Stationäre Newtonsche Strömung

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1 Stationäre Newtonsche Strömung Bettina Suhr Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Die Navier-Stokes-Gleichungen 2 3 Die schwache Formulierung 2 4 Die Ortsdiskretisierung Taylor-Hood Elemente Crouzeix-Raviart Elemente Spezialfall: Kriechströmung 7 6 Berücksichtigung der Reibung 9 7 Beispiel: Strömung über eine Stufe 10 1

2 1 Einleitung Im folgenden werden wir die Navier-Stokes-Gleichungen für die Newtonsche Strömung eines inkompressiblen Fluids betrachten. Im dritten Kapitel werden wir die schwache Formulierung des Problems herleiten und Anmerkungen zur Existenz und Eindeutigkeit des Problems machen. Dem diskreten Problem ist das vierte Kapitel gewidmet und anschließend werden wir noch einige Spezialfälle und Beispiele betrachten. 2 Die Navier-Stokes-Gleichungen Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben den Fluss eines inkompressiblen Newtonschen Fluides. Da wir nur an dem Fall des voll entwickelten Fluss interessiert sind, betrachten wir den stationären Fall.Dabei wählen wir die Formulierung des Problems wie in ([1]). Sei R d ein offenes und beschränktes Gebiet. Wir suchen ein Geschwindigkeitsfeld u = (u 1,..., u d ) : R d und eine Druckverteilung p : R, so dass gilt: 1 u + (u )u + p Re = f in (1a) div u = 0 in (1b) u = g auf (1c) Dabei bedeutet: Re: f : R d : g : R d : Reynoldszahl, Re = ũ L µ mit ũ : charakteristische Geschwindigkeit, L: charakteristische Länge des Gebiets und µ Viskosität der Flüssigkeit. äussere Kraft, die auf die Strömung wirkt; z.b. Gravitationskraft vorgegebener (Dirichlet) Randwert der Geschwindigkeit. Wegen (1b) muss gelten: 0 = div udx = u νdσ = g νdσ wobei ν die äussere Normale ist. Der vektorwertige Laplace-Operator ist wie folgt definiert: ( u) i := u i, i = 1,..., d und ((u )u) i := u u i, i = 1,..., d. 3 Die schwache Formulierung Um die schwache Formulierung herzuleiten, benötigen wir die folgenden Räume: (Erinnerung: H 1 = W 1,2 = {v L 2 α v L 2 α 1}) X g := {v H 1 (, R d ) v = g auf } (Geschwindigkeitsraum) { } Y := q L 2 (, R) q dx = 0 (Druckraum) 2

3 Um die schwache Formulierung herzuleiten multiplizieren wir nun die Gleichung (1a) mit einer Funktion ψ X 0 und integrieren über : 1 Re u ψ dx + (u )u ψ dx + p ψ dx = f ψ dx ψ X 0 (2a) div u ξ dx = 0 ξ Y (2b) Die einzelnen Summanden von (2) lassen sich nun durch stetige Bi- bzw. Trilinearformen ausdrücken: Wir betrachten die Bilinearform a : H 1 (, R d ) H 1 (, R d ) R, a(v, w) := d v i w i dx. Für ψ X 0 und v H 2 () gilt: a(v, ψ) = v ψ dx. v ψdx = part. Int. = = v i ψ i dx = i,j=1 v i x j ψ i x j dx v i ψ i dx i,j=1 2 v i x 2 j ψ i dx v i ψ i ν i dσ x j }{{} =0 (wegen ψ=0 auf ) Weiterhin ist a stetig: a(v, w) = CSU Hölder v i w i dx v i L 2 w i L 2 v i w i dx d v i 2 L d w 2 i 2 L 2 v H 1 w H 1 Desweiteren ist a koerziv auf X 0 X 0 : Zu zeigen ist: a(v, v) c v 2 H 1 für v X 0 mitc > 0 3

4 v 2 H = ( 1 vi 2 L + v i 2 ) 2 L 2 Poincare NullRW i=0 c p v i 2 L + v i 2 2 L 2 i=0 c p v i 2 L 2 i=0 = c p a(v, v) a(v, v) 1 c p v 2 H 1 Als nächstes betrachten wir die Bilinearform b : L 2 () H 1 (, R d ) R mit b(q, w) := q div w dx. Für ψ X 0 und q H 1 () gilt: b(q, ψ) = q ψ dx q ψdx = part. Int. = = q x i ψ i dx q ψ i dx + x i q div ψ dx q ψ i ν i dσ } {{ } =0 Analog zum Beweis für die Stetigkeit von a kann man zeigen, dass b stetig auf L 2 () H 1 (, R d ) ist. Zuletzt betrachten wir die Trilinearform d : H 1 (, R d ) H 1 (, R d ) H 1 (, R d ) R mit d(v, w, y) := (v )w y dx. F r ψ X 0 gilt: d(v, w, ψ) = (v )w ψ dx = = (v w i ) ψ i dx i,j=1 v j w i x j ψ i dx Man kann zeigen, dass d stetig ist auf H 1 (, R d ) H 1 (, R d ) H 1 (, R d ). Definition: Das Paar (u, p) X g Y heißt schwache Lösung von (1), falls die folgenden 4

5 Gleichungen gelten: 1 a(u, ψ) + d(u, u, ψ) + b(p, ψ) = Re f ψ dx ψ X 0 (3a) b(ξ, u) =0 ξ Y (3b) Für Existenz- und Eindeutigkeitsresultate vergleiche [3]. (Vergleiche zu diesem Abschnitt [1].) 4 Die Ortsdiskretisierung Zur Ortsdiskretisierung von (3) benutzen wir die Galerkinmethode. Der Einfachheit halber betrachten wir im Folgenden nur den Fall mit g = 0, also Nullrandwerte. Wir wählen nun endlichdimensionale Teilräume X h X 0 und Y h Y und betrachtet das folgende diskrete Problem: Finde ein Paar (u h, p h ) X h Y h mit: 1 Re a(u h, ϕ h ) + d(u h, u h, ϕ h ) + b(p h, ϕ h ) = f ϕ h dx ϕ h X h (4a) b(ζ h, u h ) =0 ζ h Y h (4b) Dabei sollten die Teilräume so gewählt werden, dass für h 0 die diskreten Teilräume die kontinuierlichen Räume immer besser approximieren. Sei nun {ϕ 1,..., ϕ N } eine Basis von X h, sowie {ζ 1,..., ζ K } eine Basis von Y h. Damit ist das folgende Gleichungssystem äquivalent zu (4): 1 Re a(u h, ϕ i ) + d(u h, u h, ϕ i ) + b(p h, ϕ i ) = b(ζ j, u h ) =0, f ϕ i dx, i = 1,..., N (5a) j = 1,..., K (5b) Sei jetzt das Paar (u h, p h ) die oben gesuchte Lösung des Problems (5). Wir betrachten u h und p h in ihren Basisdarstellungen: N K u h = u j ϕ j p h = p l ζ l ; u j, p l R (6) j=1 Setzt man nun (6) in (5) ein, so erhält man das folgende nicht-lineare Gleichungssystem für die Ortsdiskretisierung: l=1 5

6 1 Re N u j a(ϕ j, ϕ i ) + j=1 N K u j u l d(ϕ j, ϕ l, ϕ i ) + p l b(ζ l, ϕ i ) = j,l=1 l=1 i = 1,..., N N u j b(ζ l, ϕ j ) = 0, j=1 l = 1,..., K f ϕ i dx, Als nächsten Schritt müssen wir in dem obigen Gleichungssystem (7) die diskreten Teilräume X h und Y h konkret wählen. Dabei muss beachtet werden, dass es für die Existenz und Eindeutigkeit einer (diskreten) Lösung erforderlich ist, dass die diskreten Teilräume der Babuska-Brezzi (inf-sup) Bedingung genügen. Dies bedeutet: Es existiert eine Konstante c > 0, so dass gilt: (7a) (7b) inf p h Y h b(u h, p h ) sup u h X h p h Yh u h Xh c 4.1 Taylor-Hood Elemente Eine Möglichkeit, die diskreten Teilräume zu wählen, sind die Taylor-Hood Elemente. Sie erfüllen die Babuska-Brezzi Bedingung und finden bei Navier-Stokes Problemen häufig Anwendung. Die Taylor-Hood Elemente sind wiefolgt definiert: Sei τ h eine Triangulierung von. Dann definieren wir: W h := {u (C 0 ( )) d S τ h : u S (P 2 (S)) d } Q h := {p C 0 ( ) S τ h : p S P 1 (S)} X h := W h X g Y h := Q h Y Der Geschwindigkeitsraum wird bei den Taylor-Hood Elementen also durch P 2 Elemente und der Druckraum durch P 1 Elemente angenähert. Man kann die Taylor-Hood Elemente auch für höhere Ordnungen definieren, indem man für die Geschwindigkeit das P k Element wählt und für den Druck das P k 1 Element. Als Basis von X h bzw. Y h kann man die jeweilige Knotenbasis wählen. (Vergleiche zu diesem Kapitel [2].) 4.2 Crouzeix-Raviart Elemente Eine zweite, ebenfalls bewährte, Möglichkeit die diskreten Teilräume zu wählen, ist die Wahl der Crouzeix-Raviart Elemente. Für den Druckraum definiert man: Q h := {p L 2 () S τ h : p S P 1 (S)} Y h := Q h Y 6

7 Der Druckraum wird also durch unstetige Funktionen diskretisiert. Würde man zu diesem Druckraum den Geschwindigkeitsraum wie bei den Taylor- Hood Elementen wählen, so wäre die Babuska-Brezzi Bedingung nicht erfüllt. Deswegen fügt man dem Geschwingigkeitsraum noch sog. Blasen hinzu (Polynome, die auf den Kanten der Elemente verschwinden). Wir geben hier die Gestalt dieser Blasen für den 2 und 3 dimensionalen Fall an. Seien S R 2 bzw S R 3 ein zwei bzw. drei dimensionales Simplex und λ i die zugehörigen baryzentrischen Koordinaten. Im 2D Fall fügen wir eine Elementblase vom Grad 3 hinzu: P + 2 (S) := P 2(S) Span{λ 0 λ 1 λ 2 } Im 3D Fall fügen wir eine Volumenblase vom Grad 4 und je eine Flächenblase vom Grad 3 für die vier Seitenflächen des Tetraeders hinzu: P + 2 (S) := P 2(S) Span{λ 0 λ 1 λ 2 λ 3, λ 0 λ 1 λ 2, λ 0 λ 1 λ 3, λ 0 λ 2 λ 3, λ 1 λ 2 λ 3 } Nun definieren wir den Geschwindigkeitsraum wiefolgt: W h := {u (C 0 ( )) d S τ h : u S (P + 2 (S))d } X h := W h X g (Vergleiche zu diesem Kapitel [2].) 5 Spezialfall: Kriechströmung Bei der Kriechströmung ist die Reynoldszahl sehr viel kleiner als eins. Dies bedeutet, dass die Viskosität grösser ist als die inneren Kräfte: µ >> ũ L. In diesem Fall kann der Konvektionsterm vernachlässigt oder als Teil der Körperkräfte angesehen werden. Die entsprechenden Gleichungen lauten: ρu u = ρḡ + τ p in (8a) div u = 0 in (8b) u = g auf (8c) Dabei bedeutet: ρ : R: Dichte der Flüssigkeit u : R d : bekannte Geschwindigkeitsfunktion (z.b. aus vorheriger Berechnung) ḡ : R: Gravitationskraft τ : R d : Extra Spannungstensor Für Newtonsche Flüssigkeiten gilt: τ ij = µ(u i,j + u j,i ) Für die Herleitung und für den Extra Spannungstensor Nicht- Newtonscher Flüssigkeiten vergleiche [5] und [4] Kapitel

8 Mit der obigen Formel wird (8a) zu: ρu u = ρḡ + µ u p in, Gleichung (8) wird somit zum Stokes Problem: µ u p = ρu u ρḡ in (9a) div u = 0 in (9b) u = g auf (9c) Damit ergibt sich als schwache Formulierung: Das Paar (u, p) X g Y heißt schwache Lösung von (9), falls gilt: µ a(u, ψ) + b(p, ψ) = f ψ dx ψ X g (10a) b(ξ, u) = 0 ξ Y (10b) wobei f := ρḡ ρu u Damit ergibt sich als Ortsdiskretisierung: N K µ u j a(ϕ j, ϕ i ) + p l b(ζ l, ϕ i ) = f ϕ i dx, i = 1,..., N (11a) j=1 l=1 N u j b(ζ l, ϕ j ) = 0, l = 1,... K (11b) j=1 Man kann (11) auch als lineares Gleichungssystem schreiben, mit: ( u p a(ϕ 1, ϕ 1 ) a(ϕ 2, ϕ 1 )... a(ϕ N, ϕ 1 ) A := µ a(ϕ 1, ϕ N ) a(ϕ 2, ϕ N )... a(ϕ N, ϕ N ) b(ζ 1, ϕ 1 )... b(ζ K, ϕ 1 ) B :=.. b(ζ 1, ϕ N )... b(ζ K, ϕ N ) ) := (u 1,..., u N, p 1,..., p K ) T ( f 0 ) := f ϕ 1 dx,..., f ϕ N dx, 0,..., 0 }{{} k mal T 8

9 ist (11) äquivalent zu : ( A B B T 0 ) ( u p ) ( f = 0 Vergleiche zu diesem Abschnitt [4], Kapitel 4.3. ) (12) 6 Berücksichtigung der Reibung In diesem Kapitel wollen wir für den Spezialfall der Kriechströmung die bis jetzt vernachlässigte Reibung eines Fluids am Rand des Gebietes berücksichtigen. Die allgemeine Formulierung einer Gleichung für diese Reibungskraft lautet: F R = α(u b, σ n, σ) u b u b (13) wobei F R die Reibungskraft und α eine Funktion ist, die von der Geschwindigkeit entlang des Randes u b, der Normalspannung σ n und der effektiven Spannung. σ abhängt. Die Reibungskraft zeigt also (für α 0) in die genau entgegengesetzte Richtung der Geschwindigkeit entlang des Randes. Je nachdem wie man die Funktion α wählt, erhält man unterschiedliche Reibungsgesetze: Das Tresca sche Reibungsgesetz: Mit α = ωτ (wobei ω der Reibungsfaktor und τ die Schub-Scher-Spannung ist) wird (13) zu: F R = ωτ u b u b Dabei kann man sich den Einfluss der Schub-Scher-Spannung so vorstellen, dass die Reibung für kleine Geschwindigkeiten proportional zur Geschwindigkeit wächst, für grössere Geschwindigkeiten aber gegen einen bestimmten Grenzwert konvergiert. Das Coulomb sche Reibungsgesetz: Hier setzt man α = µ r σ n (µ r : Coulomb scher Reibungskoeffizient) und erhält: F R = µ r σ n u b u b 9

10 Das viskoplastische Reibungsgesetz: Hierbei wird α als α = α 0 u q b gewählt, wobei α 0 eine Materialkonstante und ein experimentell bestimmter Parameter ist ( meist: 0 q 1). Aus Gleichung (13) ergibt sich: u b F R = α 0 u b 1 q Im folgenden verwenden wir das Tresca sche Reibungsgesetz, um die Reibung des Fluids am Rand zu beschreiben. Mit diesem Ansatz wird Gleichung (12) zu: ( ) ( ) ( ) A B u B T = f (14) 0 p 0 wobei: ( f 0 ) = f 1 + Vergleiche zu diesem Kapitel [4]. ϕ 1 ωτ u b u b,..., f N + ϕ N ωτ u b u b, 0, }. {{.., 0 } 7 Beispiel: Strömung über eine Stufe Im folgenden betrachten wir die Strömung über eine Stufe. Die Geometrie ist in Abb. (1)(a) dargestellt. Ein Kanal mit einer Stufe wird von einer Flüssigkeit durchströmt. Auf der linken Seite des Kanals tritt die Flüssigkeit mit einem in x-richtung (u) gleichmäßig ausgeprägten Geschwindigkeitsprofil ein. Die Geschwindigkeit in y-richtung (v) ist hier, wie auch an allen anderen Rändern null; an den beiden langen Seiten des Kanals tritt also weder Flüssikeit ein noch aus. Auf diesen beiden Seiten ist die Geschwindigkeit in x-richtung ebenfalls Null. Wir wollen untersuchen wie das Geschwindigkeitsprofil in x-richtung nach Durchströmung des Kanals für verschiedene Flüssigkeiten aussieht. Für die Berechnungen wurde das Programm NSTEAD verwendet, die Viskosität µ ist gleich eins und der Kanal ist wie in Abb. (1)(b) trianguliert. In Abb. (2) wurde die Berechnung mit einer Newtonschen Flüssigkeit durchgeführt. Teil (a) zeigt die Stromlinien der Strömung. Teil (b) zeigt das Geschwindigkeitsprofil in x-richtung. Wie man sieht ist die Geschwindigkeit über der Stufe am Größten und das Profil ist beim Austritt aus dem Kanal voll entwickelt. Teil (c) zeigt die Richtung der Geschwindigkeit an verschiedenen Punkten im Kanal (die Länge der Vektoren ist auf eins normiert). Diese Berechnungen wurden mit Nicht-Newtonschen Flüssigkeiten wiederholt; und zwar mit power index p = 0.5 und p = 0.1. Die Resultate sind in den Abbildungen (3) und (4) dargestellt. Wie man sieht flacht das Geschwindigkeitsprofil am Ende des Kanals mit abnehmendem p immer mehr ab; ebenso wie die Maximalgeschwindigkeit über der Sufe leicht abnimmt. Vergleiche zu diesem Kapitel [4]. k-mal T 10

11 Abbildung 1: (a) Anordnung und Randbedingung (b) Triangulierung Abbildung 2: Newtonsches Fluid: (a) Stromlinien; (b) Geschwindigkeitsprofil (c) Richtung der Geschwindigkeit (normiert) 11

12 Abbildung 3: Nicht-Newtonsches Fluid, p = 0,5: (a) Stromlinien; (b) Geschwindigkeitsprofil; (c) Richtung der Geschwindigkeit (normiert auf La nge 1) Abbildung 4: Nicht-Newtonsches Fluid, p = 0,1: (a) Stromlinien; (b) Geschwindigkeitsprofil; (c) Richtung der Geschwindigkeit (normiert) 12

13 Literatur [1] Kunibert G. Siebert: Einführung in die numerische Behandlung der Navier- Stokes-Gleichungen. [2] Rolf Krahl: Das Crouzeix-Raviart Element bei der numerischen Lösung der navier-stokes-gleichung mit FEM. [3] R. Temam: Navier-Stokes equations. Theory und numerical analysis [4] Huang et al: Finite Element Analysis of Non-Newtonian Flow [5] Rebecca Breus Seminarvortrag: Bestimmende Differentialgleichungen für (nicht) Newtonsche Fluide 13