= p. sin(δ/2) = F (1 p 1) δ =2arcsin. λ 2m = ± δ. λ = λ 0 ± δ ) 4πm +1

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1 Übungsblatt 05 Grundkurs IIIa für Physiker, Wirtschaftsphysiker und Physik Lehramt 01., 07. und Aufgaben 1. Das Fabry Perot Interferometer als Filter Ein Fabry Perot Interferometer der optischen Dicke nd 0 = mλ 0 hat bei senkrechtem Einfall maximale Transmission für die Wellenlänge λ 0. a) Nun sei m =5und λ 0 = 500 nm. Bei welchen anderen Wellenlängen mißt man noch maximale Transmission? Wie groß muß der Finessefaktor F mindestens sein, damit die Transmission unter 1 % sinken kann? Berechnen Sie für F = 00 die Wellenlänge λ benachbart zu λ 0 für eine Transmission von 1%. b) Nun wird ein zweites Interferometer ebenfalls für λ 0 mit der optischen Dicke nd 1 = lλ 0 nachgeschaltet. Was sind geeignete Kombinationen von m und l, um das nächste Transmissionsfenster möglichst weit von λ 0 entfernt zu erhalten?. Berechnen Sie den Intensitätsverlauf für s und p polarisiertes Licht, wenn dieses durch ein Plättchen mit dem Brechungsindex n unter dem Winkel α gegen dessen Normale durchtritt. Skizzieren Sie das Ergebnis.. Fresnel Aragosches Experiment Wir betrachten ein Youngsches Doppelspaltinterferometer mit den Spalten S 1 und S. Das einfallende Licht ist durch einen Polarisator P linear polarisiert. Zunächst werden S 1 und S mit zwei identischen Polarisatoren P 1 und P bedeckt. a) Beschreiben Sie das beobachtete Phänomen, wenn die Richtungen von P 1 und P zueinander parallel sind und in einem Winkel von 45 zu P stehen. b) Beschreiben Sie den Fall, daß beide Richtungen von P 1 und P senkrecht zueinander sind, aber weiterhin einen Winkel von 45 zu der Richtungvon P haben. Wir bleiben bei dieser experimentellen Situation, betrachten aber den Beobachtungsschirm durch einen Analysator A. 1

2 c) Was beobachtet man auf dem Schirm, wenn A parallel zu P 1 oder P ist? d) Was ergibt sich, wenn A in einem Winkel von 45 zu P 1 oder P steht? e) Was beobachtet man, wenn A eine beliebige Orientierunghat? 4. Kohärenzzeit und Kohärenzlänge einer Quelle weißen Lichtes a) Das von einer Quelle emittierte Licht sei eine Überlagerung monochromatischer Schwingungen der gleichen Intensität mit Wellenlängen zwischen 400 nm und 750 nm. Geben Sie die Größenordnungder Kohärenzzeit und -länge an. b) Um von dieser Quelle quasimonochromatisches Licht der Wellenlänge λ = 550 nm mit der Unschärfe λ =0,5 nm zu erhalten, wird ein Monochromator verwendet. Geben Sie die neue Kohärenzlänge an. 5. Gegeben sei ein Stapel von N +1idealen Polarisationsfolien, wobei jede Folie um den Winkel /N rad gegen die vorherige Folie verdreht ist.eine ebene, linear polarisierte Welle der Intensität I 0 falle senkrecht auf diesen Stapel, ihre Polarisationrichtung entspreche der der ersten Folie und ist somit senkrecht zur Polarisationsachse der letzten Folie. a) Wie groß ist die transmittierte Intensität durch den gesamten Stapel, b) durch Folien (N =) und c) durch 101 Folien? d) Wie ist jeweils die Polarisationsrichtungdes transmittierten Strahls? e) Welche Effekte müßte man in der Realität berücksichtigen? 6. Geben Sie die komplexe Form für die elektrischen Felder der folgenden polarisierten Wellen an: a) Die linear polarisierte Welle bewegt sichinx Richtung, und das elektrische Feld schließt einen Winkel von 60 mit der y Achse ein. b) Eine rechts und elliptisch polarisierte Welle bewegt sich in Richtung der y Achse, und die große Ellipsenachse weist in z Richtung. Sie ist dreimal so langwie die kleine und hat eine Phasenverschiebung von /. c) Eine linear polarisierte Welle bewegt sich entlang der y Achse und bildet in der xz Ebene einen Winkel von 45 mit der z Achse.

3 Lösungen 1. a) Konstruktive Interferenz erhält man, wenn die optische Weglängendifferenz zwischen einem n fach reflektierten und einem n + fach reflektiertem Wellenzugein Vielfaches der Wellenlänge beträgt. mλ 0 = jλ 1, j =1... λ 1 = m j λ 0 Allerdings setzt die Absorption im Material j Grenzen. Beispiel: j λ 1 /nm Das Intensitätsverhältnis kann mit der Airy Funktion berechnet werden: I t I i = 1 1+F sin (δ/)! = p F sin (δ/) = 1 p 1 1 sin(δ/) = F (1 p 1) ( ) 1 δ =arcsin F (1 p 1) Dies kann nur erfüllt werden, wenn der Term unter der Wurzel 1 ist. Für p =0, 01 muß F =99sein. Für eine Intensitätsabschwächung ist die Weglängendifferenz kein Vielfaches von λ 0 : mλ 0 = xλ. Da wir nur an den Wellenlängen direkt benachbart zu λ 0 interessiert sind, gilt m 1 <x<m +1. Weiterhin gilt x m = δ. Setzt man den Zusammenhangzwischen λ 0 und λ ein, so erhält man m λ 0 λ m = ± δ ( λ = λ 0 ± δ ) 4m +1 Mit F = 00 und p =0,01 ergibt sich zunächst δ =1,56 und damit λ 1 = 51 nm bzw. λ = 488 nm. b) Sind m und l (große) Primzahlen, dann tritt erst bei sehr weit entfernten Wellenlängen wieder Durchlaß auf, haben m und l dagegen gemeinsame Primfaktoren, befindet sich das nächste Transmissionsfenster näher beiλ 0.. Für den Winkel β im) Plättchen gilt nach dem Brechungsgesetz β =arcsin( n s Polarisation: nach dem Eintritt in das Plättchen gilt E gs sinβ cos α sin(α+β)

4 Beim Verlassen des Plättchens erhalten wir E sinαcos β = E gs gs sin(α+β) E sinβ cos α sinαcos β = E gs e sin(α + β) sin(α + β) =4E cos α sin β cos β e sin (α + β) sin β sin (α + β) ( )) sin arcsin( n )) sin (α +arcsin( n p Polarisation: nach dem Eintritt in das Plättchen durch Brechunggilt E gp sinβ cos α sin(α+β)cos(α β) Beim Verlassen des Plättchens erhalten wir E = E gp gp E gp sinαcos β sin(β+α)cos(β α) = E sinβ cos α sinαcos β e sin(α + β)cos(α β) sin(β + α)cos(β α) cos β sin β cos α =4E e sin (α + β)cos (α β) sin β sin (α + β)cos (α β) ( )) sin arcsin( n = E ( e )) ( ( )) sin α +arcsin( n cos α arcsin n Für den Winkelbereich von α = 0.../ ergibt sich folgender Verlauf des elektrischen Feldes (n 1 =1, n =1,5 und E e =1): Da I E, erhält man foldenden Intensitätsverlauf: 4

5 Man beachte, daß man für die p-polarisation beim Brewsterwinkel maximale Transmission erhält.. a) Da die Wellen am Ausgang des Interferometers parallel zueinander polarisiert sind, beobachtet man die bekannte Interferenz mit gleichem Kontrast, aber einer um den Faktor ( =geschwächten Intensität, weil P 1 und P einen Winkel von 45 mit P bilden. b) Es gibt keine Interferenz der Wellen beider Spalte, man sieht die Überlagerung der Muster der beiden beleuchteten Einzelspalte, je nach Spaltdimension mehr oder weniger gut. c) Man sieht das Muster nur eines Einzelspalts, da eine der Wellen vom Analysator ausgelöscht wird. d) Der Analysator ermöglicht die Interferenz der beiden vektoriellen Schwingungen. Man findet das Interferenzmuster von a) wieder, mit gleichem Kontrast, aber einer um den Faktor geschwächten Intensität. e) Hat A eine von 45 verschiedene Richtung, so sind die Amplituden der beiden interferierenden Wellen nicht mehr gleich groß. Der Konstrast des Interferenzmusters verschlechtert sich. 4. a) Da ν = c/λ blau c/λ rot =, Hz und τ c = ν 1 =0, s betragen, ist der Wert der Kohärenzlänge L c = cτ c = 857 nm. b) Die neue Kohärenzlänge beträgt L c = λ / λ = 605 µm. 5. Eine Polarisationsfolie läßt nur den Teil des elektrischen Feldes durch, der parallel zu ihrer Polarisationsrichtung liegt. Deshalb beeinflußt die erste Folie das Ergebnis nicht. 5

6 Der transmittierte Anteil bei der zweiten Folie ist I 1 = I 0 cos ( N ). Der transmittierte Anteil bei der dritten Folie ist I = I 1 cos ( ) N = I 0 cos 4 ( ) N. a) Der transmittierte Anteil durch den ganzen Stapel ist I N = I 0 cos N ( ) N. Wichtigist dabei, daß jede Polarisationsfolie ein neues Koordinatensystem definiert. b) I = I 0 cos 4 ( ) ( ) 4 4 = I0 = I 04 c) Hier ist N = 100: I 100 = I 0 cos 00 ( 00) 0,9756 I0 Für kleine Winkel kann cos ( ) N 1 angenähert werden. Dann 8N ist cos N ( ) ) N N (1 8N 1 N 8N =1 N ( ) Eingesetzt ergibt dies I 100 I ,975 I 0 d) Die Polarisationsrichtung des transmittierten Strahls ist die Polarisationsrichtungder letzten Polarisationsfolie. Sie ist damit senkrecht zur Polarisationsrichtungdes einfallenden Strahls. e) Absorption und Streuung in den Folien und Reflexion an den Übergängen. 6. a) Es sind E y = E 0 e i(ωt kx) cos 60 = E 0 e i(ωt kx) und E z = E 0 e i(ωt kx) sin 60 = E 0 e i(ωt kx). Damit ist E ( ) = E 0 e i(ωt kx) 1 e y + e z = E 0 e i(ωt kx) ( 01 b) Es sind E z =E 0 e i(ωt ky) und E x = E 0 e i(ωt ky) e i/ = ie 0 e i(ωt ky). ( Damit ist E = E 0 e i(ωt ky) ( e z i e x )=E 0 e i(ωt ky) i ) 0 c) Diese Welle wird beschrieben durch E = E 0 e i(ωt k r) e y. Mit dem Wellenvektor k = k( /, 0, /) erhalten wir E = E 0 e i ωt x z ) 6