Klausur Theoretische Elektrotechnik A Aufgabe 1 (25 Punkte)

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1 Klausur A Aufgabe 1 25 Punkte) 1. Leiten Sie die Wellengleichung für eine eindimensionale ebene Welle mit x = y = ) aus den Maxwellschen Gleichungen für den zeitharmonischen Fall her. Betrachtet wird zunächst Vakuum κ = ). Mit den gegeben Vereinfachungen folgt für Maxwell- Gleichungen in Differentialform: rot E = jωµ H 1) rot H = jωεe 2) z E y = jωµh x z H x = jωεe y 3) z E x = jωµh y z H y = jωεe x 4) Die Komponentenpaare {E x,h y } und {E y,h x } bilden jeweils eine unabhängige Lösung. Sie bilden die beiden möglichen Polarisationen einer ebenen Welle. Durch Elimination einer der Feldkomponenten innerhalb der Komponentenpaare erhält man eine gewöhnliche Differentialgleichung vom Typ einer Helmholtz-Gleichung: ) 2 z 2 + ω2 µε fz) = 5) Wie lassen sich Leitfähigkeitsverluste berücksichtigen? Leitfähigkeitsverluste lassen sich mit einer komplexen Permittivität berücksichtigen ε = ε + κ jω 6) Geben Sie die Zeitbereichsdarstellung der Lösung der skalaren Wellengleichung an. Lösung der Helmholtz-Gleichung ist eine Superposition zweier Exponentialfunktionen fz) =C 1 e pz + C 2 e +pz 7) Mit p = α+jβ = jk ergibt sich exemplarisch für die Zeitbereichsdarstellung einer E x -polarisierten Welle E x z,t) =C 1 cosωt kz)e αz + C 2 cosωt + kz)e +αz 8) H y z,t) = 1 Z C 1 cosωt kz)e αz + C 2 cosωt + kz)e +αz ) 9) 2. Gegeben sei die Welle Ez) = e x A e jkz + e y B e jkz. Geben Sie Bedingungen an die Faktoren A und B an, so dass die Welle... a)... linear polarisiert ist. arga )=argb ) 1) b)... zirkular polarisiert ist. A = B arga ) argb )=± 2 11)

2 Klausur A Aufgabe 1 25 Punkte) c)... elliptisch polarisiert ist. A B arga ) argb ) ± 2 12) 3. Geben Sie den Zusammenhang zwischen elektrischem und magnetischem Phasor einer ebenen Welle an. Wie lautet der allgemeine Zusammenhang? H = 1 Z n E) 13) bzw. die Maxwellschen Gleichungen rot E = jωµ H 14) rot H = jωεe. 15) Für die folgenden Teilaufgaben sei eine Welle gegeben, mit dem Phasor des elektrischen Feldes Ez) =E e jkz e x. 16) 4. Wie hängen Wellenvektor, Wellenzahl, Phasen- und Dämpfungskonstante voneinander ab? Die komplexe Wellenzahl k enthält die Leitungsverluste aus ε mit k = ω µε 17) und lässt sich in die Phasenkonstante oder Ausbreitungskonstante) β = R{k} 18) und in die Dämpfungskonstante α = I{k} 19) aufspalten. Der Wellenvektor zeigt in Ausbreitungsrichtung der Welle. Es gilt k = kx e x + k y e y + k z e z 2) 5. Geben Sie das elektrische Feld der Welle im Zeitbereich an. Ez,t) =R{ E e jωt } = E cosωt R{k}z)e I{k}z 21) 6. Geben Sie die Phase, die Periodendauer und die Amplitude der Welle an. Die Phase ist das Argument der Kosinusfunktion im Zeitbereich. Also: ϕ = ωt kz 22) Die Periodendauer ist definiert als T = 2 ω. Die Amplitude der Welle ist Ez) e αz.

3 Klausur A Aufgabe 1 25 Punkte) 7. Skizzieren Sie a) die Zeitabhängigkeit der elektrischen Feldstärke an der Stelle z =. b) die elektrische Feldstärke in Abhängigkeit von z für den Zeitpunkt t =. Beschriften Sie die Achsen. E a) b) E pi 2 pi 3 pi 4 pi 5 pi 8. Geben Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle sowie den FeldwellenwiderstandinAbhängigkeit von der Permittivität an. v gr = ω 23) k z µ Z = 24) ε 9. Geben Sie die Phasengeschwindigkeit und Wellenlänge in Abhängigkeit von der Phasenkonstante, sowie die Energiegeschwindigkeit an. v ph = ω β λ = 2 β 25) 26) v E = S w e + w m bzw. v E = R{ S} w e + w m 27) 1. Was verstehen Sie unter Dispersion? Dispersion wurde in der TET-A als Effekt einer Leitung definiert, der zu einer Pulsverzerrung führt.

4 Klausur A Aufgabe 2 25 Punkte) 1. Für das elektrische Feld des TE 2 -Modes gilt E z =, und das transversale Feld zeigt 2 Sinus- Halbbögen in x-richtung: Es besitzt daher nur eine y-komponente. Es gilt also: mit der Separationsbedingung 2 L )2 + k 2 z = k2. E = E y e y mit E y = E sin 2x L e jkzz 28) Das magnetische Feld folgt aus dem Induktionsgesetz: H = 1 jωµ rot E = 1 jωµ e x e y e z x jk z E y 29) H x = k z ωµ E y 3) H z = E k x jωµ cos 2x L e jkzz 31) 2. Das Verhältnis zwischen transversalem elektrischem und magnetischem Feld ist die Feldwellenimpedanz Vorzeichen aus Rechte-Hand-Regel oder einfach Betrag bilden.) 3. Die beiden Wellen besitzen die Wellenvektoren Z F = E y H x = ωµ k z. 32) k1 = k cos Φ e x +sinφ e z ), k2 = k+ cos Φ e x +sinφ e z ). 33) Wegen des Brechungsgesetzes Φ e =Φ r muss nur ein Winkel angesetzt werden, der zum Lot hin gezählt wird. Die Vorzeichen sind so gewählt, dass die in der Skizze gezeigten Ausbreitungsrichtungen gelten Welle 1 von oben links, Welle 2 von unten links). k = ω εµ ist die Wellenzahl. k1 e r k2 x y z Setzt man die Amplituden der Wellen mit E 1 = E 1 e y und E 2 = E 1 e y an Reflexionsfaktor 1 am elektrischen Halbraum), so ergibt sich: E 1 = E 1 e j k 1 r e j k 2 r ) e y 34) = E 1 e jk cos Φ x+sin Φ z) e jkcos Φ x+sin Φ z) ) e y 35) = E 1 e jk sin Φ z e jk cos Φ x e jk cos Φ x ) e y 36) = 2jE 1 e jk sin Φ z sink cos Φ x) e y 37)

5 Klausur A Aufgabe 2 25 Punkte) Um das oben angegebene Feld zu erhalten, muss also gelten: 2 2jE 1 = E k sin Φ = k z = k cos Φ 38) L Die letzte Beziehung ist die gesuchte Bedingung an den Winkel Φ, aus der zweiten folgt dann die oben bereits genannte Separationsgleichung. 4. Aus der Separationsbedingung folgt die Dispersionsbeziehung k z = ω c )2 2 L )2. 39) Die Cutoff-Frequenz folgt aus der Forderung k z =zu f c = c L 3 18 m/s.1m =3GHz. 4) k/m ) v ph 6 TEM 4 2 v g TE 1 TE f/ghz Zur graphischen Ermittlung der Geschwindigkeiten zeichnet man die Ursprungsgerade Phasengeschwindigkeit) bzw. Tangente Gruppengeschwindigkeit) im Arbeitspunkt f =4.5 GHz.Im dargestelltem Diagramm k z ω) muss die Steigung abgelesen und invertiert werden. Wahlweise: Steigung im Diagramm ωk z ).) 5. Moden mit kleinerem Cutoff sind der TE 1 -Mode f c =1.5 GHz) und der TEM-Mode f c =). Außerdem existiert im Gegensatz zum Hohlleiter) auch ein TM 1 -Mode, da in y-richtung keine Randbedingungen eingehalten werden müssen. Kein Punkt dafür).

6 Klausur A Aufgabe 3 25 Punkte) 1. Der Potentialansatz für die transversale Feldverteilung lautet wegen / ϕ = und für eine Welle in +z-richtung): E = gradφ e jβz mit Φϱ) = 1 d ϱ dv ) = 41) ϱ dϱ dϱ Zweimaliges Integrieren gibt die Lösung für das Potential und damit für das Feld: Φϱ) =C 1 ln ϱ + C 2 42) E = gradφ e jβz = C 1 ϱ e jβz e ϱ. 43) Das magnetische Feld berechnet man aus dem Induktionsgesetz: mit Z = µ/ε. Die Spannung Uz) ist Uz) = Für den Strom Iz) gilt: Iz) = H = 1 jωµ rot E =...= 1 C 1 Z ϱ e jβz e ϕ. 44) b a 2 E ϱ ϱ, z)dϱ = C 1 e jβz H ϕ ϱ, z) ϱdϕ = C 1 Z e jβz Dies führt zur Leitungsimpedanz nicht gefragt): 2. Aufteilung in 2 Teilbereiche: b a 2 d ϱ = C 1e jβz ln b a. 45) dϕ = 2C 1 Z e jβz. 46) Z L = Uz) Iz) = Z 2 ln b a. 47) z<: z>: E ϱ = E i ϱ H ϕ = E i Z 1 ϱ e jβ 1z + re +jβ 1z ) e jβ 1z re +jβ 1z ) 48) E ϱ = E i ϱ te jβ 2 z H ϕ = E i Z 2 ϱ te jβ 2 z 49) Im verlustbehafteten Raumteil z>sinddabeisowohlβ 2 = ω εµ als auch Z 2 = µ 2 /ε 2 komplex, man setzt dazu ε 2 = ε 2 + κ jω.

7 Klausur A Aufgabe 3 25 Punkte) Aus den Stetigkeitsbedingungen bei z = und für alle ϱ) folgt das Gleichungssystem zur Berechnung des elektrischen und des magnetischen Feldes: Daraus die bekannten Formeln für Reflexion und Transmission: E i ϱ 1 + r) =E i ϱ t E i Z 1 ϱ 1 r) = E i Z 2 ϱ t 5) r = Z 2 Z 1 Z 2 + Z 1, t = 2Z 2 Z 2 + Z 1. 51) 3. Näherung für die komplexe Ausbreitungskonstante im Raum z>: β 2 = ω µε 2 + κ jω )=ω µε 2 1 j κ ω κ µε 2 1 j ). 52) ωε 2 2ωε 2

8 Klausur A Aufgabe 4 25 Punkte) 1.) Hx, y, z) =rota = A e x k y sink x x)cosk y y) e y k x cosk x x)sink y y)) }{{} = g t jk e zz Ex, y, z) = 1 roth jωε = A jk z ) e x k x cosk x x)sink y y)+ e y k y sink x x)cosk y y)) i jωε i }{{} + e z k 2 y sink x x)sink y y)+kx 2 sink xx)sink y y) ) ) e jkzz }{{} = f z = f t Aus den Randbedingungen e x E =, x=,a e y E = y=,b folgt k x = n a, k y = m b mit n =1, 2, 3..., m=1, 2, ) Mit Hilfe der Dispersionbeziehung n kz 2 = ω2 µε 1 a lässt sich der Ausdruck ω c = 1 µε1 n a für die cut-off Frequenzen bestimmen. Mit b =2/3a folgt: ω c = ) 2 m ) 2 b ) 2 m ) 2 + b a µε 1 n 2 +9/4m 2 Damit nur ein TM-Mode ausbreitungsfähig ist muss die Frequenz ω im Bereich liegen. Somit gilt für die Kantenlänge a: a µε 1 1+9/4 <ω < ω µε1 1+9/4 <a< a µε 1 4+9/4 53) ω µε1 4+9/4

9 Klausur A Aufgabe 4 25 Punkte) 3.) Aus 53) ergibt sich mit ε 1 <ε 2 : ε1 < ε 2 < aω µ 4+9/4 4.) e z E = 54) z= c,d e z E2 E 1 ) e z H2 H 1 ) z= z= = 55) = 56) 5.) Ansatz mit hin- und rücklaufender Welle jeweils in beiden Teilräumen i =1, 2, z i = c, d). H i x, y, z) = g t A + i e jkzz z i) + A i ejkzz z i) ) E i x, y, z) = k zi ωε i ft A + i e jk ziz z i ) + A i ejk ziz z i ) ) + 1 jωε i fz A + i e jk ziz z i ) + A i ejk ziz z i ) ) Aus 54) folgt: H i x, y, z) = g t A i 2cosk zi z z i )) E i x, y, z) = j2k zi ωε i ft A i sink zi z z i )) + 2 jωε i fz A i cosk zi z z i )) Aus 55) folgt: Aus 56) folgt: k z1 ε 1 A 1 sink z1 c)= k z2 ε 2 A 2 sink z2 d) 57) A 1 cosk z1 c)=a 2 cosk z2 d) 58) Teilt man 57) durch 58) erhält man die Eigenwertgleichung k z1 ε 1 tank z1 c)= k z2 ε 2 tank z2 d)