Elektromagnetische Wellen

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1 Laufende Nr.: Matriel-Nr Seite: Ruhr-Uniersität Bochum Lehrstuhl für Hochfrequenztechni Σ 60 Prüfungslausur im Fach: Eletromagnetische Wellen am , 9:00 bis :00 Bitte die folgenden Hinweise beachten:. Dauer der Prüfungslausur: 80 Minuten. Die Aufgabenblätter enthalten auf 0 Seiten 4 Aufgaben. Bitte auf Vollständigeit überprüfen!. Bitte laufende Nr. und Matriel-Nr. auf jedem dieser Blätter eintragen! 4. Aufgabentypen: a) Mehrere Lösungen werden orgeschlagen. Es önnen eine oder mehrere daon richtig sein. Die Aufgabe wird nur dann als richtig bewertet, wenn genau alle richtigen Lösungen angereuzt sind. b) Das Ergebnis (Zahlenwert, Ausdruc oder Begründung) ist in die umrahmten Felder einzutragen. 4. Ansätze, Nebenrechnungen und nicht abgefragte Zwischenergebnisse werden nicht mitbewertet. 5. Bitte die Aufgabenblätter nicht beschreiben. Für Nebenrechnungen wird zusätzlich Papier ausgegeben. 6. Bitte nur diese Aufgabenblätter am Ende der Bearbeitungszeit abgeben! 7. Die Klausurergebnisse werden gemeinsam mit den Terminen für die mündlichen Ergänzungsprüfungen am Schwarzen Brett des Lehrstuhls ausgehängt. Aufgabe Gegeben sind zwei aneinandergrenzende dieletrische Halbräume (artes. Koord.) () z < 0 : ε r =, µ r = () z > 0 : ε r =, µ r = In z < 0 bereitet sich eine Welle in positier x-richtung aus: j x E ( x z) E ey ( z z ) e x, = 0 cos + ϕ ( ϕ : beliebige Phase) Im Bereich z > 0 breitet sich ebenfalls eine Welle in positier x-richtung aus: - α z jβ x E( x, z) = E0 e y e e Es gilt: E ( z = 0 ) = E ( z = d ) mit d = 5 cm. Außerdem gelten in z = 0 die Stetigeitsbedingungen. Die Wellen sind zeitharmonisch mit der Frequenz f = GHz. a) Geben Sie α an: α =,86 m b) Geben Sie β an: β = 64,4 m c) Geben Sie x in Abhängigeit on β an: x = β d) Geben Sie z an: z = 6,7 m

2 Laufende Nr.: Matriel-Nr Seite: Aufgabe Im folgenden seien zwei mögliche Lösungen der Wellengleichung gegeben: (i) E = E0 sin ( ω t z), E 0 = E 0 e y, E 0 positi reell (ii) E = E0 [ cos ( ω t z) ex + sin ( ω t z) ey ], E 0 positi reell a) Welche der folgenden Aussagen gelten für die unter (ii) mit E beschriebene Welle? Die Welle ist eine HEW Die Welle ist eine Kugelwelle Die Welle ist rechtszirular polarisiert Die Welle ist linszirular polarisiert Die Welle ist linear polarisiert b) Berechnen Sie die zugehörigen Phasoren der magnetische Feldstäre und drücen Sie die Ergebnisse mit Hilfe on E, E, = e z, µ und ω aus. (i) H = (ii) H = E ω µ E ω µ c) Bestimmen Sie die zugehörigen Poyntingetoren im Zeitbereich in Abhängigeit on den Größen E0, E0, t, µ, ω,. Hinweis: A ( B C) = B ( A C) ( A B) C (i) S ( x y z t),,, = ω µ ( ) E0 sin z ω t (ii) S ( x y z t),,, = ω µ E0 d) Geben Sie die zeitlichen Mittelwerte der Poyntingetoren an: (i) S = ω µ E0 (ii) S = E ω µ 0

3 Laufende Nr.: Matriel-Nr Seite: Aufgabe Eine HEW im Vauum mit einer Frequenz f = 00 MHz und T = /f wird in artesischen Koordinaten durch folgende Angaben beschrieben: () E ( r = 0, t = 0) = E0 e x () E ( r = 0, t = T / 4) = E0 e y () E ( r = 0, t = 0) E ( r = 0, t = T / 4) = q n Weitere Angaben: n = Normalenetor in Ausbreitungsrichtung, q = positi reell a) Wie ist die Welle polarisiert? linear linselliptisch rechtselliptisch linszirular rechtszirular b) Berechnen Sie den Phasor des magnetischen Feldes. E H( r ) = 0 j z r 0 ( y + x ) Z e e j e 0 c) Nun befindet sich in der Ebene z = 0 eine ideale eletrische Wand. Die HEW wird nun aus der Richtung n ommend an dieser Wand refletiert. Berechnen Sie den Phasor des magnetischen Feldes der insgesamt resultierenden Welle. z < 0 : H ( r ) = E0 Z0 ( ey + j e x ) cos ( 0 z) 0 : H 0 ( r ) z > = d) Berechnen Sie den Realteil des omplexen Poyntingetors der resultierenden Welle S = 0

4 Laufende Nr.: Matriel-Nr Seite: 4 Aufgabe 4 Gegeben sei ein leitendes Medium mit der Leitfähigeit κ und der Permeabilität µ, welches den gesamten Raum (Annahme: artesische Koordinaten) ausfüllt. a) Welche Eigenschaften muß das Medium besitzen, damit aus di D = ρ folgt, daß di E = 0 ist? Das Medium ist isotrop homogen quellenfrei nicht dispersi b) Im folgenden habe das Medium diese Eigenschaften, so daß di E = 0 erfüllt ist. Leiten Sie aus den Maxwell schen Gleichungen die Differentialgleichung für die Stromdichte J her. Geben sie die Lösung für Phasoren an! V = grad di V V Hinweis: rot rot ( ) J j ω κ µ J + ω ε µ J = 0 c) Unter Vernachlässigung der Verschiebungsstromdichte erhält man folgende Gleichung: J j ω µ κ J = 0. In der Ebene y = 0 wird nun die Stromdichte J = J 0 e x eingeprägt. Bestimmen Sie die Lösung für J unter der Annahme, daß die Ströme im Unendlichen erschwinden! Hinweis: Benutzen Sie in Ihrer Lösung die Sintiefe δ =! µ ω κ J x, y, z = ( ) (+ j) J0 ex e δ y d) Geben Sie die Lösung aus Aufgabe c) im Zeitbereich an: J( x, y, z, t) = J e y 0 x e δ cos ω t y δ

5 Laufende Nr.: Matriel-Nr Seite: 5 Aufgabe 5 Eine eletromagnetische Welle im freien Raum sei in artesischen Koordinaten durch die eletromagnetischen Potentiale A und Φ beschrieben. Es sind gegeben: q y Φ ( r ) = Φ 0 sin ( p x) e ; Az = Ax = 0 ; p positi reell; q omplex. a) Geben Sie A ( x y) y, an! Gehen Sie dabei daon aus, daß A und Φ die Lorentz-Konention erfüllen und daß gilt: A y ( 0, 0) = 0. A y ( x, y) = jωε µ + Φ sin( ) q px e q y b) Geben Sie den Phasor der magnetischen Feldstäre an: H x y (, ) = jω ε 0 p + Φ cos ( ) q 0 q y p x e e z Hinweis: Die folgenden Aufgabenteile sind ohne a) und b) lösbar! c) Geben Sie den Phasor der x-komponente der eletrischen Feldstäre an: E x ( x, y) = p Φ 0 cos ( ) p x e q y d) Welche Bedingung muß p erfüllen, damit eine sich in positier y-richtung ausbreitende Welle orliegt? p < 0 e) Diese Bedingung (Teilaufgabe d) sei im folgenden erfüllt. Handelt es sich um eine TEM- Welle? Hinweis: Ohne Begründung eine Wertung der Antwort! Begründung: Ja Nein Φ t Φ = = p Φ 0 x

6 Laufende Nr.: Matriel-Nr Seite: 6 Aufgabe 6 Für ein Medium mit der Materialonstanten ist folgender Zusammenhang gegeben: r E rot H = E t. Welche Eigenschaften hat das Medium? Aufgabe 7 Das Medium ist linear. Das Medium ist isotrop. Das Medium ist homogen. Keine der obigen Eigenschaften. Zwischen einer horizontalen, ideal leitenden Ebene z = 0 und einem Halbraum z > h, der mit einem idealen, erlustlosen, isotropen Plasma gefüllt ist, befinde sich eine Luftschicht der Höhe h. Der Übergang Luft/Plasma in der Ebene z = h sei abrupt und bilde eine disrete, horizontale Grenzschicht. Die dieletrischen Eigenschaften der Luft seinen mit ε r = beschrieben. Die Plasmafrequenz sei f p =0 MHz. Betrachtet werden geführte Wellen (eine Abstrahlung in das Plasma!), die sich in der Luftschicht in +y-richtung ausbreiten und deren Feldstrutur on der x-koordinate unabhängig sind. a) Was ist die größte mögliche Phasengeschwindigeit ph max bei der Frequenz f = f p? ph max = b) Was ist die größte mögliche Phasengeschwindigeit ph max bei der Frequenz f = f p? ph max = c 0

7 Laufende Nr.: Matriel-Nr Seite: 7 Aufgabe 8 a) Gegeben ist der folgende Phasor einer Welle in artesischen Koordinaten : j z α z H( x, y, z) = H0 ex e e, α und positi reell. Welche Aussagen sind richtig? Die Welle ist eben. Die Welle ist homogen. Keine der obigen Aussagen ist richtig. b) Gegeben ist der folgende Phasor einer Welle in Kugeloordinaten: H( r ) e H h r e j r e α r, ϕ, ϑ = ϕ 0 sin ϑ, α > 0, h > 0, Welche Aussagen sind richtig? Aufgabe 9 Das Medium ist erlustbehaftet Das Medium ist erlustfrei Die Welle ist eben. Die Welle ist homogen. Keine der obigen Aussagen ist richtig. Gegeben sind zwei Medien mit ε r =, µ r = bzw. mit ε r =, µ r =. Die Medien sind durch eine ebene Grenzfläche getrennt. a) Aus welchem Medium muß eine HEW auf die Grenzfläche einfallen, damit es zur Totalreflexion ommen ann? aus Medium aus Medium Es ann nie zu einer Totalreflexion ommen b) Was läßt sich über die Gruppengeschwindigeiten der HEW g r und g r in den beiden Medien sagen? g r > g r g r > g r Es ist eine Aussage möglich

8 Laufende Nr.: Matriel-Nr Seite: 8 Aufgabe 0 0 ( n ( ex ey ) Eine homogene, ebene Welle mit dem Phasor j n r Ee = E ez e = ) breitet sich im Vauum aus und trifft auf einen dieletrischen Halbraum y > 0. Die Welle wird teilweise refletiert. Der Phasor der transmittierten Welle hat die Form: j r Et = E ez e a) Geben Sie an. = ( ex + 4e y ) 5 0 b) Geben Sie E / E an. E E = 0,769 Aufgabe Gegeben ist eine erlustlose Koaxialleitung mit Außenradius r a, Innenradius r i und ε r >. Welche Maßnahmen erhöhen ihren Leitungswellenwiderstand? Verringern on r a Verringern on r i Erhöhen on ε r Verringern on ε r Keine der oben genannten Maßnahmen

9 Laufende Nr.: Matriel-Nr Seite: 9 Aufgabe Gegeben ist der nebenstehende Querschnitt eines Wellenleiters. Für a >> d > 0 önnen über die eletrische Feldstäre E ( ρ, ϕ, z) (Zylinderoordinaten) einer sich in positier z- Richtung ausbreitenden TEM-Welle näherungsweise die folgenden Aussagen getroffen werden: γz U0 e () Eρ( a, ϕ, z) = π ( a d) + d ϕ für 0 < ϕ < π U () E ρ ρ π 0,, z = π ρ für ρ > b γz e a) Berechnen Sie den Phasor der zwischen Innen- und Außenleiter liegenden Spannung U ( z ). ( ) U z = U0 a π ln b e γ z b) Berechnen Sie den Formfator der Leitung F = d π a a ln b a ln a d c) Im folgenden gelte d = 0. Der Außenleiter besteht jetzt aus einem Material mit endlicher Leitfähigeit κ (Sintiefe δ ). Der Innenleiter ist weiterhin ideal leitend. Geben Sie den auf die Länge bezogenen Verlustwiderstand R' an. R'= π a δ κ

10 Laufende Nr.: Matriel-Nr. Seite: 0 Aufgabe Betrachtet werde ein zylindrischer Hohlleiter mit rechtecigem Querschnitt und der Breite a. Die Höhe sei b < 0,a. Der Wellenleiter sei teilweise mit einem Dieletrium (ε r = 4) und mit Luft (ε r = ) gefüllt. Betrachtet werde der Wellentyp niedrigster Ordnung mit einer on der x-richtung unabhängigen Feldstrutur und ertialer Polarisation. Die Felderteilung ist wegen der inhomogenen dieletrischen Füllung unsymmetrisch. Berechnen Sie die untere Grenzfrequenz f c min des Wellenleiters für den Wellentyp niedrigster Ordnung! (Machen Sie dabei on der Vorstellung Gebrauch, daß bei der Grenzfrequenz die Wellenlänge dieses Wellentyps unendlich groß wird) Aufgabe 4 Es werden zwei Lichtwellenleiter mit oaxialer Strutur und dem üblichen dieletrischen Stufenprofil für den Betrieb im Infrarot-Bereich ( λ 0 = 00 nm) betrachtet. Die Manteldurchmesser seien D = D = 00 µ m.die Kerndurchmesser seien d = 70 µ m und d = 7 µ m. f c min = c0 8a a) (i) Welche Leitung ist für den Mono-Mode-Betrieb ( einwellig ) dimensioniert? Leitung Leitung (ii) Welche Leitung ist für den Multi-Mode-Betrieb ( ielwellig ) dimensioniert? Leitung Leitung b) Mit welchem Lichtleiter lassen sich bei nachrichtentechnischer Anwendung die größeren Bandbreiten übertragen? Leitung Leitung