Elektromagnetische Felder I Klausur 1. April 2015

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1 Elektromagnetische Felder Klausur 1. April a) Geben Sie die Permeabilität des Vakuums µ mit Einheiten an. b) Berechnen Sie die Permittivität des Vakuums ε ausgehend von der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c unter Benutung von µ. Geben Sie die Zwischenschritte an. Das Endergebnis muss keine Nachkommastellen enthalten, die Angabe der Größenordnung sowie der ugehörigen Einheiten reicht. c) Geben Sie die S-Einheit der dielektrischen Verschiebung an. d) Auf einer Kugeloberfläche mit Radius R und Mittelpunkt im Koordinatenursprung ist die Ladung Q gleichmäßig verteilt. Geben Sie die ugehörige Raumladungsdichteverteilung ρ( r) mit Hilfe der Diracschen Deltafunktion an. Welche Dimension hat diese Deltafunktion? e) Berechnen Sie für die Vektoren a = und das Kreuprodukt a b und b = das Skalarprodukt a b f) Berechnen Sie um elektrostatischen Potential ϕ( r) = ϕ e αr das elektrische Feld in Kugelkoordinaten. Hierbei sind ϕ und α konstant. 2. a) n einer vergangenen Klausur war die Magnetflussdichte an einem Punkt r a u berechnen, wobei die Größe a für eine Länge steht. Eine abgegebene Antwort lautet: B( r a ) = µa 1 2 8πa e ϕ 1. Aus welchen wei wesentlichen Gründen ist dieses Ergebnis falsch? b) n einer alten Klausuraufgabe war ein allgemeiner Ortsvektor u einem Punkt im dreidimensionalen Raum gefragt. Dieser war in Zylinderkoordinaten ausudrücken. Eine häufig gegebene Antwort bestand aus: r = Hätten Sie für diese Antwort die volle Punktahl geben dürfen? Begründen Sie hre Antwort in vollständigen, leserlichen Säten. c) n einer weiteren Klausuraufgabe war ein Koaxialkabel mit einem geschichteten Dielektrikum gegeben. Die Materialien sind durch ε r1 < ε r2, beides positive reelle Zahlen, charakterisiert. Zwischen nnen- und Außenleiter liegt eine Spannung an. Die elektrische Feldstärke und die dielektrische Verschiebung waren einueichnen. Kann die rechts dargestellte Lösung so richtig sein? Begründen Sie hre Antwort. (6 Punkte) r ϕ. ε r1 ε r2 E D

2 Elektromagnetische Felder Klausur 1. April a) Geben Sie die Differentialgleichung an, welche die Raumladungsdichte ρ mit der Stromdichte J verbindet. b) Wie heißt diese Gleichung? c) Welches Naturprinip wird durch die Gleichung beschrieben? d) Geben Sie die S-Einheiten von ρ und J an. (4 Punkte) 4. Eine ylinderförmige Luftspule mit dem Radius R und N Windungen wird vom Strom durchflossen. Die Mittelachse der Spule liegt auf der -Achse. Die Spule erstreckt sich in -Richtung von L/2 bis +L/2. Der Strom fließt im Rechtsschraubensinn um die -Achse, als dealisierung besitt er keinen Anteil in -Richtung. a) Geben Sie die Stromdichte in Zylinderkoordinaten an. Nähern Sie die Spule dabei als Hohlylindermantel ohne radiale Ausdehnung und mit konstanter Stromdichte auf dem Mantel. Berücksichtigen Sie die endliche Ausdehnung in -Richtung durch die Angabe eines Wertebereichs. R L b) Geben Sie das Biot-Savart-Geset für Stromdichten an. c) Berechnen Sie die magnetische Flussdichte auf der -Achse. Tipp: ntegrieren Sie uerst in ϕ-richtung, bevor Sie in -Richtung integrieren. d) Nähern Sie den Ausdruck für eine lange Spule unter Vernachlässigung von Randeffekten für den Bereich der -Achse innerhalb der Spule, d.h. L R und L/2. e) Ein Elektron bewege sich im nnern der Spule auf der -Achse mit der Geschwindigkeit v = v e. Wirkt eine Kraft auf dieses Elektron? Wenn ja, geben Sie Betrag und Richtung der Kraft an, unter Berücksichtigung der Vereinfachungen aus Teil d). Wenn nein, geben Sie eine Begründung. Hinweis: 1 (x a) 2 +b 2 3 dx = 1 (a x) 2 +b 2 3 dx = x a b 2 (x a) 2 +b 2 (1 Punkte) 5. Betrachtet wird ein Parallelplattenkondensator mit der Fläche A und Plattenabstand d mit vernachlässigbaren Randeffekten. Die relative Permittivität des Dielektrikums ist nicht konstant, sondern abhängig von der Höhe wischen den Platten: ε r () = 1 + d, wobei die untere Platte bei = und die obere Platte bei = d liegt. (a) Wie hängt die dielektrische Verschiebung im Kondensator mit den auf den Platten aufgebrachten Ladungen ±Q usammen? (b) Aus welcher fundamentalen Gleichung läßt sich dieser Zusammenhang herleiten und welcher mathematische Sat ist hierbei anuwenden? Eine Herleitung ist nicht erforderlich. (c) Berechnen Sie die Kapaität C des Kondensators. (d) st das elektrische Feld im Kondensator ein konservatives Feld? Begründen Sie hre Antwort.

3 Elektromagnetische Felder Klausur 1. April n dieser Aufgabe werden Leiterschleifen aus wei Widerständen R 1 und R 2 in einer Ebene betrachtet. Ein eitlich veränderliches B-Feld senkrecht ur Ebene ist in einer Kreisfläche (grau) der Größe A vorhanden. Die Spannungsmesser mit ihren Anschlussleitungen liegen in derselben Ebene. Sie sind an den Punkten und angeschlossen. a) Sind die beiden folgenden Anordnungen äquivalent ueinander? Geben Sie eine Begründung. U 1 R 1 B(t) R 2 B(t) R 1 R 2 U 1 b) Wie kann die linke Anordnung aus Teil a) mit einer Ersatspannungsquelle dargestellt werden? Auch im Ersatschaltbild soll erkennbar sein, wo U 1 abfällt. Können R 1 und R 2 in dem Ersatschaltbild usammengefasst werden? Es wird eine Erläuterung in Worten samt Skie erwartet. c) Berechnen Sie für die folgende Anordnung die Beträge der Spannungen U 1 und U 2. U 1 R 1 B(t) R 2 U 2 7. Betrachtet wird eine ebene Grenschicht wischen wei Materialien mit unterschiedlichen Permeabilitäten (µ 1 µ 2 ) und Permittivitäten (ε 1 ε 2 ). n der Grenschicht sind eine Oberflächenladungsdichte und eine Oberflächenstromdichte vorhanden. a) Für welche der vier Feldstärken ( B, D, E, H) gilt an der Grenschicht: i. Die Tangentialkomponente ist stetig. ii. Die Normalkomponente ist stetig. iii. Die Tangentialkomponente ändert sich an der Grenschicht um die Oberflächenstromdichte. iv. Die Normalkomponente ändert sich an der Grenschicht um die Oberflächenladungsdichte. Beantworten Sie die vier Teilfragen eineln und eindeutig. Für das Hinschreiben der Formeln der Randbedingungen gibt es keine Punkte. b) Kann das Verhalten der Normalkomponente des H-Feldes an der Grenschicht angegeben werden? Wenn ja: Geben Sie die Beiehung wischen H 1 und H 2 an. Wenn nein: Warum nicht? (5 Punkte)

4 Elektromagnetische Felder Klausur 1. April a) Schreiben Sie für eine ebene Welle, die sich im Vakuum in die positive x-richtung ausbreitet, den Ausdruck für das elektrische Feld auf. Die Welle sei in y-richtung linear polarisiert, hat eine Amplitude von 1 V/m und eine Frequen von 1 MH. Die Phase im Ursprung des Koordinatensystems sei um Zeitpunkt t =. b) Geben Sie an, wie groß das elektrische Feld ur Zeit t = an den folgenden drei λ/2 Raumpunkten ist: r 1 =, r 2 = λ/3, r 3 = λ/4 c) Wie groß ist die effektive Leistungsflussdichte, die obige Welle im Vakuum transportiert? Wie groß ist die effektive Leistung? d) Neue Anordnung: Zwei Sendeantennen mit gleichem Abstrahlverhalten und gleicher Speisung (mit Sendefrequen ω ) befinden sich auf der -Achse an den Punkten = 2π ±λ/4. Sie sind in x-richtung polarisiert. Berechnen Sie die resultierende Feldstärke der überlagerten Wellen für eine Einelamplitude E in großem Abstand auf der y-achse und in großem Abstand auf der -Achse. Führen Sie hieru expliit die Rechnungen durch. Wenn nötig nähern Sie das Ergebnis für λ y,. (9 Punkte)

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6 Elektromagnetische Felder Klausur 1. April a) Geben Sie für ideale Kondensatoren und ideale Spulen je wei verschiedene Formeln ur Berechnung der gespeicherten Energie an. Jeweils eine Formel soll auf Feldstärken basieren und eine auf Größen aus Ersatschaltbildern. b) Betrachtet wird ein Parallelplattenkondensator mit vernachlässigbaren Randeffekten. Auf den Platten befinden sich konstante Gesamtladungen +Q bw. Q. Wird der Plattenabstand verdoppelt, halbiert sich die Kapaität C. Wieso ist dennoch die Folgerung falsch, dass sich der Energieinhalt ebenfalls halbiert? Wie lautet das richtige Resultat mit Begründung und wo kommt die Energieänderung her? 1. Gegeben sei ein gerader Draht mit der Leitfähigkeit σ und dem Radius R. n ihm fließt ein Gleichstrom. Betrachtet wird ein Stück des Drahtes mit der Länge L. a) Berechnen Sie unächst das Magnetfeld H(r) im nneren eines von einem Gleichstrom gleichmäßig durchflossenen geraden, unendlich langen Leiters mit Radius R. Hierbei ist r der Abstand ur Mittelachse des Leiters. b) Berechnen Sie nun die in das Drahtstück der Länge L einfließendeleistungmittelsntegrationdespoyntingvektors S über die Oberfläche dieses Drahtstücks. L R σ c) Berechnen Sie um Vergleich das Volumenintegral von J E im selben Drahtstück. d) Wie hängen der Poyntingvektor S und J E im Gleichstromfall usammen? e) Welche usätlichen Beiträge müssten im Wechselstromfall beim Zusammenhang wischen Poyntingvektor S und J E noch berücksichtigt werden? (12 Punkte) 11. Diemagnetische Flussdichte B unddaselektrische FeldE könnendurchdasdynamische Vektorpotential A und das dynamische Skalarpotential ϕ dargestellt werden: B = rot A und E = A grad ϕ. t a) Aus welcher Maxwell-Gleichung folgt die Existen eines solchen dynamischen Vektorpotentials? b) Aus welcher Gleichung folgt, nachdem die Existen von A bereits bekannt ist, die Existen eines solchen dynamischen Skalarpotentials? c) Für die dynamischen Potentiale lassen sich inhomogene Wellengleichungen aufstellen. Die Lösungen dieser Wellengleichungen sind als Volumenintegrale darstellbar. Welche Größen in den ntegranden sind die erregende Ursache für die Potentiale? d) Was bedeutet in diesem Zusammenhang Retardierung? e) Die beiden dynamischen Potentiale sind nicht unabhängig voneinander und können ihrerseits aus einer weiteren Größe abgeleitet werden. Wie heißt diese Größe und wieviele unabhängige Variablen hat sie? (5 Punkte)

7 Elektromagnetische Felder Klausur 1. April Die vollständige Lösung des elektrischen Hertschen Dipolfeldes lautet in Kugelkoordinatendarstellung: E r = [ l µ 4π 2 2j ] cosϑ e j(ωt kr) ε r 2 ωεr 3 E ϑ = l 4π H ϕ = l 4π [ jωµ r [ jk r + + µ ε 1 r 2 1 r 2 E ϕ =, H r =, H ϑ = j ωεr 3 ] sinϑ e j(ωt kr) ] sinϑ e j(ωt kr) a) Geben Sie die erregende J-Verteilung an, aus der diese Lösung folgt. b) Geben Sie den sogenannten Nahfeldterm von H ϕ vollständig an. st dieser retardiert und woran erkennt man das? Mit welcher Näherung erhält man die sogenannten quasistationären Feldverhältnisse? c) Woran ist u erkennen, dass die Feldlösung sehr nahe an der Erregungsquelle kapaitives Verhalten eigt? d) Wie wird prinipiell begründet, dass die deshalb so benannten Strahlungsterme einen integralen, reellen Leistungstransport von der Erregungsquelle in den Raum bewirken? Tipp: Abstandsabhängigkeit der integralen Strahlungsleistung e) Die exakte Rechnung u d), die hier nicht verlangt ist, resultiert u.a. in der Ableitung des sogenannten Strahlungswiderstandes R S. n R S sind neben weiteren Faktoren wei Längenmaße relevant. Welche sind das und wie lautet ihr gemeinsamer Term in der Formel für R S? (9 Punkte) 13. Die Ableitung der allgemeinen Feldlösung bei Wellenleitern führt auf ein Gleichungssystem von Wellengleichung, ugehöriger Eigenwertgleichung und den u erfüllenden Randbedingungen. a) Wie werden die ugehörigen Lösungen formal eingeteilt und wie werden sie beeichnet? b) Wodurch ist eine technisch sehr wichtige Speiallösung gekenneichet und wie heißt sie? Was ist eine notwendige Voraussetung für ihre Existen? c) Nennen Sie den entscheidenden praktischen Vorteil dieser Speiallösung aus b) gegenüber allen anderen möglichen Lösungen und nennen Sie umgekehrt einen Vorteil eines H 1 -Rechteckhohlleiters gegenüber einer Koaxialleitung für eine Betriebsfrequen von 1 GH. (6 Punkte)

8 Elektromagnetische Felder Klausur 1. April Gegeben ist ein Rechteckhohlleiter mit konstantem Querschnitt a b in der x-y-ebene und unendlicher Ausdehnung in Längsrichtung. Die Kanten haben die Längen a und b mit a > b. Bestimmen Sie die transversalen Komponenten E x unde y der elektrischen Felstärke fürte-moden. Gehen Sie dabei entsprechend den Teilaufgaben a) bis c) vor. b y a x a) Bei der Betrachtung von TE-Moden lässt sich die longitudinale Komponente der magnetischen Feldstärke H als magnetischer Hertscher Vektor Π m auffassen: Π m = p, mit p als Proportionalitätskonstante. H Die Amplitude des Hertschen Vektors sei Π. Verwenden Sie für die -Komponente deshertschen VektorsΠ m, folgendenseparationsansatundbestimmensiedieunbekannten A, B, C und D soweit möglich mit Hilfe von Π und der Randbedingung für H : Π m, = [Asin(γ x x)+bcos(γ x x)] [Csin(γ y y)+dcos(γ y y)] e j(ωt k) b) Bestimmen Sie γ x und γ y in allgemeiner Form. c) BerechnenSiedietransversalenKomponentenE x unde y derelektrischenfeldstärke. Hinweis: E = µ Π m t (1 Punkte), H = ( Π m ) 15. Ein ideal dünner Draht verläuft parallel ur -Achse im Abstand d vor einer unendlich ausgedehnten ideal leitfähigen Platte. Die Platte liegt in der y--ebene, der Draht gehtdurchdenpunkt(d,,) T wieinderabbildungdargestellt. Durch den Draht fließt der Strom in +-Richtung. Entsprechend den Teilaufgaben a) bis c) soll die Stromverteilung in der Platte mit der Bildladungsmethode ermittelt werden. a) Geben Sie die usätlichen Ladungen und/oder Ströme an, welche ur Anwendung der Bildladungsmethode bei diesem Problem benötigt werden. Formulieren Sie hre Antwort eindeutig mit allen erforderlichen Parametern. y d x b) Berechnen Sie das Magnetfeld H ges (x ) an der dem Draht ugewandten Oberfläche der Platte. Dau müssen Sie die Beiträge des Drahtes und der Platte berücksichtigen. Das Magnetfeld des Drahtes ohne Platte darf als bekannt vorausgesett werden: H D = 2π [(x d) 2 +y 2 ] y x d c) Ermitteln Sie nun die Stromverteilung in der Platte mit Hilfe einer Randbedingung..

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