Evaneszente Felder und Energietransport

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1 Übung 6 Abgabe: bzw Elektromagnetische Felder & Wellen Frühjahrssemester 2018 Photonics Laboratory, ETH Zürich Evaneszente Felder und Energietransport 1 Oberflächenwellen (40 Pkt.) Wir widmen uns in dieser Aufgabe elektromagnetischen Feldern an Grenzflächen zwischen zwei verschiedenen Materialien. Insbesondere fokussieren wir unsere Betrachtungen auf Oberflächenwellen, deren Felder entlang der Grenzfläche propagieren, senkrecht dazu jedoch exponentiell abfallen, wie in Abb. 1(a) skizziert. Solche evaneszenten Oberflächenwellen erlauben die Manipulation elektromagnetischer Felder auf Längenskalen kleiner als die Wellenlänge und bilden das Fundament der Nano-Optik. Wir untersuchen zunächst einige Eigenschaften der Lösungen der Maxwell Gleichungen in den separaten Medien. Dazu betrachen wir eine p-polarisierte elektromagnetische Welle im quellfreien Medium i mit den Materialparametern µ i und ε i bei der Frequenz ω, deren komplexe elektrische Feldamplitude von der folgenden Gestalt sei E i (r) = E x,i 0 E z,i e i(k x,ix+k z,i z). (1) (a) z Medium 1 Medium 2 x (b) Vakuum Metall Dielektrikum α Abbildung 1: (a) Illustration einer Oberflächenwelle, die entlang der Grenzfläche zwischen zwei Medien propagiert, deren Feld jedoch senkrecht zur Grenzfläche exponentiell abfällt. (b) Kretschmann Konfiguration zur Anregung eines Oberflächenplasmons auf einer Vakuum-Metall-Grenzfläche durch Totalreflexion an einem dünnen Metallfilm. (a) (1 Pkt.) Zeigen Sie mithilfe einer Maxwell Gleichung folgende Relation k x,i E x,i + k z,i E z,i = 0. (2) 1

2 (b) (2 Pkt.) Berechnen Sie das zu E i (r) gehörige magnetische Feld H i (r). (c) (1 Pkt.) Zeigen Sie, dass folgende Bedingung erfüllt sein muss, um die Maxwell Gleichungen zu erfüllen k z,i H y,i = ωε i ε 0 E x,i. (3) (d) (3 Pkt.) Überzeugen Sie sich, dass die Maxwell Gleichungen weiterhin erfordern, dass die Dispersionsrelation erfüllt ist k 2 x,i + k 2 z,i = ω2 c 2 n2 i. (4) (e) (3 Pkt.) Wir betrachten nun die Grenzfläche zwischen den beiden Medien 1 (mit Permittivität ε 1 und Permeabilität µ 1 = 1) und 2 (ε 2 und µ 2 = 1). Benutzen Sie die Randbedingungen für die elektromagnetischen Felder, um folgendes Gleichungssystem für das Magnetfeld herzuleiten ( ) ( ) k z1 /ε 1 k z2 /ε 2 H 1y = 0. (5) 1 1 H 2y (f) (3 Pkt.) Eine homogene Lösung der Maxwell Gleichungen, d.h. eine Lösung des Gleichungssystems in Gl. (5), existiert, wenn die Determinante der charakteristischen Matrix verschwindet. Zeigen Sie, dass für den parallelen Wellenvektor der Lösung gilt k 2 x = ω2 c 2 ε 1 ε 2 ε 1 + ε 2. (6) Wir nehmen nun an, dass es sich um eine Grenzfläche zwischen einem Dielektrikum (ε 1 1) sowie ein Metall als Medium 2 handelt. Die dielektrische Funktion des Metalles sei durch das Drude Modell beschrieben ε 2 (ω) = 1 ω 2 p/ω 2, (7) wobei ω p die materialspezifische Plasmafrequenz bezeichnet. (g) (4 Pkt.) Skizzieren Sie die Drude Permittivität und bestimmen Sie, in welchem Frequenzbereich ein Metall metallische optische Eigenschaften (ε < 0) und wo dielektrische Eigenschaften (ε > 0) besitzt. Beschriften Sie Ihre Achsen inklusive passender quantitativer Skala. Betrachten Sie den Brechungsindex eines metallischen Materials und argumentieren Sie, warum eine elektromagnetische Welle nicht ins Metall eindringen kann, sondern reflektiert wird. (h) (4 Pkt.) Berechnen Sie den parallelen Wellenvektor für die homogene Lösung unter der Annahme, dass die dielektrische Funktion des Metalles durch das Drude Modell beschrieben ist ε 2 (ω) = 1 ω 2 p/ω 2. (8) Für welche Frequenzen ergeben sich Lösungen, die entlang der Grenzfläche propagieren? Hinweis: Es ergeben sich zwei Äste in der Dispersionsrelation. Wir bezeichnen den Ast bei niedrigen Frequenzen als Oberflächenplasmon (surface plasmon polariton, SPP). 2

3 (i) (5 Pkt.) Erstellen Sie einen Graphen der Dispersionsrelation des parallelen Wellenvektors an der Grenzfläche. Tragen Sie hierzu vertikal ω als Funktion von k x auf. Markieren Sie die Plasmafrequenz ω p sowie die sogenannte Oberflächenplasmonfrequenz ω SPP = ω p / ε Nehmen Sie an, über dem Metall befinde sich Vakuum mit ε 1 = 1. Tragen Sie ausserdem die Dispersionsrelation ω(k) von Licht im Vakuum, die sogenannte Lichtlinie, auf und geben sie ihre Steigung an. (j) (4 Pkt.) Zum besseren Verständnis der Natur der beiden Äste der Dispersionsrelation k x (ω) betrachten wir nun die z-komponenten der Lösungen in den beiden Medien. Zeigen Sie, dass im Medium i gilt (mit i j) kz,i 2 = kx 2 ε i. (9) ε j Für welchen Frequenzbereich sind die Lösungen für die Metall-Vakuum Grenzfläche evaneszent in der Richtung senkrecht zur Grenzfläche und propagierend entlang der Grenzfläche? Für welchen Frequenzbereich sind die Lösungen propagierend in beide Richtungen? Wir haben uns also überzeugt, dass Oberflächenplasmonen Lösungen der Maxwell Gleichungen darstellen, die auf der Grenzfläche zwischen einem Metall und einem Dielektrikum propagieren können und in die angrenzenden Medien exponentiell abfallen. Nun wenden wir uns der Frage zu, wie diese Oberflächenplasmonen angeregt werden können. Wir nehmen dazu im Folgenden weiterhin an, dass das Medium 1 Vakuum mit ε 1 = 1 sei. (k) (3 Pkt.) Betrachten Sie die Metall-Vakuum Grenzfläche und überlegen Sie, unter welchem Winkel zur Grenzflächennormale eine ebene Welle von der Luftseite einfallen müsste, um ein Oberflächenplasmon anzuregen. Hinweis: Beachten Sie, dass die Parallelkomponenten des Wellenvektors stets erhalten sein muss. Unter dem gesuchten Anregungswinkel muss also gelten k x,ebenewelle = k x,spp. (l) (3 Pkt.) Nun betrachten wir die sogenannte Kretschmann Konfiguration zur Anregungen von Oberflächenplasmonen. Hier wird ein Metallfilm auf ein Dielektrikum mit ε d > 1 aufgebracht, wobei die Filmdicke von der Grössenordnung der Skin-Eindringtiefe ist [s. Abb. 1(b)]. Bestimmen Sie den Winkel α, unter dem eine ebene Welle der Frequenz ω aus dem Dielektrikum einfallen muss, so dass auf der Vakuum-Metall Grenzfläche ein Oberflächenplasmon angeregt werden kann. (m) (4 Pkt.) Bestimmen Sie die maximale Frequenz (als Funktion des Brechungsindex n d des Dielektrikums), bei der ein Oberflächenplasmon angeregt werden kann. Illustrieren Sie diese Frequenz, indem Sie Ihrer in Aufgabe (i) erstellten Dispersionsrelation noch die Lichtlinie im Dielektrikum auf der Einfallsseite hinzufügen. Es existiert eine Sensorfamilie, deren Operationsprinzip auf der Erzeugung von Oberflächenplasmonen basiert. In der Kretschmann Konfiguration werden unter dem passenden Einfallswinkel Oberflächenplasmonen angeregt, was sich in einer relativ niedrigen Reflektivität der Grenzfläche niederschlägt. Die Oberseite des Metallfilms, auf der die Plasmonen propagieren, wird nun dem Analyten ausgesetzt. Oftmals wird die Metalloberfläche funktionalisiert, so dass bestimmte Analyten sich präferentiell daran binden. Die Präsenz der gebundenen Analyten verändert nun den 3

4 Brechungsindex auf der Oberseite des Metallfilmes, wodurch sich die Dispersionskurve der Oberflächenplasmonen verschiebt. Im Reflexionssignal von der Sensorunterseite zeigt sich die Präsenz des Analyten durch eine Zunahme der Reflektivität, da nun der Einfallswinkel nicht mehr passend ist zur Anregungen von Oberflächenwellen. Die herausragende Stärke solcher SPP Sensoren liegt in der Sensitivität auf Brechungsindexänderungen in unmittelbarer Nähe der Oberfläche dank der ins Medium hinein exponentiell abfallenden evaneszenten Felder. 4

5 2 Energieerhaltung an Grenzflächen (60 Pkt.) Laut dem Poynting Theorem ist mit der Propagation elektromagnetischer Strahlung stets ein Energiefluss verbunden. Die in der Sonne durch nukleare Fusionsprozesse erzeugte Energie wird beispielsweise durch elektromagnetische Strahlung zur Erde transportiert. Ebenso ist auch jeglicher Informationsaustausch in drahtlosen Netzwerken stets mit einem Energiefluss vom Sender zum Empfänger verbunden. Formal ist dieser Energiefluss durch den Poynting Vektor S beschrieben. Für ein monochromatisches Feld ergibt sich der zeitliche Mittelwert des Poynting Vektors aus den komplexen Feldamplituden nach S = 1 2 Re{E(r) H (r)}. (10) In verlustfreien Medien (ε, µ R) muss die Strahlungsenergie erhalten sein. Dies gilt natürlich insbesondere an Grenzflächen zwischen verlustfreien Medien. Wir betrachten in dieser Aufgabe den Energietransport über eine Grenzfläche zwischen einem Medium 1 mit Materialkonstanten ε 1 und µ 1 im Halbraum z < 0 und einem Medium 2 (ε 2 und µ 2 ) im Halbraum z > 0. (a) z (b) E 2 ε 2,µ 2 θ 2 k 2 ε 1,µ 1 x ε 1,µ 1 E 3 3 k E i E i θ r 1 θ 1 k r ε 2,µ 2 ε 1,µ 1 d E i 2 1 E r Abbildung 2: (a) Eine p-polarisierte ebene monochromatische Welle trifft unter dem Winkel θ 1 aus einem Medium 1 mit Materialparametern ε 1, µ 1 auf eine Grenzfläche mit einem Medium 2 mit ε 2, µ 2 auf. Die Einfallsebene sei die y = 0 Ebene. (b) Schichtsystem mit Material 2 der Dicke d eingebettet zwischen Material 1 (unten) und Material 3 (oben), wobei die Materialien 1 und 3 gleich seien. Vom Medium 1 falle eine monochromatische ebene Welle unter einem Winkel θ 1 zur Grenzflächennormalen in der y = 0 Ebene ein, wie in Abb. 2(a) gezeigt. Der Poynting Vektor im Medium j sei S j und seine z-komponente S j z. Wir überzeugen uns im Folgenden (exemplarisch für ein p-polarisiertes Feld), dass der Energiefluss normal zur Grenzfläche über diese hinweg erhalten ist, so dass gilt S 2 n z = S 1 n z. (11) (a) (10 Pkt.) Formulieren Sie unter Verwendung der Fresnel-Koeffizienten das einfallende p- polarisierte elektrische Feld E i (r) mit komplexer Amplitude E 0, sowie das reflektierte Feld E r (r) und das transmittierte Feld E t (r) in Vektorschreibweise. Wie lautet das Gesamtfeld E 1 (r) im Halbraum 1? Ersetzen Sie sämtliche Winkel durch die Parallelkomponenten k x1, k x2 sowie die z-komponenten k z1, k z2 der Wellenvektoren. Welche Relation gilt zwischen k x1 und k x2? 5

6 (b) (5 Pkt.) Berechnen Sie die magnetischen Felder H 1 (r) (aus H i (r) und H r (r)) sowie H t (r). (c) (5 Pkt.) Zeigen Sie, dass der Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche im Medium 1 lautet S 1 (r) z = 1 E 0 2 k ( z1 1 r p 2). (12) 2 Z 1 k 1 (d) (2 Pkt.) Berechnen Sie den Energiefluss im Halbraum 1 in z-richtung im Falle von Totalreflexion an der Grenzfläche. Betrachten Sie dazu den aus der Vorlesung bekannten Ausdruck für den Reflexionskoeffizienten. Begründen Sie Ihr Ergebnis anschaulich. (e) (5 Pkt.) Zeigen Sie, dass der Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche im Medium 2 lautet S 2 (r) z = 1 E 0 2 Re(k z2 ) t p 2. (13) 2 Z 2 k 2 (f) (2 Pkt.) Berechnen Sie den Energiefluss im Halbraum 2 in z-richtung im Falle von Totalreflexion an der Grenzfläche. Was bedeutet Ihr Ergebnis für den Energietransport durch evaneszente Felder? (g) (6 Pkt.) Zeigen Sie nun, dass der Energiefluss normal zur Grenzfläche über diese hinweg erhalten ist, also Gl. (11) gilt. Benutzen Sie dabei die aus der Vorlesung bekannten Ausdrücke für die Fresnel-Koeffizienten. Wir bringen nun hinter die Grenzfläche zwischen den Medien 1 und 2 in einem Abstand d eine weitere Grenzfläche zu einem Medium 3 mit denselben Materialparametern wie das Medium 1, wie in Abb. 2(b) gezeigt. In Aufgabe 1 der Übung 5 haben Sie bereits den totalen Transmissionskoeffizienten durch die beiden Grenzflächen bestimmt t ges = t 12t 21 e iϕ 1 r21 2, (14) e2iϕ mit der innerhalb des Mediums 2 aufgenommenen Phase ϕ = k z2 d. (h) (2 Pkt.) Argumentieren Sie ohne Rechnung, wie das Verhältnis der Energieflüsse S 3(r) z S 1 (r) z senkrecht zu den Grenzflächen in den Medien 1 und 3 lauten muss. (i) (4 Pkt.) Berechnen Sie den Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche im Medium 3 in Abhängigkeit von der Amplitude des einfallenden Feldes E 0, seinem Einfallswinkel θ 1, der Wellenimpedanz Z 1 und dem gesamten Transmissionskoeffizienten t ges. (j) (4 Pkt.) Welchen Wert muss t ges für d 0 annehmen? Beweisen Sie Ihre Behauptung, indem Sie die aus der Vorlesung bekannten Fresnel-Koeffizienten in Gl. (14) einsetzen. In der Übung 5 haben Sie sich bereits mit dem Fabry-Pérot Etalon vertraut gemacht, bei dem die Transmission durch eine dünne Schicht durch Interferenzeffekte periodische Maxima im Abstand des freien Spektralbereichs zeigt. Hier betrachten wir nun den Fall, dass n 1 > n 2 gilt und somit bei Einfallswinkeln grösser als θ 1 = sin 1 (n 2 /n 1 ) Totalreflexion an der ersten Grenzfläche auftritt, die durch die Präsenz der zweiten Grenzfläche frustiert werden kann. 6

7 (k) (4 Pkt.) Zeigen Sie, dass im Fall von frustrierter Totalreflexion die Gesamttransmission t ges 2 für Schichtdicken d λ 0 näherungsweise exponentiell abfällt mit t ges 2 = t 12 2 t 21 2 e 2 k z2 d. (15) (l) (8 Pkt.) Erstellen Sie einen Graphen von t ges 2 als Funktion der Filmdicke in Einheiten der Vakuumwellenlänge d/λ 0 für die drei Einfallswinkel θ 1 = 0, π/6, π/4, π/3. Beschriften Sie Ihre Achsen und erstellen Sie eine aussagekräftige Legende sowie einen Titel. Nehmen Sie einen Vakuumspalt an, der von Glas mit den Materialparametern ε 1 = 2.25 und µ 1 = 1 umgeben ist. In welchem Winkelbereich zeigt der Film Fabry-Pérot Resonanzen und in welchem Winkelbereich beobachten Sie frustierte Totalreflexion? (m) (3 Pkt.) Argumentieren Sie, warum der Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche im Medium 2, also S 2 (r) z, auch im Falle von Totalreflexion endlich sein muss. In der Aufgabe (f) haben Sie gezeigt, dass im Falle von Totalreflexion durch die evaneszente Welle auf der Seite des optisch dünneren Mediums keinerlei Energie normal zur Grenzfläche transportiert wird. Nun haben wir jedoch für den Fall frustrierter Totalreflexion gefunden, dass aufgrund der Energieerhaltung im Medium 2 ein endlicher Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche bestehen muss. Innerhalb der Schicht ist jedoch die Wellenzahl k z2 zweifelsohne noch stets imaginär und die Felder in der Schicht darum senkrecht zur Grenzfläche evaneszent. Wie kann plötzlich doch durch den Spalt der Dicke d Energie fliessen, wenn darin nur evaneszente Felder bestehen? Hinweis: Gehen Sie in Ihrer Argumentation (ohne Rechnung) auf die (Nicht-)Linearität des Poynting Vektors bezüglich der Felder und daraus resultierende Interferenzeffekte ein. 7