Wellen und Leitungen, Übersicht, S. Rupp 1

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Max Baum
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1 Wellen und Leitungen Übersicht Stephan Rupp Nachrichtentechnik 1

2 Inhaltsübersicht Wellen und Leitungen Schwingungen und Wellen Reflexionen Anpassung Wellenausbreitung in Zweileitersystemen Hintergründe 2

3 Schwingungen und Wellen Animationen im Web 3

4 Inhaltsübersicht Wellen und Leitungen Schwingungen und Wellen Reflexionen Anpassung Wellenausbreitung in Zweileitersystemen Hintergründe 4

5 Reflexionen Lichtstrahl Reflexion Luft Wasser Grenzfläche Transmission 5

6 Beispiel: Ultraschall Transducer x Display x y y Echo A-Mode Scan B-Mode Scan Multiple Scans or 3D Scans z x y Ping 6

7 Physikalischer Hintergrund Wellenfront und Elementarwellen Wellenfront = Normale Unterschiedlich schnelle Ausbreitung der Elementarwellen in Luft und Wasser Reflexion und Transmission an der Grenzfläche 7

8 l ltraschall Praktische Relevanz Wann immer die Abmessungen einer Schaltung oder einer Anordnung in die Größenordnung der Wellenlänge kommen. Wellenlängen Schall (Luft) Licht (Freiraum) Frequenz 300 m/s 300 * 10 6 m/s 1 khz 300 mm 300 km 10 khz 30 mm 30 km 1 MHz 300 µm 300 m 1 GHz 300 nm 300 mm Audio Ultraschall Hochfrequenz 8

9 Inhaltsübersicht Wellen und Leitungen Schwingungen und Wellen Reflexionen Anpassung Wellenausbreitung in Zweileitersystemen Hintergründe 9

10 Anpassung Welche Leistung wird übertragen? Beispiel: Verstärker an Lautsprecher Ausgang: 8 Ω Eingang: 4 Ω 8 Ω 16 Ω R1 8 Ω u1 ~ R2 Ersatzschaltung: U2 =? P2 =? 4 Ω 8 Ω 16 Ω 10

11 Inhaltsübersicht Wellen und Leitungen Schwingungen und Wellen Reflexionen Anpassung Wellenausbreitung in Zweileitersystemen Hintergründe 11

12 Zweileitersysteme Längshomogene Strukturen (konstanter Querschnitt) Wellenlänge >> Querausdehnung der Leiter Beschränkung auf verlustlose Leitungen Beispiele: Koaxiale Leitung Zweidraht-Leitung Leiterbahnen x y z 12

13 Wellenausbreitung im Zweileitersystem Transversale Elektro-Magnetische (TEM) Wellen: keine Feldlinien in Ausbreitungsrichtung Leitungsmodell - Kapazitätsbelag C - Induktivitätsbelag L L dz dz C dz Ausbreitungsgeschwindigkeit: c W = 1/ L C Wellenwiderstand: R w = L /C 13

14 TEM Wellen Transversale Elektro-Magnetische Wellen H E L dz dz z 14

15 Ersatzschaltung Hinlaufende und rücklaufende Wellen Superpositionsprinzip: Überlagerung hin- und rücklaufender Wellen x i a y u a a R W, c W i(z) u(z) b z u b i b Grenzfläche: Refexionsfaktor 15

16 Beispiel Abgeschlossene Leitung: Energietransport, u(t,z) und i (t, z) in Phase u(t,z) i(t,z) z Offene Leitung: stehende Wellen, kein Energietransport u(t) Leerlauf Kurzschluss i(t) z 16

17 Wellenwiderstand Leitungsanfang Leitungsende i a i b R i u q ~ u a R W R W u b R L Einlaufende Welle nimmt R W wahr (für eine hinreichend lange Leitung) u q ~ i a R i u a R W Reflexionen für R L = R W Reflexionsfaktor: R L - R W r L = R L + R W 17

18 Beschreibung von Wellen Periodische Funktionen in komplexer Schreibweise: u(t) = u 0 e (j ωt) mit u(t) = Re {u(t)} u a (z,t) = u a0 e (-j βz) e (j ωt) hinlaufende Welle u b (z,t) = u b0 e (+j βz) e (j ωt) zurücklaufende Welle mit β = 2π/ λ (Phasenkonstante), λ = c/f Momentaufnahme (t = t n ): u a0 Im z Re 18

19 Impedanztransformation Allgemein r 1 = r L e j β2l Phasendrehung von r L um -2βl r 1 R W r L Z L Beispiel: λ/4 Leitung (Viertelwellentransformator) l 2 β l = 2 2π/ λ λ/4 = π => e -j π = -1 => r 1 = -r L Z 1 = R W2 /Z L Praktische Anwendung: Anpassung von R L an Quellimpedanz R 1 durch geeigneten R W R W = R L R 1 19

20 Beispiel Halbwellenleitung (λ/2 Leitung) r 1 r L r 1 = r L e j β2l R W Z L l = λ/2 Keine Impedanz-Transformation, da: 2 β l = 2 2π/ λ λ/2 = 2π => e -j2 π = 1 => r 1 = r L 20

21 Verlustbehaftete Leitung Modell: R L Z w = R + jωl G + jωc G C Praktische Relevanz: (1) HF-Technik (f > 100 khz): annähernd verlustlos R : Skin-Effekt, frequenzabhängiger Belag G : Verluste durch Dielektrikum können separat betrachtet werden (2) Telefonleitung (f < 10 khz): komplexer Wellenwiderstand R wegen langer Leitungen 21

22 Inhaltsübersicht Wellen und Leitungen Schwingungen und Wellen Reflexionen Anpassung Wellenausbreitung in Zweileitersystemen Hintergründe 22

23 Reflexionen Einfallende Weile Reflexion Medium 1 Medium 2 Z W1 (ε, µ, σ) Z W2 (ε, µ, σ) E + 1 E + 2 E - 1 Transmission Stetigkeit an der Grenzfläche: Grenzfläche 1. E 2 + = E E 1-2. (E E 1 - ) / Z W1 = E 2 + / Z W2 Definitionen: Reflexionsfaktor: r = E - 1 / E + 1 = (Z W1 - Z W2 ) / (Z W1 + Z W2 ) Transmissionsfaktor: t = E + 2 / E + 1 = 2 Z W2 / (Z W1 + Z W2 ) 23

24 Wellenwiderstand Gleichungssystem i L i - di dz du/dz = jωl i (1) di/ dz = jωc u (2) u C u - du dz dz Differenzieren von (1) d/dz und einsetzen von (2) d 2 u/dz 2 = jωl jωc u (Wellengleichung) Ansatz: u = e γ z d 2 u/dz 2 = γ 2 u => γ = jω L C Einsetzen in (1): γ u = jωl i => u/i = R W = jωl / γ => R W = L /C 24

25 Wellen und Leitungen ENDE der Übersicht Literaturempfehlung: Frank Gustrau, Hochfrequenztechnik: Grundlagen der mobilen Kommunikationstechnik (Taschenbuch), Carl Hanser Verlag, 2011, ISBN-13:

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