Elektromagnetische Felder I Klausur 22. Februar 2013

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1 Elektromagnetische Felder I Klausur 22. Februar Geben Sie den Zahlenwert und die Einheit der Größen in a), b) und c) an. Für die Darstellung der Einheiten sind die Einheiten V, A, m und s zu benutzen. a) Vakuumlichtgeschwindigkeit c 0 b) Permeabilität des Vakuums µ 0 c) Permittivität des Vakuums ε 0 d) Geben Sie eine Formel an, die c 0, µ 0 und ε 0 miteinander verknüpft. Geben Sie die Einheit der Größen in e) und f) an. Für die Darstellung der Einheiten sind die Einheiten V, A, m und s zu benutzen. e) rot E f) div D g) Es sei ein Zylinder mit Radius R und Höhe h gegeben. Innerhalb des Zylinders herrscht eine konstante Ladungsdichte ρ 0. Berechnen Sie die Gesamtladung des Zylinders. Stellen Sie dazu zuerst das Integral mit entsprechenden Integrationsgrenzen auf. Gegeben sind in kartesischen Koordinaten: a = (,z,y), b = (3, y,2z), f = y z 2. Berechnen Sie: h) das Skalarprodukt a b i) das Kreuzprodukt a b j) gradf k) div a l) rot b m) f (10 Punkte) 2. Betrachtet wird die nebenstehende Anordnung: Zwischen zwei ideal dünnen, ebenen Metallplatten befinden sich zwei Dielektrika (Permittivitäten ε 1 = 3 ε 0, ε 2 = 5 ε 0 ) und ein isolierter Leiter (Leitfähigkeit σ) ohne eigene Überschussladung. Die Dielektrika und der Leiter haben jeweils eine Schichtdicke d, die Querschnittsfläche der Anordnung sei A und Randeffekte sind zu vernachlässigen. Die beiden Metallplatten sind mit ±Q aufgeladen, mit positiver Ladung auf der unteren Metallplatte bei z = 0. a) Beschreiben sie kurz die Ladungsverteilung im isolierten Leiter. Q ε 2 σ ε 1 +Q b) Geben Sie die Randbedingung an, mit der sich die dielektrische Verschiebung D(z) in dieser Anordnung berechnen lässt, sowie die Mawell-Gleichung, aus der sich diese Randbedingung herleiten lässt. c) Berechnen Sie D(z) zwischen den Metallplatten, geben Sie auch die Richtung an. d) Berechnen Sie das elektrische Feld E(z), ebenfalls mit Richtung. e) Berechnen Sie das elektrostatische Potential ϕ(z) mit der Festlegung ϕ(0) = 0 V. f) Tragen Sie in einem Diagramm das elektrostatische Potential ϕ(z) auf und beschriften Sie die Achsen vollständig. (8 Punkte) z 3d 2d d 0

2 Elektromagnetische Felder I Klausur 22. Februar Gegeben ist die in der rechten Abbildung dargestellte Anordnung. Die zeitlich c d e f konstante magnetische Flussdichte B durchsetzt den grau hinterlegten Bereich B R V v senkrecht; ob nach oben oder un- ten bleibt zunächst offen. Desweiteren R V ist eine ideale Leiterschleife gegeben. b a h g Der linke Teil dieser Leiterschleife wird von der magnetischen Flussdichte B durchsetzt. Der rechte enthält eine Parallelschaltung aus zwei Widerständen R V. Die Schleife wird mit konstanter Geschwindigkeit v nach rechts aus dem von der Flussdichte durchsetzten Bereich gezogen, wobei der Abschnitt bc sich grundsätzlich nur im felddurchsetzten Bereich bewegt. a) Wie lautet der Ausdruck für den magnetischen Anteil der Lorentzkraft? b) In welchen der Abschnitte ab, bc, cd, de, ef, fg, gh, ha ist dieser Anteil der Lorentzkraft ungleich Null? c) In welchen der Abschnitte ab, bc, cd, de, ef, fg, gh, ha wird eine EMK erzeugt? d) Warum muss bei obiger Anordnung eine mechanische Zugleistung aufgebracht werden? Die Schaltung wird jetzt etwas geändert. Jedem der beiden Widerstände wird eine LED in Reihe hinzugefügt; siehe rechte Abbildung. Darüber hinaus gelten fortan folgende Werte: c d e f b B a h R V g R V v Drahtabschnitt bc = 0,5 m magnetische Flussdichte B = 1 T Vorwiderstand R V = 620 Ω Spannung im Arbeitspunkt der LED U AP = 1,9 V Desweiteren ist nebenstehend die Kennlinie der LED abgebildet. Durchlassstrom / ma ,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 Durchlassspannung / V e) Mit welcher Geschwindigkeit v muss die Leiterschleife nach rechts gezogen werden, damit mindestens eine LED sich in ihrem Arbeitspunkt befindet? f) Lässt sich mit der gegebenen Anordnung herausfinden, ob die magnetische Flussdichte nach oben oder unten orientiert ist (mit Begründung)? (10 Punkte)

3 Elektromagnetische Felder I Klausur 22. Februar Betrachtet wird ein kreisförmiger Draht in der -y-ebene mit Radius R und Mittelpunkt bei (,y,z) = (0,0,0). Der Draht wird von einem Strom I entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn um die z-achse durchflossen (siehe obere Abbildung rechts). a) Wie lautet das Gesetz von Biot-Savart für Leiterströme? b) Berechnen Sie zunächst die magnetische Flussdichte B auf der z-achse. Nun werden zwei kreisförmige Drähte betrachtet, beide ebenfalls mit Radius R (siehe untere Abbildung rechts). Die Mittelpunkte liegen bei (,y,z) = ( ( 0,0, 2) R und (,y,z) = 0,0, R 2). Die Drähte liegen in Ebenen, die parallel zur -y-ebene verlaufen, und werden jeweils von einem Strom I entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn um die z-achse durchflossen. I I y R R 2 y R 2 R R I z z c) Geben Sie die magnetische Flussdichte B auf der z-achse an. Benutzen Sie dabei Ihr Ergebnis aus Aufgabenteil b). Es ist nicht notwendig die Gleichung zusammenzufassen. Falls Sie b) nicht lösen konnten, verwenden Sie stattdessen B( r 0 ) = B 0 R 4 z 2 +R 25 e z anstelle des Ergebnisses aus Teil b). d) An welchen Punkten im Raum verschwindet aufgrund von Symmetrien sowohl die - als auch die y-komponente der magnetischen Flussdichte B (d.h. beide sind dort Null)? In die Anordnung aus der unteren Abbildung wird ein unendlich langer Linienleiter, der sich auf der z-achse befindet, hinzugefügt. Er wird von einem Strom I in positiver z-richtung durchflossen. e) Wirkt eine Kraft auf diesen Linienleiter? Wenn ja, in welche Richtung? Wenn nein, warum nicht? (10 Punkte) 5. Wird eine elektrische Ladung in einem elektrischen Feld und in einem magnetischen Feld bewegt, treten zwei Kräfte auf. a) Geben Sie beide Kräfte mit ihren Eigennamen und Formel an. b) Welche der beiden verändert die Energie der Ladung? c) Begründen Sie, warum die andere Kraft keine Arbeit an der Ladung verrichtet. (5 Punkte) 6. Erklären Sie den Begriff Dispersion im Zusammenhang mit der Wellenausbreitung und nennen Sie eine Ursache für das Auftreten von Dispersion. (2 Punkte)

4 Elektromagnetische Felder I Klausur 22. Februar a) Schätzen Sie die elektrische Feldstärke eines punktförmigen Atomkerns mit 5 Protonen (= 5 positive Elementarladungen e + ) im atomaren Abstandsbereich von 1 Å = m sowie beim makroskopischen Abstand von 0,1 mm ab. Rechnen Sie gerundet mit e C und 4πε C/(Vm). b) Auch wenn auf atomarer Ebene etrem hohe Feldstärken auftreten: wieso ist die oben gesuchte Feldstärke in 0,1 mm Abstand zu einer Materialoberfläche völlig unrealistisch? Nennen Sie mindestens ein Stichwort. (3 Punkte) 8. In dieser Aufgabe werden Antennen und Wellen im Freiraum betrachtet. a) Eine mittig gespeiste λ/2-dipolantenne liege auf der z-achse. Der Mittelpunkt der Antenne liegt bei z = 0. Zeichnen Sie in einem Diagramm eine typische Stromverteilung i(z) der niedrigsten Eigenresonanz der Antenne. Beschriften Sie die Achsen und begründen Sie den Stromverlauf an den Enden der Antenne. b) Geben Sie an wie das E- und H-Feld einer ebenen Welle zueinander und relativ zur Ausbreitungsrichtung k orientiert sind. c) Geben Sie an, wie sich der Poynting-Vektor für eine ebene Welle aus den Feldkomponenten zusammensetzt und beschreiben Sie anhand der Einheiten seine physikalische Bedeutung. d) Gegeben sei eine sich in z-richtung ausbreitende ebene Welle. Ihr elektrisches Feld habe nur eine y- Komponente, welche zum Zeitpunkt t = 0 den nebenstehenden Verlauf hat. Zeichnen Sie den Verlauf der zugehörigen Magnetfeldkomponente in einem entsprechenden Diagramm. Beachten Sie dabei die Ausbreitungsrichtung, beschriften Sie das Diagramm vollständig und begründen Sie Ihre Zeichnung. Ey E y,ma 0 E y,ma 3λ λ λ z e) Wieder werden ebene Wellen betrachtet, die sich in z-richtung ausbreiten, diesmal jedoch mit unterschiedlichen Polarisationen. Zeichnen Sie für die folgenden drei Fälle die Bahn ein, welche die Spitze des zur Welle gehörigen E-Feldvektors während einer vollen Schwingungsperiode in der Transversalebene an einem festen Beobachtungsort im Raum beschreibt: i. lineare Polarisation in y-richtung ii. elliptische Polarisation mit Maimum in -Richtung iii. zirkulare Polarisation f) Welcher Zusammenhang muss zwischen den Amplituden E 1,0 und E 2,0 sowie den Phasentermen ϕ 1 und ϕ 2 der beiden ebenen Wellen E 1 = E 1,0 e sin(ωt kz+ϕ 1 ) und E 2 = E 2,0 e y sin(ωt kz+ϕ 2 )bestehen,damitderenüberlagerungeinezirkular polarisierte ebene Welle ergibt? (10 Punkte) λ 4 λ 2 3λ 4

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6 Elektromagnetische Felder II Klausur 22. Februar a) Geben Sie die Formeln für die elektrische Energiedichte w e und magnetische Energiedichte w m im linearen Fall an. b) Geben Sie die Dimensionen oder alternativ Einheiten der elektrischen und magnetischen Energiedichte an. c) Welche Größen verhalten sich im linearen Fall zueinander linear? d) Geben Sie ein Beispiel für einen nicht-linearen Fall an. e) Abgesehen von den zeitlichen Ableitungen der Energiedichten kommen im elektromagnetischen Energieerhaltungssatz (Poynting-Theorem) noch zwei weitere Terme vor. Geben Sie diese Terme an und beschreiben Sie in Worten deren Bedeutung. f) Berechnen Sie die in einem Parallelplattenkondensator gespeicherte Energie für den Fall, dass das Dielektrikum eine ortsabhängige Permittivität besitzt: ε(z) = ε 0 (1 + z ). Hierbei ist d der Plattenabstand und z läuft von 0 (untere Platte) bis d d (obere Platte), z gibt also den Abstand zur unteren Platte an. Die Fläche der Kondensatorplatten sei A und die dielektrische Verschiebung im Kondensator sei D = D 0 e z. (9 Punkte) 10. Induktionskochfelder arbeiten mit Magnetfeldern in einem Frequenzintervall von ca. 20 khz bis 50 khz. Die Magnetfelder werden von flachen, einlagigen Spulen erzeugt. Anstelle eines einfachen Drahtes bestehen diese Spulen aus Hochfrequenzlitze. Hochfrequenzlitze besteht aus einem Geflecht von einzelnen Drähten. Diese Drähte sind sehr dünn und gegeneinander isolierend beschichtet. a) Wegen welchem Effekt wird der Aufwand betrieben, anstelle eines dicken Drahtes ein Geflecht aus vielen dünnen, voneinander isolierten Drähten zu verwenden? b) Geben Sie den in der Vorlesung hergeleiteten Ausdruck zur Berechnung der charakteristischen Größe dieses Effektes als auch die Einheiten und Namen aller vorkommenden Größen an. Bei den folgenden Aufgabenteilen rechnen Sie zur Vereinfachung mit π 3. Beachten Sie auch die Rechenhilfen in Form der beiden Graphen. Schauen Sie sich die Hilfen an, bevor Sie mit den Rechnungen beginnen. Es ist vorteilhaft, die Zehnerfaktoren zu Beginn geschickt zusammenzufassen. 1 0,0355 0,0350 0,0345 0,0340 0,0335 0, ,0244 0,0242 0,0240 0,0238 0,0236 0,0234 0,0232 0,0230 0, c) Überschlagen Sie mittels Rechung unter Berücksichtigung des oben gefragten Effektes, welchen Wert der Radius einer Ader der Litze nicht überschreiten sollte. Führen Sie diese Rechnung für eine Betriebsfrequenz f = 40 khz und Kupfer mit σ Cu = A/(Vm) als Material der Ader durch. Geben Sie das Resultat in mm bis auf zwei Stellen nach dem Komma an.

7 Elektromagnetische Felder II Klausur 22. Februar 2013 d) Auf einem der Kochfelder steht jetzt ein Topf aus Gusseisen. Für dieses Material gelte σ GFe = 1, A/(Vm) und µ r,gfe = 100. Die Spule wird weiterhin bei f = 40 khz betrieben. Wie tief dringt das Magnetfeld in den Topfboden ein bis seine Amplitude auf 1/e 37 % seines Wertes an der Oberfläche gefallen ist? Etwaige Schichten zwischen der Spule und dem Topf sind hier der Vereinfachung halber zu vernachlässigen. Die magnetischen Eigenschaften des Gusseisens sind zu berücksichtigen. Dazu multiplizieren Sie 1/µ r,gfe an die in b) gefragte charakteristische Größe. Geben Sie das Resultat wieder in mm, diesmal aber mit drei Nachkommastellen an. (9 Punkte) 11. Das Vektorpotential A kann aus einer Stromdichteverteilung J folgendermaßen berechnet werden: A( r,t) = µ 0 4π J( r,t r r ) v d 3 r V r r a) Wie lautet der Zusammenhang zwischen der magnetischen Flussdichte B und dem Vektorpotential A und warum kann man diesen so konstruieren? b) Schreiben Sie die Differentialgleichung für das Vektorpotential auf, für die der oben angegebene Ausdruck eine Lösung ist. c) Welches andere dynamische Potential eistiert noch? Notieren Sie analog zu obigem Ausdruck, wie es sich aus einer gegebenen Raumladungsdichteverteilung berechnen lässt. d) Warum sind die beiden dynamischen Potentiale nicht unabhängig voneinander und aus welcher anderen Größe lassen sie sich gemeinsam berechnen? (6 Punkte) 12. a) Welche Abstandabhängigkeit weisen die Strahlungs- bzw. Fernfeldterme der Feldlösung beim Hertzschen Dipol auf? b) Fast im gesamten Raum sind alle Terme der Feldlösung ungleich Null. In welcher speziellen Lage relativ zum Stromfluss ist auch bei großem Abstand ausschließlich das sogenannte Nahfeld relevant? c) Auch das Nahfeld ist in großer Entfernung retardiert, welcher Faktor in den Nahfeldtermen beschreibt dies? d) Was ist physikalisch der Unterschied zwischen dem sogenannten Nah- und dem Fernfeld und wie kann man das ableiten bzw. begründen? Es wird keine präzise mathematische Ableitung erwartet, als Antwort reicht die Angabe des Arguments in Worten. e) Wenn man die vorherige Ableitung mathematisch eakt ausführt, erhält man eine Formel der Art P = R S I 2 mit R S als dem sogenannten Strahlungswiderstand des Hertzschen Dipols. Neben weiteren Konstanten sind in R S zwei Längenmaße enthalten. Welche sind das und wie lautet ihr gemeinsamer Term in der Berechnung von R S? (7 Punkte)

8 Elektromagnetische Felder II Klausur 22. Februar In nebenstehender Abbildung ist der Halbraum v < 0 mit v Metall gefüllt, im Halbraum v > 0 ist Vakuum. Die unendlich ausgedehnte, ebene Metalloberfläche auf der u-achse und Vakuum σ 0 w-ebene u senkrecht zur Zeichenebene trägt eine konstante Oberflächenladungsdichte σ 0. Mit Hilfe der konformen Abbildung z = w p Metall mit p ]0; 2] werden veränderte Oberflächen erzeugt, deren Feldverteilungen zu untersuchen sind. Gehen Sie entsprechend den Teilaufgaben vor und benutzen Sie folgende Konventionen für die Koordinaten: w = u+jv = ρ e jψ, z = +jy = r e jϕ mit ψ,ϕ ]0;2π]! In Richtung der dritten Dimension ist der Querschnitt invariant, weshalb hier die Betrachtung und Angabe von zwei Dimensionen ausreicht. (a) Berechnen Sie das elektrische Potential Φ(w) im Raum v > 0. Das Potential des Metalls sei zu 0V gewählt. (b) Geben Sie r und ϕ als Funktion von ρ, ψ und p an. (c) Skizzieren Sie die Querschnitte der durch die konforme Abbildung entstehenden Metalloberflächen in der z-ebene für p = 1 und p = 3 in zwei separaten Zeichnungen. 2 2 (d) Ermitteln Sie für beliebige p ]0; 2] das von der jeweiligen geladenen Metalloberfläche im Raum erzeugte Potential Φ p (z) und geben Sie es in Polarkoordinaten an. (e) Berechnen Sie das zugehörige elektrische Vektorfeld in der z-ebene und geben Sie dieses ebenfalls in Polarkoordinaten an. (f) Welche Abstandsabhängigkeit vom Ursprung des Koordinatensystems in der z- Ebene besitzt der Betrag der elektrischen Feldstärke? (g) Skizzieren Sie für den Grenzfall p = 2 die Metalloberfläche und den Verlauf der elektrischen Feldstärke in der z-ebene. Gehen Sie dabei von einer positiven Ladungsdichte auf der Metalloberfläche aus. Die wesentlichen Eigenschaften des elektrischen Feldes müssen klar erkennbar sein. Berücksichtigen Sie auch das Ergebnis aus Aufgabenteil (f). (12 Punkte) 14. Bei der Analyse der Ausbreitungsmöglichkeit von Wellen in der Richtung längshomogener Wellenleiterstrukturen wurde ein Spezialfall abgeleitet, der auch einen Lösungs- Eigenwert der Wellenzahl von k = 0 erlaubt. a) Was ist eine notwendige Voraussetzung bei den Wellenleiter-Randbedingungen dafür, dass diese Lösung eistiert? b) Wie heißt eine Abkürzung für die Feldgeometrie dieser Lösung und wie kann man sie alternativ in Bezug auf ihre longitudinalen Feldkomponenten charakterisieren? c) Bei der Energiewende spielt die spezielle Lösung mit k = 0 eine herausragende Rolle zur Anbindung der Offshore-Windparks zum Land. Warum eigentlich? Bei 50 Hz Wechselstrom sähe die Feldverteilung doch gleich aus, es handelt sich doch um denselben Feldlösungstyp. d) Wieso ist dieser Lösungstyp auch für die Nachrichtentechnik von entscheidender Bedeutung? Nennen Sie mindestens eine Eigenschaft, welche diesen Lösungstyp gegenüber allen anderen auszeichnet. (5 Punkte)

9 Elektromagnetische Felder II Klausur 22. Februar a) Koaialkabel für Hochfrequenzanwendungen (f > 10 GHz) haben kleine Durchmesser. Welcher Effekt soll dadurch vermieden werden? b) Was ist zu beachten, wenn ein Schlitz in der Wand eines Hohlleiters die inneren Feldverhältnisse möglichst wenig beeinflussen soll? Nebenstehende Abbildung zeigt den Aufbau eines Rechteckhohlleiters. In Abhängigkeit von den Indizes m und n können folgende Feldkomponenten berechnet werden: a TE-Wellen: ωµ Ê = H 0 a ) 2 +( nπ nπ b ) cos ) sin ( nπ y) e j ω 2 b a b ωµ Ê y = H 0 a ) 2 + nπ b ) sin ) cos ( nπ y) e j ω 2 a a b Ê z = 0 ω v Ĥ = H ph 0 a ) 2 + nπ b ) sin ) cos ( nπ y) e j ω 2 a a b Ĥ y = H 0 ω v ph a ) 2 +( nπ nπ b ) cos ) sin ( nπ y) e j ω 2 b a b Ĥ z = j H 0 cos a ) cos ( nπ b y) e j ω TM-Wellen: Ê = E 0 Ê y = E 0 ω v ph a ) 2 + nπ b ) cos ) sin ( nπ y) e j ω 2 a a b ω v ph a ) 2 +( nπ Ê z = j E 0 sin ) sin ( nπ y) e j ω a b nπ b ) sin ) cos ( nπ y) e j ω 2 b a b ωε Ĥ = E 0 a ) 2 +( nπ nπ b ) sin ) cos ( nπ y) e j ω 2 b a b ωε Ĥ y = E 0 a ) 2 + nπ b ) cos ) sin ( nπ y) e j ω 2 a a b Ĥ z = 0 y b (0,0,0) c) Fertigen Sie eine Skizze der E-Feld-Verteilung der H 11 -Mode in der -y-ebene bei z = 0 an. d) Bestimmen Sie die Grenzfrequenz f c für die H 10 -Mode in einem Rechteckhohlleiter der Breite a = 2 cm mit Höhe b < a, ε r = 9, µ r = 1. (10 Punkte) z Mathematische Hilfen: 1 d = ln(+a), +a 1 (+a) 2 d = 1 +a

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