3 Die Finite-Elemente-Methode

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1 (3.1) Sei R 2 ein Polygongebiet, d.h. offen, zusammenhängend, und sei ein Polygonzug. Dann heißt T h = {K 1,...,K M } eine zulässige Triangulierung von, wenn a) K m = conv{z m,0,z m,1,z m,2 } Dreieck mit int() /0 für m = 1,...,M, b) = M m=1 K m c) für m k ist int(k m ) int(k k ) = /0 und K m K k = conv ( {z m,0,z m,1,z m,2 } {z k,0,z k,1,z k,2 } ) leer oder eine gemeinsame Ecke oder eine gemeinsame Kante. h = max K Th diam(k ) ist die Gitterweite und V h = M m=1 {z m,0,z m,1,z m,2 }. (3.2) S 1 h = {v C( ): v K P 1 für alle K T h } ist der Raum der linearen Finiten Elemente. (3.3) v S 1 h ist eindeutig durch die Werte v(z) an den Knotenpunkten z V h bestimmt. φ z S 1 h mit φ z(z) = 1 und φ z (y) = 0 für y V h \ {z} ist die Knotenbasis. (3.5) w i L 2 () heißt schwache Ableitung von v L 2 () (nach x i ), wenn für alle ψ C0 () gilt w i ψ dx = v i ψ dx. (3.8) H 1 () = {v L 2 (): i v L 2 ()} ist ein Hilbert-Raum mit (v,w) 1 = (v,w) 0 + ( v, w) 0, v 1 = (v,v) 1. Es gilt S 1 h H1 (). C. Wieners: Numerische Methoden für partielle Differentialgleichungen 1 7

2 (3.9) Sei h K = 2min{r > 0: K B(r,x), x K } und ρ K = 2max{r > 0: B(r,x) K, x K }. Eine Familie von Triangulierungen (T h ) h H heißt a) regulär, wenn C > 0 existiert mit h K /ρ K C, b) uniform, wenn c > 0 existiert mit ch ρ K h K h = max K Th h K. (3.10)Sei ˆK = conv{(0,0),(1,0),(0,1)} das Referenzdreieck, und sei ϕ K : ˆK K die linear affine Transformation ϕ K (ˆx) = (1 ˆx 1 ˆx 2 )z 0 + ˆx 1 z 1 + ˆx 2 z 2. Dann gilt für F K = ϕ K und J K = detf K F K Ch K, J K ChK 2 1, FK Cρ 1 K, J 1 K Cρ 2 K. (3.11)Sei d = 2. Für v C(K ) und ˆv = v ϕ K gilt ch 1 K ˆv 0, ˆK v 0,K Ch K ˆv 0, ˆK. Für v C 1 (K ) und ˆv = v ϕ K gilt ( u) ϕ K = F T ˆ ˆv K und cρ K h 1 K ˆ ˆv 0, v ˆK 0,K Ch K ρ 1 K ˆ ˆv 0,. ˆK Für v C 2 (K ) und ˆv = v ϕ K gilt ( 2 u) ϕ K = F T K cρ K h 2 K ˆ 2ˆv 0, ˆK 2 v 0,K CρK 2 h 1 K ˆ 2ˆv 0,. ˆK 1 ˆ 2ˆvF K. (3.12)H m () = {v H m 1 (): i v H m 1 d ()} mit (v,w) m = (v,w) 0 + ( i v, i w) m 1. i=1 C () ist dicht in H m (). Wenn ein Lipschitz-Gebiet ist, dann ist C m ( ) dicht in H m (). C. Wieners: Numerische Methoden für partielle Differentialgleichungen 1 8

3 (3.13)Sei konvex. Für v H 1 () definiere Qv(x) = 1 ( ) v(y) + v(y)(x y) dy. Dann gilt für Rv = v Qv und x Rv(x) = k(x,z)(x z) 2 v(z)(x z)dz mit k(x,z) 1 2π (3.14)Es existiert C > 0 unabhängig von h,ρ, so dass für alle v H 2 () gilt: a) v Qv 2 C 2 v 0 h 2 ρ 2 x z 2. b) v C v 2 Für d 3 gilt C( ) H 2 (). (3.15)Sei span{φ z 0,φ z 1,φ z 2 } = P 1 und Iv = v(z 0 )φ z 0 + v(z 1 )φ z 1 + v(z 2 )φ z 2. Dann gilt v Iv 2 C 2 v 0 für v H 2 (). (3.16)Sei T h eine uniforme Triangulierung. Dann gilt für I h v = v(z)φ z Sh 1 z V a) v I h h v 1 C h v 2 für alle v H 2 (), b) v I h v 0 C h 2 v 2 für alle v H 2 (). (3.16)Sei (T h ) h H eine Familie von uniformen Triangulierungen mit h 0. Dann ist h H S 1 h dicht in H1 (). C. Wieners: Numerische Methoden für partielle Differentialgleichungen 1 9

4 (3.17)Zu Γ 3 definiere V h = {v h S 1 h : v h(x) = 0 für x Γ 3 }. Sei (T h ) h H eine Familie von uniformen Triangulierungen, so dass (S 1 h ) h H dicht in H 1 () ist. Dann sei V H 1 () der kleinste Hilbertraum, der alle V h (h H ) enthält. Die Spurabbilung γ 3 : H 1 () L 2 (Γ 3 ) ist wohldefiniert und stetig. Es gilt V = {v H 1 (): γ 3 (v) = 0}. (3.18)Sei meas d 1 (Γ 3 ) > 0. Dann existiert C > 0 mit v 0 C ( v 0 + v 0,Γ3 ) für alle v H 1 () (Poincaré-Friedrichs-Ungleichung). (3.19)Sei K C 1 (,R d d ), c C(,R d ), q,f C(), g i C(Γ i ) mit = Γ 1 Γ 2 Γ 3, und α C(Γ 2 ). Sei Lu = (K u) + c u + qu. Sei u C 2 () C 1 ( ) Lösung der Randwertaufgabe Lu = f in, K u ν = g 1 auf Γ 1, K u ν + αu = g 2 auf Γ 2, u = g 3 auf Γ 3. Dann gilt a(u,v) = l(v) für alle v V mit a(u, v) = l(v) = ( K u u + c uv + quv fv dx + g 1 v da + Γ 1 g 2 v da. Γ 2 ) dx + αuv da, Γ 2 C. Wieners: Numerische Methoden für partielle Differentialgleichungen 1 10

5 (3.20)Sei K L (,R d d ), c L (,R d ), q L (), f L 2 (), g 1 L 2 (Γ 1 ), g 2 L 2 (Γ 2 ), α L (Γ 2 ). Dann heißt u H 1 () mit γ 3 (u) = g 3 und a(u,v) = l(v) für alle v V schwache Lösung der Randwertaufgabe (3.19), und u h S 1 h mit γ 3(u h ) = I h g 3 und a(u h,v h ) = l(v h ) für alle v h V h heißt Galerkin-Approximation von u. (3.21)Die Bilinearform a : H 1 () H 1 () R und die Linearform l : H 1 () R sind stetig. (3.22) Es gelte a) K ist positiv definit, d.h. z T K (x)z k 0 z 2 für alle z R d und fast alle x, b) c L () und q 2 1 c 0 in, c) ν c 0 auf Γ 1, d) α ν c 0 auf Γ 2, e) eine der Bedingungen gelte: i) meas d 1 (Γ 3 ) > 0, ii) es existiert mit meas d ( ) > 0 und r 0 > 0 mit q 1 2 c r 0 in, iii) es existiert Γ Γ 1 mit meas d 1 (Γ ) > 0 und c 0 > 0 mit c ν c 0 auf Γ, iv) es existiert Γ Γ 2 mit meas d 1 (Γ ) > 0 und c 0 > 0 mit α c ν c 0 auf Γ. Dann ist a(, ) V -elliptisch, d.h. es existiert α 0 > 0 mit a(v,v) α 0 v 2 1 für alle v V. C. Wieners: Numerische Methoden für partielle Differentialgleichungen 1 11

6 (3.23)Sei a(, ) elliptisch, und sei u D H 1 () mit γ 3 (u D ) = g 3. Dann existiert u h V h mit a(u h,v h ) = l(v h ) a(u D,v h ) und die Lösung ist eindeutig. für alle v h V h (3.24) Sei a(, ) symmetrisch und elliptisch. Definiere F (v) = 1 2 a(v + u D,v + u D ) l(v) für v V. Dann gilt: a) F (u h ) F (v h ) für alle v h V h. b) (V h ) h sei dicht in V mit h 0. Dann ist die Folge der Lösungen u h V h eine Minimalfolge on F ( ): inf F (u h) = inf F (v) >. h v V c) Es existiert u V mit F (u) F (v) für alle v V. Es gilt u h u. d) u V ist eindeutig durch a(u,v) = l(v) a(u D,v) für alle v V charakterisiert. (3.25) Sei a(, ) elliptisch. Dann existiert eine eindeutige Lösung u V der Variationsgleichung a(u,v) = l(v) a(u D,v) für alle v V. C. Wieners: Numerische Methoden für partielle Differentialgleichungen 1 12

7 Sei u V die Lösung aus (3.25) und u h V h die Galerkin-Approximation (3.23). Dann gilt a(u u h,v h ) = 0 für alle v h V h (Galerkin-Orthogonalität). (3.26)Sei a(, ) beschränkt und elliptisch in V. Dann gilt u u h 1 C a inf u v α h 1. 0 v h V h (3.27)Für die Lösung u V aus (3.25) gelte u H 2 (). Dann gilt die Fehler-Abschätzung u u h 1 C h u 2. Die Konstante C > 0 ist unabhängig von h und hängt nur von der Gitterregularität ab. (3.28)Sei f L 2 () und u V Lösung des Problems a(u,v) = (f,v) 0 für alle v V. Dann heißt das Problem (bzw. ) H 2 -regulär, wenn für alle f L 2 () die Lösung u H 2 () erfüllt, und wenn C > 0 existiert mit u 2 C f 0. Wenn konvex ist, dann ist das Laplace-Problem H 2 -regulär. Wenn und die Koeffizienten von L glatt sind, dann ist das Variationsproblem H 2 -regulär. (3.29)Für die Lösung u V aus (3.25) gelte u H 2 (). Zusätzlich sei das adjungierte Problem H 2 -regulär, d.h. für alle f L 2 () und der Lösung w V Lösung des adjungierten Problems a(v,w) = (f,v) 0 für alle v V sei w H 2 () mit w 2 C f 0. Dann gilt die Fehler-Abschätzung u u h 0 C h 2 u 2. C. Wieners: Numerische Methoden für partielle Differentialgleichungen 1 13