Randwertbedingungen und Ghost Cells
|
|
- Sara Wetzel
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Randwertbedingungen und Ghost Cells Olaf Kern Universität Trier 16.Dezember 2010 Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 1/23 16.Dezember / 23
2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 Periodische Randwert-Bedingungen 3 Advektion Outflow Inflow 4 Akustik Nicht-reflektierende Ränder Perfectly Matched Layer - Methode Eintretende Wellen Feste Wände Schwingende Wände 5 Zusammenfassung Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 2/23 16.Dezember / 23
3 Einführung Möglicher Ansatz: Formeln für die Grenzen hängen vom Typ des Randes ab hängen vom Typ der Methode innerhalb ab u.u. werden Spezielle Fluss-Limiter benötigt. Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 3/23 16.Dezember / 23
4 Einführung (2) Bisher: Randbehandlung im Lösungsalgorithmus: Vorteil: weniger abstrakte Programmierung der Randbedingung Nachteil: verschiedene Lösungsäste Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 4/23 16.Dezember / 23
5 Einführung (3) Falls Gitter geordnet (z.b. kartesisch) können wir das 1D-Gitternetz um Ghost Cells erweitern: Diese haben folgende Eigenschaften: werden in jedem Zeitschritt aktualisiert möglichst gleiche Methode zur Berechnung wie im Inneren u.u. werden mehrere Schichten Ghost Cells benötigt Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 5/23 16.Dezember / 23
6 Periodische Randwert-Bedingungen Im Intervall [a, b] gilt für periodische Randbedingungen q(a, t) = q(b, t) Eine sehr einfache und präzise Lösung ist: Q 0 := Q N Q N+1 := Q 1 für eine 3-Punkt-Schablone. Für größere Schablonen ist nur eine sukzessive Erweiterung nötig. Für eine 5-Punkte-Schablone ergibt dies: Q 1 := Q N 1 Q N+1 := Q 2 Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 6/23 16.Dezember / 23
7 Advektion gegeben: eine Advektion im Intervall [a, b] mit Geschwindigkeit ū > 0 und der RWB q(a, t) = g 0 (t), wobei g 0 (t) gegeben ist q t + ūq x = 0 Das Ziel ist nun eine passende Randwertbedingung an x = b zu finden. Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 7/23 16.Dezember / 23
8 Advektion - Outflow bei upwind oder Beam-Warming irrelevant bzw. beliebig bei Lax-Wendroff (3-Punkte-Methode) benötigt man auch rechte Zellennachbarn Ansatz: upwind am äußersten rechten Punkt kombiniert mit Lax-Wendroff im Innern Problem hierbei: Störungen am rechten Rand können Lösung konterminieren, und u.u. für Instabilität sorgen Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 8/23 16.Dezember / 23
9 Advektion - Outflow (2) Lösungsansatz: Extrapolation 0. Ordnung der GC mit Hilfe der inneren Lösung: Setze einfach QN+i n := QN n, i = 1, 2 n Q n N+1 = 0 und F n N+ 1 2 = ūq n N (ū > 0) Da Q n 0 in Lax-Wendroff sein kann, haben wir in der letzten Zelle N 1 2 nicht immer eine upwind-methode 1. Ordnung. Eine weitere Möglichkeit wäre eine Extrapolation 1. Ordnung: Q n N+1 := Qn N + (Qn N Qn N 1 ) = 2Qn N Qn N 1 In diesem Fall haben wir eine upwind-methode 1. Ordnung mit φ(1) = 1. Trotzdem ist sie nicht zu empfehlen, da oft Stabilitätsprobleme aufkommen. Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 9/23 16.Dezember / 23
10 Advektion - Inflow Betrachte Advektionsgleichung mit ū > 0 an x = a Ein möglicher Ansatz ist, Q n+1 1 mit Hilfe von F n 1/2 = 1 t = ū t tn+1 t n tn+1 t n ūq(a, t)dt g 0 (t)dt zu berechnen. Genauer, aber u.u. aufwendiger ist: F 1/2 = ūg 0 (t n + t 2 ) Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 10/23 16.Dezember / 23
11 Advektion - Inflow (2) Auch für die GC links des Gitternetzes ist es das Ziel, diese mit der gleichen Methode zu berechnen. Wir möchten setzen. Mit Q n 0 = 1 x a a x q(x, t n )dx q(x, t n ) = q(a, t n + a x ū ) = g 0(t n + a x ū ) folgt Q0 n = 1 a g 0 (t n + a x x a x ū )dx = ū tn+ x/ū g 0 (τ)dτ x t n Mit der Mittelpunktsregel 2. Ordnung erhalten wir: Q n 0 = g 0 (t n + x 2ū ) und Q n 1 = g 0 (t n + 3 x 2ū ) Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 11/23 16.Dezember / 23
12 Akustik Wiederholung p t + K 0 u x = 0 ϱ 0 u t + p x = 0 ω 1 (x, t) = 1 2Z 0 ( p + Z 0 u) ω 2 (x, t) = 1 2Z 0 (p + Z 0 u) Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 12/23 16.Dezember / 23
13 Akustik - Nicht-reflektierende Ränder Wir haben ein AWP (Cauchy-Problem) mit u 0 (x) und p 0 (x) gegeben. Außerhalb von [a 1, b 1 ] seien diese konstant. { (p L, u L ), wenn x < a 1 (p, u) (p R, u R ), wenn x > b 1 Setze a, b so, dass a < a 1 < b 1 < b Eingehende Charakteristik: ω 2 (a 1, t) = 1 2Z 0 (p L + Z 0 u L ) Mittels Diagonalisierung erhält man: W 1 = ( Q 1 + Z 0 Q 2 )/2Z 0 W 2 = (Q 1 + Z 0 Q 2 )/2Z 0 Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 13/23 16.Dezember / 23
14 Akustik - Nicht-reflektierende Ränder (2) Da am linken Rand ω 1 austritt, können wir bereits für diese extrapolieren. ω 2 wollen wir als eine Funktion g 0 (t) setzen. Dies erreichen wir durch: w 2 konst. an x=a ω 2 (a, t) = p L + Z 0 u L t 2Z 0 W 1 2 = W0 2 = 1 (p L + Z 0 u L ) 2Z 0 W1 2 und die Randwerte W 0 2 und W 1 2 können wir auch durch Extrapolation erhalten, um Q 0 und Q 1 zu berechnen. Dies führt zu den gleichen Werten wie eine simple Extrapolation 0. Ordnung von Q. Daher reicht es zu extrapolieren: Q n 0 = Q n 1, Q n 1 = Q n 1 t Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 14/23 16.Dezember / 23
15 Akustik - Nicht-reflektierende Ränder (3) Das Problem der Extrapolation zeigt sich im Mehrdimensionalen: Solch offene Ränder können Störungen hervor rufen und sorgen zudem für großen Rechenaufwand Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 15/23 16.Dezember / 23
16 Akustik - Nicht-reflektierende Ränder - PML Alternative: Perfectly Matched Layers - Methode winkel- und frequenzunabhängig Absorption Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 16/23 16.Dezember / 23
17 Akustik - Nicht-reflektierende Ränder - PML (2) Etwas zur PML-Methode: basiert auf Maxwell-Gleichung u PML (x) := u(γ(x)) ū Amplitude 0 (exponentiell) innerhalb δ u.u. müssen weitere Unbekannte berechnet werden Unterscheidung in split, streched und uniaxiale PML: split: Aufteilung der Variablen streched: Variablen werden mit einem komplexen Faktor multipliziert uniaxiale: der PML-Bereich wird als anisotropes Material angenommen. Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 17/23 16.Dezember / 23
18 Akustik - Eintretende Wellen Bisher haben wir eintretende Wellen ausgeschlossen. Diese werden nun betrachtet, desweiteren haben wir variierende Materialeigenschaften in [a 1, b 1 ], a < a 1 < b 1 < b Eintretende Wellen als: w 2 (a, t) = sin(ωt) Durch Dekomposition und Extrapolation Q 0 = W 1 1 r 1 + sin(ω(t n + x 2c 0 ))r 2 oder Q 0 = Q 1 + (sin(ω(t n + x 2c 0 )) W 2 1 )r 2 Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 18/23 16.Dezember / 23
19 Akustik - Eintretende Wellen (2) Für ein größeres System von mehreren Gleichungen, wobei wir nur eine eingehende Charakteristik w j (a, t) = g 0 (t) haben wollen und die restlichen eingehendende und sämtiche ausgehenden Stärke 0 haben sollen: Q 0 = Q 1 + (g 0 (t n + x 2λ j ) W j 1 )r j wobei W j 1 = l j Q 1 der Eigenkoeffizient von r j in Q 1 und λ j der dazugehörige EW ist. Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 19/23 16.Dezember / 23
20 Akustik - Feste Wände Wir betrachten eine feste Wand u(a, t) = 0 t sowie vorgegebenen Druck und Geschwindigkeit. Eine einfache Lösung für dieses Problem ist die Projektion der Daten aus x > a auf den Bereich x < a: Dies führt zu folgenden Formeln: p 0 (a ξ) = p 0 (a + ξ) u 0 (a ξ) = u 0 (a + ξ) u(a) = u(a) für Q 0 : p 0 = p 1, u 0 = u 1 für Q 1 : p 1 = p 2,u 1 = u 2 Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 20/23 16.Dezember / 23
21 Akustik - Schwingende Wände gegeben: an x = a oszillierende Wand mit u(a, t) = εsin(ωt) Analoge Implementierung: wobei U(t) = u(a, t) für Q 0 :p 0 = p 1, u 0 = 2U(t n ) u 1 für Q 1 :p 1 = p 2, u 1 = 2U(t n ) u 2 Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 21/23 16.Dezember / 23
22 Zusammenfassung Periodische BC Q n 1 = Qn N 1, Qn 0 = Qn N, Qn N+1 = Qn 1,.. Advektion Sowohl für Inflow als auch Outflow ist die Extrapolation 0. Ordnung am sinnvollsten und stabilsten. Akustik Bei ABC ist Extrapolation möglich. Im 1D sehr sinnvoll, schon ab 2D kommen Störungen ins Innere. Besser hier: PML-Methode Bei eintretenden Wellen setze Q 0 = Q 1 + (sin(ω(t n + x 2c 0 )) W1 2)r 2 An einer festen Wand Q spiegeln, wobei Geschwindigkeit negativiert wird (für Q 0 : p 0 = p 1, u 0 = u 1 ) Erweiterung bei einer schwingenden Wand um RWB: für Q 0 : p 0 = p 1, u 0 = 2U(t) u 1 Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 22/23 16.Dezember / 23
23 Quellen Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Quellen: Randall J. Leveque - Finite-Volume Methods for Hyperoblic Problems Thorsten Tischler - Die Perfectly-Matched-Layer-Randbedingung M. Münch - Strömungsverfahren J.H. Ferziger, M. Peric - Computational Methods for Fluid Dynamics Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 23/23 16.Dezember / 23
Hyperbolische Erhaltungsgleichungen und die Wellengleichung
Hyperbolische Erhaltungsgleichungen und die Wellengleichung Stefanie Günther Universität Trier 11.November 2010 Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 1/29 11.November 2010 1 / 29 Inhaltsverzeichnis
MehrCharakteristiken linearer hyperbolischer Differentialgleichungen
hyerbolischer Differentialgleichungen Referent: Universität Trier Fachbereich IV: Mathematik WS 21/211, 11.11.21 Seminar Numerik Erhaltungsgleichungen und Finite-Volumen-Verfahren Dozenten: Dr. Stehan
MehrMETHODEN HÖHERER LÖSUNG Kapitel 6 Mareike Börsch Universität Trier
METHODEN HÖHERER LÖSUNG Kapitel 6 Mareike Börsch Universität Trier 02.12.2010 Überblick 1. Wiederholung 2. Lineare Methoden 3. Limiter und Slope Limiter Methoden 4. Fluss Limiter Funktionen 5. Harten Theorem
MehrIterative Algorithmen für die FSI Probleme II
Iterative Algorithmen für die FSI Probleme II Rebecca Hammel 12. Juli 2011 1 / 22 Inhaltsverzeichnis 1 2 3 2 / 22 Zur Wiederholung: Wir definieren unser Fluid-Gebiet Ω(t) durch Ω(t) = {(x 1, x 2 ) R 2
MehrFerienkurs Quantenmechanik I WKB-Näherung und Störungstheorie
Ferienkurs Quantenmechanik I WKB-Näherung und Störungstheorie Sebastian Wild Freitag, 6.. Inhaltsverzeichnis Die WKB-Näherung. Grundlegendes............................. Tunnelwahrscheinlichkeit.......................
MehrDierentialgleichungen 2. Ordnung
Dierentialgleichungen 2. Ordnung haben die allgemeine Form x = F (x, x, t. Wir beschränken uns hier auf zwei Spezialfälle, in denen sich eine Lösung analytisch bestimmen lässt: 1. reduzible Dierentialgleichungen:
Mehr4. Die ebene Platte. 4.1 Schallabstrahlung von Platten 4.2 Biegeschwingungen von Platten. Prof. Dr. Wandinger 4. Schallabstrahlung Akustik 4.
4. Die ebene Platte 4.1 Schallabstrahlung von Platten 4.2 Biegeschwingungen von Platten Prof. Dr. Wandinger 4. Schallabstrahlung Akustik 4.4-1 Schallabstrahlung einer unendlichen ebenen Platte: Betrachtet
MehrWellen und wandernde Wellen Ähnlichkeitslösungen. Crashkurs PDG anhand von Beispielen. Wellen
Wellen Crashkurs PDG anhand von Beispielen Eine Welle ist ein erkennbares Signal, welches innerhalb eines Mediums von einer Seite zur anderen übertragen wird, mit einer erkennbaren Ausbreitungsgeschwindigkeit.
Mehr1 Einführung, Terminologie und Einteilung
Zusammenfassung Kapitel V: Differentialgleichungen 1 Einführung, Terminologie und Einteilung Eine gewöhnliche Differentialgleichungen ist eine Bestimmungsgleichung um eine Funktion u(t) einer unabhängigen
MehrAufgaben / Lösungen der Klausur Nr. 4 vom Juni 2002 im LK 12. nx ln(x)dx
Aufgaben / Lösungen der Klausur Nr. 4 vom Juni 2002 im LK 2 Aufgabe ) a) Berechne für alle natürlichen Zahlen n N das Integral e nx ln(x)dx. Mit Hilfe der partiellen Integration für f (x) = nx, somit f(x)
MehrNumerik von Anfangswertaufgaben Teil II
Institut für Numerische Mathematik und Optimierung Numerik von Anfangswertaufgaben Teil II Numerik partieller Differentialgleichungen Oliver Ernst Hörerkreis: 6. Mm, 8. Mm Sommersemester 2012 Inhalt 1.
MehrErhaltungssätze & Finite Volumen. Einführung
Erhaltungssätze & Finite Volumen Einführung Übersicht 1. Allgemein 2. Verschiedene Formen und Funk@onen 5. Erhaltungssätze 6. Finite Volumen Methoden 7. Zusammenfassung 1. Allgemein Hyperbolische Differen@algleichungen
Mehr(x x j ) R m [x] (3) x x j x k x j. R m [x]. (4)
33 Interpolation 147 33 Interpolation In vielen praktischen Anwendungen der Mathematik treten Funktionen f auf, deren Werte nur näherungsweise berechnet werden können oder sogar nur auf gewissen endlichen
MehrKlassifikation von partiellen Differentialgleichungen
Kapitel 2 Klassifikation von partiellen Differentialgleichungen Die meisten partiellen Differentialgleichungen sind von 3 Grundtypen: elliptisch, hyperbolisch, parabolisch. Betrachte die allgemeine Dgl.
Mehr5 Interpolation und Approximation
5 Interpolation und Approximation Problemstellung: Es soll eine Funktion f(x) approximiert werden, von der die Funktionswerte nur an diskreten Stellen bekannt sind. 5. Das Interpolationspolynom y y = P(x)
MehrEinführung FEM 1D - Beispiel
p. 1/28 Einführung FEM 1D - Beispiel /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/4_fem_intro/deckblatt.tex Seite 1 von 28 p. 2/28 Inhaltsverzeichnis 1D Beispiel - Finite Elemente Methode 1. 1D Aufbau Geometrie
MehrNumerik und Simulation in der Geoökologie
1/25 Rekapitulation Simulation des Wärmetransportes Methode der finiten Volumen Numerik und Simulation in der Geoökologie Sylvia Moenickes VL 11 WS 2007/2008 2/25 Rekapitulation Simulation des Wärmetransportes
MehrKlassische Theoretische Physik III (Elektrodynamik)
WiSe 017/18 Klassische Theoretische Physik III (Elektrodynamik Vorlesung: Prof. Dr. D. Zeppenfeld Übung: Dr. M. Sekulla Übungsblatt 10 Ausgabe: Fr, 1.01.18 Abgabe: Fr, 19.01.17 Besprechung: Mi, 4.01.18
MehrWKB-Methode. Jan Kirschbaum
WKB-Methode Jan Kirschbaum Westfälische Wilhelms-Universität Münster Fachbereich Physik Seminar zur Theorie der Atome, Kerne und kondensierten Materie 1 Einleitung Die WKB-Methode, unabhängig und fast
MehrGrundlagen Kondition Demo. Numerisches Rechnen. (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang
Numerisches Rechnen (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen Wintersemester 2011/12 IGPM, RWTH Aachen Numerisches Rechnen
Mehr3D-Simulationen magneto-hydrodynamischer Instabilitäten in Akkretionsscheiben
3D-Simulationen magneto-hydrodynamischer Instabilitäten in Akkretionsscheiben Wilhelm Kley, Jochen Peitz Daniel Marik Institut für Astronomie & Astrophysik Universität Tübingen Andreas Dedner, Dietmar
Mehr5. Die eindimensionale Wellengleichung
H.J. Oberle Differentialgleichungen II SoSe 2013 5. Die eindimensionale Wellengleichung Wir suchen Lösungen u(x, t) der eindimensionale Wellengleichung u t t c 2 u xx = 0, x R, t 0, (5.1) wobei die Wellengeschwindigkeit
MehrNewton-Verfahren zur optimalen Steuerung nichtlinearer elliptischer Randwertaufgaben
Newton-Verfahren zur optimalen Steuerung nichtlinearer elliptischer Randwertaufgaben Patrick Knapp Berichtseminar zur Bachelorarbeit Universität Konstanz 14.12.2010 Einleitung Aufgabenstellung min J(y,
MehrProbestudium der Physik 2011/12
Probestudium der Physik 2011/12 1 Schwingungen und Wellen: Einführung in die mathematischen Grundlagen 1.1 Die Sinus- und die Kosinusfunktion Die Sinusfunktion lässt sich genauso wie die Kosinusfunktion
MehrFlachwassergleichungen
Flachwassergleichungen Stefan Henrichs Universität Trier 16.Dezember 2010 Stefan Henrichs (Universität Trier) Seminar Numerik 1/28 16.Dezember 2010 1 / 28 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 Herleitung der
Mehr5. Eigenschwingungen
5. Eigenschwingungen Bei Innenraumproblemen gibt es wie bei elastischen Strukturen Eigenschwingungen. Eigenschwingungen sind rein reelle Lösungen der Helmholtz-Gleichung bei homogenen Randbedingungen.
MehrÜbungen zu Numerische Mathematik (V2E2) Sommersemester 2008
Übungen zu Numerische Mathemati (V2E2) Sommersemester 2008 Prof. Dr. Martin Rumpf Dr. Martin Lenz Dipl.-Math. Nadine Olischläger Übungsblatt 1 Abgabe: 24. April 2008 Aufgabe 1 Zur Berechnung der Quadratwurzel
MehrMaximumprinzip und Minimumprinzip
Maximumprinzip und Minimumprinzip Daniela Rottenkolber LMU München Zillertal / 13.12.2012 16.12.2012 Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 1/14 Übersicht Motivation mit Beispielen Schwaches
MehrEinige grundlegende partielle Differentialgleichungen
Einige grundlegende partielle Differentialgleichungen H. Abels 17. Oktober 2010 H. Abels (U Regensburg) Grundlegende PDGLn 17. Oktober 2010 1 / 14 Transportgleichung Eine der einfachsten Differentialgleichungen
MehrKLAUSUR zur Numerik I mit Lösungen. Aufgabe 1: (10 Punkte) [ wahr falsch ] 1. Die maximale Ordnung einer s-stufigen Quadraturformel ist s 2.
MATHEMATISCHES INSTITUT PROF. DR. ACHIM SCHÄDLE 9.8.7 KLAUSUR zur Numerik I mit Lösungen Aufgabe : ( Punkte) [ wahr falsch ]. Die maximale Ordnung einer s-stufigen Quadraturformel ist s. [ ]. Der Clenshaw
Mehrt + f(u) x = 0 (5.1) 2 f
Kapitel 5 Nicht-lineare Gleichungen 5.1 Erhaltungsform Betrachte Gleichung wobei f(u hier eine nichtlineare Funktion (Fluss von u mit t + f(u x = 0 (5.1 2 f 2 0 ist, d.h. f(u ist konvex. Bisher (vgl. Gl.
Mehr3. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Gegeben sind zwei Teilmengen von R : E := {x R : x x = }, und F ist eine Ebene durch die Punkte A = ( ), B = ( ) und C = ( ). (a) Stellen Sie diese Mengen
MehrDifferentialgleichungen
Differentialgleichungen Viele physikalische Probleme können mathematisch als gewöhnliche Differentialgleichungen formuliert werden nur eine unabhängige Variable (meist t), z.b. Bewegungsgleichungen: gleichmäßig
MehrKleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA
Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA Florian Franzmann 5. Oktober 004 Inhaltsverzeichnis Additionstheoreme Reihen und Folgen 3. Reihen...................................... 3. Potenzreihen..................................
Mehr5. Numerische Differentiation. und Integration
5. Numerische Differentiation und Integration 1 Numerische Differentiation Problemstellung: Gegeben ist eine differenzierbare Funktion f : [a,b] R und x (a,b). Gesucht sind Näherungen für die Ableitungen
MehrEinführung in numerische Methoden für Ingenieure (nach A. Quarteroni, F. Saleri: Wissenschaftliches Rechnen mit MATLAB)
Einführung in numerische Methoden für Ingenieure (nach A. Quarteroni, F. Saleri: Wissenschaftliches Rechnen mit MATLAB) Prof. R. Leithner, Dipl. Phys. E. Zander Wintersemester 2010/2011 Kapitel 8 Partielle
MehrNumerische Integration
Numerische Integration home/lehre/vl-mhs-1/folien/uebung/num_integration/cover_sheet_5a.tex Seite 1 von 12. p.1/12 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 2. Newton-Cotes Formeln Rechteckformel Trapezformel Simpsonsche
MehrGeschwindigkeiten, Steigungen und Tangenten
Geschwindigkeiten, Steigungen und Tangenten 1-E Die Geschwindigkeit cc Wir beginnen mit dem Problem der Geschwindigkeit: Wie können wir die Geschwindigkeit eines bewegten Objektes in einem bestimmten Augenblick
MehrInterpolation und Integration mit Polynomen
Interpolation und Integration mit Polynomen Philipp Andrea Zardo Universität Kassel 23. Februar 2006 / Kassel Outline 1 Einleitung Was ist numerische Mathematik? Die eulersche e-funktion Ein Wurzelalgorithmus
MehrAusblick. 1. Lineare dynamische Analysen 2. Nichtlineare Analysen 3. Weitere Anwendungen. Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-1
Ausblick 1. Lineare dynamische Analysen 2. Nichtlineare Analysen 3. Weitere Anwendungen Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-1 1. Lineare dynamische Analysen Beschleunigungen: Bei linearen dynamischen
MehrProbestudium der Physik 2011/12
Probestudium der Physik 2011/12 Karsten Kruse 2. Mechanische Schwingungen und Wellen - Theoretische Betrachtungen 2.1 Der harmonische Oszillator Wir betrachten eine lineare Feder mit der Ruhelänge l 0.
MehrParallelisierung durch Gebietszerlegung
Parallelisierung durch Gebietszerlegung Jahn Müller jahn.mueller@uni-muenster.de Westfälische Wilhelms-Universität Münster 25.01.2008 1 Einleitung 2 Gebietszerlegung nicht überlappende Zerlegung überlappende
MehrMathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder
DGL Schwingung Physikalische Felder Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder Johannes Wiedersich 23. April 2008 http://www.e13.physik.tu-muenchen.de/wiedersich/
MehrEine Welt aus Zahlen. Wie funktionieren Computersimulationen?
Eine Welt aus Zahlen. Wie funktionieren Computersimulationen? Steffen Börm Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Night of the Profs 2016 S. Börm (CAU Kiel) Computersimulationen 18. November 2016 1 /
MehrEinführung in die Physik
Einführung in die Physik für Pharmazeuten und Biologen (PPh) Mechanik, Elektrizitätslehre, Optik Übung : Vorlesung: Tutorials: Montags 13:15 bis 14 Uhr, Liebig-HS Montags 14:15 bis 15:45, Liebig HS Montags
Mehr6. Polynom-Interpolation
6. Polynom-Interpolation 1 6.1. Klassische Polynom-Interpolation 2 6.2. Lösung mit Hilfe Lagrange scher Basisfunktionen 3 6.3. Lösung mit Hilfe Newton scher Basisfunktionen 4 6.4. Fehlerabschätzung für
MehrII. Elliptische Probleme
II. Elliptische Probleme II.1 Finite Differenzen: Grundidee II.2 Konvergenzaussagen II.3 Allgemeine Randbedingungen II.4 Gekrümmte Ränder Kapitel II (0) 1 Dirichlet Randwerte mit finiten Differenzen Einfachster
MehrVorlesung Physik für Pharmazeuten und Biologen
Vorlesung Physik für Pharmazeuten und Biologen Schwingungen Mechanische Wellen Akustik Freier harmonischer Oszillator Beispiel: Das mathematische Pendel Bewegungsgleichung : d s mg sinϕ = m dt Näherung
MehrDie Modellierung einer Lithium-Batterie Zwischenpräsentation zum Praktikum Nichtlineare Modellierung in den Naturwissenschaften
MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie Zwischenpräsentation zum Praktikum Nichtlineare Modellierung in den Naturwissenschaften Christoph Fricke, Natascha von Aspern, Carla Tameling 12.06.2012
MehrSimulationstechnik V
Simulationstechnik V Vorlesung/Praktikum an der RWTH Aachen Numerische Simulation von Strömungsvorgängen B. Binninger Institut für Technische Verbrennung Templergraben 64 4. Teil Finite-Volumen-Methode
MehrEinführung und Beispiele
Kapitel 7 Gewöhnliche Differentialgleichungen Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 7/2 Einführung und Beispiele Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische
MehrLineare DGL-Systeme 1. Ordnung
Lineare DGL-Systeme 1. Ordnung Eine Reihe von naturwissenschaftlichen Problemstellungen, wie z. B. Feder- Dämpfer-Systeme der Mechanik oder Kirchhoffsche Netzwerke der Elektrotechnik, lassen sich durch
MehrMODELLBILDUNG. Modellierung und Simulation von Strömen
MODELLBILDUNG Modellierung und Simulation von Strömen Prof. Dr. Hans Babovsky Technische Universität Ilmenau, SS 2008 1 1 Konzept Wir wollen für ein Teilchensystem (Gasteilchen in der Luft, Rußteilchen
MehrFB IV Mathematik Universität Trier. Präsentation von Nadja Wecker
FB IV Mathematik Universität Trier Präsentation von Nadja Wecker 1) Einführung Beispiele 2) Mathematische Darstellung 3) Numerischer Fluss für Diffusionsgleichung 4) Konvergenz 5) CFL-Bedingung 6) Zusammenfassung
MehrEinführung in numerische Methoden für Ingenieure (nach A. Quarteroni, F. Saleri: Wissenschaftliches Rechnen mit MATLAB)
Einführung in numerische Methoden für Ingenieure (nach A. Quarteroni, F. Saleri: Wissenschaftliches Rechnen mit MATLAB) Prof. R. Leithner, Dipl. Phys. E. Zander Wintersemester 2010/2011 Kapitel 7 Gewöhnliche
MehrOutline. 1 Anwendungen. 2 Trennung der Variablen. 3 Variation der Konstanten. 4 Differentialgleichungssysteme
Outline 1 Anwendungen 2 Trennung der Variablen 3 Variation der Konstanten 4 Differentialgleichungssysteme 5 Lösungsansatz vom Typ der rechten Seite Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für
MehrKorrelationsmatrix. Statistische Bindungen zwischen den N Zufallsgrößen werden durch die Korrelationsmatrix vollständig beschrieben:
Korrelationsmatrix Bisher wurden nur statistische Bindungen zwischen zwei (skalaren) Zufallsgrößen betrachtet. Für den allgemeineren Fall einer Zufallsgröße mit N Dimensionen bietet sich zweckmäßiger Weise
MehrFinite Elemente I Konvergenzaussagen
Finite Elemente I 195 5 onvergenzaussagen 5 onvergenzaussagen TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006 Finite Elemente I 196 5.1 Interpolation in Sobolev-Räumen Wesentlicher Baustein der FE-onvergenzanalyse
MehrAnwendungen des Fréchet-Abstandes Das Constrained Free Space Diagram zur Analyse von Körperbewegungen
Anwendungen des Fréchet-Abstandes Das Constrained Free Space Diagram zur Analyse von Körperbewegungen David Knötel Freie Universität Berlin, Institut für Informatik Seminar über Algorithmen Leitfaden Wiederholung
MehrD-MATH Numerische Methoden FS 2016 Dr. Vasile Gradinaru Alexander Dabrowski. Serie 9
D-MATH Numerische Methoden FS 2016 Dr. Vasile Gradinaru Alexander Dabrowski Serie 9 Best Before: 24.5/25.5, in den Übungsgruppen (2 wochen) Koordinatoren: Alexander Dabrowski, HG G 52.1, alexander.dabrowski@sam.math.ethz.ch
MehrÜbungen zur Theoretischen Physik 1 Lösungen zum Mathe-Test
Prof. C. Greiner, Dr. H. van Hees Wintersemester 2012/2013 Übungen zur Theoretischen Physik 1 Lösungen zum Mathe-Test Aufgabe 1: Bruchrechnung Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf (a) x x 2 1
MehrX.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
X.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum 173 X.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum In Abwesenheit von Quellen, ρ el. = 0 j el. = 0, nehmen die Bewegungsgleichungen (X.9) (X.11) für die elektromagnetischen
Mehr2.6 Der Satz von Fubini
1 2.6 Der Satz von Fubini Unser Ziel ist der Beweis des folgenden Ergebnisses. 6.1. Satz von Fubini Sei f : R n+m R integrierbar. Dann gibt es eine Nullmenge N R m, so dass gilt: 1. Für alle y R m \ N
MehrDynamische Analyse und infinite Elemente in Abaqus
Dynamische Analyse und infinite Elemente in Abaqus nach Abaqus-Dokumentation C. Grandas, A. Niemunis, S. Chrisopoulos IBF-Karlsruhe Karlsruhe, 2012 Infinite Elemente (1) Infinite Elemente simulieren das
MehrMathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 3
Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 3 Prof. Dr. Norbert Pietralla/Sommersemester c.v.meister@skmail.ikp.physik.tu-darmstadt.de Aufgabe : Berechnen Sie die bestimmten Integrale: π/ 3 cos(x)
MehrFEM isoparametrisches Konzept
FEM isoparametrisches Konzept /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/deckblatt.tex Seite von 25. p./25 Inhaltsverzeichnis. Interpolationsfunktion für die finiten Elemente 2. Finite-Element-Typen
MehrDynamische Systeme eine Einführung
Dynamische Systeme eine Einführung Seminar für Lehramtstudierende: Mathematische Modelle Wintersemester 2010/11 Dynamische Systeme eine Einführung 1. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen 2. Flüsse,
MehrModellieren in der Angewandten Geologie II. Sebastian Bauer
Modellieren in der Angewandten Geologie II Geohydromodellierung Institut für Geowissenschaften Christian-Albrechts-Universität zu Kiel CAU 3-1 Die Finite Elemente Method (FEM) ist eine sehr allgemeine
MehrFinite-Differenzen-Verfahren hoher Genauigkeit
Universität Stuttgart, Fakultät Luft- und Raumfahrttechnik und Geodäsie - Vorlesung Finite-Differenzen-Verfahren Master-Studium, Spezialisierung 2 Semesterwochenstunden im SS, 3 LPs/ECTS Dr. Markus J.
MehrCharakteristikenmethode im Beispiel
Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)
MehrTechnische Universität München. Aufgaben Mittwoch SS 2012
Technische Universität München Andreas Wörfel Ferienkurs Analysis 2 für Physiker Aufgaben Mittwoch SS 2012 Aufgabe 1 Äquivalente Aussagen für Stetigkeit( ) Beweisen Sie folgenden Satz: Seien X und Y metrische
MehrIntervallaustauschtransformationen, Flüsse und das Lemma von Masur
Intervallaustauschtransformationen, Flüsse und das Lemma von Masur Gregor Bethlen 1 Intervallaustauschtransformationen Stets sei in diesem Abschnitt I := [a, b] ein Intervall und a = a 0 < a 1
MehrBlatt 4. Stoß und Streuung - Lösungsvorschlag
Fakultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov Übungen zu Klassischer Mechanik (T1) im SoSe 211 Blatt 4. Stoß und Streuung - Lösungsvorschlag Aufgabe 4.1. Stoß Zwei
MehrKevin Caldwell. 18.April 2012
im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig
Mehr1-, 2-, 3D-Modelle: Überblick, Vergleich und Anwendung
Fakultät Informatik > Angewandte Informatik > Technische Informationssysteme Studentischer Vortrag 1-, 2-, 3D-Modelle: Überblick, Vergleich und Anwendung Mai, Tuan Linh Dresden, 17.Jan.2011 Inhalt 1. Motivation
MehrSeminar zur Zahlentheorie Spezialfälle des Satzes von Fermat
Seminar zur Zahlentheorie Spezialfälle des Satzes von Fermat Vortrag von Kristina Rupp und Benjamin Letschert am 29.01.2008 Inhaltsverzeichnis 13 Speziallfälle des Satzes von Fermat 1 13.1 Der Große Satz
Mehr4 Gewöhnliche Differentialgleichungen
4 Gewöhnliche Differentialgleichungen 4.1 Einleitung Definition 4.1 Gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten
MehrApproximation flächenhaft harmonischer Funktionen mittels bikubisch finiter Elemente
. Session 6: Theoretische Geodäsie Approximation flächenhaft harmonischer Funktionen mittels bikubisch finiter Elemente 1 Jessica Franken Institut für Geodäsie und Geoinformation Professur für Theoretische
MehrStationäre Newtonsche Strömung
Stationäre Newtonsche Strömung Bettina Suhr Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Die Navier-Stokes-Gleichungen 2 3 Die schwache Formulierung 2 4 Die Ortsdiskretisierung 5 4.1 Taylor-Hood Elemente........................
Mehr3. Fluid-Struktur-Kopplung
3. Fluid-Struktur-Kopplung Bei einer schwingenden Struktur muss die Normalkomponente der Schallschnelle mit der Normalkomponente der Geschwindigkeit an der Oberfläche der Struktur übereinstimmen. Dadurch
MehrNachrichtentechnik [NAT] Kapitel 2: Zeitkontinuierliche Signale. Dipl.-Ing. Udo Ahlvers HAW Hamburg, FB Medientechnik
Nachrichtentechnik [NAT] Kapitel 2: Zeitkontinuierliche Signale Dipl.-Ing. Udo Ahlvers HAW Hamburg, FB Medientechnik Sommersemester 25 Inhaltsverzeichnis Inhalt Inhaltsverzeichnis 2 Zeitkontinuierliche
MehrFinite Elemente Methode für elliptische Differentialgleichungen
Finite Elemente Methode für elliptische Differentialgleichungen Michael Pokojovy 8. Oktober 2007 Das Ritzsche Verfahren Sei R n ein beschränktes offenes Gebiet mit abschnittsweise glattem Rand S. Betrachte
Mehr1 Die Problemstellung
Institut für Wissenschaftliches Rechnen Technische Universität Braunschweig Prof. Hermann G. Matthies, Ph.D. ScientifiComputing Wir wollen als erstes das in diesem Praktikum zu behandelnde Problem aus
MehrParallele Algorithmen in der Bildverarbeitung
Seminar über Algorithmen - SoSe 2009 Parallele Algorithmen in der Bildverarbeitung von Christopher Keiner 1 Allgemeines 1.1 Einleitung Parallele Algorithmen gewinnen immer stärker an Bedeutung. Es existieren
MehrPrüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3
Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Gewöhnliche Differentialgleichungen Marco Boßle Jörg Hörner Mathematik Online Frühjahr 2011 PV-Kurs HM 3 Gew. DGl 1-1 Zusammenfassung y (x) = F (x, y) Allgemeine
MehrLogarithmische Skalen
Logarithmische Skalen Arbeitsblatt Logarithmische Skalen ermöglichen dir eine übersichtlichere Darstellung von Kurvenverläufen vor allem dann, wenn sie sich über sehr große Zahlenbereiche erstrecken. 1
MehrÜbungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen Blatt III vom
Prof. Dr. M. Kaßmann Fakultät für Mathematik Wintersemester 2011/2012 Universität Bielefeld Übungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen Blatt III vom 27.10.2011 Aufgabe III.1 (4 Punkte) Sei Ω R
Mehr3 Das Programm 3. 4 Dateien 4. 5 Aufgaben 4. 6 Ausblick 5
Contents 1 Ziele dieser Uebung 1 2 Finite-Differenzen-Methode 1 3 Das Programm 3 4 Dateien 4 5 Aufgaben 4 6 Ausblick 5 1 Ziele dieser Uebung 1.1 Einleitung Wir erweitern das Problem aus der letzten Uebung
Mehr2.10 Lokale Funktionsanalyse
2.1 Lokale Funktionsanalyse Aufgabe Gegeben sei die Abbildung g : R 2 R 2 mit g(x, y) : (x 3 yx, y). Man bestimme alle Mengen M k : {(ξ, η) R 2 g 1 (ξ, η) hat genau k Elemente}. Wie verhält g sich in der
MehrEntwicklung einer hp-fast-multipole-
Entwicklung einer hp-fast-multipole- Boundary-Elemente-Methode Übersicht: 1. Motivation 2. Theoretische Grundlagen a) Boundary-Elemente-Methode b) Fast-Multipole-Methode 3. Erweiterungen a) Elementordnung
MehrFallender Stein auf rotierender Erde
Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 4 vom 13.05.13 Abgabe: 27. Mai Aufgabe 16 4 Punkte allender Stein auf rotierender Erde Wir lassen einen Stein der Masse m in einen
MehrPrüfungsfragen und Prüfungsaufgaben
Mathematische Modelle in der Technik WS 3/4 Prüfungsfragen und Prüfungsaufgaben Fragen - 9:. Modellieren Sie ein örtlich eindimensionales, stationäres Wärmeleitproblem (Integralbilanzformulierung, differentielle
Mehr12 Gewöhnliche Differentialgleichungen
2 2 Gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Einleitung Sei f : D R wobei D R 2. Dann nennt man y = f(x, y) (5) eine (gewöhnliche) Differentialgleichung (DGL) erster Ordnung. Als Lösung von (5) akzeptiert
MehrIntegration über allgemeine Integrationsbereiche.
Integration über allgemeine Integrationsbereiche. efinition: Sei R n eine kompakte und messbare Menge. Man nennt Z = { 1,..., m } eine allgemeine Zerlegung von, falls die Mengen k kompakt, messbar und
Mehra 0, a 1, a 2, a 3,... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter.
7 Folgen 30 7 Folgen Wir betrachten nun (unendliche) Folgen von Zahlen a 0, a, a 2, a 3,.... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter. Bezeichnung Wir bezeichnen mit N die Menge der
Mehr4. Wellenausbreitung
Motivation: Beim Stab konnten Lösungen der Form gefunden werden. u x,t = f 1 x ct f 2 x ct Diese Lösungen beschreiben die Ausbreitung von Wellen im Stab. Die Funktionen f 1 x und f 2 x werden durch die
MehrBurgersgleichung in 1D und 2D
Burgersgleichung in 1D und 2D Johannes Lülff Universität Münster 5.12.2008 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 Numerik 3 Phänomenologie 4 Analytische Ergebnisse 5 Zusammenfassung Herkunft der Burgersgleichung
MehrNumerik partieller Differentialgleichungen für Ingenieure
Numerik partieller Differentialgleichungen für Ingenieure Von ir. J. J.I.M. van Kan und ir. A. Segal Technische Universität Delft Aus dem Niederländischen übersetzt von Burkhard Lau, Technische Universität
MehrFEM - Zusammenfassung
FEM - Zusammenfassung home/lehre/vl-mhs-1-e/deckblatt.tex. p.1/12 Inhaltsverzeichnis 1. Bedingungen an die Ansatzfunktion 2. Randbedingungen (Allgemeines) 3. FEM - Randbedingungen home/lehre/vl-mhs-1-e/deckblatt.tex.
Mehr