14. Zeitlich beliebig veränderliche Felder II (Homogene Wellengleichung)

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1 14. Zeitlich beliebig veränderliche Felder II (Homogene Wellengleichung) Dieses Kapitel behandelt Felder in Gebieten, in denen keine Ladungen und Ströme als Quellen existieren. Ströme in leitenden Materialien, die über das Ohm sche Geset mit der elektrischen Feldstärke E verbunden sind, seien selbstverständlich möglich. Die Quellen, die die Felder ereugen, liegen außerhalb des betrachteten Gebietes, typischerweise im Unendlichen. Eventuell vorhandene Materialien seien linear, eitunabhängig und örtlich umindest stückweise konstant. Unter diesen Umständen wird aus den Maxwell schen Gleichungen (I) H = κe + ε E t (II) E = μ H t (III) E =0 (14.1) (IV) H =0. Die einfachste Lösung dieser Gleichungen sind ebene Wellen im freien Raum. An Trennschichten wischen wei Materialien werden diese reflektiert und gebrochen. Unter Ausnutung des Reflexionsverhaltens wird die geführte Wellenausbreitung längs einer dielektrischen Platte und in einer Parallelplattenleitung hergeleitet. Im Dreidimensionalen wird die Wellengleichung durch Separation gelöst und man erhält Wellen im Rechteck- und Rundhohlleiter sowie stehende Wellen in Resonatoren. Abschließend werden Kugelwellen behandelt, welche die natürliche Form darstellen für Wellen, die durch endlich ausgedehnte Quellen ereugt werden Homogene Wellengleichung Die Wellengleichung beschreibt die Ausbreitung eines bestimmten Zustandes mit konstanter Form und konstanter Geschwindigkeit v. Als Beispiel sei ein eindimensionaler Vorgang in kartesischen Koordinaten betrachtet, Abb H. Henke, Elektromagnetische Felder, DOI / _15, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

2 Zeitlich beliebig veränderliche Felder II (Homogene Wellengleichung) f f(, 0) f(, t) v Abb Zustand f, dersichin -Richtung ausbreitet Offensichtlich ist der Zustand an der Stelle und um Zeitpunkt t derselbe wie der um vt in negative -Richtung verschobene Zustand u dem früheren Zeitpunkt t =0 f(,t)=f( vt, 0). Jede Funktion mit dem Argument vt erfüllt dies. Ist das Argument +vt, so breitet sich der Zustand in negative -Richtung aus. Die Funktionen f( vt), g( + vt) (14.2) beschreiben demnach Wellenvorgänge und müssen die Wellengleichung erfüllen. Sie heißen d Alembert sche Lösungen. Natürlich handelt es sich hier um eine mathematische Idealisierung. Jedes reale Medium hat Verluste und die Amplitude des Vorganges nimmt ab. Sehr oft ist auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit v von der eitlichen Änderung der Felder,.B. der Frequen, abhängig, und die Form des Zustandes verändert sich im Laufe der Ausbreitung. Am anschaulichsten lässt sich die Wellengleichung für eine schwingende Saite herleiten. y ϱ S β α S + Δ Abb Differentiell kleines Stück einer schwingenden Saite mit Massenbelegung ϱ und Spannung S Die Saite habe eine Masse ϱ pro Längeneinheit, eine Spannung S und es seien nur kleine Auslenkungen ugelassen. Dann gilt für ein kleines Stück Δ der Saite, Abb. 14.2, die transversale Kraftgleichung ΔK y = S sin α S sin β = ϱδ 2 y t 2.

3 14.1 Homogene Wellengleichung 299 Bei kleinen Auslenkungen und nicht u starker Krümmung sind die Winkel α und β klein und sin β ist ungefähr gleich tan β = y/, sodass ( y ΔK y = S y ) = S 2 y +Δ 2 Δ. Die Kombination der beiden Gleichungen ergibt die Wellengleichung 2 y(,t) 2 1 v 2 2 y(,t) t 2 =0 mit v = S ϱ. (14.3) Es ist einfach u verifiieren, dass die Funktionen (14.2) die Wellengleichung (14.3) erfüllen und die allgemeine Lösung lautet y(,t)=f( vt)+g( + vt). (14.4) Anders als in der Diffusionsgleichung,.B. (12.20), tritt in der Wellengleichung die weite Zeitableitung auf. Daher ergibt eine Spiegelung der Zeit, t t, wieder dieselbe Gleichung und die ugehörigen Vorgänge sind reversibel. Ein in der Zeit rückwärts laufender Vorgang ist möglich und entspricht dem in entgegengesette Raumrichtung laufenden Vorgang. Elektromagnetische Felder genügen einer vektoriellen Wellengleichung. Nimmt man.b. die Rotation von (14.1 II) und sett (14.1 I) (hier mit κ = 0) sowie (14.1 III) ein ( E) = ( E) 2 E = μ t ( H) = με 2 E t 2, so erhält man die Wellengleichung für das elektrische Feld 2 E 1 2 E 1 c 2 =0 mit der Lichtgeschwindigkeit c = t2. (14.5) με Analog ergibt sich eine Wellengleichung für das magnetische Feld. Zusätlich ur Wellengleichung müssen die Felder noch die Bedingung der Divergenfreiheit, (14.1 III) und (14.1 IV), erfüllen. Die Lösung der vektoriellen Wellengleichung ist ein schwieriges Problem und es ist meist einfacher, die Felder von Potentialen abuleiten, die ihrerseits die Wellengleichung erfüllen. Der Ansat H = A (14.6) erfüllt (14.1 IV) und führt nach Einseten in (14.1 II) u ( E + μ A ) =0 t und somit u einem Ansat für E E = φ μ A t. (14.7)

4 Zeitlich beliebig veränderliche Felder II (Homogene Wellengleichung) Einseten von (14.6), (14.7) in die verbleibenden Maxwell schen Gleichungen (14.1 I,III) ergibt H = ( A) = ( A) 2 A = = ε E ( t = ε φ ) με 2 A t t 2 (14.8) E = 2 φ μ A =0. t Sowohl das Vektorpotential A als auch das Skalarpotential φ sind nicht eindeutig bestimmt, und man benutt diesen Freiheitsgrad bei der Bestimmung, um eine sogenannte Loren-Eichung 1 durchuführen A = ε φ t. (14.9) Dadurch werden die beiden Gleichungen in (14.8) entkoppelt und ergeben die Wellengleichungen (I) 2 φ 1 c 2 2 φ t 2 =0, c = 1 με, (II) 2 A 1 2 A c 2 =0. (14.10) t2 Die Lösung der vier Maxwell schen Gleichungen hat sich auf die Lösung von wei Wellengleichungen reduiert. In manchen Fällen erweist sich jedoch eine andere Vorgehensweise als weckmäßiger. Wegen (14.1 III und IV) macht man wei getrennte Ansäte (I) E H = A H mit A H = A H (r,t) e i, (II) H E = A E mit A E = A E (r,t) e i, (14.11) wobei A jeweils nur eine Komponente in Richtung des Einheitsvektors e i hat und A H, A E die beiden erforderlichen unabhängigen Lösungen darstellen. Ist i eine kartesische Koordinate oder die r-koordinate in Kugelkoordinaten, so erlaubt diese Vorgehensweise, die vektorielle Wellengleichung (14.10 II) in eine skalare Gleichung u überführen. Außerdem ist das Skalarpotential nicht mehr nötig, da nach Voraussetung die Felder als divergenfrei angenommen wurden und somit nach dem Helmholt schen Theorem 2 durch ihre Wirbel (14.11) voll bestimmt sind. Diese Vorgehensweise wird meist bei eitharmonischen Feldern in ylindrischen Koordinaten und in Kugelkoordinaten verwendet. In diesen Fällen sind die u (14.11) gehörenden, anderen Feldkomponenten besonders einfach aus (14.1 I und II) u berechnen jωμh H = E H = ( A H ), jωμe E = H E = ( A E ). (14.12) 1 Siehe.B Siehe 1.7

5 14.2 Ebene Wellen 301 Stellt die Koordinate i in (14.11) außerdem die Ausbreitungsrichtung der Wellen dar, so beeichnen die Indices E, H der beiden unabhängigen Lösungen sogenannte E- bw. H-Wellen. E-Wellen haben in Richtung e i nur eine E- und keine H-Komponente und H-Wellen nur eine H- und keine E- Komponente. E- bw. H-Wellen heißen in der englischsprachigen Literatur TM-Wellen (transverse magnetic) bw. TE-Wellen (transverse electric). Daneben gibt es noch TEM-Wellen (transverse electromagnetic), die weder eine E- nocheineh-komponente in Richtung der Ausbreitung besiten Ebene Wellen Ebene Wellen sind die einfachsten Lösungen der Wellengleichung. Sie sind nur von einer Ortskoordinate, die ugleich die Ausbreitungsrichtung angibt, abhängig. Betrachtet man u einem festen Zeitpunkt die Flächen gleichen Zustandes, so sind dies Ebenen (daher der Name ebene Wellen). Ihr natürliches Koordinatensystem sind die kartesischen Koordinaten und man wählt.b. die -Koordinate als Variable E = E(,t), H = H(,t). (14.13) Einseten von (14.13) in die beiden ersten Maxwell schen Gleichungen (14.1) ergibt H y = ε E x t, E x = μ H y t, H x = ε E y t, E y = μ H x t, (14.14) 0=ε E t, 0= μ H t. Die drei Zeilen von (14.14) sind untereinander nicht verkoppelt und es liegen drei Säte von unabhängigen Gleichungen vor. Die erste Zeile besteht aus einem Sat für E x und H y, die weite Zeile für E y und H x und die dritte Zeile beschreibt eitlich konstante Felder, die hier nicht weiter betrachtet werden. Da die weite Zeile aus der ersten durch Vertauschen E x H x, H y E y, μ ε, ε μ hervorgeht, genügt es, nur einen Sat u behandeln,.b. die erste Zeile. Differenieren und gegenseitiges Einseten führt auf die eindimensionale Wellengleichung.B. für H y 2 H y 2 1 c 2 2 H y t 2 =0, c = 1 με. (14.15) Die Lösung ist eine Linearkombination entsprechend (14.4)

6 Zeitlich beliebig veränderliche Felder II (Homogene Wellengleichung) H y = H + y ( ct)+h y ( + ct). (14.16) Die elektrischen Feldkomponenten gewinnt man durch Einseten von (14.16) in (14.14) E ( ) x = μc H y + H E x y, = 1 ( ) H + y + H t ε y und anschließender Integration E x = μc ( H + y H y ) + f(t), Ex = 1 ( H + εc y Hy ) + g(). Ein Vergleich eigt, dass die Integrationsfunktionen f und g gleich und somit konstant sein müssen und, da hier nur eitlich veränderliche Felder interessieren, u null gewählt werden können. Somit lautet das elektrische Feld E x = E x + ( ct)+e x ( + ct) =ZH+ y ( ct) ZH y ( + ct), (14.17) wobei die Konstante μ Z = ε das Verhältnis E x + H y + = E x H y (14.18) = Z (14.19) angibt und Wellenwiderstand heißt. Die Geschwindigkeit c = 1 με (14.20) mit der sich die ebene Welle ausbreitet, ist ugleich die Lichtgeschwindigkeit in dem entsprechenden Medium. Im Vakuum ist c = c 0 = 1 [ ] 1/2 7 Vs 1 As 4π = m μ0 ε 0 Am 36π Vm s Z = Z 0 = μ0 ε 0 120π Ω = 377 Ω. (14.21) Aus (14.16), (14.17) ist ersichtlich, dass E x +, H y +, e und Ex, Hy, e jeweils ein Rechtssystem bilden. Allgemein gilt für ebene Wellen: Die elektrische Feldstärke E und die magnetische Feldstärke H stehen senkrecht ur Ausbreitungsrichtung. Die Welle ist rein transversal. Beeichnet der Einheitsvektor e a die Ausbreitungsrichtung, so bilden E +, H +, e a und E, H, e a Rechtssysteme.

7 14.2 Ebene Wellen 303 Die Feldstärken E +, H + und E, H liegen in einer Ebene. Ihre Beträge stehen in einem festen Verhältnis ueinander, welches den Wellenwiderstand darstellt. Flächen konstanten Argumentes, x a ± ct =const., mit der Koordinate x a in Ausbreitungsrichtung, sind Ebenen Feldpuls Als erstes Beispiel sei ein ebener Feldpuls behandelt. Er entsteht.b. durch eine Flächenladung, die impulsartig auf eine Geschwindigkeit v gebracht wird und einen Flächenstrom { 0 für t<0 J F = q F v [h(t) h(t T )] e x, h(t) = 1 für t 0, ereugt. Der Strom verursacht ein Magnetfeld und dieses durch Induktion ein elektrisches Feld. Auf beiden Seiten des Stromes entsteht ein Feldpuls, der von der Quelle wegläuft. Die Amplitude folgt aus dem Durchflutungssat mit einem Umlauf wie in Abb. 14.3a H + y ( =+0)Δy + H y ( = 0)Δy = J Fx Δy, wobei die umlaufende Fläche so klein gewählt wurde (δ 0), dass der sie durchsetende Verschiebungsstrom verschwindet. J Fx a) δ b) E x x J Fx E + x H y Δy y S H + y c H y y H + y c Abb (a) Flächenstrom J Fx und Umlauf S. (b) Ebene Feldpulse Wegen der Symmetrie der Anordnung ist ferner H + y ( =+0)= H y ( = 0) und somit H + y ( =+0)= 1 2 J Fx = 1 2 q F v [h(t) h(t T )]. Die beliebige Funktion H y + muss also für +0 in eine Impulsfunktion übergehen. Ferner kann man anstelle von ct auch das Argument t /c benuten, da (14.15) durch die Transformation

8 Zeitlich beliebig veränderliche Felder II (Homogene Wellengleichung) /c, t t/c in sich selbst übergeht. Offensichtlich ist daher die Lösung H + y = 1 2 q F v [h(t /c) h(t T /c)], E + x = ZH + y. (14.22) Dies ist ein rechteckiges Feldpaket der eitlichen Dauer T,dassichin- Richtung ausbreitet, Abb. 14.3b. Innerhalb des Paketes sind die Feldstärken E x, H y konstant, außerhalb verschwinden sie. Ein entsprechendes Paket läuft in negative -Richtung Zeitharmonische Welle Bei harmonischer Zeitabhängigkeit gilt / t = jω und aus (14.14) wird H y =(κ +jωε)e E x x, = jωμh y. Hier haben wir im Gegensat u (14.14) Verluste, κ 0, ugelassen. Differentiation und Einseten führt auf eine Helmholt-Gleichung für die magnetische Feldstärke H y 2 H y 2 + k2 H y =0 mit k = ω με ( 1 j κ ). (14.23) ωε Ihre Lösung lautet unter Berücksichtigung der Zeitabhängigkeit exp(jωt) H y = A e j(ωt k) + B e j(ωt+k) (14.24) und besteht wiederum aus in ±-Richtung laufenden Wellen. Die Amplituden A und B werden durch die Anregung festgelegt. Das ugehörige elektrische Feld folgt aus (14.19) u E x = Z [A e j(ωt k) B e j(ωt+k)] μ mit Z = ε(1 jκ/ωε). (14.25) Die komplexe Wellenahl k erlegt man in Real- und Imaginärteil k = ω με 1 j κ = β jα, (14.26) ωε wobei α = ω ( με 1 ) ( κ ) ωε (14.27) die Dämpfungskonstante ist und

9 14.2 Ebene Wellen 305 β = ω ( με 1 ) ( κ ) ωε (14.28) die Phasenkonstante. Die Dämpfungskonstante α bestimmt die durch die Verluste verursachte Abnahme der Felder. Die Phasenkonstante β legt die Ausbreitungsgeschwindigkeit und die Wellenlänge λ fest β( + λ) β =2π λ =2π/β. (14.29) a) x E-Feldlinien H-Feldlinien b) H y A λ e α e α cos(ωt β) Abb Momentanaufnahmen (t = 0) der Felder einer in -Richtung laufenden, ebenen Welle. (a) Feldlinien. (b) Amplitude des magnetischen Feldes um Zeitpunkt t =0 Das physikalische Feld ist der Realteil von (14.24), (14.25) und man erhält für das elektromagnetische Feld der vorwärts laufenden Wellen H + y = A e α cos(ωt β), E + x = ZAe α cos(ωt β). Es ist in Abb dargestellt. Die inverse Form von (14.28)

10 Zeitlich beliebig veränderliche Felder II (Homogene Wellengleichung) ω = ω(β) = 2β 2 c (2β)2 + κ 2 μ/ε (14.30) heißt Dispersionsrelation. Sie ist im Allgemeinen sehr unterschiedlich und hat auch verschiedene Ursachen. Typisch ist eine mit der Phasenkonstanten β unehmende Frequen, Abb ω ϕ tan ϕ = dω dβ δ tan δ = ω β β Abb Typische Dispersionsrelation Die Steigung der Geraden durch den Ursprung und einen Punkt der Kurve ω(β) v ph = ω(β) β (14.31) heißt Phasengeschwindigkeit. Dies ist die Geschwindigkeit, mit der sich Flächen konstanter Phase ausbreiten ωt β =const. d d (ωt β) =0=ω β dt dt d dt = v ph = ± ω β. Bei ebenen Wellen ist sie gleich der Lichtgeschwindigkeit. Die Steigung der Kurve ω(β) v g = dω dβ (14.32) heißt Gruppengeschwindigkeit. Sie gibt normalerweise die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Signalen und der elektromagnetischen Energie an. Die Definition einer Signalgeschwindigkeit macht nur Sinn, wenn die Bandbreite des Signals schmal genug ist, so dass die Relation β(ω) am Arbeitspunkt β 0 linearisiert werden kann. Dies kann man sich am einfachsten an Hand eines Signals klarmachen, welches nur aus wei Frequenen besteht

11 14.2 Ebene Wellen 307 ω 1 = ω 0 + Δω, ω 2 = ω 0 Δω, β 1 β 0 + β ω Δω ω0 β 2 β 0 β ω Δω. ω0 Die Summe (Überlagerung) der beiden Felder gibt E = E 0 e j(ω1t β1) + E 0 e j(ω2t β2) = [ β jδω(t E 0 e ) β ω jδω(t +e =2E 0 cos [ Δω ( t β ω )] ω e j(ω0t β0) = )] e j(ω0t β0), d.h. der hochfrequente Teil (Träger) hat die Phasengeschwindigkeit v ph = ω 0 /β 0 und das Signal (hier Schwebung) breitet sich mit der Gruppengeschwindigkeit v g = ω/ β aus. Im verlustfreien Medium (κ = 0) gilt α =0, β = ω με = ω/c = k, v ph = v g = c. (14.33) Die Amplitude bleibt konstant und die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit sind unabhängig von der Frequen. In Medien mit geringen Verlusten ist κ ωε = 1 1 ωt r und somit α κ μ, β ω με = ω, v ph v g c. (14.34) 2 ε c Die Welle ist schwach gedämpft und breitet sich annähernd mit der gleichen Geschwindigkeit wie in verlustfreien Medien aus. In gut leitenden (metallischen) Medien ist κ ωε = 1 1 ωt r und 1 α β 2 ωκμ = 1 2ω, v ph δ S μκ = ωδ S = 1 2 v g. (14.35) Das Feld klingt in einem Abstand von δ S auf 1/e-tel ab und hat eine sehr kure Wellenlänge λ =2πδ S und eine niedrige Geschwindigkeit. Von Interesse ist noch der Fall, dass sich die ebene Welle in eine beliebige Richtung, beschrieben durch den Einheitsvektor e a, ausbreitet. Man definiert dann einen Wellenvektor k = k e a (14.36)

12 Zeitlich beliebig veränderliche Felder II (Homogene Wellengleichung) und die Ebenen konstanter Phase, die senkrecht auf dem Einheitsvektor e a stehen, ergeben sich aus dem Punktprodukt mit dem Ortsvektor k r =const., Abb Die Felder lassen sich in der kompakten Form H = H 0 e j(ωt k r), E = Z(H e a ) (14.37) schreiben. y Ebenen konstanter Phase r e a k = k e a r x Abb Ebenen konstanter Phase einer in Richtung des Einheitsvektors e a laufenden, ebenen Welle Energie. Impuls Eine ebene Welle, (14.37), hat nach (13.11), (13.12) eine mittlere Energiedichte von w = w e + w m = ε 4 E 2 + μ 4 H 2 = 1 2 μ H 0 2 (14.38) und transportiert nach (13.15) im Mittel pro Einheitsfläche die Leistung S =Re{S k } = 1 2 Re{E H } = 1 2 Z H 0 2 e a. (14.39) Die elektrische Energiedichte ist gleich der magnetischen, sowohl im eitlichen Mittel als auch u jedem Zeitpunkt. Die Energiegeschwindigkeit v E = S w = 1 με = v g = c (14.40) ist gleich der Gruppengeschwindigkeit und gleich der Lichtgeschwindigkeit. Entsprechend (13.28) besitt die Welle eine mittlere Impulsdichte von p em =Re{μεS k } = μ 2c H 0 2 e a. (14.41) Trifft die Welle auf einen perfekten Absorber auf, so gibt sie ihren Impuls an den Absorber ab. Der in einer Zeitspanne Δt = Δs/c auf die Fläche F übertragene Impuls ist

13 14.2 Ebene Wellen 309 Δp = p em FΔs = p em FcΔt und die Welle übt einen Strahlungsdruck σ = K F = 1 Δp F Δt = cp em = 1 2 μ H 0 2 (14.42) auf die Fläche aus. Im Falle eines perfekten Reflektors ist der Strahlungsdruck doppelt so groß, da die reflektierte Welle eine gleich große aber entgegengesett gerichtete Impulsdichte wie die einfallende Welle hat. Qualitativ lässt sich der Strahlungsdruck durch die Elektronen in der Oberfläche erklären. Das elektrische Feld der Welle bewegt die Elektronen und über ihre Bewegung im magnetischenfeldentstehteinekraft Polarisation des Feldes Betrachtet man die Spite des elektrischen Feldvektors einer ebenen Welle in einer festen Ebene senkrecht ur Ausbreitung und war in Ausbreitungsrichtung gesehen, so durchläuft diese eine Gerade, Abb. 14.7a. Man sagt die Welle ist linear polarisiert. Die Richtung der Geraden ist die Polarisationsrichtung. a) y b) y c) y E y E y x E x x E x x E x Abb Elektrischer Feldvektor in der Ebene = 0füreinein-Richtung laufende, (a) linear, (b) irkular und (c) elliptisch polarisierte Welle Als nächstes betrachten wir die Überlagerung weier senkrecht ueinander polarisierter, ebener Wellen gleicher Frequen. Ihre Amplituden seien gleich groß, E 01 = E 02 = E 0 und es bestehe ein Phasenunterschied von ±π/2 wischen den Wellen. Der resultierende elektrische Feldvektor in der Ebene =0 ( E = E 01 cos ωt e x + E 02 cos ωt ± π ) e y = E 0 [cos ωt e x sin ωt e y ] 2 beschreibt mit seiner Spite einen Kreis. Die Welle ist irkular polarisiert, Abb. 14.7b. Das obere Voreichen gehört u einer links irkular polarisierten Welle (Umlauf gegen den Uhreigersinn), das untere Voreichen u einer

14 Zeitlich beliebig veränderliche Felder II (Homogene Wellengleichung) rechts irkular polarisierten Welle (Umlauf im Uhreigersinn). Sind die Amplituden unterschiedlich, E 01 E 02 oder ist der Phasenunterschied ungleich ±π/2, beschreibt die Spite des resultierenden Feldvektors eine Ellipse, Abb. 14.7c. Die Welle heißt elliptisch polarisiert Doppler-Effekt Bei elektromagnetischen Wellen wie auch bei den Schallwellen gibt es den Doppler-Effekt (nach C. Doppler, ), d.h. eine Quelle, die sich auf den Empfänger ubewegt, erscheint mit höherer Frequen als die Sendefrequen und eine Quelle, die sich vom Empfänger wegbewegt, erscheint mit niedrigerer Frequen. Gegeben sei ein Sender, der eine ebene Welle der Frequen f abstrahlt und sich mit der Geschwindigkeit v relativ u einem Empfänger bewegt, Abb v vδt r Sender α r Empfänger Abb Geometrie ur Berechnung des Doppler-Effektes Zum Zeitpunkt t = 0 befinde sich der Sender im Abstand r vom Empfänger. Die Welle, die er u diesem Zeitpunkt aussendet, erreicht den Empfänger um Zeitpunkt t 1 = r/c 0. Ein Intervall Δt später befindet sich der Sender um eine Strecke vδt versett und die Welle, die er dann aussendet, erreicht den Empfänger um Zeitpunkt t 2 = Δt + r = Δt + 1 r2 +(vδt) c 0 c 2 2rvΔt cos α 0 Δt + r ( 1 v ) c 0 r Δt cos α für vδt r. Somit ist das Intervall, das der Empfänger wischen den beiden empfangenen Wellen mißt ( Δt = t 2 t 1 = Δt 1 v ) cos α. c 0 Entspricht nun das Zeitintervall Δt genau einer Periode des gesendeten Signals, Δt =1/f, dann ist die Periode der empfangenen Wellen T = Δt und ihre Frequen

15 14.3 Rand- und Stetigkeitsbedingungen 311 f = 1 Δt 1 ( 1+ v ) ( cos α = 1+ v ) cos α f (14.43) Δt c 0 c 0 für v c 0. Die Formel ist eine Näherungsformel, um einen wegen der gemachten Näherungen und um anderen wegen der Annahme einer vom Sender abgestrahlten ebenen Welle, wodurch Werte für den Winkel α in der Nähe von π/2 aususchließen sind. Dennoch eigt die Formel klar, dass für einen sich annähernden Sender, 0 <α<π/2, die empfangene Frequen erhöht ist und für einen sich entfernenden Sender, π/2 <α<π, erniedrigt. Der Effekt findet vielseitige Anwendung. Man mißt.b. die Fluchtgeschwindigkeit von Sternen durch die Rotverschiebung (Frequenerniedrigung) des von ihnen ausgesendeten Lichtes. Natürlich gibt es denselben Effekt auch, wenn der Sender in Ruhe ist und der Empfänger sich bewegt (so wird.b. die Geschwindigkeit von vorbeifahrenden Fahreugen gemessen) Rand- und Stetigkeitsbedingungen Die Stetigkeitsbedingungen an Trennflächen folgen aus den Maxwell schen Gleichungen in Integralform. Für die Tangentialkomponenten verwendet man die beiden ersten Gleichungen ˆ H ds = J df + d ˆ D df dt S F E ds = d ˆ B df S dt F mit dem Umlauf S und der Fläche F wie in Abb. 14.9a. F 1 a) b) n c) Δs S F 2 ΔF 1 V 2 F 1 F 2 J F h 0 h 0 ΔF S S q F Abb Zur Herleitung der Stetigkeitsbedingungen. (a) Umlauf S und eingeschlossene Fläche F. (b) Oberfläche O und eingeschlossenes Volumen V. (c) Umläufe S bei nicht vorhandener Flächenstromdichte und Flächenladungsdichte J F = q F =0 Man erhält

16 Zeitlich beliebig veränderliche Felder II (Homogene Wellengleichung) n (H 1 H 2 )=J F, E t1 = E t2. (14.44) Dabei wurde durch den Grenübergang h 0 gewährleistet, dass der Verschiebungsstrom und der magnetische Fluss, die die Fläche F durchseten und stetig sind, verschwinden. Zur Herleitung der Bedingungen für die Normalkomponenten verwendet man die dritte und vierte Maxwell sche Gleichung ˆ D df = q V dv, B df =0 O V O mit der Oberfläche O und dem eingeschlossenen Volumen V wie in Abb. 14.9b. Man erhält D n1 D n2 = q F, B n1 = B n2. (14.45) Das Integral über die stetige Raumladung verschwindet wegen des verschwindenden Volumens, h 0. Befinden sich auf der Trennfläche keine Flächenströme und keine Flächenladungen, genügen die beiden Gleichungen (14.44), da die beiden Bedingungen (14.45) dann automatisch erfüllt sind. 3 Wenn das Medium 2 ideal leitend ist, verschwinden die Felder in diesem Medium und aus (14.44), (14.45) werden die Randbedingungen H t1 = J F, E t1 =0, D n1 = q F, B n1 =0. (14.46) 14.4 Reflexion und Brechung ebener Wellen Bei Einfall einer ebenen Welle auf eine Trennschicht wischen wei Materialien mit den Materialkonstanten ε 1, μ 1, κ 1 und ε 2, μ 2, κ 2 wird ein Teil der Welle reflektiert und ein anderer Teil gebrochen. Sowohl die Reflexion als auch die Brechung hängen von der Polarisation der Welle ab. Da aber eine beliebig polarisierte Welle immer in eine parallel polarisierte Welle (der elektrische Feldvektor liegt in der Einfallsebene) und eine senkrecht polarisierte Welle (der elektrische Feldvektor eigt senkrecht ur Einfallsebene) erlegt werden kann, werden die beiden Fälle getrennt behandelt, Abb Die einfallende Welle mit dem Wellenvektor k e fällt unter dem Winkel α e auf die Trennschicht. Die reflektierte Welle habe den Winkel α r und den Wellenvektor k r, während die transmittierte (gebrochene) Welle sich mit dem Wellenvektor k t unter dem Winkel α t ausbreitet. 3 Zum Beweis verwenden wir wieder die beiden ersten Maxwell schen Gleichungen, legen aber die Integrationsflächen parallel ur Trennfläche und war einmal im Medium 1 und einmal im Medium 2, Abb. 14.9c. Da die Tangentialkomponenten der elektrischen und magnetischen Feldstärke stetig sind, sind die Umlaufintegrale in den beiden Raumteilen gleich und somit auch die durch die Flächen hindurchtretenden Flüsse, d.h. der elektrische Fluss, D n1f = D n2f, und der magnetische Fluss, B n1f = B n2f.

17 14.4 Reflexion und Brechung ebener Wellen 313 a) y 1 2 b) 1 y 2 k r n Er α r α e x α t E t k t k r H r α 1 E r E t H t α 2 α 1 x k t k e E e k e E e Abb Reflexion und Brechung ebener Wellen. (a) Senkrechte Polarisation. (b) Parallele Polarisation H e Man sett an E e = E 0e e j(ωt ke r), E r = E 0r e j(ωt kr r) E t = E 0t e j(ωt kt r), ZH = e k E, k = k e k. (14.47) Die Stetigkeitsbedingungen (14.44) erwingen (E e + E r ) tan =(E t ) tan, (H e + H r ) tan =(H t ) tan. (14.48) Da die Stetigkeitsbedingungen für alle Zeiten und für alle Punkte r = r 0 = (x, y, 0) erfüllt sein müssen, ist offensichtlich, dass nicht nur die Frequenen der drei Wellen gleich sein müssen, sondern auch die Phasen k e r 0 = k r r 0 = k t r 0. (14.49) Die Bedingung (14.49) hat drei wichtige Konsequenen: 1)Die Wellenvektoren k e, k r, k t und der Normalenvektor n liegen in einer Ebene, der sogenannten Einfallsebene. Zum Beweis seten wir n (n r 0 )=n(n r 0 ) r 0 (n n) = r 0 in (14.49) ein. Verwenden der Vertauschungsregel für das Spatprodukt k e [n (n r 0 )] = (n r 0 ) (k e n) = =(n r 0 ) (k r n) = =(n r 0 ) (k t n) liefert k e n = k r n = k t n, (14.50) da n r 0 ein beliebiger Vektor ist. Der Vektor k e n definiert die Einfallsebene, d.h. die Ebene, in welcher der Wellenvektor k e und die Flächennormale n liegen. Da ferner für einen beliebigen Vektor a a (a n) =0

18 Zeitlich beliebig veränderliche Felder II (Homogene Wellengleichung) gilt, folgt aus (14.50) und yklischem Vertauschen k e (k e n) = k r (k e n) = k t (k e n) =n (k e n) =0, d.h. alle vier Vektoren k e, k r, k t, n liegen in der Einfallsebene. 2) Der Einfallswinkel ist gleich dem Reflexionswinkel α e = α r. (14.51) Beweis: Da sich die einfallende und reflektierte Welle im selben Medium befinden, sind die Beträge der Wellenvektoren gleich k e = k r = k 1 und aus (14.49) folgt für r 0 in der Einfallsebene ( π ) ( π ) k 1 r 0 cos 2 α e = k 1 r 0 cos 2 α r oder α e = α r = α 1. 3) Einfallswinkel und Brechungswinkel folgen dem Geset von Snellius. Sett man α e = α r = α 1, α t = α 2, k e = k r = k 1, k t = k 2, so folgt aus (14.50) k 1 sin α 1 = k 2 sin α 2 oder mit k = ω με und reellen Materialkonstanten μ, ε sin α 1 = k 2 μ2 ε 2 = = n 2. (14.52) sin α 2 k 1 μ 1 ε 1 n 1 Der Brechungsindex n ist definiert als das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ur Lichtgeschwindigkeit im entsprechenden Medium n = c 0 με c = = μ r ε r. (14.53) μ 0 ε 0 Das Snellius sche Brechungsgeset folgt auch aus dem Fermat schen Prinip 4, das besagt, dass sich das Licht immer entlang dem Weg ausbreitet, welcher der küresten Laufeit entspricht. In einem homogenen Medium ist der Weg natürlich eine Gerade. An einer Grenschicht tritt Brechung auf; denn läuft das Licht von einem Punkt A im Medium 1 über den Punkt C nach B im Medium 2, Abb , so ist die Laufeit T (x) = AC + CB = 1 (x A x ) c 1 c 2 c 2 + A 2 y + 1 (B x x) 1 c 2 + By 2. 2 Die minimale Laufeit bei Variation von x folgt aus dt dx = x A x B x x = sin α 1 sin α 2 =0, ACc 1 CBc 2 c 1 c 2 4 Pierre de Fermat( ) gilt als der Begründer der Variationsrechnung.

19 14.4 Reflexion und Brechung ebener Wellen 315 welches das Snellius sche Geset darstellt. y A A y 1 α 1 C A x x B x x B y α 2 B 2 Abb Zur Herleitung des Brechungsgesetes aus dem Fermat schen Prinip Als nächstes sollen die Amplituden der reflektierten Welle E 0r und der transmittierten Welle E 0t in Abhängigkeit der Amplitude der einfallenden Welle E 0e bestimmt werden. Dau muss man die Polarisationsrichtung unterscheiden. Senkrechte Polarisation Die elektrische Feldstärke eigt in x-richtung, Abb a. Es ist e ke =sinα 1 e y +cosα 1 e e kr =sinα 1 e y cos α 1 e (14.54) e kt =sinα 2 e y +cosα 2 e und aus (14.48) folgt mit (14.47) und (14.54) E 0e + E 0r = E 0t 1 (cos α 1 E 0e cos α 1 E 0r )= 1 cos α 2 E 0t. Z 1 Z 2 Man definiert einen Reflexionsfaktor r s und einen Transmissionsfaktor t s r s = E 0r, t s = E 0t (14.55) E 0e E 0e und erhält 1+r s = t s, Z 2 (1 r s )cosα 1 = Z 1 t s cos α 2 mit der Lösung

20 Zeitlich beliebig veränderliche Felder II (Homogene Wellengleichung) r s = Z 2 cos α 1 Z 1 cos α 2 Z 2 cos α 1 + Z 1 cos α 2, t s = 2Z 2 cos α 1 Z 2 cos α 1 + Z 1 cos α 2. (14.56) Parallele Polarisation Der Vektor der elektrischen Feldstärke liegt in der Einfallsebene, Abb b. Unter Zuhilfenahme von (14.47), (14.54) erhält man aus den Stetigkeitsbedingungen (14.48) E 0e cos α 1 + E 0r cos α 1 = E 0t cos α 2 1 ( E 0e + E 0r )= 1 E 0t Z 1 Z 2 und nach Einseten des Reflexions- und Transmissionsfaktors entsprechend (14.55) (1 + r p )cosα 1 = t p cos α 2, Z 2 (1 r p )=Z 1 t p mit der Lösung r p = Z 2 cos α 2 Z 1 cos α 1 Z 2 cos α 2 + Z 1 cos α 1, t p = 2Z 2 cos α 1 Z 2 cos α 2 + Z 1 cos α 1. (14.57) Die Gleichungen (14.56) und (14.57) heißen Fresnel sche Beiehungen. Sie geben die Amplituden der reflektierten und gebrochenen Wellen an beogen auf die Amplitude der einfallenden Welle. Da eine beliebig polarisierte Welle in senkrecht und parallel polarisierte Wellen erlegt werden kann, liegt die vollständige Lösung des Problems eines Einfalls einer ebenen Welle auf eine Trennschicht vor. Bemerkung: Definiert man die komplexe Wellenahl (14.26) mittels einer komplexen Dielektriitätskonstanten ( ε k = ε 1 j κ ), (14.58) ωε so gelten die in diesem Paragraphen hergeleiteten Formeln auch für verlustbehaftete Medien. Man muss allerdings bei der Interpretation der Formeln aufpassen, da.b. komplexe Winkel auftreten können. Von besonderem Interesse ist der Fall verlustfreier Dielektrika mit den Materialkonstanten κ =0,μ = μ 0 und ε = ε r ε 0. Man erweitert die Ausdrücke (14.56), (14.57) mit ε 1 ε 2 und schreibt den Reflexionsfaktor r sowie den Transmissionsfaktor t als Funktion der Brechungsindices r s = n 1 cos α 1 n 2 cos α 2 n 1 cos α 1 + n 2 cos α 2, t s = 2n 1 cos α 1 n 1 cos α 1 + n 2 cos α 2, r p = n 1 cos α 2 n 2 cos α 1 2n 1 cos α 1, t p =. (14.59) n 1 cos α 2 + n 2 cos α 1 n 1 cos α 2 + n 2 cos α 1 Einarbeiten des Snellius schen Gesetes (14.52) ergibt schließlich

21 14.4 Reflexion und Brechung ebener Wellen 317 r s = sin(α 2 α 1 ) sin(α 2 + α 1 ), t s = 2cosα 1 sin α 2 sin(α 2 + α 1 ), r p = sin α 2 cos α 2 sin α 1 cos α 1 sin α 2 cos α 2 +sinα 1 cos α 1 = sin 2α 2 sin 2α 1 sin 2α 2 +sin2α 1 = = sin(α 2 α 1 )cos(α 2 + α 1 ) sin(α 2 + α 1 )cos(α 2 α 1 ) = tan(α 2 α 1 ) tan(α 2 + α 1 ) (14.60) t p = 2cosα 1 sin α 2 sin α 1 cos α 1 +sinα 2 cos α 2 = 2cosα 1 sin α 2 sin(α 1 + α 2 )cos(α 1 α 2 ) Verschwinden der Reflexion. Totalreflexion Es seien verlustfreie Dielektrika vorausgesett. Dann verschwindet die Reflexion bei senkrechter Polarisation, (14.60), wenn α 1 = α 2,d.h.wennnach dem Brechungsgeset von Snellius n 1 = n 2 gilt und damit der triviale Fall identischer Medien vorliegt. Im Falle paralleler Polarisation hingegen verschwindet der Reflexionsfaktor r p, neben dem trivialen Fall, auch für α 1 + α 2 = π/2, (14.61) d.h. wenn die durchgehende Welle senkrecht auf der reflektierten steht, k t k r = 0. Der Einfallswinkel genügt nach dem Brechungsgeset von Snellius der Beiehung sin α 1 sin(π/2 α 1 ) =tanα 1 = n 2 (14.62) n 1 und heißt Brewster scher Polarisationswinkel. Bei einer beliebig polarisierten Welle, die unter diesem Winkel einfällt, wird nur der senkrecht polarisierte Anteil reflektiert. 5 Ein anderes, technisch sehr bedeutungsvolles Phänomen ist die Totalreflexion. Nach dem Brechungsgeset von Snellius ist sin α 2 = n 1 n 2 sin α 1. 5 Den Effekt erkärt man am einfachsten durch die in der Trennschicht liegenden Atome oder Moleküle, welche Elementardipole darstellen. Im Falle einer senkrecht polarisierten Welle werden die Dipole in x-richtung um Schwingen angeregt und, wie wir in 16.3 sehen werden, sie strahlen senkrecht ur Schwingungsachse isotrop ab, d.h. sie strahlen in der (y,)-ebene und es gibt immer eine reflektierte und durchgehende Welle. Im Falle einer parallel polarisierten Welle hingegen schwingen die Dipole in der (y,)-ebene senkrecht um Wellenvektor der transmittierten Welle k t. Dies ist nach (14.61) die Richtung der Reflexion. Die Strahlung eines Dipols ist aber in Richtung seiner Schwingungsachse unterdrückt und es gibt keine reflektierte Welle.

22 Zeitlich beliebig veränderliche Felder II (Homogene Wellengleichung) a) 1 b) 1 n 1 =1 n 2 =1.5 n 1 =1.5 n 2 =1 r r s r r s Totalreflexion r p r p α 1 α 1 Abb Reflexionsfaktoren für verschiedene Einfallswinkel α 1. (a) Übergang Luft Glas. (b) Übergang Glas Luft Ist nun n 1 >n 2 (ε 1 >ε 2 ), so spricht man von einem Übergang vom optisch dichteren um optisch dünneren Medium. Die Welle wird vom Lot weggebrochen, α 2 >α 1. Ab einem bestimmten Einfallswinkel α 1G würde obige Gleichung sin α 2 > 1 ergeben, was für reelle Winkel α 2 nicht möglich ist. In diesem Fall wird die einfallende Welle vollständig reflektiert und es gibt keine gebrochene Welle. Der Winkel α 1G sin α 1G = n 2 n 1 = μ2 ε 2 μ 1 ε 1, (14.63) bei welchem α 2 = π/2 ist,heißtgrenwinkel der Totalreflexion. Jedochist auch bei Totalreflexion das Medium 2 keineswegs feldfrei. Es ist nämlich k t = k 2 (sin α 2 e y +cosα 2 e ) = (14.64) = k 2 n (n1 ) 2 1 sin α 1 e y n (+) j sin α 1 1 e = β e y jα e, 2 n 2 wobei (n 1 /n 2 )sinα 1 > 1 benutt wurde. Das Voreichen der Wurel wurde so gewählt, dass die gebrochene Welle, (14.47), E t = t E 0e e α e j(ωt βy), (14.65) die in y-richtung läuft, in -Richtung exponentiell abklingt. Dies ist keine ebene Welle mehr. Aufschlussreich ist der Poynting sche Vektor S k = 1 2 E t H t = 1 E t (e kt E t )= 1 E t 2 e kt = 2Z 2 2Z 2 = 1 te oe 2 e 2α (β e y +jαe ). (14.66) 2k 2 Z 2

23 14.4 Reflexion und Brechung ebener Wellen 319 Wirkleistungstransport findet nur in y-richtung statt. In -Richtung fließt Blindleistung, so wie bei einer Totalreflexion u erwarten ist. Die Welle im Medium 2 nennt man Oberflächenwelle. Zur Demonstration des Brewster- Winkels und der Totalreflexion sind in Abb die Reflexionsfaktoren gegeben bei einem Übergang Luft Glas bw. Glas Luft Dielektrische Platte als Wellenleiter Bei geeigneter Wahl der Parameter kann man das Phänomen der Totalreflexion benuten, um Wellen in einem dielektrischen Medium u führen. Die einfachste Form eines solchen Wellenleiters ist die dielektrische Platte. Gegeben seien wei ebene Wellen, die sich unter den Winkeln α 1 und α 1 mit α 1 >α 1G in einer dielektrischen Platte ausbreiten, Abb B n 2 =1 (1) (2) C D n 1 = ε r α 1 α 1 d y A Abb Zur Wellenausbreitung in einer dielektrischen Platte Die Wellen erfahren eine ständige Totalreflexion am Übergang Platte Luft. Gesucht ist eine bestimmte Feldverteilung, welche sich mit konstanter Form längs der Platte ausbreitet. Dies nennt man Wellentyp oder Mod. Damit sich ein konstantes, in -Richtung laufendes Wellenbild ergibt, müssen die Ebenen konstanter Phasen beider Wellen übereinstimmen. Das bedeutet.b. für die Welle (2), dass die Phasenänderung von einem Punkt kur vor A bis u einem Punkt kur hinter B gleich sein muss der Phasenänderung der Welle (1) vom Punkt C bis um Punkt D plus einem ganahligen Vielfachen von 2π arc(r)+abk 1 +arc(r) =CDk 1 +2πn. Mit der Geometriebeiehung CD = AB 2d cos α 1 wird daraus arc(r) =nπ k 1 d cos α 1. (14.67) Als Beispiel betrachten wir parallel polarisierte Wellen. Ihr Reflexionsfaktor (14.59) lautet unter Verwendung des Brechungsgesetes von Snellius, sin α 2 = ε r sin α 1 > 1,

24 Zeitlich beliebig veränderliche Felder II (Homogene Wellengleichung) r p = εr cos α 2 cos α 1 εr cos α 2 +cosα 1 = j ε r εr sin 2 α 1 1 cos α 1 j ε r εr sin 2 α 1 1+cosα 1 und hat einen Phasenwinkel von ( ) εr sin 2 α 1 1 arc(r p )= 2arctan εr + π. cos α 1 Mit den Abkürungen ξ = 1 2 k 1d cos α 1, η = 1 2 k 0d ε r sin 2 α 1 1, k 0 = ω μ 0 ε 0 = ω c 0 erhält man ein System von wei Gleichungen ( tan ξ (n 1) π ) { } tan ξ für n =1, 3,... = 2 cot ξ für n =2, 4,... ξ 2 + η 2 = = ε r η ξ ( ) k 0d (ε r 1) = R 2, (14.68) dessen reelle Lösungen die möglichen Winkel α 1i (Eigenwerte) festlegen, wenn die Wellenahl k 0 ω und die Dicke der Platte d gegeben sind. Die Gleichungen eignen sich für eine grafische Lösung, wie.b. für n =2, 4,... in Abb geeigt. 3 η 2 1 R (ξ 1,η 1) ε r =2 0 1 R min Abb Eigenwerte α 1i ξ Ortskurven der Eigenwertgleichung (14.68) ur Bestimmung der Die Schnittpunkte (ξ i,η i ) der beide Kurvenscharen für η > 0 stellen die Lösungen dar und bestimmen, entsprechend (14.64), die Ausbreitungskonstanten der Wellen

25 14.4 Reflexion und Brechung ebener Wellen 321 β i = k 2 n 1 n 2 sin α 1i = k 1 sin α 1i = (2ηi d ) 2 + k 2 0. Die Bedingung η>0 stellt das Abklingen der Felder außerhalb der Platte für y sicher. Es gilt nämlich E 2 e jkt r jk0 cos α2y jk0 sin α2 =e und bei Totalreflexion k 0 cos α 2 = jk 0 sin 2 α 2 1= jk 0 εr sin 2 α 1 1= j 2 d η, wobei das negative Voreichen der Wurel für y>d/2 gilt und das positive Voreichen für y< d/2. Wie man sieht, gibt es einen minimalen Radius und damit eine Grenfrequen R min = π 2 = 1 2 k 0mind ε r 1, (14.69) unterhalb der keine Wellen möglich sind. Mit wachsender Frequen (wachsendem Radius R) treten Schnitte mit weiteren Ästen der cot-funktion auf. Die Anahl der existenfähigen Wellen nimmt u. Jede Welle transportiert Wirkleistung nur in -Richtung. Außerhalb der Platte klingen die Felder in ±y-richtung exponentiell ab. Wird eine solche Welle, die man auch Mod oder Eigenwelle nennt, angeregt, läuft sie mit konstanter Amplitude und konstantem Feldmuster längs der Platte. Abb Feldlinien der dielektrischen Verschiebung der niedrigsten Eigenwelle

26 Zeitlich beliebig veränderliche Felder II (Homogene Wellengleichung) Abb eigt das Feldbild des niedrigsten Mods (π/2 <ξ 1 <π). Im Bereich der Mikrowellen verwendet man für die Platte eines der üblichen Dielektrika und man spricht von einem dielektrischen Wellenleiter. Bei optischen Frequenen verwendet man hochreines Quarglas, das sehr transparent ist (über viele Kilometer) und die Platte stellt einen optischen Wellenleiter dar. Das Beispiel der Platte dient hier ur Beschreibung des Prinips der Wellenführung. Technische Ausführungen sind normalerweise rechteckförmige oder runde Stäbe. Das Phänomen der Wellenführung bleibt erhalten, wenn der Leiter gekrümmt ist. Zwar ereugt jede Krümmung Strahlungsverluste, aber diese können klein gehalten werden, wenn die Krümmung nicht u stark ist Reflexion am metallischen Halbraum. Skineffekt Das Medium 2 sei ein guter (metallischer) Leiter und das Medium 1 Luft. Für die üblichen technischen Frequenen gilt dann κ 2 = 1 1 ωε 2 ωt r ( k2 2 = ω 2 μ 2 ε 2 1 j κ ) 2 jωμ 2 κ 2 ωε 2 k 2 = β jα = 1 j = 1 j. (14.70) 2/ωμ2 κ 2 δ S Dies entspricht der Vernachlässigung des Verschiebungsstromes gegenüber dem Leitungsstrom (siehe (12.1)). Die exakte Bestimmung der Reflexion und Brechung ist einigermaßen kompliiert, da komplexe Winkel auftreten und man sich deren Bedeutung genau überlegen muss. Daher wollen wir eine vereinfachte Vorgehensweise wählen, die aber immerhin die auftretenden Effekte gut wiedergibt. Unter Verwendung des Brechungsgesetes von Snellius (14.52) und (14.70) wird ( ) 2 cos α 2 = 1 sin 2 k1 α 2 = 1 sin α 1 k 2 1 jω μ 0ε 0 sin 2 α 1 1. (14.71) μ 2 κ 2 Die durchgehende Welle verläuft also annähernd parallel ur Achse, α 2 0, und ihre Phasenebenen sind parallel ur Trennfläche. Ferner ist Z 1 Z 2 μ0 κ 2 ε 0 jωμ 2 1 (14.72) und die Reflexions- und Transmissionsfaktoren (14.56), (14.57) werden wegen (14.71), (14.72)

27 14.4 Reflexion und Brechung ebener Wellen 323 r s cos α 1 Z 1 /Z 2 2cosα 1 1, t s 0 cos α 1 + Z 1 /Z 2 cos α 1 + Z 1 /Z 2 r p 1 Z 1/Z 2 cos α 1 2cosα 1 1, t p 0. (14.73) 1+Z 1 /Z 2 cos α 1 1+Z 1 /Z 2 cos α 1 Die Welle wird reflektiert, wobei das elektrische Feld der reflektierten Welle entgegengerichtet ur einfallenden Welle ist und somit E tan 0 auf der Trennfläche wird (ähnlich einem idealen Leiter). Der Wellenvektor der durchgehenden Welle lautet mit (14.52), (14.70) und (14.71) k t = k 2 (sin α 2 e y +cosα 2 e ) k 1 sin α 1 e y + k 2 e k 1 sin α 1 e y + 1 j e δ S und für das Feld erhält man E t = t E 0e e j(ωt kt r) = t E 0e e /δs e j(ωt k1 sin α1y /δs). (14.74) Da δ 1 S k 1 sin α 1, läuft die durchgehende Welle im wesentlichen in - Richtung und ist exponentiell gedämpft mit der Skintiefe δ S als Dämpfungskonstante. Man findet dieselben Verhältnisse wie in 12.7 wieder, was auch nicht verwunderlich ist, da die Annahme ωt r 1 der Vernachlässigung des Verschiebungsstromes wie in Kapitel 12 entspricht Reflexion am ideal leitenden Halbraum. Parallelplattenleitung Betrachtet sei der schräge Einfall auf einen ideal leitenden Halbraum am Beispiel einer parallel polarisierten, ebenen Welle, Abb y E 0e λ 0 k e H 0r k r x H 0e α α E 0r λ κ Abb Reflexion einer ebenen Welle am ideal leitenden Halbraum Entsprechend der Abbildung ist

28 Zeitlich beliebig veränderliche Felder II (Homogene Wellengleichung) k e r = k 0 ( cos α e y +sinα e ) (y e y + e )=k 0 ( y cos α + sin α) E 0e = E 0 (sin α e y +cosα e ), Z 0 H 0e = e ke E 0e = E 0 e x k r r = k 0 (cos α e y +sinα e ) (y e y + e )=k 0 (y cos α + sin α) E 0r = E 0 ( sin α e y +cosα e ), Z 0 H 0r = e kr E 0r = E 0 e x, wobei r p = 1 aus (14.73) verwendet wurde. Das Gesamtfeld im Raumteil y 0lautet E = E 0e e j(ωt ke r) + E 0r e j(ωt kr r) E y = E 0 sin α ( e jk0y cos α +e jk0y cos α) e j(ωt k0 sin α) = j(ωt k0 sin α) =2E 0 sin α cos(k 0 y cos α)e j(ωt k0 sin α) E =j2e 0 cos α sin(k 0 y cos α)e Z 0 H x = 2E 0 cos(k 0 y cos α)e j(ωt k0 sin α). (14.75) Dies ist eine inhomogene (nicht ebene) Welle mit Stehwellencharakter in y- Richtung der Wellenlänge k y = k 0 cos α = 2π λ y λ y = 2π k 0 cos α = λ 0 cos α. (14.76) In -Richtung breitet sich die Welle aus mit der Phasenkonstanten k und der Wellenlänge λ k = k 0 sin α = 2π λ λ = 2π k 0 sin α = λ 0 sin α. (14.77) Die Größen k 0 bw. λ 0 sind die Wellenahl bw. die Wellenlänge der ebenen Welle im freien Raum. Für α π/2 gehte 0, λ λ 0, λ y und es ergibt sich eine in -Richtung laufende ebene Welle, deren elektrische Feldlinien senkrecht auf dem Halbraum stehen. Für α 0gehtE y 0, λ y λ 0, λ. Dies ist eine reine Stehwelle in y-richtung. Sie ist von den Koordinaten und x unabhängig. Die Phasengeschwindigkeit (14.31) ist v ph = ω ω = k k 0 sin α = c 0 sin α >c 0. (14.78) Dies ist kein Verstoß gegen das Postulat der Relativitätstheorie, das besagt, dass sich kein Signal schneller als mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten kann, denn die Phasengeschwindigkeit ist keine Signal-oder Energiegeschwindigkeit. Sie gibt lediglich die Geschwindigkeit an, mit welcher sich die Phase längs der Koordinate ausbreitet. Nach Abb wird die Strecke λ in der Zeit einer Wellenperiode urückgelegt. Demnach ist

29 14.4 Reflexion und Brechung ebener Wellen 325 v ph = λ T = 2πf = ω k k die Phasengeschwindigkeit (14.78). Die Formel für die Gruppengeschwindigkeit (14.32) muss mit Vorsicht verwendet werden. Eine Welle ist definiert für ein konstantes Feldmuster, d.h. in diesem Fall für eine konstante y-abhängigkeit, k y =const., und man erhält k = k 0 sin α = k0 2 (k 0 cos α) 2 = k0 2 k2 y v g = dω = c 0 sin α<c 0. (14.79) dk Das Produkt aus Phasen-und Gruppengeschwindigkeit ist v ph v g = c 2 0. (14.80) Die Feldlinien erhält man aus den Realteilen der Felder in (14.75), die in jedem Punkt die folgende Differentialgleichung erfüllen müssen Re{E y } Re{E } = dy d = sin α cos(k yy)cos(ωt k ) cos α sin(k y y)sin(ωt k ). (14.81) Nach Umformung und Integration ˆ ˆ k y tan(k y y)dy = k cot(ωt k )d ln (cos k y y) = ln (sin(ωt k )) ln C ergibt sich die Gleichung der Feldlinien C =cos(k y y)sin(ωt k ). (14.82) y H λ y/2 E v ph λ /2 Abb Feldbild einer schräg auf einen ideal leitenden Halbraum einfallenden ebenen Welle um Zeitpunkt t =0

30 Zeitlich beliebig veränderliche Felder II (Homogene Wellengleichung) Abb eigt einen Ausschnitt aus dem Feld um Zeitpunkt t =0.Mit der Zeit wandert das Feldbild mit der Phasengeschwindigkeit in -Richtung. In den Ebenen y = n λ y, n =1, 2,... (14.83) 2 verschwindet die -Komponente des elektrischen Feldes. Das elektrische Feld steht damit senkrecht auf den Ebenen. Man kann daher in diesen Ebenen ideal leitende Platten einiehen, ohne dass sich das elektromagnetische Feld wischen den Platten verändern würde. Solch eine Anordnung heißt Parallelplattenleitung. Ist der Abstand d wischen den Platten fest vorgegeben, d = nλ y /2, so ist λ yn = 2d n, k yn = 2π λ yn = n π d und nach (14.79) k n = k0 2 k2 yn, λ 0 λ n = 1 (nλ0 /2d) 2, n =1, 2,... (14.84) Die Phasen-und Gruppengeschwindigkeit sind v ph = ω c 0 = k n 1 (nλ0 /2d) 2 v g = dω = c 0 1 (nλ0 /2d) dk 2. (14.85) Dies ist nach der dielektrischen Platte ( ) das weite Beispiel eines Wellenleiters. Die Leitung eigt das typische Verhalten der meisten Wellenleiter: Die Wellenlänge λ, die Phasengeschwindigkeit v ph sowie die Gruppengeschwindigkeit v g sind frequenabhängig. Unterhalb einer kritischen Frequen, genannt Grenfrequen oder cut-off- Frequen k cn = k yn ω cn = n π (14.86) c 0 d erfolgt keine Wellenausbreitung. Die Wellenahl k ist rein imaginär und das Feld ist exponentiell gedämpft. Der Wellenleiter hat Hochpaßcharakter. Die Phasengeschwindigkeit ist größer als die Lichtgeschwindigkeit, die Gruppengeschwindigkeit ist kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. Das Produkt aus Phasen-und Gruppengeschwindigkeit ergibt das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit, v ph v gr = c 2. Unter Benutung der Grenfrequen schreibt man die Relationen (14.84) und (14.85) auch als k n = k 2 0 k2 cn = k 0 1 ( ωcn ω ) 2, λ n = λ 0 1 (ω cn /ω) 2

31 v ph = 14.5 Separation der Helmholt-Gleichung 327 c 0, v g = c 0 1 (ω cn /ω) 1 2. (14.87) (ω cn /ω) 2 Die Frequenabhängigkeit der Phasen- und Gruppengeschwindigkeit ist in Abb geeigt. v keine Wellenausbreitung v ph c 0 ω cn v g ω Abb Phasen- und Gruppengeschwindigkeit in der Parallelplattenleitung für eine Eigenwelle der Ordnung n Schließlich sei noch ein Sonderfall erwähnt. Für α π/2 wird aus (14.75) E y =2E 0 e j(ωt k0), Z 0 H x = 2E 0 e j(ωt k0), E =0. (14.88) Dies ist, wie bereits weiter oben erwähnt, eine ebene Welle. Sie hat keine Grenfrequen und Phasen- und Gruppengeschwindigkeit sind gleich der Lichtgeschwindigkeit. Da die Welle in Ausbreitungsrichtung keine Feldkomponenten hat, also nur transversale Feldkomponenten besitt, heißt sie TEM- Welle (transversal elektromagnetische Welle). Auch dies ist typisch. TEM- Wellen besiten generell keine Grenfrequen und breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus. Sie benötigen mindestens wei voneinander isolierte Leiter, auf denen die elektrischen Feldlinien enden. In einem Querschnitt = const. und u einem festen Zeitpunkt sieht das elektrische Feldbild wie das elektrostatische Feld wischen geladenen Leitern aus und das magnetische Feldbild wie das magnetostatische Feld bei stationären Strömen Separation der Helmholt-Gleichung Für eitharmonische Vorgänge wird aus der skalaren Wellengleichung (14.8) die skalare Helmholt-Gleichung 2 A(r)+k 2 A(r) =0, k = ω c = ω με. (14.89) Die wichtigste Methode ur Lösung der Helmholt-Gleichung ist wie bei der Laplace-Gleichung die Separationsmethode mit einem Produktansat nach Bernoulli. Dadurch lässt sich, in einigen wenigen Koordinatensystemen, die dreidimensionale Gleichung in drei eindimensionale Gleichungen überführen.

32 Zeitlich beliebig veränderliche Felder II (Homogene Wellengleichung) Kartesische Koordinaten (Rechteckhohlleiter. Rechteckhohlraumresonator) In kartesischen Koordinaten lautet (14.89) 2 A x A y A 2 + k2 A =0. (14.90) Man geht wie in vor und erhält mit einem Produktansat nach Bernoulli die drei separierten Gleichungen (6.7). Ihre Lösungen sind in (6.10) gegeben, wobei die Separationskonstanten jett über die Gleichung k 2 = k 2 x + k 2 y + k 2 (14.91) usammenhängen. Rechteckhohlleiter. Ein Rechteckhohlleiter ist ein ylindrischer Wellenleiter mit rechteckigem Querschnitt und metallischen Wänden, Abb y b μ, ε a b a x Abb Rechteckhohlleiter Die Achse des Hohlleiters eigt in -Richtung, welche auch die Richtung der Wellenausbreitung ist. Der Einfachheit halber nehmen wir ideal leitende Wände an. Dies ist eine sehr gute Näherung, wenn man die Form der Felder berechnen will, da bei metallischen Leitern E tan 0 gilt (siehe.b ) und das elektrische Feld damit senkrecht auf der Wand steht. Die Verluste in der Wand berechnet man natürlich für endliche Leitfähigkeit unter Verwendung der Wandströme, die mittels (14.46) aus dem Magnetfeld des ideal leitenden Hohlleiters bestimmt werden. Man wählt geschickterweise die Ansäte (14.6) mit einem Vektorpotential, das in die Ausbreitungsrichtung (-Richtung) eigt und die skalare Helmholt-Gleichung (14.90) erfüllt. Für die Abhängigkeiten von den transversalen Koordinaten ist die Schreibweise mit Stehwellen angebracht und für die Ausbreitungsfunktion die Schreibweise mit Laufwellen.

33 14.5 Separation der Helmholt-Gleichung 329 E-Wellen H E = ( X E Y E e jk ) e = = [X E dy E dy e x Y E dxe dx e y ] e jk jωεe E = H E = (14.92) = [ jk (Y E dxe dx e x + X E dy E ) dy e y +(k 2x + k 2y)X ] E Y E e e jk. Die -Komponente des elektrischen Feldes muss auf den Wänden verschwinden, d.h. aus (6.10) folgt X E (x =0,a)=0 X E sin k xm x Y E (y =0,b)=0 Y E sin k yn y (14.93) mit k xm = mπ a, k yn = nπ b, m,n =1, 2,... und die Felder lauten unter Weglassen des gemeinsamen Faktors exp( jk ) H E xmn = A E mnk yn sin k xm x cos k yn y H E ymn = AE mn k xm cos k xm x sin k yn y jωεe E xmn = ja E mnk xm k mn cos k xm x sin k yn y jωεe E ymn = jae mn k ynk mn sin k xm x cos k yn y jωεe E mn = AE mn k2 cmn sin k xmx sin k yn y. (14.94) Die Ausbreitungskonstanten k mn sind durch (14.91) usammen mit (14.93) bestimmt u k mn = 2π = k λ 2 kcmn 2 mn ( mπ ) 2 ( nπ ) 2 mit kcmn 2 = kxm 2 + kyn 2 = +. (14.95) a b Wie bei der Parallelplattenleitung, , wird die Ausbreitungskonstante k für Frequenen unterhalb der Grenfrequen k c rein imaginär und es gibt keine Wellenausbreitung. Die Hohlleiterwellenlänge λ ist immer größer als die Freiraumwellenlänge. An der Grenfrequen ist sie unendlich. Phasenund Gruppengeschwindigkeit sind wie in (14.87) gegeben allerdings mit der Grenfrequen ω cmn = ck cmn aus (14.95). Wie aus (14.94) ersichtlich, ist das Verhältnis der transversalen elektrischen Feldstärke ur transversalen magnetischen Feldstärke von den Koordinaten unabhängig und hat die Dimension einer Impedan