die Anfangsbedingung Bemerkung Wie schon das denkbar einfachste Beispiel y (x) = 0 zeigt, sind die Lösungen erst dann eindeutig, wenn man die Anfangsbedingung angibt. Die Lösungen von y = 0 sind nämlich die konstanten Funktionen und durch die Anfangsbedingung y(ξ) = η wird in diesem Fall die Konstante festgelegt Beispiel a) In einigen Fällen ist es möglich, die Lösung von y (x) = f (x,y(x)) durch das im Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf benutzte Iterationsverfahren explizit zu bestimmen. Wir betrachten die Gleichung y (x) = kx k 1 y(x) mit einem k N. Sei η R beliebig und ξ := 0. Wir suchen also nach der eindeutigen Lösung zur Anfangsbedingung y(0) = η. Es sei y 0 := η und iterativ y n+1 durch x y n+1 (x) := (T y n )(x) = η + = η + ξ x 0 f (t,y n (t))dt kt k 1 y n (t)dt 198

3 12.1 Der Satz von Picard-Lindelöf festgelegt. Wir erhalten durch direktes Integrieren x y 1 (x) = η + Per Induktion beweist man und damit In der Tat ist 0 kt k 1 ηdt = η + ηt k x y n (x) = η n (x k ) l l=0 y(x) = lim n y n (x) = η l=0 l! 0 = η(1 + xk ). (x k ) l = ηe xk. l! y (x) = ηkx k 1 e xk = kx k 1 y(x), y(0) = η. b) Man kann nicht auf die Lipschitz-Bedingung im zweiten Argument von f verzichten. Wir betrachten hierzu die Funktion Die gewöhnliche Differentialgleichung f (x,y) = 2 y. y (x) = f (x,y(x)) = 2 y(x) besitzt zur Anfangsbedingung y(0) = 0 die beiden Lösungen y 1 (x) = 0 und y 2 (x) = sign(x)x2 2 Die Funktion f ist an der Stelle y = 0 nicht Lipschitz-stetig, aber 1/2-Hölder-stetig. Daher sind die Vorauusetzungen im Satz von Picard-Lindelöf hier nicht erfüllt Korollar (Picard-Lindelöf für Gleichungen k-ter Ordnung) Es sei k N. Ω 1 R, Ω 2 R kn seien offen und f : Ω 1 Ω 2 R n stetig. Ferner seien ξ Ω 1, η 0,...,η k 1 R n mit η := (η 0,...,η k 1 ) Ω 2 und f erfülle in (ξ,η) die lokale Lipschitz-Bedingung (12.1.2) mit r,l > 0. Dann existiert ein ɛ > 0 und eine eindeutig bestimmte k-mal stetig differenzierbare Funktion y : U(ξ,ɛ) R n, die der folgenden gewöhnlichen Differentialgleichung k-ter Ordnung genügt: (12.1.4) y (k) (x) = f (x,y(x),y (x),...,y (k 1) (x)) y (j) (ξ) = η j, j = 0,...,k

4 12 Gewöhnliche Differentialgleichungen Beweis: Wir reduzieren die gewöhnliche Differentialgleichung k-ter Ordnung auf eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung. Sei y C k (Ω 1,R n ) und φ := (y,y,...,y (k 1) ). Dann ist φ C 1 (Ω 1,R kn ). Ferner sei F : Ω : Ω 1 Ω 2 R kn definiert durch F(x,y 0,...,y k 1 ) := (y 1,...,y k 1,f (x,y 0,...,y k 1 )) für alle y 0,...,y k 1, für die die rechte Seite erklärt ist. y C k (Ω 1,R n ) ist genau dann Lösung von (12.1.4), wenn φ C 1 (Ω 1,R kn ) die folgende Gleichung löst: φ (x) = F(x,φ(x)) φ(ξ) = η. Die Behauptung folgt nun aus Satz Beispiel Die Gleichung y (x) = x siny(x) y (x) ist zweiter Ordnung. Durch φ 0 := y, φ 1 := y, φ := (φ 0,φ 1 ) erhalten wir die Gleichung φ = (φ 0,φ 1 ) = (y,y ) = (y,x siny y ) = (φ 1,x sinφ 0 φ 1 ) =: F(x,φ) Lineare Differentialgleichungen In diesem Abschnitt werden wir die Lösungen linearer homogener gewöhnlicher Differentialgleichungen n-ter Ordnung der Form z (n) = c n 1 z (n 1) c 1 z c 0 z untersuchen, wobei z die unbekannte komplex- oder reellwertige Funktion einer reellen Variablen x ist und c 0,...,c n 1 feste komplexe (oder reelle) Zahlen sind. Wir werden zuerst sämliche komplexen Lösungen dieser Gleichung bestimmen. In dem Fall, wo alle Koeffizienten c 0,...,c n 1 reell sind, werden wir aus den komplexwertigen Lösungen dieser Gleichung alle reellwertigen bestimmen können. Die wesentliche Idee dabei ist, dass (im Gegensatz zum reellen Fall) es stets möglich ist, ein komplexes Polynom z n +c n 1 z n 1 + +c 1 z+c 0 vom Grad n in ein Produkt aus n Monomen zu zerlegen, d.h. es existieren n komplexe Zahlen λ 1,...,λ n (die Nullstellen des Polynoms) mit n z n + c n 1 z n c 1 z + c 0 = (z λ k ). Insbesondere gilt im Fall reellwertiger Koeffizienten c 0,...,c n 1, dass mit λ auch λ eine Nullstelle des Polynoms ist. k=1 200

5 12.2 Lineare Differentialgleichungen Sei jetzt z : I C eine komplexwertige Funktion auf einem Intervall I R. Natürlich sind die Spezialfälle zulässig, wo z reellwertig ist. Es sei p = der lineare Differentialoperator, der jeder differenzierbaren Funktion z : I C ihre Ableitung zuordnet, x d.h. pz := z x = z. Wendet man p insgesamt n-mal auf eine n-fach differenzierbare Funktion z an, so erhält man p n z = (p p)z = n z } {{ } ( x) n. Es sei nun n mal L(q) := q n + c n 1 q n c 1 q + c 0 ein komplexes Polynom vom Grad n über C, d.h. c 0,...,c n C mit c n 0. Der zu L gehörende lineare Differentialoperator ist L(p) = p n + c n 1 p n c 1 p + c 0. Man nennt L(p) auch das charakteristische Polynom der linearen gewöhnlichen Differentialgleichung (12.2.1) L(p)z = z (n) + c n 1 z (n 1) + + c 1 z + c 0 z = 0. Ist λ C beliebig, so gilt für die Funktion e λx bekanntlich p(e λx ) = λe λx und dann auch induktiv (12.2.2) L(p)(e λx ) = L(λ) e λx Einfache Wurzeln An Gleichung (12.2.2) erkennen wir sofort, dass die Funktion e λx genau dann eine Lösung von (12.2.1) ist, wenn λ eine Nullstelle des Polynoms L ist, d.h. wenn L(λ) = λ n + c n 1 λ n c 1 λ + c 0 = 0. In dem Fall, wo alle Nullstellen des Polynoms L verschieden sind, ergibt sich folgender Satz Satz Die Nullstellen λ 1,...,λ n C des charakteristischen Polynoms L(q) = q n + c n 1 q n c 1 q + c 0 der linearen gewöhnlichen Differentialgleichung z (n) + c n 1 z (n 1) + + c 1 z + c 0 z = 0 201

6 12 Gewöhnliche Differentialgleichungen seien paarweise verschieden. Dann lässt sich jede komplexwertige Lösung z dieser gewöhnlichen Differentialgleichung in der Form mit a 1,...,a n C darstellen. z = a 1 e λ 1x + + a n e λ nx Beispiel a) Wir betrachten die Gleichung dritter Ordnung z = 2z z + 2z. Hier ist L(q) = q 3 2q 2 + q 2 = (q i)(q + i)(q 2). Also sind die Nullstellen λ 1 = i,λ 2 = i,λ 3 = 2 sämtlich verschieden. Der Lösungsraum der gewöhnlichen Differentialgleichung besteht aus allen Funktionen der Form z(x) = a 1 e ix + a 2 e ix + a 3 e 2x mit a 1,a 2,a 3 C. b) Für die Gleichung z + 2z + 2z = 0 ist L(q) = q 2 +2q +2 = (q +1 i)(q +1+i), d.h. λ 1 = 1+i, λ 2 = 1 i. Der komplexe Lösungsraum ist somit z(x) = a 1 e ( 1+i)x + a 2 e ( 1 i)x mit komplexen Koeffizienten a 1,a 2. Wir können dies auch noch mit der Eulerschen Formel ein wenig umschreiben. Weil e ix = cosx + i sinx, folgt e ( 1+i)x = e x (cosx + i sinx), e ( 1 i)x = e x (cos( x) + i sin( x)) = e x (cosx i sinx). Setzt man dies wieder oben in die allgemeine Lösungsformel ein, ergibt sich z(x) = e x( ) (a 1 + a 2 )cosx + i(a 1 a 2 )sinx. Dies ist genau dann eine reelle Funktion, wenn die Koeffizienten die Gleichungen a 1 = 1 (a ib), 2 a 2 = 1 (a + ib) 2 mit zwei reellen Zahlen a,b erfüllen. In diesem Fall wird z(x) = e x (acosx + b sinx). 202

7 12.2 Lineare Differentialgleichungen Besitzt das charakteristische Polynom nur reelle Koeffizienten, so sind wir insbesondere an den reellen Lösungen der linearen gewöhnlichen Differentialgleichung interessiert. Dafür ist zunächst folgende Tatsache wichtig. Ist λ eine Nullstelle von L so folgt aus 0 = L(λ) = L( λ), dass auch die zu λ komplex konjuguerte Zahl λ eine Nullstelle ist. Nicht reellwertige Nullstellen eines reellen Polynoms treten somit immer in Paaren λ, λ auf. Betrachten wir z.b. das reelle Polynom L(q) = q 3 7q q 13 = (q 2 6q + 13)(q 1) = (q 3 2i)(q 3 + 2i)(q 1), so sind die Nullstellen durch λ 1 = 3 + 2i,λ 2 = λ 1 = 3 2i,λ 3 = 1 gegeben. Für reelle Polynome mit verschiedenen Nullstellen ergibt sich dann der nächste Satz Satz L(q) = q n + c n 1 q n c 1 q + c 0 sei ein reelles Polynom. Die n komplexen Nullstellen λ 1,...,λ n seien sämtlich verschieden und seien von der Form λ 1 = µ 1 + iω 1, λ 2 = µ 1 iω 1.. λ 2k 1 = µ k + iω k, λ 2k = µ k iω k λ 2k+1,...,λ n R. Dann kann jede reelle Lösung y der linearen gewöhnlichendifferentialgleichung y (n) + c n 1 y (n 1) + + c 1 y + c 0 = 0 in der Form y(x) = k j=1 e ( ) µ jx a j cos(ω j x) + b j sin(ω j x) + n j=2k+1 d j e λ jx mit reellen Koeffizienten a 1,...,a k,b 1,...,b k,d 2k+1,...,d n geschrieben werden. 203

8 12 Gewöhnliche Differentialgleichungen Beispiel Wir betrachten die Gleichung Weil gilt also und die allgemeine Lösung ist y 7y + 19y 13y = 0. L(q) = q 3 7q q 13 = (q 3 2i)(q 3 + 2i)(q 1), λ 1 = 3 + 2i,λ 2 = 3 2i,λ 3 = 1, µ 1 = 3,ω 1 = 2 y(x) = e 3x (acos(2x) + b sin(2x)) + de x Korollar Mit denselben Voraussetzungen wie in Satz , lässt sich jede reelle Lösung von in der Form y = y (n) + c n 1 y (n 1) + + c 1 y + c 0 = 0 k r j e µ jx cos(ω j x + α j ) + j=1 n j=2k+1 d j e λ jx mit reellen Koeffizienten r 1,...,r k,α 1,...,α k,d 2k+1,...,d n schreiben Wurzeln mit Vielfachheiten Ist L(p) ein Polynom n-ten Grades, dann ist die Vielfachheit einer Nullstelle λ die maximale Zahl k mit 1 k n für die L(p) in ein Produkt L(p) = M(p)(p λ) k zerlegt werden kann, wobei M(p) ein Polynom (n k)-ten Grades ist, für welches λ keine Nullstelle mehr ist. Jede Nullstelle von L(p) mit k > 1 wird eine Nullstelle mit Vielfachheit oder auch eine multiple Nullstelle genannt. Hat das charakteristische Polynom einer gewöhnlichen Differentialgleichung Nullstellen mit Vielfachheit, so kann man eine Basis des Lösungsraums nicht mehr durch die Funktionen e λ jx erzeugen. Hierfür kann man folgendes heuristisches Argument heranziehen. Sind λ 1,λ 2 zwei verschiedene Nullstellen von L(p), so ist die Funktion e λ 1x e λ 2x λ 1 λ 2 204

9 12.2 Lineare Differentialgleichungen eine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung. Nimmt man nun an, dass durch eine Änderung der Koeffizienten von L(p) die Nullstelle λ 2 sich immer mehr der Nullstelle λ 1 annähert, so wird im Grenzübergang zu erwarten sein, dass die Grenzfunktion xe λ1x e λ1x e λ2x = lim λ 2 λ 1 λ 1 λ 2 eine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung mit doppelter Nullstelle bei λ 1 ist und dies ist tatsächlich der Fall. Analog kann man schließen, dass die Funktionen e λx,xe λx,...,x k 1 e λx Lösungen einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung L(p)z = 0 sind, wenn λ eine Nullstelle von L(p) der Vielfachheit k ist. Es gilt dann der folgende Satz Satz Es sei L(p) das charakteristische Polynom einer linearen homogenen Differentialgleichung n-ter Ordnung (mit konstanten Koeffizienten). λ 1,...,λ k seien paarweise verschiedene Nullstellen von L(p) mit Vielfachheiten m 1,...,m k so dass n = m m k. Dann kann jede Lösung z von L(p)z = 0 geschrieben werden in der Form z(x) = k l j (x)e λjx, wobei jedes l j (x) ein beliebiges Polynom in x vom Grad kleiner oder gleich m j 1 ist Beispiel a) Wir betrachten die Gleichung Das charakteristische Polynom j=1 z + 2z + z = 0. L(p) = p 4 + 2p = (p i) 2 (p + i) 2 hat zwei Nullstellen λ 1 = i,λ 2 = i, beide mit Vielfachheit m 1 = m 2 = 2. Nach Satz hat die allgemeine Lösung die Form mit komplexen Zahlen a,b,c,d. z(x) = (a + bx)e ix + (c + dx)e ix b) Das charakteristische Polynom L(p) = p n hat nur eine Nullstelle bei λ = 0 und diese hat die Vielfachheit n. Die allgemeine Lösung ist somit z(x) = (a 0 + a 1 x + a 2 x a n 1 x n 1 )e 0 x = a 0 + a 1 x + a 2 x a n 1 x n 1 mit komplexen Zahlen a 0,...,a n

10 12 Gewöhnliche Differentialgleichungen Aus den komplexen Lösungen lassen sich auch wieder alle reellen Lösungen gewinnen, wenn die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms L(p) reell sind Satz Wir betrachten das charakteristische Polynom L(p) der homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung y (n) + c n 1 y (n 1) + + c 1 y + c 0 y = 0 mit reellen Koeffizienten c 0,...,c n 1. Es sei {λ 1,...,λ k } die Menge aller paarweise verschiedenen Nullstellen von L(p) mit Im(λ j ) > 0, j = 1,...,k und {λ k+1,...,λ k+l } sei die Menge aller paarweise verschiedenen reellen Nullstellen von L(p). Ferner sei die Vielfachheit von λ j gleich m j für j = 1,...,k + l. Dann kann jede reelle Lösung y der Differentialgleichung in der Form y(x) = k e ( µ jx a j (x)cos(ω j x) + b j (x)sin(ω j x) ) + j=1 k+l j=k+1 d j (x)e λ jx mit reellen Polynomen a j (x),b j (x),d j (x) vom Grad kleiner oder gleich m j 1 für j = 1,...,k+ l geschrieben werden. Hierbei haben wir λ j = µ j + iω j für j = 1,...,k gesetzt Beispiel Wir betrachten die Differentialgleichung Das charakteristische Polynom ist y (7) + 3y (6) + 5y (5) + 7y (4) + 7y (3) + 5y (2) + 3y + y = 0. L(p) = (p + 1) 3 (p i) 2 (p + i) 2. Es existiert also eine komplexe Wurzel λ 1 mit positivem Imaginärteil, nämlich λ 1 = i. Dies hat Vielfachheit zwei. Die einzige reelle Nullstelle ist λ 2 = 1 mit Vielfachheit drei. Die reellen L soungen sind also der Form y(x) = (a 0 + a 1 x)cosx + (b 0 + b 1 x)sinx + (c 0 + c 1 x + c 2 x 2 )e x mit reellen Konstanten a 0,a 1,b 0,b 1,c 0,c 1,c 2. Diese sind dann durch die sieben Anfangsbedingungen eindeutig festgelegt Einfache inhomogene lineare Differentialgleichungen Ist L(p)z = 0 eine homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung und ist f (x) eine Funktion, so heißt die Gleichung (12.2.3) L(p)z = f 206

11 12.2 Lineare Differentialgleichungen eine inhomogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung. Um die Lösungen von (12.2.3) zu erhalten, überlegen wir zuächst, dass für je zwei Lösungen z 1,z 2 von (12.2.3) wegen der Linearität die Differenz z 1 z 2 die homogene lineare Differentialgleichung L(p)(z 1 z 2 ) = 0 löst. Wir erhalten deshalb alle Lösungen von (12.2.3), wenn wir eine spezielle Lösung z s von (12.2.3) kennen und hierzu alle Lösungen z der zugehörigen homogenen Gleichung L(p)z = 0 addieren, denn dann ist auch L(p)(z s + z) = L(p)z s + L(p)z = f + 0 = f. In manchen Fällen ist es besonders einfach, eine spezielle Lösung z s zu erhalten. Wir betrachten den Fall, wo f = c eine Konstante ist. Es sei hierzu L(p) = c n p n + c n 1 p n c 1 z + c 0 mit c n 0. Wir wählen das kleinste k {0,...,n} mit c k 0. Für z s = a k x k ist dann Weil c k 0, erhält man für a k := L(p)z s = (c n p n + + c k p k )(a k z k ) = k!c k a k. c k!c k eine spezielle Lösung z s von L(p)z s = c Beispiel Wir betrachten die inhomogene Differentialgleichung z + 4z = c. Hier ist n = 3, k = 1, c k = 4 und z s = 4 c x. Da die zugehörige homogene Differentialgleichung z + 4z = 0 die allgemeine Lösung z(x) = a 0 e 0 x + a 1 e 2ix + a 2 e 2ix = a 0 + a 1 e 2ix + a 2 e 2ix besitzt, sind alle Lösungen der inhomogenen Gleichung durch mit a 0,a 1,a 2 C gegeben. z(x) = c 4 x + a 0 + a 1 e 2ix + a 2 e 2ix 207