Numerische Simulation mit finiten Elementen

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1 Institut für Numerische Mathematik und Optimierung Numerische Simulation mit finiten Elementen Antje Franke-Börner Übung im gleichnamigen Modul Hörerkreis: 2. MNC, 2. MGPHY, 4. BGIP, 6. BEC-II, 2. MGIN Sommersemester 2013

2 Inhalt I 1. Beispiel Wärmeleitung 1.1 Aufgabenstellung 1.2 Implementierung 1.3 Einflussmöglichkeiten 2. Zusammenfassung Variationsformulierung 2.1 Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen und Randbedingungen 2.2 Mathematische Hilfsmittel 2.3 Mathematische Sätze 3. Simulation von 2D MT 3.1 MT Randwertproblem 3.2 Aufgabenstellung 4. 2D Poissongleichung 4.1 Randwertproblem 4.2 FE-Ansatz Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

3 Inhalt II 4.3 Implementierung mit Matlab 5. 2D Helmholtzgleichung 5.1 Randwertproblem 5.2 FE-Ansatz 5.3 Implementierung mit Matlab 6. 3D Induktionsgleichung 6.1 Randwertproblem 6.2 FE-Ansatz 6.3 Implementierung Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

4 Inhalt 1. Beispiel Wärmeleitung 1.1 Aufgabenstellung 1.2 Implementierung 1.3 Einflussmöglichkeiten 2. Zusammenfassung Variationsformulierung 2.1 Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen und Randbedingungen 2.2 Mathematische Hilfsmittel 2.3 Mathematische Sätze 3. Simulation von 2D MT 3.1 MT Randwertproblem 3.2 Aufgabenstellung 4. 2D Poissongleichung 4.1 Randwertproblem 4.2 FE-Ansatz 4.3 Implementierung mit Matlab 5. 2D Helmholtzgleichung Antje 5.1 Franke-Börner Randwertproblem (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

5 Wärmeleitung Aufgabe Gegeben sei folgende Randwertaufgabe: Bestimme die Funktion u C 2 (Ω) C 1 (Ω) mit (k u) = 0 in Ω, (1a) u = g 1 auf Γ 1, (1b) n k u = 0 auf Γ 2, (1c) n k u + α(u g 3 ) = 0 auf Γ 3. (1d) 0.8 Hierbei ist Ω das in der Abbildung dargestellte zweidimensionale Gebiet, welches aus zwei Rechtecken mit einer rautenförmigen Aussparung besteht Ω 1 Γ 3 Ω 2 Γ sym Γ 1 Γ Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

6 Wärmeleitung Modellgeometrie Material 2 Material 1 Γ 2 Γ 1 Γ 3 Ω Geometrie zum Randwertproblem. Das große Rechteck besitzt den linken unteren Eckpunkt (0, 0) sowie Breite 1 und Höhe 0.6. Das kleine Rechteck besitzt den linken unteren Eckpunkt (0.2, 0.6) mit Breite 0.6 und Höhe 0.2. Die innere Aussparung ist ein zur Mittelachse symmetrisches Quadrat mit den Eckpunkten (0.5, 0.15), (0.65, 0.3), (0.5, 0.45) und (0.35, 0.3). Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

7 Wärmeleitung Problemstellung Die Randwertaufgabe modelliert die stationäre Wärmeverteilung in einem in der Richtung senkrecht zur Projektionsebene homogenen Werkstück. Das untere Rechteck bestehe aus Material 1 mit konstantem Wärmeleitkoeffizient k = k 1 = 1W(mK) 1, das obere aus Material 2 mit k = k 2 = 371W(mK) 1. Der Rand von Ω ist unterteilt in Randsegmente Γ 1, Γ 2 und Γ 3. Letzteres besteht aus dem unteren Rand, ersteres aus dem Rand der Aussparung und Γ 2 aus dem verbleibenden Teil. Auf Γ 1 ist eine Dirichlet-Randbedingung mit konstanter Randvorgabe g 1 = 500K (Heizung) gestellt, längs Γ 2 eine homogene Neumann-Randbedingung (wärmeisolierender Rand) und längs Γ 3 eine gemischte Randbedingung mit Wärmeaustauschkoeffizient α = 5.6W(m 2 K) 1 sowie Außentemperatur g 3 = 300K. Berechnen Sie eine numerische Lösung mit dem FEM-Paket COMSOL! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

8 Inhalt 1. Beispiel Wärmeleitung 1.1 Aufgabenstellung 1.2 Implementierung 1.3 Einflussmöglichkeiten 2. Zusammenfassung Variationsformulierung 2.1 Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen und Randbedingungen 2.2 Mathematische Hilfsmittel 2.3 Mathematische Sätze 3. Simulation von 2D MT 3.1 MT Randwertproblem 3.2 Aufgabenstellung 4. 2D Poissongleichung 4.1 Randwertproblem 4.2 FE-Ansatz 4.3 Implementierung mit Matlab 5. 2D Helmholtzgleichung Antje 5.1 Franke-Börner Randwertproblem (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

9 Implementierung Modellgeometrie 1. Starten Sie COMSOL Multiphysics 3.5a im Heat Transfer Module/General Heat Transfer! 2. Erstellen Sie im Draw Mode die Modellgeometrie! Benutzen Sie dazu drei Rechtecke! Die Aussparung im Inneren erhalten Sie durch Drehung und Differenzbildung. Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

10 Implementierung Differentialgleichung und Randbedingungen 1. Weisen Sie unter Physics > Subdomain Settings der Differentialgleichung die vorgegebenen Koeffizienten zu! 2. Geben Sie unter Physics > Boundary Settings die entsprechenden Randbedingungen vor! Beachten Sie die physikalische Interpretation! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

11 Implementierung Vernetzung und Lösung 1. Vernetzen Sie das Modellgebiet! 2. Lösen Sie das Randwertproblem! 3. Wählen Sie Postprocessing > Plot Parameters > Surface > Coloring flat! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

12 Inhalt 1. Beispiel Wärmeleitung 1.1 Aufgabenstellung 1.2 Implementierung 1.3 Einflussmöglichkeiten 2. Zusammenfassung Variationsformulierung 2.1 Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen und Randbedingungen 2.2 Mathematische Hilfsmittel 2.3 Mathematische Sätze 3. Simulation von 2D MT 3.1 MT Randwertproblem 3.2 Aufgabenstellung 4. 2D Poissongleichung 4.1 Randwertproblem 4.2 FE-Ansatz 4.3 Implementierung mit Matlab 5. 2D Helmholtzgleichung Antje 5.1 Franke-Börner Randwertproblem (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

13 Einflussmöglichkeiten Gitter Startgitter, Gitterverfeinerung Gleichungslöser direkt, iterativ, adaptiv Modellparameter k Randbedingungen Temperatur, Wärmeübergangskoeffizient, Isolation, Wärmefluss Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

14 Inhalt 1. Beispiel Wärmeleitung 1.1 Aufgabenstellung 1.2 Implementierung 1.3 Einflussmöglichkeiten 2. Zusammenfassung Variationsformulierung 2.1 Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen und Randbedingungen 2.2 Mathematische Hilfsmittel 2.3 Mathematische Sätze 3. Simulation von 2D MT 3.1 MT Randwertproblem 3.2 Aufgabenstellung 4. 2D Poissongleichung 4.1 Randwertproblem 4.2 FE-Ansatz 4.3 Implementierung mit Matlab 5. 2D Helmholtzgleichung Antje 5.1 Franke-Börner Randwertproblem (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

15 Typen von partiellen Differentialgleichungen Benennen Sie folgende Typen von partiellen Differentialgleichungen und ordnen Sie jeweils eine (geo-)physikalische Anwendung zu! 1. (k u) + bu = f u = f u + 1 c 2 2 u t 2 = f u + a u t = f u = 0 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

16 Arten von Randbedingungen Benennen und beschreiben Sie die folgenden Arten von Randbedingungen! Für welche (geo-)physikalischen Größen sind sie gültig? u = r u n e n = r α u n e n + βu = r Was sind homogene und inhomogene Randbedingungen? Nennen Sie Beispiele! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

17 Inhalt 1. Beispiel Wärmeleitung 1.1 Aufgabenstellung 1.2 Implementierung 1.3 Einflussmöglichkeiten 2. Zusammenfassung Variationsformulierung 2.1 Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen und Randbedingungen 2.2 Mathematische Hilfsmittel 2.3 Mathematische Sätze 3. Simulation von 2D MT 3.1 MT Randwertproblem 3.2 Aufgabenstellung 4. 2D Poissongleichung 4.1 Randwertproblem 4.2 FE-Ansatz 4.3 Implementierung mit Matlab 5. 2D Helmholtzgleichung Antje 5.1 Franke-Börner Randwertproblem (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

18 Mathematische Hilfsmittel Lesen und verstehen Sie folgende mathematische Ausdrücke! D α α u u = x α 1 1, α = (α xα d 1,..., α d ) N d 0, d α = α α d f : D R n R : f(x) f(y) L x y, x, y D L 2 (Ω) := {u : Ω R : u 0 < }, ( ) 1/2 u 0 = u(x) 2 dx Ω Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

19 Funktionenräume H m Welche Funktionenräume werden üblicherweise als Ansatzräume für die Variationsformulierung von Randwertaufgaben genutzt? (, ) m Wie sind die entsprechenden Innenprodukte definiert? m Welche Norm ergibt sich daraus? H m 0 Welche Bedeutung hat das Verhalten der Lösung auf dem Rand des Rechengebietes? Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

20 Inhalt 1. Beispiel Wärmeleitung 1.1 Aufgabenstellung 1.2 Implementierung 1.3 Einflussmöglichkeiten 2. Zusammenfassung Variationsformulierung 2.1 Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen und Randbedingungen 2.2 Mathematische Hilfsmittel 2.3 Mathematische Sätze 3. Simulation von 2D MT 3.1 MT Randwertproblem 3.2 Aufgabenstellung 4. 2D Poissongleichung 4.1 Randwertproblem 4.2 FE-Ansatz 4.3 Implementierung mit Matlab 5. 2D Helmholtzgleichung Antje 5.1 Franke-Börner Randwertproblem (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

21 Divergenzsatz I Vervollständigen und erklären Sie! Satz 1 Sei (1)... ein zulässiges Gebiet sowie u i (2)..., so gilt (3)... u dx = ((u 1 ) x1 + + (u d ) xd ) dx = Ω Ω (4)... (5)... ds, wobei u = (6)..., (7)... den Normalenvektor und (8)... Integration über den Rand bezeichnen. H 1 (Ω), i = 1,..., d; [u 1,..., u d ] ; Ω R d ; ds; ; Ω; n; n u Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

22 Divergenzsatz II Lösung Satz 2 Sei Ω R d ein zulässiges Gebiet sowie u i H 1 (Ω), i = 1,..., d, so gilt u dx = ((u 1 ) x1 + + (u d ) xd ) dx = n u ds, Ω Ω wobei u = [u 1,..., u d ], n den Normalenvektor und ds Integration über den Rand bezeichnen. Ω Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

23 Sobolevscher Einbettungssatz I Vervollständigen und erklären Sie! Satz 3 (Sobolevscher Einbettungssatz) Sei (1)... ein zulässiges Gebiet. Für (2)... existiert eine Konstante (3)... mit D (4)... u C u (5)... für alle α (6)... Ferner enthält die L (Ω)-Äquivalenzklasse jeder Funktion u H m (Ω) eine stetige Funktion. Ω R d ; α; m > k + d/2; m; C; k Was bedeuten und m? Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

24 Sobolevscher Einbettungssatz II Lösung Satz 4 (Sobolevscher Einbettungssatz) Sei Ω R d ein zulässiges Gebiet. Für m > k + d/2 existiert eine Konstante C mit D α u C u m für alle α k. Ferner enthält die L (Ω)-Äquivalenzklasse jeder Funktion u H m (Ω) eine stetige Funktion. ( H m (Ω) = {u L 2 (Ω) : u m < }, u m = L (Ω) = {u : u < }, Ω α m u = sup u(x) x Ω ) 1/2 D α u 2 dx Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

25 Bilinearformen Wie nennt man folgende Eigenschaften von Bilinearformen? 1. a(u 1 + u 2, v) = a(u 1, v) + a(u 2, v), a(u, v 1 + v 2 ) = a(u, v 1 ) + a(u, v 2 ), a(λu, v) = λa(u, v), a(u, vλ) = a(u, v)λ u, u 1, u 2, v, v 1, v 2 V, λ R a(u, v) C u v a(u, v) = a(v, u) a(u, u) α u 2 u, v V u, v V u V Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

26 Lax-Milgram-Lemma I Vervollständigen und erklären Sie! Satz 5 (Lax-Milgram-Lemma, 1954) Sei V ein Hilbert-Raum mit Norm V, (1)... eine Bilinearform auf V sowie (2)... ein lineares Funktional auf V für die es Konstanten C, α und L gibt mit a(u, v) (3)... u, v V, ( a ist stetig ) a(v, v) (4)... v V, ( a ist koerziv ) l(v) (5)... v V, ( l ist stetig ). Dann besitzt das Variationsproblem genau eine Lösung. Bestimme u V sodass (6)... (7)... Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

27 Lax-Milgram-Lemma II a(u, v) = l(v); a : V V R; C u V v V ; L v V ; l : V R; v V ; α v 2 V Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

28 Lax-Milgram-Lemma III Lösung Satz 6 (Lax-Milgram-Lemma, 1954) Sei V ein Hilbert-Raum mit Norm V, a : V V R eine Bilinearform auf V sowie l : V R ein lineares Funktional auf V für die es Konstanten C, α und L gibt mit a(u, v) C u V v V u, v V, ( a ist stetig ) a(v, v) α v 2 V v V, ( a ist koerziv ) l(v) L v V v V, ( l ist stetig ). Dann besitzt das Variationsproblem genau eine Lösung. Bestimme u V sodass a(u, v) = l(v) v V Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

29 Céa-Lemma I Vervollständigen und erklären Sie! Satz 7 (Lemma von Céa) Gelten für eine Variationsaufgabe die Voraussetzungen des Lax-Milgram-Lemmas, so gilt für den Fehler (1)... der Galerkin-Approximation u u h V (2)...(3)...(4)... Hierbei bezeichnen C und α die Stetigkeits- bzw. Koerzivitätskonstante aus dem Lax-Milgram-Lemma. inf v V h; u u h ; u v V ; C α Was versteht man unter Galerkin-Orthogonalität? Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

30 Céa-Lemma II Lösung Satz 8 (Lemma von Céa) Gelten für eine Variationsaufgabe die Voraussetzungen des Lax-Milgram-Lemmas, so gilt für den Fehler u u h der Galerkin-Approximation u u h V C α inf u v V. v V h Hierbei bezeichnen C und α die Stetigkeits- bzw. Koerzivitätskonstante aus dem Lax-Milgram-Lemma. Die Tatsache, dass a(u u h, v) = 0 für alle v V h wird auch Galerkin-Orthogonalität genannt. Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

31 Variationsformulierung Wie gehen Sie vor, wenn Sie eine klassische Randwertaufgabe in eine Variationsformulierung überführen wollen? Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

32 Inhalt 1. Beispiel Wärmeleitung 1.1 Aufgabenstellung 1.2 Implementierung 1.3 Einflussmöglichkeiten 2. Zusammenfassung Variationsformulierung 2.1 Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen und Randbedingungen 2.2 Mathematische Hilfsmittel 2.3 Mathematische Sätze 3. Simulation von 2D MT 3.1 MT Randwertproblem 3.2 Aufgabenstellung 4. 2D Poissongleichung 4.1 Randwertproblem 4.2 FE-Ansatz 4.3 Implementierung mit Matlab 5. 2D Helmholtzgleichung Antje 5.1 Franke-Börner Randwertproblem (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

33 MT Randwertproblem Induktionsgleichung Induktionsgleichung Grundlage zur Beschreibung der Ausbreitung elektromagnetischer Felder sind die Maxwell-Gleichungen. Daraus kann man für homogene, isotrope und lineare Medien die Induktionsgleichungen für das elektrische Feld E und das Magnetfeld H ableiten: F = µσḟ + µε F = µσḟ + 1 c 2 F mit c 2 = 1 µε und F = E, H. Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

34 MT Randwertproblem Ebene Welle Der Ansatz ebener zeitharmonischer Wellen... der Form F = F 0 e i(ωt ke r) in großer Entfernung von der Quelle mit e = (0, 0, e z ) T und ke = (0, 0, k z ) T liefert unter Berücksichtigung der quasistationären Näherung (T 10 5 s): F = iωµσf = k 2 F, k 2 = iωµσ. Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

35 MT Randwertproblem E-Polarisation Die Induktionsgleichung für E-Polarisation 2 E y x E y z 2 + k2 E y = 0 bzw. (c u) + au = f mit c = 1, a = k 2 = iωµσ, f = 0 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

36 MT Randwertproblem H-Polarisation Die Induktionsgleichung für H-Polarisation 1 x σ H y x + 1 H y z σ z iωµh y = 0 bzw. (c u) + au = f mit c = 1/σ, a = iωµ, f = 0 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

37 MT Randwertproblem Randbedingungen Randbedingungen Zusätzlich beschreiben inhomogene Dirichletsche Randbedingungen das Abklingen der Felder an den äußeren Modellrändern: F = F 0 e ikz mit F = E, H und k = iωµσ. (2) Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

38 Inhalt 1. Beispiel Wärmeleitung 1.1 Aufgabenstellung 1.2 Implementierung 1.3 Einflussmöglichkeiten 2. Zusammenfassung Variationsformulierung 2.1 Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen und Randbedingungen 2.2 Mathematische Hilfsmittel 2.3 Mathematische Sätze 3. Simulation von 2D MT 3.1 MT Randwertproblem 3.2 Aufgabenstellung 4. 2D Poissongleichung 4.1 Randwertproblem 4.2 FE-Ansatz 4.3 Implementierung mit Matlab 5. 2D Helmholtzgleichung Antje 5.1 Franke-Börner Randwertproblem (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

39 Aufgabenstellung Modellbeschreibung Aufgabe: Simulation elektromagnetischer Felder mit COMSOL MULTIPHYSICS 1. Starten Sie COMSOL mit MATLAB! Wählen Sie aus den allgemeinen Anwendungen die Koeffizientenform der allgemeinen elliptischen partiellen Differentialgleichung! 2. Erstellen Sie eine einfache Modellgeometrie für H-Polarisation, z.b. einen homogenen Halbraum mit 2000 < x < 2000, 2000 < z < 0! 3. Legen Sie unter Physics Subdomain Settings die Koeffizienten a und c mit den Modellparametern σ = 0.01 S/m, ω = 2 π 20 khz fest wie auf Folie 27 beschrieben! 4. Weisen Sie unter Physics Boundary Settings die Randbedingungen zu wie in Gleichung (2) angegeben! Beachten Sie, dass im vorliegenden Fall z die Streichrichtung ist und die Felder in y-richtung abklingen! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

40 Aufgabenstellung Lösung Lösung des RWP 1. Vernetzen Sie das vorliegende Modell! 2. Lösen Sie das Gleichungssystem mit einem direkten Löser! 3. Verbessern Sie die Lösung mittels Gitterverfeinerung (h-verfeinerung) und Erhöhung des Polynomgrades der Ansatzfunktionen (p-verfeinerung)! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

41 Aufgabenstellung FEM Finite-Elemente-Methode 1. Exportieren Sie die Struktur fem, welche alle getroffenen Einstellungen (Geometrie, Parameter, Gleichungstyp, Gitter...) enthält! 2. Assemblieren Sie die Systemmatrizen für KU = L und NU = M: [K,L,M,N]=assemble(fem)! Mit [null,compl,range]=flnull(n); ud=compl*((range *N*compl)\(range *M)); KK=null *K*null; f=null *(L-K*ud); uu=kk\f; u=null*uu+ud; ergibt sich die Finite-Elemente-Lösung des Gleichungssystems. Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

42 Aufgabenstellung E-Polarisation E-Polarisation 1. Fügen Sie zum homogenen Halbraum den Lufthalbraum (z.b < x < 2000, 0 < z < 200) hinzu! 2. Für Luft gilt: σ 0 = S/m. Vereinbaren Sie die entsprechenden Koeffizienten der PDE für E-Polarisation (Folie 27)! 3. Setzen Sie auch neue Randbedingungen (Gleichung (2))! Das elektrische Feld an der Erdoberfläche hat den Wert E 0 = ik 1 σ 1 berechnet sich im Lufthalbraum zu E = ik 1 σ 1 + iωµz. und Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

43 E-Polarisation - Realteil von E Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

44 E-Polarisation - Imaginärteil von E Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

45 H-Polarisation - Realteil von H Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

46 H-Polarisation - Imaginärteil von H Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

47 Aufgabenstellung ρ a und φ Post-Processing 1. Berechnen Sie die Darstellungsgrößen scheinbarer spezifischer elektrischer Widerstand ρ a = 1 ωµ E horiz H horiz 2 und Phase φ = 180 π atan( Im(E horiz/h horiz Re(E horiz /H horiz ), wobei die fehlenden horizontalen Felder aus den Vertikalableitungen der simulierten zu berechnen sind! Vereinbaren Sie diese Größen unter Options Expressions als Scalar Expressions, plotten Sie sie ( Postprocessing Cross-Section Plot Parameters ) und überprüfen Sie die Genauigkeit der Simulationen! 2. Berechnen Sie Sondierungskurven für ρ a und φ für einen Frequenzbereich von f = Hz ( Solver Parameters Parametric )! 3. Führen Sie die Simulationen für weitere Modelle (z.b. Viertelräume, Dike, geschichteter Halbraum,... ) durch! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

48 Dike-Modell, E-Polarisation - Realteil von E Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

49 Dike-Modell, E-Polarisation - Imaginärteil von E Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

50 Dike-Modell, H-Polarisation - Realteil von H Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

51 Dike-Modell, H-Polarisation - Imaginärteil von E Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

52 Inhalt 1. Beispiel Wärmeleitung 1.1 Aufgabenstellung 1.2 Implementierung 1.3 Einflussmöglichkeiten 2. Zusammenfassung Variationsformulierung 2.1 Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen und Randbedingungen 2.2 Mathematische Hilfsmittel 2.3 Mathematische Sätze 3. Simulation von 2D MT 3.1 MT Randwertproblem 3.2 Aufgabenstellung 4. 2D Poissongleichung 4.1 Randwertproblem 4.2 FE-Ansatz 4.3 Implementierung mit Matlab 5. 2D Helmholtzgleichung Antje 5.1 Franke-Börner Randwertproblem (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

53 2D Poissongleichung Klassisches Randwertproblem Ausgangspunkt Gesucht ist die Lösung u in Ω = [ 1, 1] 2 R 2 für u = 0 in ([ 1, 1] [ 1, 1]) mit u(x, y) = g auf Ω = Γ D. y 1 Γ D Ω x vgl. Referenzaufgabe 3, Folie 41 1 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

54 2D Poissongleichung Variationsformulierung Schritt 1 Die Variationsformulierung lautet: Gesucht ist u V, so dass a(u, v) = 0 mit a(u, v) = 1 1 u vdx. Schritt 2 Die Galerkin-Diskretisierung u h = N j=1 u jφ j liefert die diskrete Variationsaufgabe: Gesucht ist u h V h, so dass N 1 u j φ i φ j dx = 0 i = 1,..., N. j=1 1 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

55 Inhalt 1. Beispiel Wärmeleitung 1.1 Aufgabenstellung 1.2 Implementierung 1.3 Einflussmöglichkeiten 2. Zusammenfassung Variationsformulierung 2.1 Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen und Randbedingungen 2.2 Mathematische Hilfsmittel 2.3 Mathematische Sätze 3. Simulation von 2D MT 3.1 MT Randwertproblem 3.2 Aufgabenstellung 4. 2D Poissongleichung 4.1 Randwertproblem 4.2 FE-Ansatz 4.3 Implementierung mit Matlab 5. 2D Helmholtzgleichung Antje 5.1 Franke-Börner Randwertproblem (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

56 Referenzelement Schritt 3 Basisfunktionen und ihre Gradienten auf dem Referenzelement η ˆφ 1 = ξ, ˆφ2 = η, ˆφ3 = 1 η ξ [ ] [ ] ˆ ˆφ1 ˆ ˆφ2 ˆ ˆφ3 = ξ Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

57 Elementsteifigkeitsmatrizen Parametrisierung Schritt 4a Element- und Koordinatenmatrix [ ] ET = , p = y 1 3 Γ D Ω x Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

58 Elementsteifigkeitsmatrizen Affine Abbildung Schritt 4b Affine Abbildung [ ] x1 x B K = 3 x 2 x 3, det B y 1 y 3 y 2 y K = 2 K 3 [ ] B 1 y2 y K = 3 y 3 y 1 2 K x 3 x 2 x 1 x 3 φ = B K ˆ ˆφ Schritt 4c Elementsteifigkeitsmatrizen a K (φ j, φ i ) = φ j φ i dx K = ˆK B K ˆ ˆφ j B ˆ ˆφ K i det B K dξ Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

59 Elementsteifigkeitsmatrizen Schritt 4c Elementsteifigkeitsmatrix a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = a K = Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

60 Assemblierung der Steifigkeitsmatrix Algorithmus Schritt 5 Assemblierungsalgorithmus Initialisiere à := O, b := 0 foreach K T h berechne A K und b K k := [Index des Elementes K] j 1 := ET (1, k), j 2 := ET (2, k), j 3 := ET (3, k) Ã([j 1 j 2 j 3 ], [j 1 j 2 j 3 ]) := Ã([j 1j 2 j 3 ], [j 1 j 2 j 3 ]) + A K b([j 1 j 2 j 3 ]) := b([j 1 j 2 j 3 ]) + b K end Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

61 Brücksichtigung der wesentlichen Randbedingungen Reduziertes Gleichungssystem Schritt 6 Berücksichtigung der wesentlichen Randbedingungen: exakte Lösung zu Referenzproblem 3 auf Folie 41 liefert Randwerte u 1, u 2, u 3 und u 4 [ ] [ ] [ ] AW W A W I uw g = mit u 0 W = g A IW A II [ I O A IW A II u I ] [ ] uw u I = [ ] g 0 A IW u W + A II u I = A IW g + A II u I = 0 A II u I = A IW g Lösung u 5 = u I Vergleich mit der exakten Lösung u(x, y) = für (0, 0) 2(1+y) (3+x) 2 +(1+y) 2 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

62 Inhalt 1. Beispiel Wärmeleitung 1.1 Aufgabenstellung 1.2 Implementierung 1.3 Einflussmöglichkeiten 2. Zusammenfassung Variationsformulierung 2.1 Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen und Randbedingungen 2.2 Mathematische Hilfsmittel 2.3 Mathematische Sätze 3. Simulation von 2D MT 3.1 MT Randwertproblem 3.2 Aufgabenstellung 4. 2D Poissongleichung 4.1 Randwertproblem 4.2 FE-Ansatz 4.3 Implementierung mit Matlab 5. 2D Helmholtzgleichung Antje 5.1 Franke-Börner Randwertproblem (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

63 Aufgabenstellung Aufgabe Implementieren Sie die FE-Lösung der vorgestellten Randwertaufgabe mit Hilfe von Matlab! 1. Vereinbaren Sie Elementtabelle ET und Punktmatrix p wie oben angegeben! 2. Berechnen Sie die Elementsteifigkeitsmatrix! 3. Setzen Sie den Algorithmus zur Assemblierung der Steifigkeitsmatrix um! 4. Fügen Sie die wesentlichen Randbedingungen hinzu und erzeugen Sie das reduzierte Gleichungssystem! 5. Lösen Sie das reduzierte Gleichungssystem mit \! 6. Erzeugen Sie den kompletten Lösungsvektor und stellen Sie die FE-Lösung unter Nutzung der Funktion trisurf dar! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

64 Lösung u y x Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

65 Fehler u exakt u y x Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

66 Verallgemeinerung Aufgabe Erweitern Sie Ihren Code hinsichtlich der Verwendung beliebiger Gitter, der Berücksichtigung beliebiger wesentlicher Randbedingungen, der Berücksichtigung eines Wärmeleitkoeffizienten! Erzeugen Sie eine Matlab-Funktion zur Assemblierung! Die Generation des Gitters und die Lösung des Gleichungssystems sollen außerhalb dieser erfolgen. Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

67 Inhalt 1. Beispiel Wärmeleitung 1.1 Aufgabenstellung 1.2 Implementierung 1.3 Einflussmöglichkeiten 2. Zusammenfassung Variationsformulierung 2.1 Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen und Randbedingungen 2.2 Mathematische Hilfsmittel 2.3 Mathematische Sätze 3. Simulation von 2D MT 3.1 MT Randwertproblem 3.2 Aufgabenstellung 4. 2D Poissongleichung 4.1 Randwertproblem 4.2 FE-Ansatz 4.3 Implementierung mit Matlab 5. 2D Helmholtzgleichung Antje 5.1 Franke-Börner Randwertproblem (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

68 Aufgabenstellung Ausgangspunkt Gesucht ist die Lösung u in Ω = [ 1, 1] 2 R 2 für k u + bu = 0 in ([ 1, 1] [ 1, 1]) mit u(x, y) = g auf Γ D und u n = 0 auf Γ N, Ω = Γ D Γ N und stückweise konstanten Koeffizienten k und b. y 1 Γ D Ω Γ N Γ N x 1 Γ D Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

69 2D Helmholtzleichung Variationsformulierung Schritt 1 Wie lautet die Variationsformulierung? Schritt 2 Formulieren Sie die diskrete Variationsaufgabe! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

70 2D Helmholtzgleichung Variationsformulierung Schritt 1 Die Variationsformulierung lautet: Gesucht ist u V, so dass a(u, v) = 0 mit a(u, v) = Ω (k u v + buv) dx. Schritt 2 Die Galerkin-Diskretisierung u h = N j=1 u jφ j liefert die diskrete Variationsaufgabe: Gesucht ist u h V h, so dass N u j j=1 Ω (k φ i φ j + bφ j φ i ) dx = 0 i = 1,..., N. Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

71 Inhalt 1. Beispiel Wärmeleitung 1.1 Aufgabenstellung 1.2 Implementierung 1.3 Einflussmöglichkeiten 2. Zusammenfassung Variationsformulierung 2.1 Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen und Randbedingungen 2.2 Mathematische Hilfsmittel 2.3 Mathematische Sätze 3. Simulation von 2D MT 3.1 MT Randwertproblem 3.2 Aufgabenstellung 4. 2D Poissongleichung 4.1 Randwertproblem 4.2 FE-Ansatz 4.3 Implementierung mit Matlab 5. 2D Helmholtzgleichung Antje 5.1 Franke-Börner Randwertproblem (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

72 Referenzelement Schritt 3 Basisfunktionen und ihre Gradienten auf dem Referenzelement η ˆφ 1 = ξ, ˆφ2 = η, ˆφ3 = 1 η ξ [ ] [ ] ˆ ˆφ1 ˆ ˆφ2 ˆ ˆφ3 = ξ Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

73 Elementsteifigkeitsmatrizen Parametrisierung Schritt 4a Element- und Koordinatenmatrix [ ] 1 1 ET = , p =, k = , b = y 1 Γ D Ω Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester x

74 Elementmatrizen Affine Abbildung Schritt 4b Affine Abbildung [ x1 x B K = 3 x 2 x 3 y 1 y 3 y 2 y 3 [ ] B y2 y K = 3 x 3 x K y 3 y 1 x 1 x 3 ], det B K = 2 K φ = B K ˆ ˆφ Schritt 4c Elementmatrizen a K (φ j, φ i ) = (k φ j φ i + bφ j φ i ) dx K = k + b ˆK ˆK B K ˆ ˆφ j B ˆ ˆφ K i det B K dξ ˆφ j ˆφi det B K dξ Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

75 Elementmatrizen Schritt 4c Elementsteifigkeitsmatrix a S 1 = a S 2 = a S 3 = a S 4 = a S K = k Schritt 4d Elementmassematrix Berechnen Sie die Einträge der Elementmassematrizen mittels Quadraturformeln! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

76 Elementmatrizen Schritt 4c Elementsteifigkeitsmatrix a S 1 = a S 2 = a S 3 = a S 4 = a S K = k Schritt 4d Elementmassematrix a M 1 = a M 2 = a M 3 = a M 4 = a M K = b det B K Schritt 4 Elementmatrix a K = a S K + a M K = Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

77 Assemblierung der Systemmatrix Schritt 5 Assemblierung A = = Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

78 Brücksichtigung der wesentlichen Randbedingungen Reduziertes Gleichungssystem Schritt 6 Berücksichtigung der wesentlichen Randbedingungen: u 1 = 0, u 2 = 0, u 3 = 1 und u 4 = 1 [ ] [ ] [ ] AW W A W I uw g = mit u 0 W = g Lösung u 5 = u I A IW A II [ I O A IW A II u I ] [ ] uw u I = [ ] g 0 A IW u W + A II u I = A IW g + A II u I = 0 A II u I = A IW g Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

79 Lösung Ergebnis 0 g = 0 1, A IW = [ ], AII = u 5 = = u 5 = Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

80 Inhalt 1. Beispiel Wärmeleitung 1.1 Aufgabenstellung 1.2 Implementierung 1.3 Einflussmöglichkeiten 2. Zusammenfassung Variationsformulierung 2.1 Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen und Randbedingungen 2.2 Mathematische Hilfsmittel 2.3 Mathematische Sätze 3. Simulation von 2D MT 3.1 MT Randwertproblem 3.2 Aufgabenstellung 4. 2D Poissongleichung 4.1 Randwertproblem 4.2 FE-Ansatz 4.3 Implementierung mit Matlab 5. 2D Helmholtzgleichung Antje 5.1 Franke-Börner Randwertproblem (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

81 Aufgabenstellung Aufgabe Implementieren Sie die FE-Lösung der vorgestellten Randwertaufgabe mit Hilfe von Matlab! Bauen Sie auf der Lösung der Poissongleichung auf! 1. Vereinbaren Sie die Materialeigenschaften k und b sowie deren Zuordnung zu den Elementen in der vierten Zeile der Elementtabelle ET! 2. Berechnen Sie die Elementmassematrix! Addieren Sie die Einträge der Steifigkeits- und der Massematrizen zur Elementmatrix! 3. Setzen Sie den Algorithmus zur Assemblierung der Systemmatrix um! 4. Fügen Sie die wesentlichen Randbedingungen hinzu und erzeugen Sie das reduzierte Gleichungssystem! 5. Lösen Sie das reduzierte Gleichungssystem mit \! 6. Erzeugen Sie den kompletten Lösungsvektor und stellen Sie die FE-Lösung unter Nutzung der Funktion trisurf dar! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

82 Lösung u y x Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

83 Fehler u exakt u y x Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

84 Lösung mit exakten Randbedingungen u y x Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

85 Fehler für exakte Randbedingungen u exakt u y x Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

86 Verallgemeinerung Aufgabe Erweitern Sie Ihren Code hinsichtlich der Verwendung beliebiger Gitter, der Berücksichtigung beliebiger wesentlicher Randbedingungen, der Berücksichtigung beliebiger Materialeigenschaften! Erzeugen Sie eine Matlab-Funktion zur Assemblierung! Die Generation des Gitters und die Lösung des Gleichungssystems sollen außerhalb dieser erfolgen. Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

87 Lösung mit feinerem Gitter u y x Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

88 Fehler für feineres Gitter x u exakt u y x Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

89 Inhalt 1. Beispiel Wärmeleitung 1.1 Aufgabenstellung 1.2 Implementierung 1.3 Einflussmöglichkeiten 2. Zusammenfassung Variationsformulierung 2.1 Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen und Randbedingungen 2.2 Mathematische Hilfsmittel 2.3 Mathematische Sätze 3. Simulation von 2D MT 3.1 MT Randwertproblem 3.2 Aufgabenstellung 4. 2D Poissongleichung 4.1 Randwertproblem 4.2 FE-Ansatz 4.3 Implementierung mit Matlab 5. 2D Helmholtzgleichung Antje 5.1 Franke-Börner Randwertproblem (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

90 Aufgabenstellung Ausgangspunkt Gesucht ist die Lösung E in Ω R 3 für (µ 1 E) + (iωσ ω 2 ε)e = 0 in Ω n E = 0 auf Γ n E = E n auf Γ Γ top Γ bottom und stückweise konstanten Koeffizienten µ, σ und ɛ. Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

91 3D Induktionsgleichung Variationsformulierung 1. Schritt Die Variationsformulierung des Randwertproblems lautet: Finde E S, so dass a(e, v) = a(e, v) = l(v) v V mit l(v) = 0 Ω ( µ 1 E v + (iωσ ω 2 ε)e v ) dx, S := {E H(rot; Ω) : n E = n E n auf Γ Γ Γ top Γ bottom } und V := {v H(rot; Ω) : n v = 0 auf Γ}. Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

92 3D Induktionsgleichung Diskrete Variationsaufgabe 2. Schritt Mit E h (x) = n i=1 lh i (Eh )φ h i (x) lautet das diskrete Gleichungssystem: Au = b mit A i,j = a(φ i, φ j ), b i = l(φ i ), u j = lj h (E h ) und a(φ i, φ j ) = µ 1 φ i φ j dx Ω + (iωσ ω 2 ε)φ i φ j dx, l(φ i ) = 0. Ω Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

93 Inhalt 1. Beispiel Wärmeleitung 1.1 Aufgabenstellung 1.2 Implementierung 1.3 Einflussmöglichkeiten 2. Zusammenfassung Variationsformulierung 2.1 Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen und Randbedingungen 2.2 Mathematische Hilfsmittel 2.3 Mathematische Sätze 3. Simulation von 2D MT 3.1 MT Randwertproblem 3.2 Aufgabenstellung 4. 2D Poissongleichung 4.1 Randwertproblem 4.2 FE-Ansatz 4.3 Implementierung mit Matlab 5. 2D Helmholtzgleichung Antje 5.1 Franke-Börner Randwertproblem (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

94 Referenzelement Schritt 3a Referenzelement ẑ 1 3 e 6 e e 4 e 2 e e ŷ ˆx e 1 : 1 2 e 2 : 1 3 e 3 : 1 4 e 4 : 2 3 e 5 : 2 4 e 6 : 3 4 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

95 Referenzelement Schritt 3b Basisfunktionen auf dem Referenzelement ŷ ˆφ 1,2 = ˆx = ˆφ ẑ 1, ˆφ1,3 = 0 = ˆφ 2, 0 ˆx 1 + ŷ + ẑ ˆφ 1,4 = ˆx = ˆφ 0 3, ˆφ2,3 = ẑ = ˆφ 4, ˆx ŷ ŷ ˆφ 2,4 = 1 + ˆx + ẑ = ˆφ ẑ 5, ˆφ3,4 = ẑ = ˆφ 6 ŷ 1 + ˆx + ŷ Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

96 Referenzelement Schritt 3c Rotation der Basisfunktionen auf dem Referenzelement ˆ ˆφ 0 1,2 = 0 = ˆ ˆφ 0 1, ˆ ˆφ1,3 = 2 = ˆ ˆφ 2, 2 0 ˆ ˆφ 0 1,4 = 2 = ˆ ˆφ 2 3, ˆ ˆφ2,3 = 0 = ˆ ˆφ 4, 2 0 ˆ ˆφ 2 2,4 = 0 = ˆ ˆφ 2 5, ˆ ˆφ3,4 = 2 = ˆ ˆφ Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

97 Referenzelement Steifigkeitsmatrix Schritt 4a Elementsteifigkeitsmatrix - Referenzelement ˆK i,j = µ 1 ˆ ˆφ i ˆ ˆφ j dˆx ˆK K = µ Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

98 Referenzelement Massematrix Schritt 4b Elementmassematrix - Referenzelement ˆM i,j = (iωσ ω 2 ε) M = (iωσ ω2 ε) 120 ˆφ i ˆφ j dˆx ˆK Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

99 Affine Abbildung Schritt 4c Affine Abbildung x 1 x 4 x 2 x 4 x 3 x 4 B K = y 1 y 4 y 2 y 4 y 3 y 4 z 1 z 4 z 2 z 4 z 3 z 4 u = u F K = B K û 1 B K ( det B ˆ û) K Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

100 Inhalt 1. Beispiel Wärmeleitung 1.1 Aufgabenstellung 1.2 Implementierung 1.3 Einflussmöglichkeiten 2. Zusammenfassung Variationsformulierung 2.1 Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen und Randbedingungen 2.2 Mathematische Hilfsmittel 2.3 Mathematische Sätze 3. Simulation von 2D MT 3.1 MT Randwertproblem 3.2 Aufgabenstellung 4. 2D Poissongleichung 4.1 Randwertproblem 4.2 FE-Ansatz 4.3 Implementierung mit Matlab 5. 2D Helmholtzgleichung Antje 5.1 Franke-Börner Randwertproblem (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

101 Implementierung Aufgabe 1 Berechnen Sie die Elementsteifigkeits- und massematrizen mittels numerischer Quadratur! 1. Laden Sie die Matlab-Funktion tetquadsolin.m ( qjzfnmfebr?n= ) herunter! 2. Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrix: Bestimmen Sie Quadraturpunkt und -gewicht aus tetquadsolin.m für die Ordnung 1! Werten Sie die Integranden am Quadraturpunkt aus und berechnen Sie mit dem Gewicht die Elemente der Steifigkeitsmatrix! (Folie 96) 3. Berechnung der Massematrix: Bestimmen Sie Quadraturpunkte und -gewichte aus tetquadsolin.m für die Ordnung 2! Werten Sie die Integranden an den Quadraturpunkten aus und berechnen Sie mit den Gewichten die Elemente der Massematrix! (Folie 97) Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

102 Implementierung Aufgabe 2 Bereiten Sie die Transformation vom Referenzelement auf ein beliebiges Gebietselement vor! 1. Berechnen Sie für alle Elemente eines Gitters die Abbildungsmatrix B K! 2. Berechnen Sie die Elementsteifigkeits- und Massematrizen für die Gebietselemente! Nutzen Sie zum Vergleich die Abbildung des Referenzelementes auf sich selbst! Fortsetzung Gitter, Assemblierung des Gleichungssystems, Berücksichtigung der wesentlichen Randbedingungen, Lösung Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester

103 Implementierung Aufgabe 3 Assemblieren und lösen Sie das Gleichungssystem! 1. Laden Sie sich die Datei mesh.mat herunter(https: // Welche Informationen enthält die Datei über das Gitter? Welche Informationen beno"tigen Sie? 2. Assemblieren Sie das Gleichungssystem! Beachten Sie, dass die Freiheitsgrade den Kanten zugeordnet sind! 3. Erstellen Sie das reduzierte Gleichungssystem unter Berücksichtigung der wesentlichen Randbedingungen! Geben Sie als Randwerte die Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes vor! Benutzen Sie als Normalfeld ein in x-richtung polarisiertes elektrischen Feld! 4. Lösen Sie das Gleichungssystem! Vergleichen Sie mit der analytischen Lösung! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester