Elektromagnetische Felder Klausur 10. September 2003

Transkript

1 1. a) Wie sieht die Anordnung ur Definition des Ampere im SI-Sstem aus? Bitte in Worten und/oder Zeichnung darlegen sowie Angaben u den Idealisierungen machen. Wie lautet die entsprechende Formel? b) Wie lautet die Definition für 1 Ampere und was für ein Wert folgt entsprechend für µ 0? (5 Punkte). In der, -Ebene sei eine ideal leitende Metalloberfläche als Randbedingung vorgegeben, die eine Oberflächenladungsdichte von σ = 1 C sowie eine Oberflächenstromdichte von m K = 1 A (1, 0, 0) aufweist. m Im unteren Halbraum < 0 sei kein Feld vorhanden. Der obere Halbraum ist frei von Ladungen und Strömen. Geben Sie D und H für den ganen oberen Halbraum > 0 vollständig an (Wert, Einheit und Richtung). Welche Komponenten von E und B im oberen Halbraum verschwinden? (5 Punkte) 3. Eine positive Ladung q + liegt im Ursprung des Koordinatensstems. Berechnen Sie den Verschiebungsfluss, der eine Kugelkappe durchdringt, die u einer gedachten Kugel mit dem Radius r und Mittelpunkt im Ursprung gehört. In der Lösung soll der Winkel α 1 (siehe Bild) als Parameter auftauchen. Kugelkappe 1 r q + gedachte Kugeloberfläche Abbildung 1: Kugelkappe Der Verschiebungsfluss ist definiert als das Integral der Flussdichte D über die Teilfläche A: ψ = A D d A. (6 Punkte)

2 4. a) Geben Sie die Kontinuitätsgleichung an! b) Aus welchem Naturgeset lässt sie sich ableiten? Prüfen Sie für die folgenden Paare aus Strom- und Ladungsdichten, ob und wenn ja, unter welchen Voraussetungen für ρ 0 die Kontinuitätsgleichung erfüllt werden kann (für alle Zeiten und im gesamten Raum): + + c) j = j 0 e ( vt) r 0 e und ρ = ρ 0 e ( vt) + + r 0 in Kartesischen Koordinaten, d) j = I 0 πr 0 δ(r R 0 ) sin(ωt k) e und ρ = ρ 0 δ(r R 0 ) sin(ωt k) in Zlinderkoordinaten, mit R = + als der radialen Koordinate, e) j = j 0 e r r 0 sin(ωt) e ϕ und ρ = ρ 0 e r r 0 cos(ωt) in Kugelkoordinaten. j 0, I 0, ρ 0, r 0, R 0, v, k und ω sind Konstanten, r 0, R 0, v, k und ω seien ferner positiv. 5. Ein sehr dünner Draht liegt wie in der Abbildung im Inneren eines Plastikwürfels (µ r = 1) und bildet dort eine geschlossene Schleife. Der Draht ist aus Blei und wird unter -70 C abgekühlt, so dass er supraleitend wird. In diesem Zustand wird von außen ein konstanter Gleichstrom I induiert, der jett verlustfrei in dem Draht fließt. a I a P a Abbildung : Stromschleife a) Welche Richtung hat das durch I verursachte Magnetfeld H im Eckpunkt P? b) Wie groß ist die magnetische Feldstärke H im Punkt P? Tipp: Beachten Sie bei der Berechnung die Smmetrie der Anordnung! (10 Punkte)

3 6. Bei einem Elektro-Enephalogramm (EEG) wird die Hirnaktivität in Form von elektrischen Spannungen gemessen. Im hier vorliegenden Fall sind wei Elektroden über gut leitende Kabel an den Kopf eines Patienten angeschlossen. Jedes Elektrodenkabel ist über eine Impedan Z mit der Erde verbunden. Die Impedan Z besteht aus einem ohmschen Widerstand R Z = 10 MΩ und einer Kapaität C Z = 1 pf. Der Kopf des Patienten liegt jett usätlich in einem räumlich begrenten, von außen anliegenden Magnetfeld mit einer magnetischen Flussdichte B, die mit der Frequen f = 400 H eitlich sinusförmig variiert. Die Amplitude beträgt ˆB = 5 mt und das Feld steht senkrecht um Aufbau, d.h. in der Abbildung senkrecht ur Zeichenebene. Im Folgenden wird die Hirnaktivität selber vernachlässigt und der Kopf als passives Element mit einem rein ohmschen Widerstand von R K = 10 kω betrachtet. 0cm B(t) 10cm R K Voltmeter R Z C Z R Z C Z Abbildung 3: Anordnung für ein EEG a) Wie groß ist die Amplitude der elektromotorischen Kraft EMK, die in der Schleife Erde Z Kabel Kopf Kabel Z Erde induiert wird? b) Wie groß sind die Amplitude und der Effektivwert des induierten Stroms in 1. Näherung? Vernachlässigen Sie dabei die Eigeninduktivität der Schleife. c) Welche effektive Spannung eigt ein Voltmeter an, das wie in der Abbildung wischen den beiden Elektrodenkabeln angeschlossen wird? Rechnen Sie für diese und die folgenden Teilaufgaben mit der in b) gemachten Näherung. d) Welche effektive Spannung liegt am Kopf des Patienten an? e) Vergleichen Sie die Ergebnisse aus den Teilen c) und d). Begründen Sie dabei eventuelle Übereinstimmungen oder Unterschiede wischen den Ergebnissen! Hinweis: Rechnen Sie hier mit π 3 und 1 0,7.

4 7. Gegeben ist ein torusförmiger Kondensator (siehe Abbildung) mit dem Radius R T, bestehend aus einem innenliegenden Torus mit dem Querschnittsradius R und einem außenliegenden mit dem Querschnittsradius R. Die Permittivität im Inneren ist in dem hier vorliegenden Fall nicht konstant, sondern variiert mit unehmendem Abstand vom Innentorus mit der Funktion ε r (r) = R von ε r r,innen = auf ε r,außen = 1 am äußeren Torus. Wie groß ist die Kapaität der Anordnung? R T r R/ R Abbildung 4: Torusförmiger Kondensator (6 Punkte) 8. Gegeben sei folgende Anordnung mit drei unterschiedlichen Dielektrika (µ r = 1). Für die Dielektrika gelten folgende Impedanangaben: Z 1 = Z 0, Z = 1 3 Z 1, Z 3 = 1 Z 1. Hierbei sei Z 0 die Freiraumwellenimpedan. Medium I ist unendlich weit ausgedehnt entlang der negativen -Achse, Medium III ist unendlich weit ausgedehnt im Bereich > d. Eine ebene elektromagnetische Welle befindet sich im eingeschwungenen Zustand und trifft senkrecht auf die Grenschichten bei = 0 und = d. Z Z Z k I 1 3 II 0 d III Abbildung 5: Dielekrika a) Bestimmen Sie die einelnen relativen Dieletriitätskonstanten ε r der drei Medien. b) Berechnen Sie die wei Refleions- und die wei Transmissionsfaktoren an der Grenfläche bei = 0 und den Refleions- und Transmissionsfaktor für eine nach rechts laufende Welle bei = d. c) Berechnen Sie den Betrag des Wellenvektors im Medium II als Funktion des Betrags des Wellenvektors k im Medium I. d) Geben Sie unter Verwendung der in b) berechneten Faktoren den Gesamtrefleionsfaktor R gesamt als Funktion von der Breite d an (R gesamt = f (d)). Bei der Berechnung ist ein Ergebnis mit eingesetten Zahlenwerten anustreben, das nur von der Breite d und dem Betrag des Wellenvektors k im Medium I abhängt. e) Eistiert ein Fall, bei dem der Bereich II für die einfallende Welle transparent erscheint, d.h. die gesamte einfallende Welle transmittiert wird? (11 Punkte)

5 9. Gegeben sei ein unendlich langer, gerader, idealer Leiter entlang der -Achse mit Radius R. Er trage eine Ladung pro Längeneinheit der Stärke τ. a) Wie ist die Ladung im Leiter verteilt? Geben Sie die Raumladungsdichte ρ in den Zlinderkoordinaten r, ϕ und an! b) Berechnen Sie die dielektrische Verschiebung D im Raum außerhalb des Leiters! Tipp: betrachten Sie die in einem geeigneten Zlinder eingeschlossene Ladung und nuten Sie die Smmetrie des Problems aus. c) Wie groß ist D innerhalb des Leiters? d) Auf der Oberfläche des Leiters soll das elektrostatische Potential Φ den Wert 1 V haben. Wie groß ist Φ im gesamten Raum inklusive dem Inneren des Leiters? 10. Die komplee Funktion w = f() = e ist eine konforme Abbildung und soll auf ihre Abbildungseigenschaften hin untersucht werden. a) Führen Sie den entsprechenden Koeffiientenvergleich durch. b) In der Bildebene w sollen u = const. Äquipotentiallinien und v = const. Feldlinien darstellen. Gesucht sind nun daugehörige Linien in der phsikalischen Ebene, wobei der Bereich 5 0 und π/ π/ betrachtet werden soll. Entwerfen Sie eine genügend große Skie mit den folgenden Merkmalen: - In welche Feldlinie der -Ebene geht die Feldlinie der w-ebene mit v = 0 über? - In welche beiden Potentiallinien der -Ebene geht die Potentiallinie der w- Ebene mit u = 0 über? Bitte kenneichnen Sie die Linien mit den Parametern der w-ebene. c) Konstruieren Sie wei usätliche Punkte, in die alle Potentiallinien mit u 1 für 0 angenähert ulaufen (mit Begründung!). d) An welchen Punkten schneiden die Potentiallinien mit u = e und u = e 4 die -Achse? e) In welcher Richtung müssen die Potentiallinien aus d) die -Achse schneiden? Tipp: Was für eine Linie stellt die -Achse in b) dar? f) Welche usätlichen Punkte für die Linien aus d) und e) können Sie ableiten aus den Angaben: e 4 = e cos(π/4) 3,5 sowie e = e cos(π/4) 1,7? g) Zeichnen Sie die beiden Potentiallinien nach c) f) ein, unter der genäherten Voraussetung, dass für beide gilt u 1. h) Wie könnte eine ugehörige Konfiguration mit geradlinigen Elektroden auf den Potentialen ϕ = 0 und ϕ = U aussehen, wenn die Skie eine gute Näherung für Bereiche nicht u nah an = 0 darstellt (kleine usätliche Skie)? i) Weisen die Bereiche bei Annäherung an = 0, insbesondere um = ±π/, hohe oder niedrige Feldstärken auf? Was müsste man bgl. der Diskretisierung dieses Bereiches beim alternativen Einsat diskret-numerischer Rechenverfahren tun, um die Genauigkeit u erhöhen? (13 Punkte)

6 11. Bekanntermaßen verursacht ein durch einen Ohmschen Widerstand fließender Strom eine Verlustleistung. Schaltet man parallel u diesem Ohmschen Widerstand einen ideal leitenden Draht in den Stromkreis, so wird der Stromfluss durch diese Parallelschaltung im Gleichstromfall verlustfrei sein. Wieso gilt dies, also die Verlustfreiheit, prinipiell nicht mehr bei Wechselstrom? Abstrahlung soll hierbei vernachlässigt werden. Tipp: Was verursacht der sich ändernde Strom, der im ideal leitenden Draht fließt? (3 Punkte) 1. a) Wie lautet die allgemeine differentielle Form der Energieerhaltung mit 4 Termen im linearen Fall und welche Bedeutung haben die einelnen Terme in Worten? b) Über welche beiden Gleichungen ist es möglich, die Kapaität C bw. die Induktivität L für vorgegebene Volumina V aus in V bekannten Feldern E, H u bestimmen? Welche Terme aus a) werden dabei vernachlässigt? 13. Gegeben ist ein Rechteck-Hohlleiter mit konstantem Querschnitt in der --Ebene und unendlicher Ausdehnung in Längsrichtung. Die Seiten haben die Breiten a und b, wobei a > b gilt. Das Koordinatensstem liegt so, dass sich der Hohlleiter in -Richtung im Bereich [0, a] und in -Richtung im Bereich [0, b] erstreckt. Bestimmen Sie die Feldverteilung entsprechend den Teilaufgaben a) bis e). a) Gegeben sei die allgemeine homogene Wellengleichung: Π εµ t Π = 0. Der harmonische Ansat ur Lösung der DGL ist Π (,,,t) = Π (,) e j(ωt k). Berechnen Sie hieraus die an das Hohlleiterproblem angepasste Wellengleichung. b) Gegeben sei nun folgender speieller Lösungsansat: Π e = Π 0 sin(k ) sin(k ) e j(ωt k) e, welcher die Randbedingung Π e = 0 an den Hohlleiterwänden erfüllt. Um welchen Modentp (TE oder TM) muss es sich handeln? c) Geben Sie k und k epliit, in Abhängigkeit der Geometrie, für den hier vorliegenden Modentp an. d) Was muss usätlich für k, k, k gelten, damit die Wellengleichung erfüllt wird? Zeigen Sie dies durch Einseten des unter b) gegebenen Ansates. e) Die elektrischen und magnetischen Felder lassen sich bei Kenntnis des Hertschen Vektors vollständig ermitteln. Berechnen Sie alle H-Feldkomponenten für den hier vorliegenden Modentp, der in b) bestimmt wurde und eichnen Sie die transversale H-Feldverteilung für die entsprechende Mode des Tps X 31 in einem geeigneten Hohlleiterquerschnitt und u einem geeigneten Zeitpunkt. (14 Punkte)

7 14. Die Zeichnung eigt einen Schnitt durch einen Plattenkondensator mit unendlicher Ausdehnung in - und -Richtung. Die -Achse steht senkrecht auf den Platten. Parallel ur -Achse verläuft ein ungeladener, ideal leitender Hohlstab mit quadratischem Querschnitt (schwares Quadrat, innen ε r = 8) sowie ein dielektrischer Stab mit elliptischem Querschnitt (weiß, ε r = 8). Der übrige Zwischenraum ist mit einem Dielektrikum ausgefüllt (ε r = 4). An dem Plattenkondensator liegt eine Gleichspannung von U = 5 V an. Φ = +5 V ε r = 4 ε r = 8 ε r = 8 Φ = 0 V Abbildung 6: Plattenkondensator Zeichnen Sie sorgfältig in die Zeichnung für die gane Breite den Verlauf der Äquipotentialflächen, sowie den Verlauf des elektrischen Feldes ein. Benuten Sie hierfür die Zeichnung auf dem separaten Blatt am Ende der Klausur und keinen Bleistift! Wenn Ihre Zeichnung wichtige Eigenschaften der Feldverläufe nicht deutlich erkennen lässt, können Sie diese auch mit einigen Säten niederschreiben.

8 Formelsammlung: +c c c d ( + c ) 3 = c d (a + b + c) 3 = (a + b) (4ac b ) a + b + c E = ( Π e ) H = ε t ( Π e ) H = ( Πm ) E = µ t ( Π m ) für < 1 : = = = 1 (1 ) Refleion und Brechung an Grenflächen: E senkrecht ur Einfallsebene E refl = Z cos(θ einf ) Z 1 cos(θ trans ) E einf Z cos(θ einf ) + Z 1 cos(θ trans ) E trans Z cos(θ einf ) = E einf Z cos(θ einf ) + Z 1 cos(θ trans ) Einfallsebene kr Er Grenfläche Hr He e Ee e ke k H t t t Et Medium 1 Medium E parallel ur Einfallsebene E refl = Z cos(θ trans ) Z 1 cos(θ einf ) E einf Z cos(θ trans ) + Z 1 cos(θ einf ) E trans Z cos(θ einf ) = E einf Z cos(θ trans ) + Z 1 cos(θ einf ) Er Einfallsebene kr Hr Grenfläche e H e Ee e k e Et Ht t kt Medium 1 Medium