Zwischenprüfung. 1 Mathematische Grundlagen (35 Pkt.)

Transkript

1 Datum: Elektromagnetische Felder & Wellen Frühjahrssemester 216 Photonics Laboratory, ETH Zürich Zwischenprüfung 1 Mathematische Grundlagen (35 Pkt.) 1. (1 Pkt.) Für das Betragsquadrat c 2 einer komplexen Zahl c C gilt c 2 = c 2, c 2 = c c, c 2 = Im(c) + Re(c), 2. (1 Pkt.) Für das Betragsquadrat a + b 2 der Summe zweier komplexer Zahlen a, b C gilt a + b 2 = a 2 + b 2 + 2ab, a + b 2 = a 2 + b 2, a + b 2 = a 2 + b 2 + 2Re(ab ), 3. (1 Pkt.) Für den Phasenwinkel einer komplexen Zahl c = c e iφ gilt φ = arctan Im(c) Re(c), φ = arctan(c), φ = cos(c + c ), Hinweis zur Lösung: Unter einer strikten Definition des arctan ist der erste Vorschlag ausserhalb des ersten Quadranten nicht korrekt. In der Korrektur wurden jedoch sowohl der erste als auch der letzte Vorschlag als korrekt gewertet. 4. (1 Pkt.) Für eine komplexe Zahl c = c e iφ gilt c c = e iφ, c c c = 2Re(c), c = e 2iφ, Unterschrift Student/-in: 1

2 5. (1 Pkt.) Für den Realteil einer komplexen Zahl c C gilt Re(c) = i 2 (c + c ), Re(c) = i 2 (c + c ), Re(c) = 1 2 (c + c ), 6. (1 Pkt.) Es gilt e iπ/2 = i, e iπ/2 = i, 7. (1 Pkt.) Es gilt e iπ/2 = i/2, i = 2 1 (i 1), i = 1, i = 1 2 (1 + i), 8. (1 Pkt.) Es gilt e iφ = cos φ + i sin φ, e iφ = cos φ i sin φ, e iφ = sin φ i cos φ, 9. (1 Pkt.) Es gilt e α e β = e β α, e α e β = e α/β, e α e β = e α β, 1. (1 Pkt.) Es gilt 1/e α = e α, 1/e α = e α, 1/e α = e (1/α), 2

3 11. (1 Pkt.) Es gilt ( a b ) c = a bc, ( a b ) c = a (b c), ( a b ) c = (ac) b, 12. (1 Pkt.) Formulieren Sie die Ableitung f (x) der Funktion f(x) = 4 + 3x + 2(x 2) 2 + (x 3) 3 am Punkt x = 3 d dx f(x = 3) = (2 Pkt.) Formulieren Sie die Ableitung der Funktion f(x) = sin(ax) cos(bx) d dx f(x) = a cos(ax) cos(bx) b sin(ax) sin(bx). 14. (2 Pkt.) Das bestimmte Integral der Funktion f(x) = e kx lautet für k > 15. (2 Pkt.) Es gilt dxf(x) = 1/k. π π dx sin x =. 16. (2 Pkt.) Es gilt π dx sin 2 x = π/ (3 Pkt.) Die Taylorreihe der Funktion f(x) = 1 1+x um x = lautet bis zur zweiten Ordnung f(x) = 1 x 2 + 3x2 8 + O(x 3 ). Unterschrift Student/-in: 3

4 18. (2 Pkt.) Mit r = (x, y, z) gilt für den Gradienten r 2 = 2 r, r 2 = 2r, r 2 = 2 r r, sin x + cos y 19. (3 Pkt.) Mit dem Laplace-Operator 2 gilt für das Vektorfeld F(x, y) = cos x + sin y 2 F = sin x sin y, 2 F = ( sin x, cos x, ) T, 2 F = ( sin x cos y, cos x sin y, ) T, 2. (2 Pkt.) Mit dem Laplace-Operator 2 gilt für das Vektorfeld F(x, y, z) = 2 F = (2, 2, 2) T, 2 F = (,, ) T, 2 F = 2, 21. (5 Pkt.) Die Rechtecksfunktion sei definiert als rect(ω, ω, ) = { 1 wenn ω < ω < ω +, sonst, Die Fouriertransformation der Funktion ˆf(ω) sei definiert als f(t) = FT { } ˆf(ω) = ˆf(ω)e iωt dω. z 2 x 2 y 2 Die Fouriertransformation der Rechtecksfunktion lautet FT {rect(ω, ω, )} = 2 t sin( t), FT {rect(ω, ω, )} = 2 t e iωt sin( t), FT {rect(ω, ω, )} = 2 t e iωt e i t, 4

5 2 Elektromagnetische Felder und Wellen (65 Pkt.) 1. (2 Pkt.) Die Dispersionsrelation in einem Medium mit Brechungsindex n lautet k k = n 2 ω2 c 2, k 2 x + k 2 y + k 2 z = ω2 c 2, kx 2 + ky 2 + kz 2 = n ω2, c 2 2. (2 Pkt.) Der Brechungsindex ist definiert als n = (εµ) 2, n = εµ, n = εµ, 3. (2 Pkt.) Für die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum gilt c = µε, c = µ ε, c = (µ ε ) 2, 4. (2 Pkt.) Für die Lichtgeschwindigkeit im Medium mit Brechungsindex n gilt c = 1/ εε µµ, c = εε µµ, c = εε µµ, 5. (2 Pkt.) Die (quellfreie) Helmholtzgleichung für das komplexe Magnetfeld lautet 2 H + 1 H =, c 2 2 H + µµ H =, 2 H + k 2 H =, Unterschrift Student/-in: 5

6 6. (3 Pkt.) Das komplexe elektrische Feld einer y-polarisierten und in z-richtung propagierenden monochromatischen ebenen Welle lautet E(r) = E 1 e ikx, E(r) = E 1 e iky, E(r) = Re{E 1 e i(kx ωt) }, 7. (2 Pkt.) Für die komplexen elektrischen und magnetischen Felder einer ebenen Welle gilt E H = k, E H =, E H = 1 n E 2, 8. (3 Pkt.) Für das komplexe magnetische Feld einer ebenen Welle mit Wellenvektor k gilt H(r) = 1 iωµ µ k E(r), H(r) = 1 ωµ µ E(r), H(r) = 1 ωµ µ k E(r), 9. (3 Pkt.) Betrachten Sie das komplexe elektrische Feld E(r) = (i + 1)E e ikr mit E R 3. Wie lautet das dazugehörige reelle Feld? E(r, t) = E [cos(kr ωt) sin(kr ωt)], E(r, t) = E [cos(kr + ωt) + sin(kr ωt)], E(r, t) = E [ cos(kr ωt) + sin(kr ωt)], 1. (3 Pkt.) Betrachten Sie das komplexe elektrische Feld E(r) = (i + 1)E e ikr mit E R 3 im Vakuum. Wie lautet die Intensität in der Ebene z =? I(z = ) = 1 Z E 2, I(z = ) = 1 2Z E 2, I(z = ) = 1 2Z E 2 cos(kx), 6

7 11. (5 Pkt.) Wie lautet das komplexe elektrische Feld einer in der xz-ebene unter dem Winkel α zur z-achse propagierenden ebenen Welle, die in der xz-ebene polarisiert ist? x k α z cos α E = E sin α e ik(x sin α+z cos α), cos α E = E e ik(x sin α+z cos α), sin α cos α E = E e ik(x sin α+z cos α), sin α 12. (2 Pkt.) Eine in der xz-ebene unter dem Winkel α zur z-achse propagierende ebenen Welle, die in der xz-ebene polarisiert ist, ist bezüglich einer Grenzfläche in der Ebene z = s-polarisiert, p-polarisiert, i-polarisiert, 13. (2 Pkt.) Die Wellengleichung im Vakuum lautet 2 E(r, t) µ ε 2 t 2 E(r, t) =, 2 E(r, t) + 1 c 2 2 t 2 E(r, t) =, 2 E(r, t) + k 2 2 E(r, t) =, t 2 Unterschrift Student/-in: 7

8 14. Betrachten Sie eine ebene Welle vom Typ E(r) = E e ikz (a) (2 Pkt.) Für E = (i, i, ) T gilt die Welle ist linear polarisiert, die Welle ist zirkular polarisiert, die Welle erfüllt die Maxwell schen Gleichungen nicht, (b) (2 Pkt.) Für E = (, 1, 1) T gilt die Welle ist linear polarisiert, die Welle ist zirkular polarisiert, die Welle erfüllt die Maxwell schen Gleichungen nicht, (c) (2 Pkt.) Für E = (1 + i, 1 i, ) T gilt die Welle ist linear polarisiert, die Welle ist zirkular polarisiert, die Welle erfüllt die Maxwell schen Gleichungen nicht, 15. (4 Pkt.) Ein elektromagnetischer Puls propagiere im Vakuum in positive x-richtung und sei y-polarisiert. Zum Zeitpunkt t = laute die y-komponente des Feldes E y (x, t = ) = E a 2 (x x ) 2 γ 2 cos(kx). Zu einem beliebigen Zeitpunkt t lautet die y-komponente des Feldes E y (x, t) = E y (x, t) = E a 2 [x (x +ct)] 2 γ 2 cos(kx kct), E a 2 [x (x ct)] 2 γ 2 cos(kx + kct), E E y (x, t) = a 2 [x (x e i(kx ωt), +ct)] 2 γ 2 8

9 16. Eine ebene Welle propagiere unter dem Winkel α zur x-achse auf eine Grenzfläche bei x = zu. Im Bereich x > sei der Brechungsindex n 2, im Bereich x < sei er n 1 < n 2. Es entsteht eine reflektierte Welle mit Wellenvektor k refl und eine gebrochene Welle mit Wellenvektor k refr, wie unten skizziert. n 2 n 1 k in x α γ β k refr k refl z (a) (2 Pkt.) Es gilt α > β, α < β, α = β, (b) (2 Pkt.) Es gilt α > γ, α < γ, α = γ, (c) (2 Pkt.) Es kommt zu Totalreflexion wenn gilt α > arcsin (n 2 /n 1 ), α > arcsin (n 1 /n 2 ), α > arcsin (n 2 n 1 ), (d) (2 Pkt.) Wir bezeichnen die x-komponente des Vektors k mit k x. Es gilt k in,x = k refl,x, k in,x = (n 1 /n 2 )k refl,x, k in,x = (n 2 /n 1 )k refl,x, (e) (2 Pkt.) Wir bezeichnen die z-komponente des Vektors k mit k z. Es gilt k in,z < k refr,z, k in,z = (n 2 /n 1 )k refl,x, k in,z = k refr,z, Unterschrift Student/-in: 9

10 17. An Grenzflächen gilt allgemein aufgrund der Randbedingungen in Abwesenheit von Oberflächenladungen und -strömen (a) (2 Pkt.) (b) (2 Pkt.) Parallel- und Normalkomponente des H-Feldes sind an Grenzflächen erhalten, die Parallelkomponente des H-Feldes ist an Grenzflächen erhalten, die Normalkomponente des H-Feldes ist an Grenzflächen erhalten, Parallel- und Normalkomponente des E-Feldes sind an Grenzflächen erhalten, die Normalkomponente des E-Feldes ist an Grenzflächen erhalten, die Parallelkomponente des E-Feldes ist an Grenzflächen erhalten, 18. Eine z-polarisierte Welle propagiere entlang der x-achse durch ein dielektrisches Material (ohne freie Oberflächenladungen oder Ströme) mit Brechungsindex n 1 und treffe in der Ebene x = d/2 auf ein Material mit Brechungsindex n 2, das sich bis zur Ebene x = d/2 erstrecke. Es bezeichne k i die Wellenzahl im Medium i. Alle Felder seien von der Gestalt E i e ik ir mit E i = const. und Orientierung wie in folgender Skizze. Die einfallende Welle habe die komplexe Amplitude E in, die reflektierte Welle Amplitude E ref, die transmittierte Welle E t. Die in der Schicht in positive x-richtung propagierende Welle habe die komplexe Amplitude E FW, jene in negative x-richtung propagierende die komplexe Amplitude E BW. x E t k t n 1 d y k FW E FW E BW n 2 k BW E ref k in n 1 z E in k ref (a) (4 Pkt.) Es gilt aufgrund der Randbedingungen E FW e ik 2d/2 + E in e ik 1d/2 = E BW e ik 2d/2 + E ref e ik 1d/2, E FW e ik 2d/2 + E BW e ik 2d/2 = E in e ik 1d/2 + E ref e ik 1d/2, E FW + E BW = E in + E ref, (b) (4 Pkt.) Es gilt aufgrund der Randbedingungen mit der Wellenimpedanz Z i im Medium i { 1 Z EFW 2 e ik2d/2 + E BW e ik 2d/2 } = 1 { Z Ein 1 e ik1d/2 + E ref e ik 1d/2 }, { 1 Z EFW 2 e ik2d/2 E BW e ik 2d/2 } = 1 { Z Ein 1 e ik1d/2 E ref e ik 1d/2 }, 1 Z 2 {E FW + E BW } = 1 Z 1 {E in + E ref }, 1

11 Notizblatt. Wird nicht bewertet! 11

12 12 Notizblatt. Wird nicht bewertet!