2. Im Folgenden werden Materialparameter im statischen, verlustfreien Fall betrachtet.

Transkript

1 Elektromagnetische Felder I Klausur. März 06. a) Beschreiben Sie mit Hilfe der Diracschen δ-funktion eine Raumladungsdichte, die sich gleichverteilt nur auf dem Mantel eines Zylinders mit Radius a und Länge L befindet. Die Gesamtladungsmenge sei Q und der Zylinder befinde sich rotationssymmetrisch um die z-achse mit Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems. b) Welche Einheit hat der Ausdruck div J? Was folgt wegen der Ladungserhaltung für div J? c) Berechnen Sie den Gradienten der Potentialfunktion Φ(x,y,z) = x +sin(y)+ z. d) Berechnen Sie den Wert des Vektorfelds V(x,y,z) x π/ = siny im Punkt π/ z 0 und geben Sie die Komponenten V r, V ϑ und V ϕ (Kugelkoordinatendarstellung) an diesem Punkt an. e) Geben Sie die Größenordnungen der Zahlenwerte sowie die Einheiten von ε 0 und µ 0 an. f) Geben Sie die Abstandsabhängigkeit des elektrischen Feldes für eine statische Punktladung und, in großer Entfernung, für einen statischen Dipol an. (8 Punkte). Im Folgenden werden Materialparameter im statischen, verlustfreien Fall betrachtet. a) Geben Sie eine Größe an, welche die dielektrischen Materialeigenschaften beschreibt. b) Welche aus der Vorlesung bekannten Zusammenhänge bestehen zwischen der elektrischen Feldstärke, der Polarisation und der dielektrischen Verschiebung? Geben Sie zwei Zusammenhänge an, bei einem sollten alle drei genannten Größen vorkommen. c) Können Sie mit Hilfe der folgenden Ausstattung die in a) gefragte Materialeigenschaft bestimmen? Unabhängig davon, ob Ihre Antwort ja oder nein lautet, ist eine entsprechend ausführliche, in Worte gefasste und auf Formeln gestützte, Begründung erforderlich. Ausstattung: Ein Plattenkondensator, dessen Volumen zwischen seinen Platten mit Vakuum, Gas oder einer Flüssigkeit gefüllt werden kann. Die exakte Plattengröße sowie den genauen Plattenabstand kennen Sie nicht. Eine einstellbare Gleichspannungsquelle inklusive Voltmeter. Ein Amperemeter, welches die Stromstärke in Abhängigkeit von der Zeit speichert. Erforderliche Anschlussdrähte. d) Sie ändern den Kondensator so, dass feste Proben zwischen den Platten platziert werden können. Was sollten Sie insbesondere bei Kristallen im Rahmen der Materialparameteruntersuchung machen und warum? (9 Punkte)

2 Elektromagnetische Felder I Klausur. März Ein Hinweis vorab: Die vier Aufgabenteilgruppen a)-c), d), e) und f)-h) sind unabhängig voneinander lösbar. Zunächst wird nur Leiterschleife betrachtet. Der Strom I läuft wie eingezeichnet durch die Abschnitte B, A und C. Die Abschnitte B und C erstrecken sich in positiver z- Richtung ins Unendliche. Abschnitt A hat die Länge a und liegt auf der y-achse. Der Ursprung des Koordinatensystems liegt in der Mitte von Abschnitt A (in der Zeichnung verschoben dargestellt). a) Geben Sie das Biot-Savart-Gesetz für Linienströme an. C Leiterschleife Leiterschleife b) Berechnen Sie die durch den Abschnitt A verursachte magnetische Flussdichte B x 0 für einen Punkt r 0 = y 0 in der x-y-ebene. 0 c) Nähern Sie das Ergebnis für den Fall, dass x 0 a und gleichzeitig x 0 y 0 gilt. Nun wird auch die in der x-y-ebene liegende quadratische Leiterschleife mit dem Widerstand R und der Kantenlänge a in die Betrachtung einbezogen. d) Warum muss für die Berechnung des magnetischen Flusses durch die Leiterschleife das durch die Abschnitte B und C verursachte magnetische Feld nicht berechnet werden? Im Folgenden wird unabhängig von den Ergebnissen aus den Teilen a) bis d) die magnetische Flussdichte B = K x e z im Raum angenommen. e) Welche Einheit hat die Konstante K? Die Leiterschleife wird im Folgenden mit der Geschwindigkeit v in die positive x-richtung bewegt, so dass sich der Abstand d zur Leiterschleife ausgehend von d(t = 0) = d 0 entsprechend vergrößert. f) Berechnen Sie den magnetischen Fluss durch die Leiterschleife als Funktion der Zeit. g) Berechnen Sie die induzierte Spannung in der Leiterschleife. h) Geben Sie den induzierten Strom I an. Hinweis: (x a)dx =, [(x a) +b ] 3/ (x a) +b (5 Punkte) I A dx = [(x a) +b ] 3/ B a x a b (x a) +b d y R z I a x

3 Elektromagnetische Felder I Klausur. März a) Geben Sie die vier Äquivalenzaussagen aus der Vorlesung für konservative Kraftfelder an. b) Drücken Sie die Einheit des elektrostatischen Potentials durch die Einheiten J und C aus und erklären Sie hiermit die physikalische Bedeutung des elektrostatischen Potentials. c) Welche geometrische Beziehung besteht zwischen den Flächen bzw. Linien gleichen Potentials und dem zugehörigen elektrischen Feldstärkevektor? d) Untersuchen Sie, ob E = K r e ϑ (in Kugelkoordinaten) das elektrische Feld eines elektrostatischen Potentials ist. K ist eine Konstante mit passender Einheit. (9 Punkte) 5. GegebensindzweiHalbräumemitdenMaterialparameternµ undµ (sieheabbildung). a) Geben Sie die beiden grundlegenden Gleichungen an, aus denen die Randbedingungen für das magnetische Feld hergeleitet werden können. b) Wie lauten die Randbedingungen für die Normalkomponente der magnetischen Flussdichte und die Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke? Keine Herleitung! c) Leiten Sie das statische Brechungsgesetz für die magnetische Flussdichte B aus den in b) gefragten Randbedingungen her. Eine Grenzflächenstromdichte sei nicht vorhanden. (8 Punkte) µ µ B α α B 6. a) Wie lautet die Wellengleichung einer skalaren Funktion F(x, t) mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit v ohne Felderregung? b) Wie lauten die beiden dazugehörigen Elementarlösungen? (3 Punkte) 7. Gegeben sei eine ebene Grenzschicht zwischen zwei Halbräumen mit den Wellenimpedanzen 50 Ω und. Eine ebene Welle fällt vom 50 Ω-Halbraum kommend senkrecht auf die Grenzschicht ein. a) Skizzieren Sie die E-Feldverhältnisse vor der Grenzschicht für die Zeitpunkte maximaler konstruktiver und maximaler destruktiver Interferenz in ihrer räumlichen Verteilung, d.h. es sollen die drei elektrischen Felder jeweils der einfallenden, der reflektierten und der Gesamtwelle über eine geometrische Länge λ skizziert werden. b) Falls ein Gesamtfeld überall Null ist: wo steckt denn dann die Feldenergie? (5 Punkte)

4 Elektromagnetische Felder I Klausur. März 06 Reflexion und Brechung an Grenzflächen: E senkrecht zur Einfallsebene E refl = Z cos(θ einf ) Z cos(θ trans ) E einf Z cos(θ einf )+Z cos(θ trans ) E trans Z cos(θ einf ) = E einf Z cos(θ einf )+Z cos(θ trans ) r r 3 r q t qt q t t E parallel zur Einfallsebene E refl = Z cos(θ trans ) Z cos(θ einf ) E einf Z cos(θ trans )+Z cos(θ einf ) E trans Z cos(θ einf ) = E einf Z cos(θ trans )+Z cos(θ einf ) 3 q q q

5

6 Elektromagnetische Felder II Klausur. März a) Geben Sie das Poynting-Theorem in differentieller Form an. b) Wie hängen die Leistungsflussdichte und im linearen Fall die Energiedichte jeweils mit den Feldstärken zusammen? c) Was ist mit linearem Fall gemeint? d) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Induktivität L einer idealen Spule und der im magnetischen Feld der Spule gespeicherten Energie W m? e) Berechnen Sie die Induktivität L eines Koaxialkabels der Länge s mit Innenleiterradius a und Radius b bis zur Innenseite des Außenleiters. Das Innere der Leiter sei feldfrei, der Strom fließt also nur auf den Radien a und b. Der Raum zwischen Innenund Außenleiter sei mit einem Material der Permeabilität µ gefüllt. f) Beschreiben Sie wie sich die Induktivität L des Koaxialkabels ändert, wenn das Innere der Leiter nicht mehr als feldfrei angenommen wird, der Strom also über die Leiterquerschnitte verteilt fließt. Führen Sie keine neue Berechnung durch, sondern geben Sie nur eine qualitative Beschreibung mit Argumenten. (0 Punkte) 9. Die vollständige Lösung des elektrischen Hertzschen Dipolfeldes lautet in Kugelkoordinatendarstellung: E r = I [ 0l µ 4π j ] cosϑ e j(ωt kr) ε r ωεr 3 E ϑ = I 0l 4π H ϕ = I 0l 4π [ jωµ r [ jk r + + µ ε r r E ϕ = 0, H r = 0, H ϑ = 0 j ωεr 3 ] sinϑ e j(ωt kr) ] sinϑ e j(ωt kr) a) Geben Sie die erregende J-Verteilung an, aus der diese Lösung folgt. b) Geben Sie das sogenannte Nahfeld von E ϑ vollständig an. c) Was bedeutet Retardierung anschaulich (in Worten)? Die sogenannten retardierten Potentiale als Lösung der Maxwell-Gleichungen enthalten die Erregungen ρ und J mit der sogenannten retardierten Zeit. Wie lautet der Ausdruck für die retardierte Zeit? Welcher Term aus dem Nahfeld in b) entspricht dieser Retardierung? d) In welcher Richtung und weshalb wird das Nahfeld auch bei großen Abständen das Feldverhalten dominieren? e) Wodurch ist eine ebene Welle gekennzeichnet? Wodurch unterscheidet sich die Herleitung der Ebenen-Wellen-Lösung von der Herleitung der oben angegebenen Feldlösung für den Hertzschen Dipol? Bitte eine kurze Antwort, keine Herleitung erforderlich. f) Unter welchen Näherungen liefert die oben angegebene Lösung bei großen Entfernungen dennoch ebene Wellenfelder? (0 Punkte)

7 Elektromagnetische Felder II Klausur. März In der Nachrichtentechnik werden optische Signale mit Photodioden detektiert. Damit möglichst viel Leistung die Photodioden erreicht, werden diese mit einer Entspiegelungsschicht versehen, um einen reflexionsarmen Übergang zum Übertragungsmedium herzustellen. Diese Entspiegelungsschicht soll im Folgenden dimensioniert werden. Hierbei wird µ r = sowie keine Verluste für alle Schichten angenommen. Medium I Medium II Medium III Übertragungsmedium Entspiegelungs- Photodiodenschicht schicht ε r,0 ε r,x ε r,p Wellenwiderstand Z 0 = 360 Ω Z x Z p = 0 Ω senkrechter Welleneinfall Schichtdicke d x = 0 x = d a) Was bedeutet es für die Real- bzw. Imaginärteile von ε r und Z, sowie die Reflexionsund Transmissionsfaktoren am Übergang von I nach II, wenn innerhalb des Materials keine Verluste auftreten? b) Wie hängt der Wellenwiderstand Z von den Parametern ε 0,ε r,µ 0,µ r ab? c) Wie lautet der Reflexionsfaktor R für das E-Feld einer Welle, die von Medium I auf Medium II einfällt? Wie hängt der Transmissionsfaktor T am Übergang von I nach II mit dem Reflexionsfaktor R zusammen? (Stetigkeit des E-Feldes) d) Stellen Sie die Gleichung für die Feldstärke E ges der gesamten reflektierten Welle bei x = 0 auf, in der die Reflexionsfaktoren/Transmissionsfaktoren an beiden Grenzschichten, sowie die Phasendrehung in der Entspiegelungsschicht vorkommen müssen. Hinweis: Mehrfachreflexionen beachten, i=0 xi = für x < x e) Zur Dimensionierung der Entspiegelungsschicht überlegen Sie zunächst Folgendes: Welchen Phasenversatz muss die zweite Teilwelle ins Medium I zur ersten haben, damit der Gesamtreflexionsfaktor kleiner wird? Was folgt daraus für die Schichtdicke d, wenn Z 0 > Z x > Z p gilt? Vereinfachen Sie hiermit Ihr Ergebnis aus d). f) Schätzen Sie nun einen Wert für Z x ab, indem Sie R = R 3 setzen und erst als letzten Schritt die Zahlenwerte einsetzen. Hierbei ist R 3 der Reflexionsfaktor einer Welle, die von Medium II auf Medium III einfällt. (3 Punkte)

8 Elektromagnetische Felder II Klausur. März 06. Gegeben ist die nebenstehende Struktur aus zwei parallel zur x-z-ebene unendlich ausgedehnten, ideal leitfähigen und geerdeten Metallplatten. Die Platten liegen bei y = a und y = a. In der Mitte zwischen den Platten, auf der z-achse, befindet sich die Linienladung τ. Gesucht ist das elektrische Feld zwischen den Platten. Zunächst soll das Problem mit Hilfe der Spiegelladungsmethode gelöst werden. a) Fertigen Sie eine Skizze an, aus der hervorgeht, welche und wieviele Spiegelladungen platziert werden müssen. a b) Berechnen Sie das elektrische Feld am Punkt 0 in Näherung, indem Sie zusätzlich zu τ nur die zwei nächstgelegenen Spiegelladungen berücksichtigen. Das 0 elektrische Feld von τ alleine lautet: E(x,y,z) = τ x πε x +y y. 0 Im Folgenden soll die Anordnung mit Hilfe der konformen Abbildung w = f(z) = e π a z mit w = u+jv und z = x+jy in die w-ebene transformiert werden. c) Warum kann das vorliegende Problem mit Hilfe einer konformen Abbildung gelöst werden, obwohl es sich um ein dreidimensionales Problem handelt? d) Transformieren Sie die drei Elemente der Anordnung mit Hilfe der angegebenen konformen Abbildung in die w-ebene. Hinweis: Es empfiehlt sich in kartesischen Koordinaten zu rechnen. e) Skizzieren Sie die resultierende Geometrie in der w-ebene. f) Mit welcher analytischen Methode kann das nun vorliegende Problem gelöst werden? Die Durchführung der Berechnung wird hier nicht erwartet. ( Punkte) z τ y a a x

9 Elektromagnetische Felder II Klausur. März 06. Zunächst werden ein Rundhohlleiter sowie ein Koaxialkabel betrachtet. a) Wodurch wird im Allgemeinen der nutzbare Frequenzbereich der Grundmode von beiden Wellenleitertypen zu höheren Frequenzen beschränkt? Erklären Sie in diesem Zusammenhang den Begriff cut-off-frequenz. b) Der Rundhohlleiter habe den Innenradius b, das Koaxialkabel habe den Innenleiterradius a und den Innenradius des Außenleiters b. Die Leiter seien ideal leitend, für beide Dielektrika gelte ε = ε 0 und µ = µ 0. In welchem der beiden Wellenleiter tritt die Grundmode frequenzabhängig zuerst auf? Wie heißt diese und ab welcher Frequenz ist diese ausbreitungsfähig? Auf welche besonderen Eigenschaften weist der Name dieser Mode hin? Hinweis: Es ist keine Rechnung erforderlich. c) Warum wird im Allgemeinen ein einmodiger Betrieb von Wellenleiterstrukturen angestrebt? Nennen Sie zwei wesentliche Vorteile der Grundmode des Koaxialkabels gegenüber der Grundmode des Rundhohlleiters für die Signalübertragung? Nun ist ein Rechteckhohlleiter für ein Übertragungssystem auszulegen. Nebenstehende Abbildung zeigt den Hohlleiter. Die cut-off-frequenz der H mn -Mode eines Rechteckhohlleiters der Breite a und Höhe b berechnet sich gemäß f c,mn = c 0 ε r µ r a (m a) + ( n b). a z y x d) Der Hohlleiter soll bei 5 GHz, dem,5-fachen seiner(niedrigsten) cut-off-frequenz, betrieben werden und ist mit einem Dielektrikum (ε r 4) gefüllt. Wie groß ist die cut-off-frequenz und welche Breite a ergibt sich daraus für den gefüllten Rechteckhohlleiter? e) Zeichnen Sie für den Rechteckhohlleiter aus Aufgabenteil d) das elektrische Feld der H 0 -Mode in der Ebene bei z = 0 ausgehend von folgenden Gleichungen. Kennzeichnen Sie die Stärke des Feldes durch die Dichte der eingezeichneten Feldlinien. Berücksichtigen Sie die Vorzeichen und nehmen Sie H 0 > 0 an. Ê x = H 0 Ê y = H 0 Ê z = 0 ωµ ( mπ a ) +( nπ nπ b ) cos( mπ x) sin ( nπ y) e j ω b a b v ph z ωµ ( mπ a ) +( mπ nπ b ) sin( mπ x) cos ( nπ y) e j ω a a b v ph z f) Ein bereits vorhandener mit Luft (ε r ) gefüllter Rechteckhohlleiter hat Abmessungen, die der nebenstehenden Skizze entnommen werden können. Berechnen Sie den Frequenzbereich, in dem ausschließlich die Grundmode in dem Rechteckhohlleiter ausbreitungsfähig ist. Begründen Sie anhand Ihrer Rechnung, 0 mm ob auch dieser Hohlleiter für das Übertragungssystem 5 mm eingesetzt werden kann. E-Moden dürfen zur Vereinfachung vernachlässigt werden. Hinweis: Die cut-off-frequenz der H -Mode dieses Hohlleiters beträgt ca. 6, GHz. ( Punkte)

10 Elektromagnetische Felder II Klausur. März 06 Reflexion und Brechung an Grenzflächen: E senkrecht zur Einfallsebene E refl = Z cos(θ einf ) Z cos(θ trans ) E einf Z cos(θ einf )+Z cos(θ trans ) E trans Z cos(θ einf ) = E einf Z cos(θ einf )+Z cos(θ trans ) r r 3 r q t qt q t t E parallel zur Einfallsebene E refl = Z cos(θ trans ) Z cos(θ einf ) E einf Z cos(θ trans )+Z cos(θ einf ) E trans Z cos(θ einf ) = E einf Z cos(θ trans )+Z cos(θ einf ) 3 q q q

11