Monte Carlo Finite Elemente Methode

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1 Monte Carlo Finite Elemente Methode Lisa Eppler Johannes-Gutenberg Universität Mainz 18. Januar / 55

2 Inhalt Monte Carlo Finite Elemente Methode 1 Wiederholung 2 Monte Carlo 3 Beispiele 1-d 2-d 4 Fehleranalyse 2 / 55

4 Wiederholung - stochastische Daten Elliptisches Randwertproblem mit stochastischen Daten: (a(x, ω) u(x, ω)) = f (x, ω) für x D u(x, ω) = g(x) für x D Variationsproblem mit stochastischen Daten: a(x, ω) u(x, ω) v(x) dx = f (x)v(x) dx D D v V := H 1 0 (D) 4 / 55

5 Wiederholung - stochastische Daten Elliptisches Randwertproblem mit stochastischen Daten: (a(x, ω) u(x, ω)) = f (x) für x D u(x, ω) = 0 für x D Variationsproblem mit stochastischen Daten: a(x, ω) u(x, ω) v(x) dx = f (x)v(x) dx D D v V := H 1 0 (D) 5 / 55

6 Wiederholung - stochastische Daten Elliptisches Randwertproblem mit stochastischen Daten: (a(x, ω) u(x, ω)) = f (x) für x D u(x, ω) = 0 für x D Variationsproblem mit stochastischen Daten: a(x, ω) u(x, ω) v(x) dx = f (x)v(x) dx D D v V := H 1 0 (D) 6 / 55

7 Wiederholung - stochastische Daten Annahme 9.5 Realisierungen a(, ω) des Diffusionskoeffizienten liegen in L (D) und erfüllen für fast alle ω Ω, wobei 0 < a min (ω) a(x, ω) a max (ω) < inf a min (ω) := ess inf x D a(x, ω), a max(ω) := ess sup a(x, ω) x D 7 / 55

8 Theorem 9.9 Falls Annahme 9.5 gilt, f L 2 (D) und g = 0, dann hat das Variationsproblem eine eindeutige Lösung u(, ω) V = H 1 0 (D). 8 / 55

9 Wiederholung - Galerkin FEM J V V h u h (x) = u i φ i (x), i=1 φ i Basisfunktionen von V h Löse LGS: Au = b mit a ij = b i = D D a(x) Φ i (x) Φ j (x)dx, f (x)φ i (x)dx, i, j = 1,..., J i = 1,..., J 9 / 55

10 Das Variationsproblem mit stochastischen Daten a(x, ω) u(x, ω) v(x) dx = D D f (x)v(x) dx v V := H0 1 (D) 10 / 55

12 Monte Carlo Methode Idee: Wiederhole ein Experiment mit verschiedenen Eingabedaten und nehme den Durchschnitt der Ergebnisse als Lösung: X Q = X X Q Q 12 / 55

13 Monte Carlo Methode In unserem Fall: ã r := ã(, ω r ), für r = 1,..., Q i.i.d Löse die DGL für Q verschiedene ã r mit der Galerkin FEM. Erhalte ũ r h (x) := ũ h(x, ω r ), für r = 1,..., Q i.i.d 13 / 55

16 Monte Carlo Methode Berechne mit den erhaltenen ũ r h (x): und die Varianz: E[ũ(x)] µ Q,h (x) := 1 Q σ 2 Q,h (x) : = 1 Q 1 Q ũh r (x) r=w Q (ũh r (x) µ Q,h(x)) 2 r=1 = 1 ( Q ) (ũh r Q 1 (x)2 ) Qµ Q,h (x) 2 r=1 16 / 55

17 Monte Carlo Methode Berechne mit den erhaltenen ũ r h (x): und die Varianz: E[ũ(x)] µ Q,h (x) := 1 Q σ 2 Q,h (x) : = 1 Q 1 Q ũh r (x) r=w Q (ũh r (x) µ Q,h(x)) 2 r=1 = 1 ( Q ) (ũh r Q 1 (x)2 ) Qµ Q,h (x) 2 r=1 17 / 55

19 Beispiel 1 d dx (a(x) d dx )u(x) = 1 für x (0, 1) R u(0) = 0, u(1) = 0 Approximiere a(x) mit a(x, ω) = µ + P k=1 σ k 2 π 2 cos(πkx)ξ k(ω), ξ k U( 1, 1) u.i.v 19 / 55

20 Beispiel 1 a(x, ω) = µ + P k=1 σ k 2 π 2 cos(πkx)ξ k(ω), ξ k U( 1, 1) u.i.v Gehe sicher, dass Annahme 9.5 erfüllt ist: 0 < a min (ω) a(x, ω) a max (ω) < inf 20 / 55

21 Beispiel 1 a(x, ω) = µ + P k=1 σ k 2 π 2 cos(πkx)ξ k(ω), ξ k U( 1, 1) u.i.v. Beziehungsweise, dass Annahme 9.3 erfüllt ist: Also: 0 < µ σ π 2 P 0 < a min a(x, ω) a max < k=1 Daraus ergibt sich die Bedingung: 1 k 2 a(x, ω) µ + σ π 2 σ < 6µ P k=1 1 k 2 < 21 / 55

22 Beispiel 1 a(x, ω) = µ + P k=1 σ k 2 π 2 cos(πkx)ξ k(ω), ξ k U( 1, 1) u.i.v. Beziehungsweise, dass Annahme 9.3 erfüllt ist: Also: 0 < µ σ π 2 P 0 < a min a(x, ω) a max < k=1 Daraus ergibt sich die Bedingung: 1 k 2 a(x, ω) µ + σ π 2 σ < 6µ P k=1 1 k 2 < 22 / 55

23 Beispiel 1 Algorithmus: [mean u, var u] = oned MC FEM(ne, sigma, mu, P, Q) Schritt 1: Diskretisiere den Raum mit einem uniformen Gitter h = 1/ne; x = [ h/2:h:1-h/2] ; Schritt 2 : for-schleife: j = 1,..., Q Zufalls-Vektor ξ ( 1, 1) P xi = -1+2.*rand(P,1); Berechne a(x, ω) (nochmal eine for-schleife) a = mu*ones(ne,1); a = a + sigma.*((i*pi).ˆ(-2)).*cos(pi*i.*x).*xi(i); Löse die DGL mit dem Galerkin-Verfahren aus Kapitel 2 mit linearen Basisfunktionen [u,a,b] = oned linear FEM(ne, a, zeros(ne,1), ones(ne,1),); Schritt 3: Berechne µ Q,h (x) und die Varianz σ 2 Q,h (x) 23 / 55

29 Ausflug Stochastik Kovarianz Seien X, Y zwei relle Zufallsvariablen, dann ist Cov(X, Y ) := E [(X E(X ))(Y E(Y ))] die Kovarianz von X und Y. Cov(X, Y ) > 0 X wird größer, wenn Y größer wird Cov(X, Y ) < 0 X wird kleiner, wenn Y größer wird Cov(X, Y ) = 0 X und Y hängen nicht miteinander zusammen 29 / 55

30 Ausflug Stochastik Kovarianz Seien X, Y zwei relle Zufallsvariablen, dann ist Cov(X, Y ) := E [(X E(X ))(Y E(Y ))] die Kovarianz von X und Y. Cov(X, Y ) > 0 X wird größer, wenn Y größer wird Cov(X, Y ) < 0 X wird kleiner, wenn Y größer wird Cov(X, Y ) = 0 X und Y hängen nicht miteinander zusammen 30 / 55

31 Ausflug Stochastik Kovarianzmatrix Sei X = [X 1,..., X d ] T eine d-dimensionale Zufallsvariable. Die Matrix C = Cov(X) := E [(X ] E(X))(X E(X)) T heißt Kovarianzmatrix, wobei der Eintrag C ij = Cov(X i, X j ). 31 / 55

32 Ausflug Stochastik Gaußsches Zufallsfeld Ein Gaußsches Zufallsfeld {u(x) : x D} ist ein Zufallsfeld 2. Ordnung u = [u(x 1 ),..., u(x M )] T, das der multivariaten Gaußverteilung für jedes x 1,.., x M D folgt. u N(µ, C) mit µ i = µ(x i ) und C ij = Cov(x i, x j ) 32 / 55

33 Ausflug Stochastik Gaußsches Zufallsfeld - stationär und isotrop Ein Gaußsches Zufallsfeld ist stationär, falls µ unabhängig von x ist und isotrop, falls die Kovarianz invariant unter Rotation ist, also: C(x i, x j ) = c 0 (r), wobei r := x i x j 2 und c 0 : R + R die isotrope Kovarianz ist. 33 / 55

34 Beispiel 2 Sei D = (0, 1) (0, 1) und a(x) = e z(x), x D wobei z(x) ein stationäres Gaußsches Zufallsfeld ist mit µ = 0 und isotroper Kovarianz c 0 (r) = e r 2 /l / 55

35 Beispiel 2 Annahme 9.6 Sei D R 2 beschränkt und a(x) = e z(x), x D wobei z(x) ein Gaußsches Zufallsfeld ist, sodass für L, s > 0 gilt: E [ z(x) z(y) 2] L x y s 2 Theorem 9.9 Falls Annahme 9.6 gilt, so gilt auch Annahme / 55

36 Beispiel 2 Annahme 9.6 Sei D R 2 beschränkt und a(x) = e z(x), x D wobei z(x) ein Gaußsches Zufallsfeld ist, sodass für L, s > 0 gilt: E [ z(x) z(y) 2] L x y s 2 zeige: Dies gilt, falls z(x) ein Gaußsches Zufallsfeld ist mit µ = 0 und isotroper Kovarianz c 0 (r) = e r 2 /l 2 : 36 / 55

37 Beispiel 2 Sei D = (0, 1) (0, 1) und a(x) = e z(x), x D wobei z(x) ein Gaußsches Zufallsfeld ist mit µ = 0 und isotroper Kovarianz c 0 (r) = e r 2 /l 2. Approximiere a(x) auf dem gewählten Gitter T h durch ã(x, ω) k := a(ν k j, ω) j=1 k T wobei ν k j, j = 1, 2, 3 die Ecken des Dreiecks k sind. 37 / 55

38 Beispiel 2 Algorithmus: [mean u, var u] = twod MC FEM(ns,Q,ell,alpha) Schritt 1: Diskretisiere den Raum mit einem uniformen Gitter [xv, yv, elt2vert, nvtx, ne, h] = uniform mesh info(ns); Schritt 2: Erstelle ein (bzw. zwei) Gaußsche Zufallsfelder [z1, z2] = circ emb sample 2dB(C, n1, n2, m1, m2); Schritt 3: Berechne a(x) v1 = exp(z1); v2 = exp(z2); Schritt 4 : Berechne ã(x) a1 = (1/3).*(v1(elt2vert(:, 1)) + v1(elt2vert(:, 2)) + v1(elt2vert(:, 3))); a2 = (1/3).*(v2(elt2vert(:, 1)) + v2(elt2vert(:, 2)) + v2(elt2vert(:, 3))); 38 / 55

42 Beispiel 2 [mean u, var u] = twod MC FEM(ns,Q,ell,alpha) Schritt 5: Löse die DGL mit dem Galerkin-Verfahren aus Kapitel 2 mit linearen Basisfunktionen [u1 int, A1, rhs1] = twod linear FEM(ns, xv, yv, elt2vert... nvtx, ne, h, a1, ones(ne,1)); [u2 int, A2, rhs1] = twod linear FEM(ns, xv, yv, elt2vert... nvtx, ne, h, a2, ones(ne,1)); Schritt 6: Berechne µ Q,h (x) und die Varianz σ 2 Q,h (x) 42 / 55

43 Beispiel 2 [mean u, var u] = twod MC FEM(ns,Q,ell,alpha) Schritt 5: Löse die DGL mit dem Galerkin-Verfahren aus Kapitel 2 mit linearen Basisfunktionen [u1 int, A1, rhs1] = twod linear FEM(ns, xv, yv, elt2vert... nvtx, ne, h, a1, ones(ne,1)); [u2 int, A2, rhs1] = twod linear FEM(ns, xv, yv, elt2vert... nvtx, ne, h, a2, ones(ne,1)); Schritt 6: Berechne µ Q,h (x) und die Varianz σ 2 Q,h (x) 43 / 55

45 Fehlerabschätzung der Monte Carlo Methode E[u] µ Q,h H 1 0 (D) 45 / 55

46 Fehlerabschätzung der Monte Carlo Methode E[u] µ Q,h H 1 0 (D) E[u] E[ũ h] H 1 0 (D) + E[ũ h ] µ Q,h H1 0 }{{}}{{ (D) } =:E h,a =:E MC 46 / 55

47 Fehlerabschätzung der Monte Carlo Methode Jensen sche Ungleichung: Sei φ : R R eine konvexe Funktion und X eine reellwertige Zufallsvariable mit E[X ] <, dann gilt φ(e[x ]) E [φ(x )] L p (Ω, H0 1 (D)) Norm [ ] u L p (Ω,H0 1(D)) := E u p 1 p H0 1(D) 47 / 55

48 Fehlerabschätzung der Monte Carlo Methode Jensen sche Ungleichung: Sei φ : R R eine konvexe Funktion und X eine reellwertige Zufallsvariable mit E[X ] <, dann gilt φ(e[x ]) E [φ(x )] L p (Ω, H0 1 (D)) Norm [ ] u L p (Ω,H0 1(D)) := E u p 1 p H0 1(D) 48 / 55

49 Fehlerabschätzung der Monte Carlo Methode E[u] µ Q,h H 1 0 (D) E[u] E[ũ h] H 1 0 (D) + E[ũ h ] µ Q,h H 1 }{{} 0 (D) }{{} =:E h,a O(h) =:E MC 49 / 55

50 Fehlerabschätzung der Monte Carlo Methode Theorem 9.22 Es gelte die Annahme 9.6, f L 2 (D) und g = 0 und E MC := E[ũ h ] µ Q,h H 1 0 (D). Dann gilt: E[E 2 MC ] K Q für eine Konstante K > 0 unabhängig von h. 50 / 55

51 Fehlerabschätzung der Monte Carlo Methode Lemma 9.13 Es gelte die Annahme 9.6, f L 2 (D) und g = 0. Dann gilt: für alle p 1 und u h L p (Ω, H 1 0 (D)) u h L p (Ω,H 1 0 (D)) K p a 1 min L p (Ω) f L 2 (D) 51 / 55

52 Korollar Korollar 9.23 Es gelte die Annahme 9.6, f L 2 (D) und g = 0 und E MC := E[ũ h ] µ Q,h H 1 0 (D). Dann gilt für alle ε > 0: P(E MC Q 1 2 +ε ) LQ 2ε für ein L > 0, das unabhängig ist von h. 52 / 55

53 Aus der Stochastik Theorem 4.58(i) Falls für ein r, p > 0 und eine Konstante K gilt: E[ X n X p H0 1(D)]1/p K n r dann folgt für jedes ε > 0: P( X n X H 1 0 (D) n r+ε ) K p n pε 53 / 55

54 Fehlerabschätzung der Monte Carlo Methode E[u] µ Q,h H 1 0 (D) E[u] E[ũ h] H 1 0 (D) + E[ũ h ] µ Q,h H 1 }{{} 0 (D) }{{} =:E h,a O(h) =:E MC O(Q 1/2 ) 54 / 55

55 Ergebnis Aufwand Will man die Lösung mit der Monte Carlo Methode bis auf einen Fehler ε approximieren, so lässt sich mit den obigen Ergebnissen zeigen, dass der Aufwand bei O(ε 4 ) liegt. 55 / 55