Elektromagnetische Felder Klausur 25. Februar 2005

Transkript

1 1. Gegeben sind die folgenden Größen in kartesischen Koordinaten: a = (, z, ), b = (,, 3z), f = z. Bestimmen Sie: a) das Skalarprodukt a b, b) das Kreuzprodukt a b, c) grad f, d) div a, e) rot b, f) f. (4 Punkte). Bestimmen Sie die Rotation des Magnetfeldes eines Leiters im gesamten Raumgebiet. a) Berechnen Sie zunächst das Magnetfeld H( r) eines geraden, unendlich langen, vom Strom I 0 durchflossenen Leiters mit kreisförmigen Querschnitt und dem Durchmesser d im gesamten Raumgebiet. Der Strom sei dabei gleichmäßig über den Leiterquerschnitt verteilt. b) Für jeden Raumpunkt soll nun die Rotation des zuvor berechneten zugehörigen Magnetfeldes durch eplizite Rechnung bestimmt werden. (5 Punkte) 3. Gegeben sei eine im Koordinatenursprung zentrierte Kugel mit dem Radius R 0. In der Kugel befindet sich eine elektrische Raumladungsdichteverteilung ρ mit folgender Verteilungsfunktion: r ρ(r) = ρ 0 für r < R 0 R 0 Das Material der Kugel sei Vakuum. Die Kugel selber ist eingeschlossen in einem Dielektrikum mit der relativen Permittivität ε r = 3, hier ist ρ(r) = 0. Bestimmen Sie: a) die elektrische Ladung Q( r) für eine Kugel mit dem Radius r für den Fall r < R 0, b) die elektrische Ladung Q( r) für eine Kugel mit dem Radius r für den Fall r R 0, c) die dielektrische Verschiebungsflussdichte D( r) im gesamten Raum, d) die elektrische Feldstärke E( r) im gesamten Raum e) und die elektrische Polarisation P ( r) im gesamten Raum. Tipp: Fallunterscheidung ist notwendig. (8 Punkte)

2 4. Die dicke Außenwand eines Wassertanks bestehe aus Pleiglas, in dieser befindet sich eine Laserdiode. Sie strahlt auf das Wasser linear polarisiertes Licht ein, das als eine ebene Welle angenommen werden kann. Der Brechungsinde von Wasser ist hier etwa n = 1,3 und von Pleiglas ca. n = 1,5. a) Unter welchem Winkel α aus tritt die Welle aus der Pleiglaswand aus, wenn sie im Winkel α ein auf die Grenze zum Wasser trifft? b) Geben Sie die Bestimmungsgleichung für den Winkel α ein an, ab dem die Welle komplett an der Grenzschicht reflektiert wird. c) Der reflektierte Anteil soll nun komplett verschwinden. Können Sie das durch Variation des Einfallswinkels erreichen? Wenn ja, wie müssen Einfallswinkel und Polarisationsebene (Ebene aufgespannt durch E und k) gewählt werden und wie wird dieser Einfallswinkel bezeichnet? Wenn nein, begründen Sie Ihre Antwort! Bemerkung: alle Winkel werden in Bezug auf die Normale zur Grenzschicht angegeben. (6 Punkte) 5. Gegeben ist ein smmetrisches n-eck gemäß Skizze (n 3). a) Bestimmen Sie die magnetische Flussdichte B im Mittelpunkt dieser Leiterschleife in Abhängigkeit von der Anzahl n der Kanten. b) Benutzen Sie den in a) gefundenen Ausdruck und bilden Sie den Grenzwert für n Kanten. I l c) Berechnen Sie nun in Zlinderkoordinaten die magnetische Flussdichte im Mittelpunkt eines Kreises mit Radius l. Vergleichen Sie dieses Ergebnis mit dem in b) gefundenen Grenzwert. (1 Punkte) 6. Bestimmen Sie von den gegebenen Möglichkeiten DIE statischen Feldbilder, die zu der nebenstehend dargestellten längsgeschichteten, idealen Plattenkondensatoranordnung gehören. Die Dichte der Feldlinien ist proportional zur Feldstärke. ( Punkte)

3 7. Gegeben sei eine Grenzfläche zwischen zwei Medien 1 und. Die Medien unterscheiden sich in ihren Permittivitäten und Permeabilitäten. Der Normalenvektor n auf der Grenzfläche zeigt von Medium 1 ins Medium. In der Grenzfläche sind eine Grenzflächenladungsdichte σ und eine Grenzflächenstromdichte K vorhanden. Geben Sie diejenigen Gleichungen von den nachfolgend aufgelisteten an, die das Verhalten der vier Feldstärken an der Grenzfläche korrekt beschreiben. Außerdem ist die jeweils zugehörige Mawellgleichung in differentieller Form anzugeben aus der die Randbedingung hergeleitet werden kann. Die Herleitung selbst ist nicht gefordert. n ( B B 1 ) = 0 n ( D D 1 ) = K n ( E E 1 ) = 0 n ( H H 1 ) = σ n ( H H 1 ) = 0 n ( D D 1 ) = ρ ρ 1 n ( E E 1 ) = 0 n ( B B 1 ) = J J 1 n ( E E 1 ) = σ n ( B B 1 ) = σ n ( H H 1 ) = J J 1 n ( D D 1 ) = σ n ( D D 1 ) = 0 n ( B B 1 ) = K n ( E E 1 ) = ρ ρ 1 n ( B B 1 ) = 0 n ( E E 1 ) = σ n ( H H 1 ) = K n ( H H 1 ) = 0 n ( D D 1 ) = 0 n ( E E 1 ) = K (6 Punkte) 8. Im Folgenden sind vier einfache Querschnitte skizziert. In den Abbildungen a) und b) sind Querschnitte von Metallflächen durch dicke Linien gekennzeichnet. Diese Metallflächen sollen auf +5 V liegen, die nächsten Metallflächen in der Umgebung sind weit entfernt und geerdet. In den Abbildungen c) und d) fliessen die Ströme in Linienleitern senkrecht zur Zeichenebene. Sie sind zeitlich konstant und andere Ströme und magnetische Werkstoffe mit µ r 1 sind auch hier weit entfernt. Skizzieren Sie die elektrischen Felder E und die magnetischen Flussdichten B soweit vorhanden mit ihrem charakteristischem Verhalten. Deuten Sie dabei die Feldstärke grob durch die Dichte der Feldlinien an. Benutzen Sie hierfür das am Ende dieser Klausuraufgaben vorhandene Etrablatt mit großen Abbildungen und geben Sie dieses zusammen mit Ihren sonstigen Lösungen ab. a) ε r =1 ε r = rag replacements ε r =3 b) c) d) PSfrag replacements j µ r =500 PSfrag replacements µ r =1 µ r =500 µ r =1 j (6 Punkte)

4 9. Wir betrachten einen kegelförmigen Leiter mit kreisförmigem Querschnitt, der längs vom zeitlich konstanten Strom I 0 durchflossen wird. Es soll die Stromdichte J in Abhängigkeit des Ortes berechnet werden. r 1 r I =0 l Hinweis: Es wird genähert, dass die Stromdichte den Querschnitt an jeder Stelle senkrecht durchsetzt. a) Berechnen Sie die Stromdichte J 0 bei = 0 und J l bei = l. b) Nach welcher Gesetzmäßigkeit verändert sich der Radius entlang der -Achse? Berechnen Sie die Funktion r(). c) Geben Sie nun die Stromdichte J in Abhängigkeit von an. Es soll nun die magnetische Feldstärke im Leiter für den konstanten Abstand r 1 -Achse in Abhängigkeit von bestimmt werden. zur d) Welche Mawellsche Gleichung erlaubt die Berechnung der magnetischen Feldstärke ausgehend von der Stromdichte? Geben Sie dieses Gesetz in differentieller Form an. e) Welcher Term des Gesetzes entfällt aufgrund der hier vorliegenden Feldeigenschaften? f) Bestimmen Sie den gesuchten Feldstärkeverlauf mit Hilfe der integralen Form des in d) gefragten Gesetzes. g) Welcher Integralsatz wird benötigt, um das oben gefragte Gesetz von der differentiellen Form in die integrale Form umzuformen? Es reicht die Angabe des Namens. (8 Punkte) 10. Gegeben sei eine in z-richtung unendlich ausgedehnte Trennfläche auf der -Achse, die PSfrag replacements zwei Raumbereiche mit ε r1 = 1 und ε r = voneinander trennt. Auf die ladungsfreie Trennfläche trifft ein elektrisches Feld E 1 = E 0 (cos (30 ) e sin (30 ) e ) unter einem Winkel von ϕ = 30 gegen die -Achse. Bestimmen Sie die elektrische Feldstärke E, sowie die dielektrischen Verschiebungsflussdichten D 1 und D. (5 Punkte) E 1 ε r1 = 1 ϕ ε r =

5 11. a) Wie groß ist der Betrag des B-Feldes einer idealisierten geraden Leitung, in der sich 10 As eine Linienladungsdichte τ = 10 mit einer Geschwindigkeit v = 10 m bewegt? m s b) Zusätzlich sei parallel in 0, m Abstand die gleiche Anordnung noch einmal vorhanden. Wie groß ist die Magnetkraft in N pro m Länge durch das Magnetfeld aus a), ist sie anziehend oder abstoßend? Wie viele Größenordnungen muss der Strom in beiden Leitern größer sein, damit die Kraft pro m genau 1 N beträgt? c) Schätzen Sie die Coulombkraft in N im Vergleich zu b) auf 1 m Leitungslänge ab. Wenn Sie die richtige Abstandsabhängigkeit und Größenordnung für die Proportionalitätskonstante bei der E -Feldberechnung eines der beiden Leiter ansetzen, liegen Sie auch ohne die eakte Formel im richtigen Bereich. Bitte geben Sie bei jedem Rechenschritt auch die jeweiligen Einheiten an. (7 Punkte) 1. Gegeben sind die E- und H-Komponenten eines Hertzschen Dipols: E r = I [ 0 l µ 4π ε r j ] cos ϑ e j(ωt kr) ωεr 3 E ϑ = I [ 0 l jωµ µ 4π + r ε 1 r j ] sin ϑ e j(ωt kr) ωεr 3 H ϕ = I [ 0 l jk 4π r + 1 ] sin ϑ e j(ωt kr) r E ϕ = H r = H ϑ = 0 Ferner gilt der Zusammenhang ω = c λ vac π. a) Skizzieren Sie diesen Hertzschen Dipol in einem Koordinatensstem mit richtiger Zuordnung der Kugelkoordinaten, der Stromrichtung und der Größe l. Was gibt die Größe k an? b) Vereinfachen Sie nun die o.a. Feldkomponenten für den Fall, dass der Betrachtungsort r sehr weit von der Quelle entfernt ist. c) Berechnen Sie mit den in b) gefundenen Vereinfachungen den zeitlichen Mittelwert des Pontingvektors S(r, ϕ, ϑ). Fassen Sie entsprechende Größen in dem gefundenen Ausdruck zu dem Freiraumwellenwiderstand Z 0 zusammen. Ersetzen Sie ausserdem die Stromamplitude I 0 durch ihren Effektivwert I eff. Tipp: Zur Berechnung des zeitlichen Mittelwerts kann in diesem Fall auf ein Integral verzichtet werden. In der Vorlesung wurde ein Zusammenhang zwischen E- und H-Feld in kompleer Darstellung und dem reellen zeitlichen Mittelwert bzw. Effektivwert des Pontingvektors angegeben. d) Geben Sie allgemein an, wie die abgestrahlte Leistung P mit dem Pontingvektor zusammenhängt (Integraldarstellung). Berechnen Sie mit Hilfe dieses Integrals den Strahlungswiderstand R S. (9 Punkte)

6 13. Was wird bei dem Eindeutigkeitssatz, der den -ausgedehnten Raum ohne Randbedingungen betrifft, als bekannt vorausgesetzt und wessen Eindeutigkeit beweist man? Nach wem ist dieses Theorem benannt? (3 Punkte) 14. Betrachten Sie einen quaderförmigen Hohlraum mit ideal leitfähigen, metallischen Wänden (Resonator). Er sei homogen mit einem Material (ε, µ) gefüllt. Seine Kantenlängen sind a, b und c in den drei kartesischen Raumrichtungen, und z. Das elektrische Feld im Inneren ist gegeben durch: E(,, z, t) = E 0 sin(π a ) sin(π b ) cos(ωt) e z. Ausserhalb des Quaders ist kein Feld vorhanden. Der Quader sei so gelegen, dass eine Ecke im Ursprung positioniert ist und alle von dort ausgehenden Kanten in Richtung der positiven Achsen verlaufen ( [0; a], [0; b], z [0; c]). Hinweis: Einige der Teilaufgaben sind lösbar, ohne die Ergebnisse der Vorigen zu kennen. a) Berechnen Sie mit Hilfe einer geeigneten Mawellgleichung das Magnetfeld H(,, z, t) im Quader und geben Sie dieses in reeller Darstellung an. b) Berechnen Sie die elektrische Energiedichte w el (,, z, t) im Quader. c) Welche Dimension hat die elektrische Energiedichte? d) Berechnen Sie die im gesamten Quader vorhandene elektrische Energie W el (t). e) Berechnen Sie die im gesamten Quader vorhandene magnetische Energie W mag (t) mit Hilfe der magnetischen Energiedichte w mag (,, z, t). f) Berechnen Sie die Leistungsflussdichte S(,, z, t) im Quader. g) Berechnen Sie den zeitlichen Mittelwert der Leistungsflussdichte über eine volle Periode T = π ω. h) Welche Dimension hat die Leistungsflussdichte? (14 Punkte) 15. Gegeben sei eine Punktladung Q 0 auf der z-achse bei z 0 > 0. In der --Ebene befindet sich eine unendlich ausgedehnte Metallplatte auf dem Potential 0 V. a) Geben Sie das Potential Φ 0 ( r) der bei z = z 0 liegenden Punktladung ohne Berücksichtigung der Metallplatte an. b) Ermitteln Sie nun das gesamte Potential Φ( r) im oberen Halbraum z > 0 unter dem zusätzlichen Einfluss der Metallplatte. c) Berechnen Sie das zugehörige elektrische Feld E( r). d) Untersuchen Sie, ob die Randbedingung des elektrischen Feldes an der Metallplatte erfüllt wird oder nicht. (7 Punkte)

7 16. Bestimmen Sie von einem bekannten Problem ausgehend mit Hilfe einer konformen Abbildung die Äquipotentiallinien bei einer komplizierten Geometrie wie folgt: In der w-ebene mit w = u + jv liegt ein unendlich ausgedehnter Plattenkondensator mit parallelen Platten im Abstand d. An den Platten liegt eine Spannung U 0 an. jv -U 0 d u Es soll untersucht werden, auf welche Anordnung die konforme Abbildung z = d cosh ( π d w ) diese Konfiguration in die z-ebene mit z = + j transformiert. a) Geben Sie das Potential φ und das elektrische Feld E zwischen den Platten in der w-ebene an. b) Formulieren Sie und als Funktionen von u und v. Benutzen Sie dazu den Zusammenhang cosh(a + jb) = (cosh a cos b) + j(sinh a sin b). c) Auf welche Geometrie wird der unendlich ausgedehnte Parallelplattenkondensator transformiert? Geben Sie die entsprechenden Formeln für die beiden Kondensatorplatten bei v = d und bei v = 0 an. d) Fertigen Sie eine saubere Skizze an, die die Anordnung in der z-ebene mit d = 4 cm im Maßstab 1:1 darstellt und beschriften Sie diese. e) Skizzieren Sie, wie sich Potentiallinien aus der w-ebene in Ihre skizzierte z-ebene übertragen. Wählen Sie dazu eemplarisch die beiden Potentiallinien mit φ 1 = U 0 /4 und φ = 3U 0 /4 und berechnen Sie zu jeder Potentiallinie jeweils drei Punkte. Nehmen Sie für die u-koordinate dieser Punkte u = d/, u = 0 und u = d/. Anschließend zeichnen Sie die sechs berechneten Punkte in Ihre Skizze ein und verbinden die Punkte mit gleichem Potential durch eine Linie. f) Welches idealisierte, reale Problem stellt die Anordnung in der z-ebene dar? (1 Punkte)

8 Hilfsformeln: ( π ) sin = 1 6 f() Grenzwertregel von de l Hospital: lim = lim g() f () g () ( π ) ( π ) cosh sinh cosh ( ) π sinh ( ) π,4 cosh (π) sinh (π) cosh ( π) sinh ( π) 1 ( π ) ( π ) ( ) ( ) 3π 3π sin = cos = sin = cos = 1 0, ( π ), cos = 6 3, cos() = cos( ), sin() = sin( ) sin() cos() = 1 sin() tan [ tan sin für 1, 1 + tan = sin für π ; π ] d ( + a ) 3 = a + a, sin (a) d = 1 1 4a sin(a), sin 3 d = cos cos3 cos (a) d = a sin(a) Refleion und Brechung an Grenzflächen: E senkrecht zur Einfallsebene E refl = Z cos(θ einf ) Z 1 cos(θ trans ) E einf Z cos(θ einf ) + Z 1 cos(θ trans ) E trans Z cos(θ einf ) = E einf Z cos(θ einf ) + Z 1 cos(θ trans ) Einfallsebene kr Er z Grenzfläche Hr He e Ee e ke k H t t t Et Medium 1 Medium E parallel zur Einfallsebene E refl = Z cos(θ trans ) Z 1 cos(θ einf ) E einf Z cos(θ trans ) + Z 1 cos(θ einf ) E trans Z cos(θ einf ) = E einf Z cos(θ trans ) + Z 1 cos(θ einf ) Er Einfallsebene kr Hr z Grenzfläche e H e Ee e k e Et Ht t kt Medium 1 Medium

9 Etrablatt zu Aufgabe 8. zum Einzeichnen der Feldverläufe: a) ε r = 1 b) ε r = ε r = 3 replacements c) d) µ r = 1 µ r = 500 j µ r = 500 µ r = 1 replacements PSfrag replacements j