Elektromagnetische Felder I

Transkript

1 Klausur Elektromagnetische Felder I 25. Februar 2011 Name: Matrikelnummer: Fachsemester: B.Sc. ET/Wi-Ing.: M.Sc. ET/Wi-Ing.: Dipl. ET: Dipl. Wi-Ing.: Sonstige: 1 (8) 2 (7) 3 (10) 4 (7) 5 (7) 6 (6) 7 (4) 8 (9) Gesamt (58) Note:

2 Elektromagnetische Felder I Klausur 25. Februar 2011 Hinweise zur Klausur: Dauer: 2 Stunden (Beginn- und Endzeit siehe Tafel) Studierendenausweis und Personalausweis bereitlegen Kein eigenes Papier benutzen Keine Taschenrechner oder sonstigen Hilfsmittel sind erlaubt Keine Jacken, Rucksäcke etc. auf den Tischen Mobiltelefone ausschalten Zählen Sie, ob alle Blätter vorhanden sind. Soll: 8 Blatt Klausur erst bis zum Ende lesen inkl. Formelsammlung, dann beginnen Bronstein liegt vorne aus Toilettenbesuche nur einzeln (Personalausweis vorne ablegen!) Vor der Abgabe eigene Blätter mit Namen und Matrikel-Nr. versehen, nummerieren und sortieren. Das Deckblatt von den Aufgaben abtrennen und mit abgeben! Ebenso das Extrablatt zu Aufgabe 4 vom Ende der Klausur abtrennen und abgeben! Termine: Ergebnisaushang voraussichtlich ab ca. Mittwoch, den 09. März (Nummer der eigenen Klausur für Interneteinsicht aufschreiben!) Klausureinsicht: am Donnerstag, den 17. März für Studierende mit ungeraden Matrikelnummern in der Zeit von 09:00 bis 11:00 und am Freitag, den 18. März für Studierende mit geraden Matrikelnummern in der Zeit von 09:00 bis 11:00 im Institut für EMV in Raum 305, Schleinitzstr. 23, 3. Etage Mündliche Nachprüfungen: 30. März (bei Klausureinsicht in Liste eintragen!)

3 Elektromagnetische Felder I Klausur 25. Februar Geben Sie die Einheiten der folgenden Größen an, verwenden Sie dazu nur V, A, s, m: a) magnetischer Fluss Φ, b) dielektrische Verschiebung D, c) Flächenladungsdichte σ, d) magnetische Flussdichte B, e) magnetische Permeabilität des Vakuums µ 0, geben Sie auch den Zahlenwert von µ 0 an, f) Diracsche Deltafunktion δ(x), wobei x die Dimension einer Länge hat. g) Durche welche zwei Eigenschaften wird die Deltafunktion definiert? Was bedeutet δ(r) anschaulich? Berechnen Sie die folgenden vektoranalytischen Ausdrücke, wobei e r der Einheitsvektor in Richtung von r = (x,y,z) ist und a ein konstanter Vektor: h) div ( a r) i) rot ( a r) j) div e r k) Geben Sie die Kontinuitätsgleichung an. Welches Prinzip liegt hierbei zugrunde? l) Geben Sie den Satz von Stokes an! (8 Punkte) 2. In der nebenstehenden Abbildung befindet sich ein Elektron zunächst in Ruhe an der linken Kondensatorplatte (Potential ϕ = 0 V). Im Abstand d befindet sich die rechte Kondensatorplatte auf dem positiven Potential U. Zwischen den Kondensatorplatten ist außerdem eine homogene magnetische Flussdichte B vorhanden, welche senkrecht auf der Zeichenebene steht. Der Bereich außerhalb des Kondensators ist feldfrei. Im Abstand b hinter der rechten Kondensatorplatte befindet sich ein Detektor. Das Elektron (Ladung e, Masse m) kann die rechte Kondensatorplatte, z.b. ein Gitternetz, ungestört durchfliegen. e, m, v = 0 ϕ = 0 V a) Welches Feld beschleunigt das Elektron aus seinem anfänglichen Ruhezustand heraus? b) Erläutern Sie die Kräfte, die das Elektron, abgesehen von der Trägheitskraft, bei der Bewegung innerhalb des Kondensators erfährt. Geben Sie insbesondere die beiden maßgeblichen Formeln an und beschreiben Sie in Worten die Richtung, in der diese Kräfte wirken. c) Welche der Kräfte ändert nicht die kinetische Energie des Elektrons? Warum? d) Wieviel Zeit benötigt das Elektron bei ausgeschaltetem B-Feld bis es den Detektor erreicht? e) Beschreiben Sie kurz und rein qualitativ wie sich die Flugbahn des Elektrons mit zunehmendem B-Feld verändern wird. (7 Punkte) B d ϕ = U b Detektor

4 Elektromagnetische Felder I Klausur 25. Februar Gegeben sei eine kreisrunde Leiterschleife mit Radius R in der x-y-ebene. Ihr Mittelpunkt liegt im Ursprung des Koordinatensystems. Der Leiter sei ideal dünn, in ihm fließt ein Strom I gegen den Uhrzeigersinn um die z-achse. y I a) Stellen Sie für diese Leiterschleife eine Formel des in der x- y-ebene erzeugten B-Feldes auf. Verwenden Sie hierzu die Zylinderkoordinaten r, ϕ, z und vereinfachen Sie, soweit es möglich ist, ohne Durchführung einer Integration. z R x b) Wie groß ist das B-Feld in erster nicht-verschwindender Näherung in der x-y-ebene, wenn für den Betrachtungsort gilt r R? c) Welches Ergebnis erhält man für die Näherung r R? Hinweis: Das r in dieser Aufgabe entspricht dem im Hilfsblatt Koordinatensysteme auf der vorletzten Seite der Klausur, also hier: r = x 2 + y 2. Weiterhin ist: cos(α) cos(β)+ sin(α) sin(β) = cos(α β) und 2π cos(α β) dα = 2π sin(α β) dα = (10 Punkte) 4. Es wird ein Plattenkondensator mit variabler Kapazität betrachtet. Die beiden parallelen Platten haben die Form eines 3/4-Kreises und einen Abstand h voneinander, beide mit Radius R. Durch die Mittelpunkte der Platten verläuft die gemeinsame Drehachse. Der Drehwinkel α gibt die Verdrehung der Platten gegeneinander an. Er soll Werte zwischen 0 und π/2 annehmen, wobei der Wert 0 durch die Position maximaler Überdeckung definiert ist. Das Dielektrikum habe überall den Wert ε = ε 0, soweit nicht anders angegeben. Am Ende der Klausur finden Sie ein Lösungsblatt für die Teilaufgaben d) und e). Trennen Sie es von den Aufgabenstellungen und geben Sie es zusammen mit Ihren übrigen Lösungen ab. obere Platte α untere Platte R a) Geben Sie die für eine Kapazitätsberechnung relevante Fläche A(α) in Abhängigkeit des Drehwinkels α an! Gehen Sie hierzu davon aus, dass h R ist und Streufelder vernachlässigt werden können. b) Berechnen Sie die Kapazität C(α) des Kondensators! c) Berechnen Sie die Spannung U(α) zwischen den beiden Kondensatorplatten bei Ladung ±Q! d) Zeichnen Sie das E-Feld für einen idealen und für einen realen Plattenkondensator auf das Lösungsblatt am Ende der Klausur! e) Zeichnen Sie das E-Feld für einen realen Kondensator mit zusätzlicher umlaufender Schutzelektrode auf das Lösungsblatt und begründen Sie Ihre Zeichnung kurz. f) Was geschieht mit der Kapazität C und dem E-Feld wenn zwischen den Platten ein Dielektrikum mit ε > ε 0 eingebracht wird, wobei die Ladung Q konstant bleiben soll? Begründen Sie Ihre Aussagen kurz anhand von Formeln! (7 Punkte)

5 Elektromagnetische Felder I Klausur 25. Februar Die nebenstehende Leiterschleife hat zwei Widerstände R und drei Strommesser. Anfangs befindet sie sich im linken, feldfreien Halbraum (x < 0). Im rechten Halbraum (x > 0) sind zwei unterschiedliche B-Felder vorhanden, im Bereich oberhalb der x-achse (y > 0) das Feld B 1 und im Bereich unterhalb der x-achse (y < 0) das Feld B 2. Das mittlere Leiterstück mit dem Strommesser für I 2 liegt genau auf der x-achse. Die B- Felder stehen senkrecht auf der Zeichenebene und zeigen in Aufgabenteil a) aus dieser heraus. a/2 a/2 R R b I 1 I 2 I 3 y B1 B 2 x a) Zunächst wird die Leiterschleife mit fester Geschwindigkeit v = v 0 e x in den rechten Halbraum gezogen, während die Felder B 1 und B 2 zeitlich konstant sind. Berechnen Sie die Ströme I 1, I 2 und I 3. Hierbei sollen die Ströme in positiver x-richtung als positiv gezählt werden. b) Nachdem die Leiterschleife vollständig im rechten Halbraum angekommen ist, wird sie gestoppt ( v = 0) und die B-Felder fangen an zeitlich zu variieren gemäß: B 1 (t) = ˆB 1 sin (ωt) e z und B 2 (t) = ˆB 2 cos (ωt) e z. Berechnen Sie die drei Ströme. c) Wie ändern sich die Ergebnisse (Ströme) aus Aufgabenteil b), wenn sich die Leiterschleife auch im rechten Halbraum weiterhin mit der konstanten Geschwindigkeit v 0 bewegt, statt zu ruhen? Bitte nur eine qualitative Antwort, keine Rechnung! (7 Punkte) 6. Ein E-Feld werde erzeugt durch ein Galvani-Element (Batterie) oder durch eine Relativbewegung zwischen einer Spule und einem Permanentmagneten. a) Ist rot E jeweils gleich Null oder ungleich Null? b) Welche wichtige skalare Größe existiert nur bei rot E = 0? Was ist ihre Einheit? Beschreiben Sie ihre Bedeutung anschaulich-physikalisch in Worten. c) Wieso bzw. wann kann eine eindeutige Spannung an den Anschlussklemmen eines Generators angegeben werden, der mittels rot E 0 Spannungen erzeugt? d) Geben Sie ein Beispiel einer Feldverteilung, bei der die Angabe einer Spannung nicht sinnvoll ist. (6 Punkte) 7. Gegeben seien zwei Halbräume mit den Materialparametern ε 1 und µ 1 sowie ε 2 und µ 2. a) Geben Sie die Randbedingungen für die Normal- und Tangentialkomponente der dielektrischen Verschiebung D an der Grenzfläche an (eine Herleitung ist nicht gefordert)! Eine freie Oberflächenladungsdichte sei nicht vorhanden. b) Geben Sie die beiden grundlegenden Gleichungen an, von denen ausgehend diese zwei Randbedingungen herleitbar sind. (4 Punkte)

6 Elektromagnetische Felder I Klausur 25. Februar Es wird die ebene Grenzfläche zwischen zwei Halbräumen mit den Wellenwiderständen Z 1 und Z 2 betrachtet. In der Grenzfläche seien keine Ladungen oder Ströme vorhanden. Eine ebene Welle trifft aus dem Z 1 -Halbraum kommend senkrecht auf die Grenzfläche. a) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den elektrischen Feldstärken E 0, E t, E r, der einfallenden, der transmittierten und der reflektierten Welle an der Grenzschicht? Geben Sie diesen Zusammenhang als Gleichung an, in der nur die drei elektrischen Feldstärken vorkommen, aber nicht die Wellenwiderstände. b) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Leistungsflussdichten S 0, S t und S r von einfallender, transmittierter und reflektierter Welle? Aus welcher physikalischen Erhaltungsgleichung folgt dies? c) Geben Sie für eine ebene elektromagnetische Welle den allgemeinen Zusammenhang zwischen der elektrischen Feldstärke E, der magnetischen Feldstärke H und dem Wellenwiderstand Z an. Geben Sie ebenso den Zusammenhang zwischen E, Z und der Leistungsflussdichte S an. d) Bestimmen Sie für den Fall Z 2 Z 1 unter Ausnutzung der Fresnelschen Formeln die Verhältnisse Et E 0, Er E 0, St S 0 und Sr S 0. e) Bestimmen Sie die entsprechenden vier Verhältnisse aus dem vorigen Aufgabenteil für den Fall Z 2 Z 1. (9 Punkte) Reflexion und Brechung an Grenzflächen: E senkrecht zur Einfallsebene E refl = Z 2 cos(θ einf ) Z 1 cos(θ trans ) E einf Z 2 cos(θ einf ) + Z 1 cos(θ trans ) E trans 2Z 2 cos(θ einf ) = E einf Z 2 cos(θ einf ) + Z 1 cos(θ trans ) Einfallsebene kr x Er z Grenzfläche Hr He e Ee e ke k H t t t Et Medium 1 Medium 2 y E parallel zur Einfallsebene E refl = Z 2 cos(θ trans ) Z 1 cos(θ einf ) E einf Z 2 cos(θ trans ) + Z 1 cos(θ einf ) E trans 2Z 2 cos(θ einf ) = E einf Z 2 cos(θ trans ) + Z 1 cos(θ einf ) x Er Einfallsebene kr Hr z Grenzfläche e H e Ee e k e Et Ht t kt Medium 1 Medium 2 y

7

8 Name: Matrikelnr.: zu d) E-Feld eines idealen Kondensators zu d) E-Feld eines realen Kondensators zu e) E-Feld eines realen Kondensators mit Schutzelektrode

9 Klausur Elektromagnetische Felder II 25. Februar 2011 Name: Matrikelnummer: Fachsemester: B.Sc. ET/Wi-Ing.: M.Sc. ET/Wi-Ing.: Dipl. ET: Dipl. Wi-Ing.: Sonstige: 9 (5) 10 (5) 11 (11) 12 (11) 13 (6) 14 (10) 15 (10) Gesamt (58) Note:

10 Elektromagnetische Felder II Klausur 25. Februar 2011 Hinweise zur Klausur: Dauer: 2 Stunden (Beginn- und Endzeit siehe Tafel) Studierendenausweis und Personalausweis bereitlegen Kein eigenes Papier benutzen Keine Taschenrechner oder sonstigen Hilfsmittel sind erlaubt Keine Jacken, Rucksäcke etc. auf den Tischen Mobiltelefone ausschalten Zählen Sie, ob alle Blätter vorhanden sind. Soll: 6 Blatt Klausur erst bis zum Ende lesen inkl. Formelsammlung, dann beginnen Bronstein liegt vorne aus Toilettenbesuche nur einzeln (Personalausweis vorne ablegen!) Vor der Abgabe eigene Blätter mit Namen und Matrikel-Nr. versehen, nummerieren und sortieren. Das Deckblatt von den Aufgaben abtrennen und mit abgeben! Termine: Ergebnisaushang voraussichtlich ab ca. Mittwoch, den 09. März (Nummer der eigenen Klausur für Interneteinsicht aufschreiben!) Klausureinsicht: am Donnerstag, den 17. März für Studierende mit ungeraden Matrikelnummern in der Zeit von 09:00 bis 11:00 und am Freitag, den 18. März für Studierende mit geraden Matrikelnummern in der Zeit von 09:00 bis 11:00 im Institut für EMV in Raum 305, Schleinitzstr. 23, 3. Etage Mündliche Nachprüfungen: 30. März (bei Klausureinsicht in Liste eintragen!)

11 Elektromagnetische Felder II Klausur 25. Februar Betrachtet wird ein Draht mit dem Querschnittsradius R = 1 mm und der Länge L = 100 mm. Er hat eine Leitfähigkeit σ = 10 7 S/m. a) Berechnen Sie den Widerstand des Leiters für Gleichstrom, hierfür sei π 3! b) Wird der Leiter bei höheren Frequenzen statt bei Gleichstrom betrieben, so tritt ein zusätzlicher Effekt auf, welcher die Stromverteilung im Leiter beeinflusst. Benennen Sie diesen und beschreiben Sie ihn qualitativ! c) Beschreiben Sie die Auswirkungen dieses Effekts auf den Spannungsabfall entlang des Leiters bei gleicher effektiver Stromstärke. d) Bei höheren Frequenzen spricht man üblicherweise von einer Impedanz statt von einem Widerstand. Erklären Sie den Unterschied! (5 Punkte) 10. Die zeitabhängige Raumladungsdichte ρ( r,t) erzeugt das dynamische Skalarpotential ϕ( r,t) = 1 4πε V ρ( r,t r r /v) d 3 r. r r a) Im statischen Fall ergibt sich eine Vereinfachung. Geben Sie die entsprechend vereinfachte Gleichung für das statische Skalarpotential an. b) Was ist mit dem Begriff Retardierung in diesem Zusammenhang gemeint? c) Das dynamische Vektorpotential A( r,t) lässt sich ähnlich darstellen wie das dynamische Skalarpotential. Welche Größe ist die Quelle bzw. Ursache des dynamischen Vektorpotentials? d) Das dynamische Skalarpotential und die drei Komponenten des dynamischen Vektorpotentials hängen voneinander ab. Historisch führte dies zur Einführung einer weiteren Größe, aus der sich die beiden dynamischen Potentiale berechnen lassen. Wie heißt diese Größe und wieviele unabhängige Variable hat sie? (5 Punkte) 11. Eine Punktladung Q befindet sich an den kartesischen Koordinaten (0, 0,h) mit h > 0 über einer unendlich ausgedehnten, ebenen Metallplatte. Die Platte liegt in der x-y- Ebene. a) Geben Sie zunächst das Potential φ( r) einer Punktladung Q an, welche sich am Ort (0, 0,h) im freien Raum befindet, d.h. ohne Vorhandensein der Metallplatte. b) Wie lautet das Potential φ( r) im oberen Halbraum (z > 0) bei nun vorhandener Metallplatte? c) Geben Sie auch das elektrische Feld E( r) bei vorhandener Metallplatte an. d) Wie groß ist der Betrag der Kraft F zwischen der Ladung Q und der Metallplatte? Ist diese Kraft anziehend oder abstoßend? e) Berechnen Sie die influenzierte Oberflächenladungsdichte σ(x, y, 0) auf der Metallplatte. f) Berechnen Sie die gesamte influenzierte Ladung Q i auf der unendlich ausgedehnten Metallplatte. Verwenden Sie bei Ihrer Berechnung Zylinderkoordinaten. (11 Punkte)

12 Elektromagnetische Felder II Klausur 25. Februar In einem Material mit den reellen Parametern ε r, µ r und σ seien das elektrische Feld E(x,y,z,t) und das Magnetfeld H(x,y,z,t) bekannt. a) Geben Sie die Gleichungen für die elektrische und magnetische Energiedichte an. b) Geben Sie die ohmsche Verlustleistung pro Volumen an. Diese Verlustleistungsdichte entspricht einem Term des Poynting-Theorems und soll alleine mit den oben gegebenen Feldstärken und Materialparametern ausgedrückt werden. c) Betrachtet wird jetzt eine zylinderförmige Materialprobe in Form einer Scheibe mit Radius R = 1 cm, Höhe h = 1 mm, ε r = 40, µ r = 16 und σ = 1 S/m. Durchflossen wird die Probe von einer zeitlich konstanten, homogenen Stromdichte J = 1 A/m 2 in Richtung der Zylinderachse. Berechnen Sie die gesamte in der Probe vorhandene elektromagnetische Energie. Beachten Sie dabei, dass mit dem Stromfluss sowohl ein elektrisches Feld als auch ein ortsabhängiges Magnetfeld verbunden sind. Rechnen Sie mit π 3, ε As/(Vm) und µ Vs/(Am). Zur Berechnung des Magnetfeldes ist ein unendlich langer, gerader Draht anzunehmen. d) Wie hoch ist die Verlustleistung der gesamten Probe aus Teil c)? e) In welche Richtung zeigt der Poyntingvektor in der Probe aus Teil c)? (11 Punkte) 13. Beantworten Sie die folgenden Fragen zum elektrischen Hertzschen Dipol: a) Welche Idealisierungen werden beim elektrischen Hertzschen Dipol angenommen? b) Welche drei Feldbereiche werden beim Hertzschen Dipol klassifiziert und wodurch zeichnen sie sich aus? c) Welche Komponenten von E und H sind im Feld des elektrischen Hertzschen Dipols bei Kugelkoordinatendarstellung Null? d) Welche Abstandsabhängigkeit besitzen die sogenannten Strahlungsterme? e) Geben Sie die Impedanz des Strahlungsfeldes an. (6 Punkte) 14. Gegeben sei die partielle Differentialgleichung zur Bestimmung der gesuchten Funktion F(x,y,z): x2f + y2f + z 2F = 0 a) Mit welchem Ansatz für F lässt sich diese Gleichung lösen und wie nennt man diese Methode? b) Setzen Sie den Ansatz in die obige Differentialgleichung ein, begründen Sie nach geeigneter Umformung die Konstanz der drei Terme und leiten Sie eine entsprechende Eigenwertgleichung ab. c) Begründen Sie, warum das Ausrechnen konkreter Eigenwerte bei Rundhohlleitern schwieriger ist als bei Rechteckhohlleitern. d) Stehen die Rundhohlleiter-Eigenwerte in ganzzahligem Verhältnis zueinander? e) Ein Koaxialkabel habe einen Durchmesser von 15 mm. Bis zu welcher Frequenz lässt es sich sinnvoll mit der TEM-Fundamentalmode nutzen? Schätzen und begründen Sie Ihre Antwort. (10 Punkte)

13 Elektromagnetische Felder II Klausur 25. Februar Nebenstehende Abbildung zeigt den Aufbau eines Rechteckhohlleiters. In Abhängigkeit von den Indizes m und n können folgende Feldkomponenten berechnet werden: a TE-Wellen: ωµ Ê x = H 0 a ) 2 +( nπ nπ b ) cos x) sin ( nπ y) e j ω 2 b a b ωµ Ê y = H 0 a ) 2 + nπ b ) sin x) cos ( nπ y) e j ω 2 a a b Ê z = 0 ω v Ĥ x = H 0 ph a ) 2 + nπ b ) sin x) cos ( nπ y) e j ω 2 a a b Ĥ y = H 0 ω a ) 2 +( nπ nπ b ) cos x) sin ( nπ 2 b a Ĥ z = j H 0 cos x) cos ( nπ y) e j ω a b TM-Wellen: Ê x = E 0 Ê y = E 0 ω x b y) e j ω a ) 2 + nπ b ) cos x) sin ( nπ y) e j ω 2 a a b ω a ) 2 +( nπ Ê z = j E 0 sin x) sin ( nπ y) e j ω a b nπ b ) sin x) cos ( nπ y) e j ω 2 b a b ωε Ĥ x = E 0 a ) 2 +( nπ nπ b ) sin x) cos ( nπ y) e j ω 2 b a b ωε Ĥ y = E 0 a ) 2 + nπ b ) cos x) sin ( nπ y) e j ω 2 a a b Ĥ z = 0 y b (0, 0, 0) z a) Erklären Sie die Begriffe Mode und Grundmode für einen Hohlleiter. b) Welchen wesentlichen Vorteil hat der Hohlleiter gegenüber einem Koaxialkabel? c) Geben Sie die Felder für die H 10 -Mode an. d) Fertigen Sie eine Skizze der E-Feld-Verteilung der H 10 -Mode in der x-y-ebene bei z = 0 an. e) Berechnen Sie den Feldwellenwiderstand der H 10 -Mode im leeren Hohlleiter in Ausbreitungsrichtung. Ist dieser größer oder kleiner als im Vakuum? f) Wenn die in einem Hohlleiter geführte Leistung abgestrahlt werden soll, ist eine passende Antenne notwendig. Warum kann das Ende des obigen Hohlleiters nicht einfach offen bleiben, um gute Abstrahlung zu erreichen und wie kann dieser Effekt begründet werden? (10 Punkte) Mathematische Hilfen: x x2 + a dx = x 2 + a 2, 2 x (x 2 + a 2 ) 3/2 dx = 1 x2 + a 2

14