Elektromagnetische Felder Klausur 22. Februar 2006

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1 1. Die beiden nebenstehenden Abbildungen zeigen den Querschnitt verschiedener Anordnungen, in die Feldlinien eingezeichnet werden sollen. Verwenden Sie hierfür das Extrablatt am Ende der Klausur, auf dem die Strukturen größer dargestellt sind. Trennen PSfrag Sie replacements das Extrablatt von der restlichen Aufgabenstellung und geben Sie es zusammen mit Ihren weiteren Lösungen ab. a) Zeichnen Sie in die obere Abbildung die Feldlinien des elektrischen Feldes, wobei eine höhere Feldstärke durch eine höhere Feldliniendichte dargestellt werden soll. Achten Sie auf die verschiedenen Potentiale in den Metallen. b) Zeichnen Sie ebenfalls in die obere Abbildung Potentiallinien für die Potentiale von etwa 1 V und 4 V ein. ε r = 1 ε r = 4 µ r = 1000 µ r = 1 Metall +5 V Metall 0 V Metall +5 V c) In der unteren Abbildung zeigt eine kreisförmige Stromverteilung in die Zeichenebene hinein. Zeichnen Sie in diese Abbildung die Feldlinien des H-Feldes PSfrag replacements (nicht des B-Feldes). Berücksichtigen Sie auch hier höhere Feldstärken durch eine höhere Feldliniendichte. (8 Punkte) 2. Bei den Potentialen dieser Aufgabe soll der Wert im Unendlichen immer gleich Null sein. a) Eine Punktladung Q befinde sich am Ort r. Geben Sie die Formel für das von ihr erzeugte elektrostatische Potential ϕ( r) am Ort r an. b) Geben Sie nun die Formel für das elektrostatische Potential ϕ( r) einer beliebigen Raumladungsdichteverteilung ρ( r ) an. c) Eine konstante Linienladung τ befindet sich auf der z-achse im Bereich von a bis +a mit a > 0. Berechnen Sie das elektrostatische Potential ϕ(0, 0, z) an der Position z > a auf der z-achse. d) Berechnen Sie für die Anordnung aus Teil c) das elektrische Feld E(0, 0, z) an der Position z > a auf der z-achse unter Ausnutzung der Axialsymmetrie. e) Was versteht man im Zusammenhang mit elektromagnetischen Feldern unter Retardierung und wieso konnte ihr Einfluss bei den Berechnungen in den Teilen c) und d) vernachlässigt werden? (10 Punkte)

2 3. Gegeben sei eine Zylinderspule gemäß nebenstehender Abbildung mit N Windungen, durch die der Strom I im Rechtsschraubensinn um die z-achse fließt. Die Spule habe die Länge l, ihr Querschnitt den Radius R. a) Da der Wicklungsabstand sehr klein ist, sollen die Windungen durch eine konstante PSfragOberflä- chenstromdichte K mit vernachlässigbarer Kom- replacements ponente in z-richtung ersetzt werden. Geben Sie diese Oberflächenstromdichte K als Stromdichte J(r, ϕ, z) mit Hilfe der Deltafunktion an. R l z b) Berechnen Sie mit Hilfe des Biot-Savart-Gesetzes die magnetische Flussdichte im Inneren der Spule auf der z-achse. Geben Sie das B-Feld am Anfang oder Ende der Spule an und vereinfachen Sie dieses Ergebnis mit der Näherung R l. c) Berechnen Sie die Induktivität der Spule mit dem Ergebnis für die magnetische Flussdichte aus b), welche als konstant innerhalb der ganzen Spule angenommen werden soll. Nehmen Sie an, dass ausserhalb der Spule kein magnetisches Feld vorhanden ist. (11 Punkte) 4. Eine quadratische Leiterschleife mit der Kantenlänge a befindet sich in einem Magnetfeld B 1, welches senkrecht aus der Zeichenebene heraustritt. In der Schleife befindet sich der Widerstand R. Die Schleife wird nun mit konstanter Geschwindigkeit v in ein benachbartes Magnetfeld B 2 geschoben, welches senkrecht in die Zeichenebene hineintritt. Beide Magnetfelder sind vom Betrag her gleich. a) Berechnen Sie die in der Schleife induzierte Spannung. b) Welche Leistung wird im Widerstand umgesetzt? Wie groß ist die Energie, die in ihm als Verlustwärme auftritt? c) Mit welcher Kraft muß die Schleife in das zweite Magnetfeld geschoben werden, um die Geschwindigkeit aufrecht zu halten? d) Wie lautet die Lenzsche Regel? e) Auch wenn der Vorgang mit unterbrochener Stromschleife wiederholt wird, treten in den Leiterabschnitten Kräfte auf. Welche beiden Kräfte stehen dabei nach dem actio-reactio Prinzip im Gleichgewicht? (9 Punkte)

3 5. Der rechts skizzierte Transformator wird Primärwicklung bei f = 50 Hz mit harmonischem Wechselstrom aus der Steckdose betrieben. Er zieht dabei einen effektiven Erregerstrom von I eff = 1 A und die Primärwicklung erzeugt mit ihren N = 300 Windun- PSfrag replacements gen über einer Länge von 10 cm eine effektive, mittlere magnetische Flussdichte B eff = 1 Vs/m 2 im ringförmigen Eisenkern. Eine Sekundärwicklung wird in dieser Aufgabe vernachlässigt. 30 cm 20 cm 10 cm Trafofenster a) Berechnen Sie über U = dφ die effektive Spannung U dt eff, die in einer einzelnen Windung induziert wird. Wie groß ist das entsprechende elektrische Feld E eff entlang dieser Windung? Das so berechnete Feld kann als großzügige Abschätzung der mittleren effektiven elektrischen Feldstärke im Trafofenster angesehen werden. b) Wie groß ist die daraus resultierende effektive dielektrische Verschiebung D eff im Luft gefüllten Trafofenster? Welcher Wert ergibt sich damit für den effektiven Verschiebungsstrom I V,eff, wenn er durch das gesamte Fenster fließen würde? Wie groß ist dieser im Vergleich zum Gesamtstrom N I eff der Spule? Nun wird ein Powerline Communication (PLC) Modem an eine weitere Steckdose derselben Stromleitung angeschlossen, um mit 10 Mbit/s Datensignale über das Stromnetz zu übertragen. c) Wie groß ist der effektive Verschiebungsstrom im Trafofenster, wenn es bei 10 MHz betrieben wird? Auf welchen Wert steigt er an, wenn die effektive elektrische Feldstärke bis an die Durchbruchfeldstärke von E = V/m bei 10 MHz ansteigt? Vergleichen Sie die beiden Ergebnisse mit dem Gesamtstrom N I eff. Hinweis: Rechnen Sie mit π 3 und ε As/(Vm). (8 Punkte) 6. a) Geben Sie Brechungsindex und Wellenwiderstand als Funktion der Materialparameter ε 0, ε r, µ 0 und µ r an. b) Wie nennt man den Effekt der durch die Frequenzabhängigkeit der Materialparameter entsteht? Was deutet diese Bezeichnung an bzw. wie wirkt sich dieser Effekt auf ein Wellenpaket aus, dass durch ein solches Material läuft? c) Wie lauten bei senkrechtem Einfall einer Welle aus einem Material 1 auf ein Material 2 die Formeln für den Transmissions- und Reflexionskoeffizient als Funktionen der Materialparameter zum einen und als Funktionen der Brechungsindizes (letzteres für µ r1 = µ r2 = 1) zum anderen? (4 Punkte)

4 7. Beweisen Sie für senkrechten Einfall einer ebenen Welle an einer ebenen Grenzschicht (vom Material mit Z ins Material mit Z ), dass die Leistungsflussdichte erhalten bleibt. (5 Punkte) 8. a) Geben sie die eindimensionale Wellengleichung an. Überprüfen Sie, ob folgende Funktionen f Lösungen der eindimensionalen Wellengleichung sind: i. f = f 0 cos(π t t 0 ) ii. f = f 0 sin(a (x + 4vt)) iii. f = A (x + 4vt) mit einer konstanten Amplitude f 0, einer konstanten reziproken Länge A und einer konstanten Geschwindigkeit v (verwechseln Sie diese nicht mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle). b) Eine elektromagnetische Welle breite sich im Vakuum entsprechend der Gleichung E = E x e x cos(kz t) aus. s i. In welche Richtung ist die Welle polarisiert? ii. In welche Richtung breitet sich die Welle aus? In positiver oder negativer Richtung? iii. Bestimmen Sie die Wellenzahl k. iv. Bestimmen Sie die Wellenlänge λ. v. Bestimmen Sie die Frequenz f. vi. Wie groß ist die magnetische Feldamplitude? vii. Entlang welcher Achse zeigt der magnetische Feldvektor? Hinweis: Nähern Sie in dieser Aufgabe π 3 falls nötig. (6 Punkte) 9. Beantworten Sie folgende Fragen bezüglich des Hertzschen Dipols: a) Weshalb ist der Hertzsche Dipol wichtig bzw. von Vorteil? b) Geben Sie an, welche elektromagnetischen Feldkomponenten (E ϑ, E ϕ, E r, H ϑ, H ϕ, H r ) im Nahfeld von Null verschieden sind für einen Hertzschen Dipol mit Strom in z-richtung. Welche Komponente entfällt zusätzlich durch Näherung im Fernfeld? Welche Abstandsabhängigkeiten kommen beim Hertzschen Dipol für das Fern- und Nahfeld vor? Welches Feld wird als Strahlungsfeld bezeichnet? c) Wie lautet im Fernfeld der Zusammenhang zwischen elektrischem und magnetischem Feld eines Hertzschen Dipols? (5 Punkte) 10. Wie wird die Einheit H (Henry) der Induktivität durch die Einheiten V, A, s dargestellt? Welche Feldenergiebeiträge vernachlässigt man, wenn man ein Bauteil als reine Induktivität definiert? Über welche Formel kann die Induktivität rein aus Feldtermen und dem Strom I berechnet werden? (4 Punkte)

5 11. Gegeben sei folgende Anordnung mit drei unterschiedlichen Bereichen mit unterschiedlichen Werten für ε r (µ r = 1). Eine ebene elektromagnetische Welle befindet sich im eingeschwungenen Zustand und trifft von links kommend senkrecht auf die Grenzschichten bei z = 0 und z = d. Der Abstand der beiden Grenzschichten beträgt d = 0,25 m. k r=4 r=1 r = h I II III 0 d z a) Bestimmen Sie die einzelnen Impedanzwerte für den jeweiligen Bereich in Abhängigkeit von Z 0. b) Berechnen Sie die drei relevanten Reflexions- und die drei relevanten Transmissionsfaktoren an den Grenzflächen bei z = 0 und z = d. c) Bestimmen Sie den Betrag des Wellenvektors in Medium II für eine Frequenz von f = 300 MHz. Ersetzen Sie hierbei π nicht durch einen Zahlenwert. d) Geben Sie unter Verwendung der in b) berechneten Ergebnisse den Gesamtreflexionsfaktor R gesamt für die Grenzschicht bei z = 0 an. e) Setzen Sie nun das Ergebnis aus c) und den Zahlenwert für d in den Ausdruck für R gesamt ein. Vereinfachen Sie den Term so weit wie möglich. Welche Aussage aufgrund des Ergebnisses kann man über die Phase bei der betrachteten Frequenz von f = 300 MHz treffen? (11 Punkte) 12. a) Geben Sie das Poynting-Theorem für ein Material mit elektrischer Leitfähigkeit σ, Permittivität ε und Permeabilität µ in reeller Schreibweise und gleichzeitig differentieller Form an. Drücken Sie dabei alle Größen durch die elektrische Feldstärke E und die magnetische Feldstärke H sowie die räumlich und zeitlich als konstant angenommenen Materialeigenschaften aus. Schreiben Sie das Ergebnis in der Form Term1 + Term2 + Term3 + Term4 = 0 hin. b) Wir betrachten im Folgenden das elektrische Feld E( r, t) = U 0 sin(ϑ) 1 sin(ωt r kr) e ϑ und das magnetische Feld H( r, t) = I 0 sin(ϑ) 1 sin(ωt kr) e r ϕ in Kugelkoordinaten mit den konstanten, reellen Vorfaktoren U 0 und I 0. Berechnen Sie für diese Felder die einzelnen Terme, also Summanden, des Poynting-Theorems im Vakuum. Vereinfachen Sie diese soweit wie möglich. c) Welche Abhängigkeit zwischen U 0 und I 0 ergibt sich aus dem Poynting-Theorem? Lösen Sie diese quadratische Gleichung nach U 0 auf, z.b. mit Hilfe der sogenannten p-q-formel. Hierbei könnte der Zusammenhang µ0 hilfreich sein. k ωε 0 = Die folgenden Aufgabenteile lassen sich auch ohne das Ergebnis aus c) lösen. d) Welche Leistung P (r 0, t 0 ) wird zum Zeitpunkt t 0 durch eine im Ursprung des Koordinatensystems zentrierte Kugeloberfläche vom Radius r 0 nach außen transportiert? e) Wie groß ist die Leistung aus dem vorigen Aufgabenteil im zeitlichen Mittel über eine volle Schwingungsperiode? (10 Punkte) ε 0

6 13. Gegeben sei die rechts abgebildete Anordnung eines Lasthebemagneten aus Eisen. Die Spule wird von einem Strom I durchflossen und besitzt N Windungen. Die relative Permeabilität µ r im Eisenkern soll so groß sein, dass Streuflüsse vernachlässigt werden können. Der Integrationsweg im gesamten Eisen kann durch die Weglänge l E angenähert werden. Induktionsvorgänge sollen bei der Berechnung unberücksichtigt bleiben. a) Berechnen Sie die magnetische Feldstärke im Eisen sowie in der Luft. b) Bestimmen Sie die Energie welche in einem der beiden Luftspalte (Volumen: a 2 s) vorhanden ist. Benutzen Sie für die Berechnung die Näherung l E 2µ r s. c) Berechnen Sie mit dem Ergebnis aus b) die Gesamtkraft F L in Abhängigkeit von der Luftspaltdicke s, die auf die Masse m ausgeübt wird. d) Wie groß darf die maximale Last m sein, damit die erzeugte Kraft aus c) ausreicht, um die Masse gegen die Gewichtskraft F G zu halten? In diesem Aufgabenteil rechnen Sie bitte mit folgenden Werten: N = 100, I = 10 A, µ r = 100, µ Vs/(Am), a = 0,05 m, l E = 2 m, g = 10 m/s 2. (8 Punkte) 14. Gegeben sei ein Rechteckhohlleiter mit den Abmessungen a = 15 cm und b = 6 cm. Er sei mit Luft gefüllt. a) Ab welcher Frequenz kann der Hohlleiter für hochfrequente Leistungsübertragung genutzt werden? b) Wie kann man erreichen, dass dieser Hohlleiter schon bei niedrigeren Frequenzen genutzt werden kann? Die geometrischen Abmessungen sind fest! c) Wenn die in einem Hohlleiter geführte Leistung abgestrahlt werden soll, ist eine passende Antenne notwendig. Warum kann das Ende des obigen Hohlleiters nicht einfach offen bleiben, um gute Abstrahlung zu erreichen und wie kann dieser Effekt begründet werden? d) Angenommen, der Hohlleiter wird bei 1,5 GHz betrieben und eine an ihn angeschlossene Antenne sei nicht ideal angepasst, so dass in Ausbreitungsrichtung z im Hohlleiter eine stehende Welle existiert. Die E-Feld Amplitude der stehenden Welle im Hohlleiter soll durch Messung an verschiedenen Orten entlang der z-achse bestimmt werden. Wie muss in den Hohlleiter ein Schlitz hineingefräst werden, damit der Sensor von außen entlang der z-achse verschoben werden kann, ohne die Feldverhältnisse zu stören? Überlegen Sie sich hierzu anhand der H-Feld-Verteilung, wo Oberflächenströme fließen und fertigen Sie eine Skizze an, aus der der Verlauf des H-Feldes und der Oberflächenströme über eine volle Hohlleiterwellenlänge hervorgeht. (7 Punkte)

7 15. Eine massive Metallkugel mit Radius R K ist geerdet. In einigem Abstand befindet sich eine Punktladung q am Ort r vor dieser Kugel. Im Folgenden sollen Sie nun das Potential φ( r) an einem beliebigen Ort r außerhalb der Kugel bestimmen. a) Skizzieren Sie die geerdete Kugel, die Punktladung q und den Beobachtungspunkt P. Legen Sie den Ursprung des Koordinatensystems in den Mittelpunkt der Kugel und zeichnen Sie anschließend die Vektoren r, r und r r ein. b) Benutzen Sie nun eine Spiegelladung q S. In welchem Raumbereich dürfen Sie die Spiegelladung platzieren? c) Wie lautet der allgemeine Ansatz für das Potential φ( r), dass durch die Punktladung q am Ort r und die entsprechende Spiegelladung q S am Ort r S entsteht in vektorieller Schreibweise? d) Wie liegen r und r S zueinander und warum? e) Welche Randbedingung muss das Potential erfüllen? Wählen Sie nun den Beobachtungspunkt P so, dass er auf der Kugeloberfläche liegt. f) Bei welcher Position auf der Kugeloberfläche sind dann r, r und r S alle parallel? Kennzeichnen Sie diese Position durch ein x in Ihrer Skizze aus Aufgabenteil a). g) Nutzen Sie diese Beziehung der drei Vektoren r, r und r S um das Potential aus Aufgabenteil c) umzuformen. Formen Sie dazu so um, dass Betragsstriche und Richtungsinformation (Vektorpfeile) überflüssig werden. h) Kombinieren Sie jetzt Ihren so umgeformten Ansatz für das Potential mit der von Ihnen angegebenen Randbedingung und stellen Sie eine Gleichung für die relative Spiegelladung q S /q auf. i) Wiederholen Sie Aufgabenteil g) und h) für einen zweiten Punkt auf der Kugel, der dem eben betrachteten diametral gegenüberliegt, so dass r antiparallel zu r und r S liegt und stellen Sie eine zweite Gleichung für q S /q auf. j) Bestimmen Sie mit den beiden für q S /q aufgestellten Gleichungen die beiden Unbekannten q S und r S (Tipp: Bestimmen Sie dazu zuerst r S in Abhängigkeit von R K und r ). In welchem Raumbereich liegt die Spiegelladung demnach? (14 Punkte)

8 Hilfsformeln: sin 2 x dx = 1 2 x 1 4 sin 2x, sin 3 x dx = 1 3 cos3 x cos x, 2 sin x cos x = sin 2x, cos 2 x dx = 1 2 x + 1 sin 2x 4 cos 3 x dx = 1 3 sin3 x + sin x 1 ax + b dx = 1 ln ax + b a dz R2 + (z 0 z) 23 = z z 0 R 2 R 2 + (z z 0 ) x = 1 + x + x2 + x für x < x = x2 + x 4 + x für x < 1 1 (1 x) = 1 + 2x + 2 3x2 + 4x für x < 1 Reflexion und Brechung an Grenzflächen: E senkrecht zur Einfallsebene E refl = Z 2 cos(θ einf ) Z 1 cos(θ trans ) E einf Z 2 cos(θ einf ) + Z 1 cos(θ trans ) E trans 2Z 2 cos(θ einf ) = E einf Z 2 cos(θ einf ) + Z 1 cos(θ trans ) Einfallsebene kr x Er z Grenzfläche Hr He e Ee e ke k H t t t Et Medium 1 Medium 2 y E parallel zur Einfallsebene E refl = Z 2 cos(θ trans ) Z 1 cos(θ einf ) E einf Z 2 cos(θ trans ) + Z 1 cos(θ einf ) E trans 2Z 2 cos(θ einf ) = E einf Z 2 cos(θ trans ) + Z 1 cos(θ einf ) x Er Einfallsebene kr Hr z Grenzfläche e H e Ee e k e Et Ht t kt Medium 1 Medium 2 y

9 Metall +5 V ε r = 1 E-Feld & Potential einzeichnen Metall 0 V PSfrag replacements ε r = 4 Metall +5 V µ r = 1000 µ r = 1 H-Feld einzeichnen PSfrag replacements Name: Matrikelnr.: