Elektromagnetische Felder I Klausur 22. August 2013

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1 Elektromagnetische Felder I Klausur 22. August Geben Sie die Einheiten der Größen in den Teilaufgaben a) bis e) an. Benutzen Sie dazu nur die Einheiten V, A, m und s. Geben Sie zusätzlich den Zahlenwert an, falls dieses möglich ist. a) Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c b) Magnetische Flussdichte B c) Vektorpotential A d) Dielektrische Verschiebung D e) Permittivität des Vakuums ε 0 f) Essei einehohlkugelmitinnenradiusr i = 1 mundaußenradiusr a = 2 mgegeben. In den Bereichen r < R i und r > R a ist die Ladungsdichte ρ(r) = 0 As/m 3. Im Bereich R i r R a herrsche die Ladungsdichte ρ(r) = r 4 As. Berechnen Sie die π m 4 Gesamtladung Q der Hohlkugel. Stellen Sie dazu zuerst das Volumenintegral mit entsprechenden Integrationsgrenzen auf. Geben Sie in den nächsten Aufgabenteilen g) und h) die Abstandsabhängigkeit der Größen in der Form 1 r n an. g) Elektrisches Feld einer Punktladung h) Kraft zwischen zwei Punktladungen Gegeben seien in kartesischen Koordinaten: a = (,,z), b = ( 2, 3,3z). Berechnen Sie: i) div a j) div b k) rot a l) rot b m) 2 (div b) (10 Punkte) 2. Gegeben sei die in der Abbildung rechts dargestellte Geometrie aus Teilstücken von zwei Stromkreisen. Sie besteht aus einem halbkreisförmigen Drahtstück (Radius R), welches in der --Ebene liegt. Es sei ideal dünn. Auf ihm fließt der Strom I 1 in e ϕ -Richtung. Desweiteren befindet sich auf der z-achse durch den Ursprung gehend ein gerades Drahtstück. Dieses wird von dem Strom I 2 in e z -Richtung durchflossen und sei ebenfalls ideal dünn. Es erstreckt sich von z = a 1 bis z = a 2, mit a 2 a 1 R. a) Wie lautet das Biot-Savart-Gesetz für eine Stromdichteverteilung J? b) GebenSiedieStromdichteverteilung J 1 fürdenstromi 1 imhalbkreisförmigendrahtstück an. c) Berechnen Sie die von I 1 erzeugte magnetische Flussdichte B 1 auf der z-achse. d) Nähern Sie B 1 für z R, ohne dabei eine der Feldkomponenten gegen eine andere zu vernachlässigen. e) GebenSiedieStromdichteverteilung J 2 fürdenstromi 2 aufdemgeradendrahtstück an. f) Berechnen Siedie Kraft zwischen den beiden Drähtstücken mittels F = J Bd 3 r mit der Näherung aus d). (11 Punkte) I 1 R z a 2 a 1 I 2 R

2 Elektromagnetische Felder I Klausur 22. August Gegeben sei die nebenstehende Anordnung einer kreisrunden Leiterschleife B 1 mit Radius r und zwei Widerständen R 1 R 1 und R 2. In der Mitte befindet sich eine ideal leitfähige Verbindung, welche die Leiterschleife in zwei gleichgroße Hälften unterteilt. In der Ausgangssituation liegt diese Verbindung eakt auf der Grenze zwischen den Teilräumen 1 und 2, welche homogen von B 1 undb 2 durchsetzt sind. DieB- R 2 B 2 Felder stehen senkrecht zur Zeichenebene. I 1 I 0 I 2 z Der Mittelpunkt der Leiterschleife liege im Ursprung des Koordinatensstems, welches hier zur besseren Übersichtlichkeit entlang der -Achse versetzt gezeichnet ist. a) Berechnen Sie die induzierten Spannungen U 1 und U 2 im oberen und unteren Halbkreis für die Felder B 1 = ˆB 1 sin(ωt) e z und B 2 = ˆB 2 sin(ωt+π) e z. Konvention: Umlaufspannungen im Gegenuhrzeigersinn um die z-achse sind positiv zu zählen. b) Berechnen Sie die Ströme I 1, I 2 und I 0. Konvention: Ströme die in den rechten Knoten fließen sind positiv zu zählen. Im Folgenden seien die B-Felder zeitlich konstant. c) Werden Ströme induziert, wenn die gesamte Leiterschleife entlang einer der drei kartesischen Koordinatenachsen bewegt wird(translationsbewegung)? Wenn ja, entlang welcher Achsen, wenn nein, warum nicht? d) Werden Ströme induziert, wenn die gesamte Leiterschleife um eine der Koordinatenachsen gedreht wird (Rotationsbewegung)? Wenn ja, um welche der Achsen, wenn nein, warum nicht? (9 Punkte) 4. Aus den Mawellgleichungen sind vier Randbedingungen für die Felder B, D, E und H herleitbar. a) Geben Sie diese Randbedingungen in allgemeiner Form unter Berücksichtigung der gegebenenfalls auftretenden Strom- und Ladungsdichten an. Keine Herleitung! b) Geben Sie die Dimensionen oder Einheiten der in den Randbedingungen auftretenden Strom- und Ladungsdichten an. c) Leiten Sie das Brechungsgesetz für das B-Feldan einer ebenen Grenzschicht her (siehe Abbildung rechts), also den Zusammenhang zwischen den Winkeln α 1, α 2 und µ 1 B 2 α 2 den Materialparametern. Eine Stromdichte sei nicht vorhanden. Tipp: Beachten Sie, wie die Normal- und α 1 Tangentialkomponenten des Feldes sowie die Winkel B 1 zusammenhängen. µ 2 (9 Punkte)

3 Elektromagnetische Felder I Klausur 22. August Gegeben Sei die folgende Anordnung eines Kondensators mit zwei entlang der z-achse unendlich ausgedehnten Kondensatorplatten der Breite b mit einem Abstand d voneinander. Das bewegliche Dielektrikum hat eine Höhe von d und eine Breite b. Entlang der z-achse ist es ebenfalls unendlich ausgedehnt. Seine rein reelle Permittivität sei ε 1. Außerhalb des Dielektrikums beträgt die Permittivität ε 0 und es gilt: ε 1 > ε 0. Am Anfang t = 0 befindet sich das Dielektrikum im Abstand a vom Kondensator. Es wird mit der Geschwindigkeit v = v e, mit v > 0, in Richtung der positiven -Achse bewegt. Randeffekte sollen vernachlässigt werden. d ε 1 v = v e a +τ b τ b z a) Geben Sie die beiden Zeiträume an, in denen die Kapazität des Kondensators zunimmt bzw. abnimmt. b) Berechnen Siedie KapazitätproLänge(Kapazitätsbelag)alsFunktionder Zeit C (t) für alle Zeitpunkte. c) Die Ladung pro Länge ±τ sei auf den Kondensatorplatten zeitlich konstant. Geben Sie an, wie sich der Betrag der elektrischen Feldstärke qualitativ ändert, wenn das Dielektrikum in den Kondensator hineingeschoben wird. Begründen Sie Ihr Ergebnis kurz. (7 Punkte) 6. Es sei eine sich in positive -Richtung ausbreitende ebene Welle mit linearer Polarisation gegeben. Das E-Feld sei parallel zur z-richtung orientiert. a) Was bedeutet lineare Polarisation? b) Zeigen Sie, dass das B-Feld parallel zur -Richtung orientiert ist. c) Nun wird für diese Welle ein eingeschwungener Zustand mit der Kreisfrequenz ω in einem verlustbehafteten Material mit dem Brechungsinde n = n Real j n Verlust betrachtet. Geben Sie das sich ausbreitende E-Feld als Funktion von Ort und Zeit unter Benutzung der Dämpfungskonstante α und der Phasenkonstante β an. Wie hängen α und β vom Brechungsinde ab? d) Wie leitet sich aus c) die Skintiefe ab und was beschreibt sie? Was ist ihre Einheit? (7 Punkte) 7. a) Wie lautet das Snelliussche Brechungsgesetz und welche Bedingung muss für das Auftreten einer Totalrefleion gelten? b) Wie funktioniert ein Lichtwellenleiter - bitte den notwendigen Aufbau skizzieren -, und was für geometrische Abmessungen (Größenordnung) gelten für eine sogenannte Multimode-Faser und eine Singlemode-Faser in Bezug auf die Wellenlänge λ? (5 Punkte)

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5 Elektromagnetische Felder II Klausur 22. August Im Volumen V sei ein lineares Material mit Permeabilität µ( r) und Permittivität ε( r) gegeben. Es sind eine Stromdichte J( r), ein elektrisches Feld E( r) und ein magnetisches Feld H( r) vorhanden. Die Oberfläche des Volumens V sei F. a) Geben Sie die elektrische und magnetische Feldenergiedichte w e und w m an. b) Geben Sie die im Volumen V gespeicherte elektrische und magnetische Energie W e und W m an. c) Geben Sie die im Volumen V durch die Stromdichte umgesetzte Leistung P J an. d) Geben Sie dieleistung P S an, welche mittels obiger Felder aus dem Volumen herausbzw. hineintransportiert wird. e) Geben Sie an, wie die Größen W e, W m, P J und P S entsprechend dem Ponting- Theorem zusammenhängen. Das Ponting-Theorem in differentieller Schreibweise ist nicht gefragt. (6 Punkte) 9. In der Nachrichtentechnik werden optische Signale mit Photodioden detektiert. Damit möglichst viel Leistung detektiert wird, werden Photodioden mit einer Entspiegelungsschicht versehen, um einen refleionsarmen Übergang vom Übertragungsmedium herzustellen. Diese Entspiegelungsschicht soll im Folgenden dimensioniert werden. Übertragungs- Entspiegelungs- Photodiodenmedium (I) schicht (II) schicht (III) ε r0 Z 0 ε r,e Z e ε r,p Z p senkrechter Welleneinfall Schichtdicke d = 0 = d Alle drei Medien seien verlustlos und es gelte µ r = 1. a) Wie hängt der Wellenwiderstand Z von den Materialparametern ε 0,ε r,µ 0,µ r ab? b) Was bedeutet es für die Real- bzw. Imaginärteile von ε r und Z, sowie die Refleionsund Transmissionskoeffizienten am Übergang von I nach II, wenn innerhalb der Materialien keine Verluste auftreten? c) Wielautetder Refleionskoeffizient R 11 fürdase-feldeinerwelle, dievonmediumi aufmedium IIeinfällt?Wiehängtder Transmissionskoeffizient T 21 für denübergang von I nach IImit dem Refleionskoeffizient R 11 zusammen? (Stetigkeit des E-Feldes) d) Stellen Sie die Gleichung für die Feldstärke E ges der gesamten reflektierten Welle bei = 0 auf, in der die Refleionskoeffizienten/Transmissionskoeffizienten an beiden Grenzschichten, sowie die Phasendrehung in der Entspiegelungsschicht vorkommen müssen. Berücksichtigen Sie Mehrfachrefleionen. e) Bestimmen Sie die minimale Schichtdicke d und den Wellenwiderstand Z e, für die die reflektierte Welle E ges zu Null wird. Geben Sie die minimale Schichtdicke als Vielfaches der Wellenlänge im Medium der Entspiegelungsschicht an und Z e als Funktion von Z 0 und Z p. Hinweis: Die Wellenwiderstände möglichst spät in die Refleions-/Transmissionskoeffizienten einsetzen. Bedenken Sie die Ergebnisse vom Aufgabenteil b). (12 Punkte)

6 Elektromagnetische Felder II Klausur 22. August Gegeben sei die zur -Achse parallele Linienladungsdichte τ (mit τ > 0) bei = a und z = b. Sie erstreckt sich in ±-Richtung ins Unendliche. Desweiteren sei eine unendlich ausgedehnte, ebene und geerdete(ϕ = 0 V) Metallplatte gegeben. Die -Achse liegt vollständig in der Oberfläche der Metallplatte, siehe rechte, obere Abbildung. Gesucht ist das elektrostatische Potential ϕ( r) oberhalb der Metallplatte (im Halbraum mit τ). b π 4 z a τ a) Wo muss welche Spiegelladung platziert werden, um dieses Problem mit der Bildladungsmethode lösen zu können? b) Wie lautet der Ausdruck für die elektrische Feldstärke E( r) im Bereich oberhalb der Metallplatte? Als Hilfestellung ist das elektrische Feld für die Situation in der rechten, unteren Abbildung für eine einzelne Linienladung angegeben: E(,,z) = τ 1 ( d,,0) 2πε ( d) c) Berechnen Sie, ausgehend von der entsprechenden elektrischen Feldstärke, das zur Linienladungsdichte τ gehörende Potential ϕ τ für den Fall, dass keine Metallplatte bzw. Spiegelladung vorhanden ist. z = d d) Wie lautet der Ausdruck für das Potential oberhalb der geerdeten Metallplatte, wenn diese vorhanden ist? Nutzen Sie das Resultat aus Aufgabenteil c). e) Geben Sie abschließend auch das elektrische Feld E( r) und das Potential ϕ( r) unterhalb der Metallplatte an. (9 Punkte) 11. Gegeben sei ein zlindrisches metallisches Hohlrohr. In Zlinderkoordinaten lautet die ( ) { } zugehörige Wellengleichung: γ 2 E z = 0 r 2 r r r 2 ϕ 2 H z a) Wieso gibt es hier keine TEM-Mode als Lösung (Stichwort genügt)? b) Ab etwa welcher Frequenz ist eine Modenausbreitung zu erwarten für einen Innendurchmesser des Rohres von 0,15 m? Für E z bzw. H z sind die transversalen Abhängigkeiten von r und ϕ zu bestimmen. Dies soll hier nicht eplizit durchgeführt werden, sondern es sollen in diesem Zusammenhang folgende Elementaraufgaben behandelt werden: (c) Für die ϕ-abhängigkeit der Felder lässt sich direkt die funktionale Abhängigkeit angeben. Warum (Stichwort genügt) und wie lautet diese? (d) Formen Sie hiermit die o.a. Wellengleichung so um, dass nur noch die r- Abhängigkeit mit Ableitungen übrigbleibt. (e) Wie heißt diese partielle Differentialgleichung aus d) und warum(stichwort genügt) ist sie in Bezug auf r schwierig zu lösen? (8 Punkte) τ

7 Elektromagnetische Felder II Klausur 22. August Betrachtet werden die H-Moden eines zunächst leeren Rechteckhohlleiters der Breite a = 3 cm und Höhe b = 2 cm. Für die Cut-Off-Frequenzen gilt: f c(m,n) = c 2 m ε rµ r 2 + n2. a 2 b 2 E-Moden sollen im Folgenden nicht berücksichtigt werden. a) Wie lautet ein alternativer Name für H-Moden? b) Welche Feldkomponente ist bei jeder der H-Moden Null? c) Berechnen Sie die Frequenz, ab der H-Moden in diesem Hohlleiter ausbreitungsfähig sind. d) Bis zu welcher Frequenz herrscht Modenreinheit? e) Wie muss b mindestens geändert werden, damit dieser Frequenzbereich der Modenreinheit maimal wird? Es soll weiterhin a > b gelten. In welchem Bereich herrscht dann Modenreinheit? f) Warum führt eine weitere Änderung von b nicht zu einer Vergrößerung des modenreinen Frequenzbereichs? g) Aus einbautechnischen Gründen können die Abmessungen des Rechteckhohlleiters die Maße a = 3 cm und b = 2 cm nicht übersteigen. Trotzdem soll die Frequenz, ab der der Hohlleiter ausbreitungsfähig ist, gegenüber c) halbiert werden. Durch welche technische Änderung kann dieses erreicht werden? (6 Punkte) 13. Der rechts gezeichnete Einheitskreis soll mit der konformen Abbildung w(z) = 1+z in eine andere Geometrie überführt werden 1 z (z = +j = r e jϕ, w = u+j v). P 1 r = 1 a) Auf welche Geometrie wird der Einheitskreis abgebildet? Geben Sie zur Beantwortung der Frage den zugehörigen Realund Imaginärteil von w an. Hinweis: Parametrisieren Sie den Einheitskreis in der z-ebene in Polarkoordinaten. P 2 P 3 b) Berechnen Sie, wohin die Punkte P 1, P 2 und P 3 abgebildet werden und tragen Sie sie zusammen mit der abgebildeten Geometrie in eine Skizze ein. Hinweis: Das ist auch möglich, wenn Aufgabenteil a) nicht berechnet wurde. c) Wohin wird das Innere des Einheitskreises abgebildet? Begründen Sie die Antwort mit den fundamentalen Eigenschaften konformer Abbildungen. Alternativ können Sie sich auch überlegen, wohin der Abschnitt der -Achse im Einheitskreis abgebildet wird. d) Welche Paare von transformierter Geometrie und Ursprungsgeometrie sind mit obiger Abbildungsvorschrift möglich, um Feldverteilungen im Raum zu berechnen? Ein Halbraum und 1.: eine Kugel 2.: ein unendlich langer Zlinder 3.: ein Zlinder mit endlicher Länge Begründen Sie Ihre Antwort. (10 Punkte)

8 Elektromagnetische Felder II Klausur 22. August a) Das dnamische Skalarpotential kann mit folgender Gleichung berechnet werden: ϕ( r,t) = 1 ρ( r,t r r /v) 4πε V r r d 3 r. Begründen Sie die Form der Zeitabhängigkeit der Raumladungsdichte in der Gleichung. b) Geben Sie die entsprechende Gleichung für das Skalarpotential im elektrostatischen Fall an. c) Das elektrische Feld lässt sich im Allgemeinen gemäß E = A t Wie heißt die Größe A? ϕ berechnen. d) Geben Sie eine Gleichung entsprechend der Gleichung für das dnamische Skalarpotential in Aufgabenteil a) an, mit der die Größe A berechnet werden kann. e) A und ϕ sind nicht unabhängig voneinander und lassen sich aus einer weiteren Größe, in der Vorlesung mit Π e gekennzeichnet, berechnen. Wie heißt diese Größe und wieviele unabhängige Komponenten besitzt sie? (7 Punkte) Mathematische Hilfen: 1 2 +a 2 d = 1 a arctan a, 2 +a 2 d = 1 2 ln(2 +a 2 ), i=0 i = 1 1 für < 1 Refleion und Brechung an Grenzflächen: E senkrecht zur Einfallsebene E refl = Z 2cos(θ einf ) Z 1 cos(θ trans ) E einf Z 2 cos(θ einf )+Z 1 cos(θ trans ) E trans 2Z 2 cos(θ einf ) = E einf Z 2 cos(θ einf )+Z 1 cos(θ trans ) r 1 r 3 r q t qt q t t 2 E parallel zur Einfallsebene E refl = Z 2cos(θ trans ) Z 1 cos(θ einf ) E einf Z 2 cos(θ trans )+Z 1 cos(θ einf ) E trans 2Z 2 cos(θ einf ) = E einf Z 2 cos(θ trans )+Z 1 cos(θ einf ) 1 3 q q q 2

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