Elektromagnetische Felder I Klausur 09. März 2012

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1 Elektromagnetische Felder I Klausur 09. März a) Welche beiden Eigenschaften definieren die Diracsche δ-funktion? b) Welche Komponenten von D, E, B und H sind an Grenzflächen beim Wechsel von einem Medium in ein anderes stetig? Welche Voraussetzungen sind dabei gegebenenfalls nötig? c) Gegeben sei das Skalarfeld f(,, z) = 2 e sin z. Wie ändert sich das gegebene Feld f an der Stelle r 1 = (1, 1, π) in der Richtung N = (1, 1, 1)? Geben Sie für die folgenden Ausdrücke jeweils die zugehörige Einheit an, zusammengesetzt ausschließlich aus den Basiseinheiten A, V, m und s. Falls vorhanden, so geben Sie auch den Zahlenwert der entsprechenden Konstanten an. d) Permeabilität µ 0 e) Elementarladung e f) Magnetisierungsdichte M g) Polarisationsdichte P h) elektrisches Dipolmoment p d i) Diracsche δ-funktion δ(), wobei die Einheit m habe (9 Punkte) 2. Die nebenstehende Abbildung zeigt eine Anordnung bestehend aus einer Batterie, einer Schraube, einem Magneten und einem Kabel. Die Hand, welche die Batterie hält presst gleichzeitig das Kabel auf den Pluspol der Batterie. Zu Beginn ist der Nordpol des Magneten oben und der Südpol unten. Sowohl Schraube als auch Magnet sind elektrisch leitfähig und der Magnet sorgt dafür, dass der Schraubenkopf und der Magnet sowie die Schraubenspitze und die Batterie durch die Magnetkraft zusammengehalten werden, entgegen der Erdanziehung. a) Zeichnen Sie zunächst den Verlauf der B-Feldlinien innerhalb und außerhalb des dargestellten Magneten. Bringen Sie sowohl innerhalb des Magneten als auch außerhalb an den Feldlinien Pfeile an, welche die Richtung des Feldes angeben. b) Was passiert, wenn das untere Kabelende die vertikale Magnetfläche, also die Mantelfläche des zlinderförmigen Magneten, berührt? Geben Sie in Ihrer Antwort insbesondere die Richtungen eindeutig an! c) Welche elektromagnetisch relevanten Kräfte wirken? d) Was passiert, wenn die Batterie umgedreht wird, d.h. Plus- und Minuspol vertauscht werden? e) Was passiert, im Vergleich zur Ausgangskonfiguration, wenn die Batterie und der Magnet jeweils um 180 gedreht respektive jeweils Ober- und Unterseite getauscht werden? (5 Punkte)

2 Elektromagnetische Felder I Klausur 09. März a) Wie lautet das Gesetz von Biot-Savart unter Verwendung der Stromdichte J? Die folgenden Darstellungen zeigen infinitesimal dünne Flächen und Drähte im Raum. Die Pfeile geben die Richtung des Stromes bzw. der Oberflächenstromdichte an, diese sind auf der gesamten Fläche bzw. im gesamten Draht konstant. Stellen Sie die entsprechenden Funktionen für die Stromdichte J unter Zuhilfenahme der Diracfunktion und des fließenden Gesamtstroms I auf. Geben Sie desweiteren die Grenzen der zugehörigen Integrale an, sowie die jeweiligen Längen-, Flächen- oder Volumenelemente über die integriert wird. Wählen Sie hierfür das jeweils am besten geeignete Koordinatensstem. b) Hohlzlinder mit Radius R und Länge L, der Strom fließt auf dem Zlindermantel um die Zlinderachse, das hintere Ende des Zlinders liegt in der --Ebene: c) Hohlzlinder mit Radius R und Länge L, der Strom fließt auf dem Zlindermantel parallel zur Zlinderachse, das hintere Ende des Zlinders liegt in der --Ebene: R R z L z L d) Halber Kreisring in der --Ebene: r 2 r 1 r 1 r 2 e) Draht in der z =z 0 -Ebene parallel zur -Achse: L/2 I L/2 z =z 0 0 f) Geben Sie zu der in c) gesuchten Formel für die Stromdichte J die Dimensionen der einzelnen Terme an, aus denen J zusammengesetzt ist, sowie auch von J selber. (10 Punkte) 4. a) Bei Materialien in elektromagnetischen Feldern wird oft von linearem Verhalten ausgegangen. Was ist damit gemeint bzw. welche Größen verhalten sich linear zueinander? b) Welche Vereinfachung ergibt sich bei den Materialparametern wenn das Material isotrop ist im Vergleich zum allgemeineren anisotropen Fall? (4 Punkte)

3 Elektromagnetische Felder I Klausur 09. März a) Wann ist ein Vektorfeld E ein konservatives Feld? Die Angabe von einer der in der Vorlesung genannten vier äquivalenten Aussagen reicht als Antwort. b) Berechnen Sie das Wegintegral K E d l für das elektrische Feld E(,, z) = A ( 0,, z 0 ) auf dem geschlossenen Kreisumfang K mit Radius R um den Ursprung in der --Ebene. Hierbei sind A, 0, z 0 und R konstant. Rechnen Sie in Zlinderkoordinaten und durchlaufen Sie K im Gegenuhrzeigersinn! G 2 P 2 K P 1 c) Berechnen Sie für das E-Feld aus Aufgabenteil b) die beiden Wegintegrale G 1 E d l und G 2 E d l in kartesischen Koordinaten. Hierbei steht G 1 für die gerade Linie entlang der -Achse vom Ursprung bis zum Punkt P 1 = (R, 0, 0) und G 2 für die gerade Linie entlang der -Achse vom Ursprung bis zum Punkt P 2 = (0, R, 0). R G 1 d) Seien A und B zwei Punkte im Raum, q eine Ladung und E ein konservatives elektrisches Feld im Raum. Was beschreibt der Ausdruck q B A E d l? (8 Punkte) 6. Eine in der Mitte gespeiste Dipolantenne wird mit einem zeitlich harmonischen Wechselstrom der Frequenz f so betrieben, dass eine elektromagnetische Welle in den Freiraum abgestrahlt wird. ~ 0 a) Bestimmen Sie die Länge L eines λ/2-dipols in Abhängigkeit von c und f. Auf der Antenne stelle sich die Stromverteilung i(, t) = î cos(k) sin(ωt) ein. b) Wie berechnen sich die Wellenzahl k und die Kreisfrequenz ω? c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen k und ω im Freiraum? d) Berechnen und zeichnen Sie die Stromverteilung für ωt = π ± 2πn (n ganzzahlig). 2 (4 Punkte) 7. a) Gegeben sei eine ungedämpfte, ebene elektromagnetische Welle. Welche beiden Informationen über die Welle sind in ihrem Wellenvektor k enthalten? b) Eine ebene Welle treffe mit dem Wellenvektor k 0 aus dem Vakuum kommend senkrecht auf ein Medium mit der relativen Permeabilität ε r = 4. Geben Sie die Wellenvektoren k t der transmittierten Welle im Medium und k r der reflektierten Welle im Vakuum in Relation zu k 0 an. c) Das elektrische Feld einer ebenen Welle sei E( r, t) = E0 e j(ωt k r) mit konstanter Amplitude E 0, welche senkrecht zu k steht. Berechnen Sie das zugehörige B-Feld der Welle. Hinweis: rot (ψ a) = grad (ψ) a + ψ rot ( a). d) Berechnen Sie mit dem Ergebnis aus c) das Verhältnis E / H. Welchen Namen besitzt dieses Verhältnis und was ist sein Wert im Vakuum ohne Randbedingungen? (8 Punkte)

4 Elektromagnetische Felder I Klausur 09. März Betrachtet wird eine Kugel mit Radius R und Mittelpunkt z K + im Ursprung des Koordinatensstems. Die --Ebene teilt Φ + die Kugel in zwei Halbkugeln: K + im Halbraum z 0 S + und K im Halbraum z 0. Die Oberflächen der beiden Φ 0 Halbkugeln bestehen aus einem gemeinsamen Kreis mit Radius R in der --Ebene sowie je einer der beiden Halbkugelschalen S + und S (ebenfalls für z 0 bzw. z 0). Der Raum sei mit der magnetischen Induktion S B = B 0 R 0 konstant). Φ K Erläuterung: die Halbkugelschalen bestehen aus den Raumpunkten, welche einen Abstand R vom Mittelpunkt der Kugel haben, nicht aber den Raumpunkten, welche die gemeinsame Grenzschicht ausmachen. Der magnetische Fluss Φ + fliesst durch S + aus der Kugel heraus, Φ fliesst durch S aus der Kugel heraus und Φ 0 fliesst durch den Kreis aus K nach K +. Vorzeichenkonvention: der Normalenvektor auf die Kugel zeigt nach außen und der Normalenvektor auf dem Kreis zeigt in +z-richtung. a) Welche Zusammenhänge bestehen zwischen den magnetischen Flüssen Φ +, Φ und Φ 0? Hinweis: die Flüsse müssen hier nicht ausgerechnet werden. Aus welcher wichtigen Gleichung des Elektromagnetismus ergeben sich die gefragten Zusammenhänge? b) Geben Sie eine der Äquivalenzaussagen aus der Vorlesung zu der in a) gefragten Gleichung an. c) Berechnen Sie den Fluss Φ 0 mit Hilfe von Zlinderkoordinaten. (8 Punkte)

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6 Elektromagnetische Felder II Klausur 09. März a) Geben Sie die Formel für die Skintiefe an einer ebenen Grenzfläche an. b) Mit dieser Formel sollen die Widerstände zweier Leitergeometrien für ein Material mit σ = S/m und µ r = 1 untersucht werden. I 3 mm I 3 mm 9 mm Querschnitt I Länge Querschnitt II Länge Skizzieren Sie diese Querschnitte erneut und zeichnen Sie dort für hohe Frequenzen qualitativ den effektiven Querschnitt des Leiters sowie die Skintiefe ein. c) Berechnen Sie den Gleichstromwiderstand beider Querschnitte bei einer Länge von jeweils 27 m. Verwenden Sie π 3. d) Welche Leitergeometrie wird bei höheren Frequenzen hinsichtlich eines geringeren Widerstands zu bevorzugen sein? Berechnen Sie hierzu die effektiven Querschnittsflächen und vergleichen Sie. e) Schätzen Sie rechnerisch grob ab, oberhalb welcher Frequenz f der Skineffekt für den Widerstand der Leiter relevant ist. Ein genaues Ausrechnen der Widerstandsänderung ist hierzu nicht erforderlich. (9 Punkte) ϕ εµ 2 ϕ t = ρ und 2 2 A A εµ 2 ε t = µ J 2 sind inhomogene Wellengleichungen zur Bestimmung des dnamischen Skalarpotentials ϕ bzw. des dnamischen Vektorpotentials A. Bei Vernachlässigung von Retardierungseffekten lauten die Lösungen zu diesen Gleichungen: ϕ( r, t) = 1 4πε V ρ( r, t) r r d3 r und A( r, µ t) = 4π V J( r, t) r r d3 r. a) Geben Sie die Gleichungen für ϕ und A unter Berücksichtigung von Retardierungseffekten an. b) Was bedeutet Retardierung anschaulich? c) Geben Sie je ein Beispiel, bei dem Retardierung vernachlässigt werden kann bzw. nicht vernachlässigt werden kann. d) Erläutern Sie kurz, was unter avancierter Lösung verstanden wird. (4 Punkte)

7 Elektromagnetische Felder II Klausur 09. März a) Der dargestellte Dipol soll mit der Frequenz f = c 2L betrieben werden. In welchem Betriebszustand befindet sich der Dipol in diesem Fall? ~ L = λ/2 b) Warum ist das Betreiben eines Dipols bei dieser Frequenz besonders vorteilhaft? c) Der oben gezeigte Dipol liege nun im Ursprung des Koordinatensstems und Sie befinden sich an einem sehr weit entfernten Ort r ( r λ). Geben Sie allgemein das elektrische Feld am Ort r in der Näherung als ebene Welle in Abhängigkeit von der Wellenlänge λ sowie der Kreisfrequenz ω an. Die maimale Feldstärke an diesem Punkt sei E 0. d) Die rechts dargestellten parallelen, gleich langen und mittig gespeisten Dipole sind im Raum so ausgerichtet, dass von ihnen gemeinsam kein E-Feld in ±z- Richtung abgestrahlt wird. Berechnen Sie den kleinsten hierfür benötigten Abstand d der Dipole, wenn gilt U 1 (t) = U 2 (t) = U 0 sin(2πft). Begründen Sie Ihre Antwort kurz. U 1 (t) ~ ~ d U 2 (t) e) Wie verändert sich die Abstrahlung der Dipolanordnung wenn jetzt U 1 (t) = U 0 sin(2πft) und U 2 (t) = U 0 sin(2πft) gilt? Geben Sie die Achse(n) der Hauptstrahlrichtung an, sowie die Achse(n) entlang der(er) nichts abgestrahlt wird. f) Dipol 2 sei nun 90 um die z-achse gedreht, liegt also parallel zur -Achse und es gelte U 1 (t) = U 2 (t) = U 0 sin(2πft). Geben Sie die Achsen an, in welche Dipol 1 bzw. Dipol 2 Felder abstrahlen. g) In welche Richtungen zeigt nun das überlagerte E- Feld der beiden Dipole für einen weit entfernten Beobachter auf der z-achse? Fertigen Sie eine Zeichnung der --Ebene an und kennzeichnen Sie alle Richtungen des E-Feldes während einer Periode. Fertigen Sie eine weitere Zeichnung für den Fall an, dass der Abstand der Dipole halbiert wird. (8 Punkte) U 1 (t) ~ ~ 12. a) Geben Sie die Stromdichtefunktion J des elektrischen Hertzschen Dipols an. d U 2 (t) b) Welche beiden Koordinaten werden zweckmäßiger Weise in den Formeln für die räumliche Feldverteilung des Hertzschen Dipols verwendet? Warum gibt es in Richtung der Stromdichtefunktion kein Strahlungsfeld? Hinweis: In welcher Form erscheint eine der beiden Koordinaten in den Formeln für das Strahlungsfeld? c) Welcher Term in den Feldformeln geht auf den Retardierungseffekt zurück und welcher Zahlenwert gilt für ihn, wenn sogenannte quasistationäre Feldverhältnisse angenommen werden? Ist das sogenannte Nahfeld quasistationär oder im Allgemeinen doch retardiert? d) Die an den Enden des Hertzschen Dipols unterbrochene Stromfortleitung ist in der Prais nicht gegeben, da der Hertzsche Dipol nur einen kleinen Ausschnitt aus einem längeren Draht darstellt. Wie könnte man die Stromverteilung aus a) denn alternativ phsikalisch realisieren, wenn dies nicht so wäre? (7 Punkte) z z

8 Elektromagnetische Felder II Klausur 09. März Wie lauten die Formeln für den Energieinhalt eines Kondensators und einer Spule a) in der Beschreibung mittels Ersatzschaltbild und b) in der Beschreibung mittels Feldern? c) Unter welchen Voraussetzungen sind diese Angaben überhaupt sinnvoll, d.h. was wird bei der Annahme eindeutig definierter Werte C und L jeweils als vernachlässigbar angenommen? (4 Punkte) 14. Als Lösung der Wellengleichung im Fall von Wellenleitern wurden in der Vorlesung TE-, TM- und TEM-Wellen vorgestellt. a) Geben Sie an, durch welche Eigenschaften diese drei Wellenarten jeweils charakterisiert sind. Gefragt sind nur die Eigenschaften, welche zu der Namensgebung für diese Wellen geführt haben. b) Welche dieser Wellenarten können in metallischen Rechteckhohlleitern auftreten, welche in Koaialkabeln? c) Zu welcher Wellenart gehört die ebene elektromagnetische Welle im Freiraum? d) Welche Voraussetzung muss ein metallischer Wellenleiter erfüllen, um mit ihm auch bei der Frequenz 0 Hz Energie übertragen zu können? Die Grundmode eines leeren Rechteckhohlleiters mit den Querschnittsabmessungen a und b mit a > b habe die Feldkomponenten: E = 0 H = kah π 0 sin( π ) cos(ωt kz) a E = ωaµ 0 H π 0 sin( π) cos(ωt kz) H a = 0 E z = 0 H z = H 0 cos( π ) sin(ωt kz) a Der Hohlleiterquerschnitt ist festgelegt durch 0 a und 0 b und die betrachtete Frequenz liege oberhalb der cut-off-frequenz. Die Wellenzahl k ist positiv. e) Um welche der drei Wellenarten handelt es sich bei dieser Grundmode? f) Berechnen Sie den zugehörigen Wellenwiderstand in Ausbreitungsrichtung z. g) Stellen Sie eine Gleichung (Berechnungsformel) für die Leistung P auf, welche durch den gesamten Hohlleiterquerschnitt bei z zum Zeitpunkt t fließt und in der nur die relevanten Feldkomponenten angegeben sind (ohne deren eplizite Darstellung). Geben Sie auch die Integrationsgrenzen an, aber führen Sie die Integration nicht aus! h) Betrachten Sie nun über die eplizite Felddarstellung die Leistung als Funktion der Zeit beim Hohlleiterquerschnitt z = 0. Fließt die Leistung nur in +z-, nur in zoder abwechselnd in +z- und z-richtung? (10 Punkte)

9 Elektromagnetische Felder II Klausur 09. März Gegeben sei die nebenstehende Struktur aus zwei sich unter einem Winkel von 30 berührenden Metallplatten und einer Linienladung τ auf der Winkelhalbierenden zwischen den Metallplatten. Senkrecht zur --Ebene ist die Struktur unendlich ausgedehnt. Ebenso sollen die Platten in radialer Richtung vom Ursprung weg unendlich ausgedehnt sein, d.h. Randeffekte sind zu vernachlässigen. Die Linienladung befindet sich im Abstand a/b vom Ursprung O des Koordinatensstems. O a/b 15 τ α = 30 a) Welche Eigenschaften des Raumes bleiben bei einer konformen Abbildung erhalten? Unterscheiden Sie zwischen lokalen und globalen Bedingungen. b) Geben Sie an mit welcher konformen Abbildung sich der Winkel α ändern lässt. Die beiden Platten sollen auch nach der Transformation eben und nicht gekrümmt sein. Hinweis: Zur Überlegung wie die Abbildungsfunktion genau aussieht ist es vorteilhaft in der z-ebene Zlinder- bzw. Polarkoordinaten zu verwenden: z = + j = r e jφ. c) Wie ändert sich bei der konformen Abbildung aus b) der Winkel der Ladung τ? d) Auf welchen Winkel muss die Struktur (α) transformiert werden, um das Potential mit eakt einer Spiegelladung berechnen zu können? Fertigen Sie eine Skizze der Struktur nach der Transformation an und zeichnen Sie die Spiegelladung ein. e) Geben Sie konforme Abbildung für die Transformation aus d) als Formel an. f) Wie groß ist b, wenn der Abstand zwischen Grundplatte und Leitung nach der Transformation a ergeben soll? Setzen Sie für die weitere Rechnung diesen Wert für b ein. g) Geben Sie das elektrostatische Potential ϕ der transformierten Geometrie in der w-ebene an, mit der Festlegung, dass das Nullpotential bei v = 0 liegen soll. Hinweise: Es sei w = u + jv. Das Potential einer Linienladung im Freiraum lautet, bei geeigneter Wahl des Koordinatensstems, ϕ = τ ln R + const, wobei R der 2πε Abstand zur Linienladung τ ist. h) Ermitteln Sie die Abhängigkeit der Koordinaten u und v aus der w-ebene von den zlindrischen Koordinaten r und φ aus der ursprünglichen z-ebene für die in e) gesuchte Abbildungsfunktion. i) Bestimmen Sie das Potential der ursprünglichen Anordnung in Zlinderkoordinaten. j) Auf welchen Winkel muss die ursprünglich gegebene Struktur transformiert werden um das Problem mit mehr als einer Spiegelladung zu lösen? Fertigen Sie eine Skizze der Struktur nach der Transformation an und zeichnen Sie die Spiegelladungen ein. Hinweis: Es gibt mehrere mögliche Lösungen, die Angabe von einer ist ausreichend. (14 Punkte)

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