Ferienkurs Experimentalphysik III

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1 Ferienkurs Experimentalphysik III 24. Juli 2009 Vorlesung Mittwoch - Interferenz und Beugung Monika Beil, Michael Schreier 1

2 Inhaltsverzeichnis 1 Phasendierenz und Kohärenz 3 2 Interferenz an dünnen Schichten 3 3 Interferometer 5 4 Interferenzmuster eines Doppelspalt 7 5 Interferenzmuster bei drei oder mehr äquidistanten Quellen 8 6 Beugunsmuster am Einfachspalt 9 7 Beugung und Auösung 10 8 Beugungsgitter 11 2

3 1 Phasendierenz und Kohärenz Es gibt zwei Arten von Interferenz: konstruktive: Wellen sind in Phase (0 oder ganzzahliges Vielfaches von 360 ) destruktive: Wellen sind in Gegenphase (180 oder ungeradzahliges Vielfaches davon) Phasendierenz entsteht meist durch Gangunterschied: eine Wellenlänge:δ = 360 oder δ = 0 Wellenlänge: δ = δ = r λ 2π Phasensprung: Reexion einer Lichtwelle an Grenzäche zum optisch dichterem Medium π phasenverschoben. Bei ungekehrtem Weg keine Phasenänderung. kohärent: Phasendierenz zeitlich konstant Interferenz beobachtbar! 2 Interferenz an dünnen Schichten Reexion von Licht an Vorder- und Rückseite dünner Schichten. schillernde Farben von Seifenblasen Betrachte dünne ebene Wasserschicht der Dicke d mit Brechungsindex n f. Einfallendes Licht wird reektiert und transmittiert. Vorerst soll nur die Reexion betrachtet werden (Mehrfachreexion kommt später). 3

4 Abbildung 1: Reexion an dünnen Schichten Wie sieht es mit Phasensprüngen aus? Am optische dichterem Medium ndet ein Phasensprung von π statt. Allgemein kann man den Phasensprung so beschreiben: π für n f < n 1 und n f < n 2 π für n f > n 1 und n f > n 2 φ = 0 für n 1 < n f > n 2 0 für n 2 < n f < n 1 Berechnung des Gangunterschiedes (=Phasendierenz): s = 2n f b n 1 x b und x muss umgeschrieben werden, da diese unbekannt sind: x = 2d tan Θ f sin Θ 1 und b = d cos Θ f Diese Formel können über trigonometrische Betrachtungen hergeleitet werden. Setzt man diese in die Formel für dne Gangunterschied ein und vereinfacht, so erhält man: s = 2d ( n f 1 sin 2 ) Θ f cos Θ f 4

5 Somit ergibt sich für die destruktive Interferenz: ( 2m + 1 s = + φ ) λ 2 2π Und für die konstruktive Interferenz: ( s = m + φ ) λ, 2π wobei in beiden Fällen m = 0, 1, 2,... ist. 3 Interferometer ˆ Michelson-Interferometer: Abbildung 2: Michelson-Interferometer Mit Hilfe der Lichtinterferenz können sehr kleine Abstände, Brechzahlunterschiede, Winkel und Wellenlängendierenzen gemessen werden. Hierzu wird der Gangunterschied s benötigt. Im Michelson-Interferometer wird der Lichtstrahl gespalten, durchläuft zwei verschiedene Wegstrecken und wird anschlieÿend wieder überlagert. 5

6 Bei dieser Überlagerung tritt Interferenz auf. Die oben skizzierte Abbildung zeigt ein solches Michelson-Interferometer. ˆ Fabry-Perot-Interferometer Abbildung 3: Fabry-Perot-Interferometer Bei einem Fabry-Perot-Interferometer wird die Mehrstrahlinterferometrie benötigt. Wichtig hierbei ist, dass die planplanare Platte durch zwei hochreektierenden Spiegeln begrenz wird. Mehrstrahlinterferometrie. Bei einer monochromatischen Lichtquelle lassen sich scharfe helle Ringe beobachten: 2n f d cos Θ f = mλ Der freie Spektralbereich lässt sich wie folgt berechnen: sehr hohe Auösung. λ λ = λ 2nd cos Θ = 1 m 6

7 4 Interferenzmuster eines Doppelspalt Thomas Young Doppelspaltversuch. Kohärente Lichtquelle beleuchtet zwei parallele Spalte (sehr eng). Punktförmigen Quellen Interferenzmuster auf weit entferntem Schirm wird betrachtet. Hierbei ist l, der Abstand zwischen den Spalten und dem Schirm, sehr groÿ gegenüber d, dem Abstand zwischen den beiden Spalten. Dies ermöglich die Annahme, dass die Strahlen parallel auf dem Schirm auftreen. Maxima: d sin Θ = m λ Minima: d sin Θ = ( m + 1 ) λ 2 Und die Phasendierenz ist gegeben durch: δ = 2π λ d sin Θ Betrachtet man nun den Abstand des ersten Maximums zur Achse, so erhält man folgende Beziehung, wobei y m der m-te helle Streifen zur Achse ist: tan Θ = y m l Benutzt man die Kleinwinkelnäherung und führt einige Umformungen durch, so erhält man letztendlich: y m m λl d. Hieraus lässt sich folgern, dass die Streifen äquidistant sind. Wie siehts nun aber mit der Intensität aus? Hierzu müssen die Wellenfunktionen zweier harmonischer Wellen addiert werden: E = E 1 + E 2 = A 0 sin ωt + A 0 sin (ωt + 12 ) δ Unter Zuhilfenahme von Additionstheoremen ergibt sich: E = 2A 0 cos 1 ( 2 δ sin ωt + 1 ) 2 δ 7

8 Die Intensität ist proportional zum Amplitudenquadrat: I 4I 0 cos δ. 5 Interferenzmuster bei drei oder mehr äquidistanten Quellen Die Maxima, auch bei mehreren Quellen, sind immer an der selben Stelle - lediglich die Intensität der Maxima nimmt mit höherer Anzahl der Quellen zu. Die Phasendierenz ist, genau wie bei zwei Quellen, gegeben durch: δ = 2π λ d sin Θ 2π λ yd l Bei drei Quellen hat man folglich auch drei Wellenfunktionen: E 1 = A 0 sin α E 2 = A 0 sin (α + δ) E 3 = A 0 sin (α + 2δ) Man stellt folgendes fest: für δ = 0: Amplitude von E ist dreimal so groÿ, wie die der Einzelwellenfunktionen. man bekommt eine neun mal so groÿe Intensität wird δ gröÿer, so nimmt die Intensität ab. Die Hauptmaxima haben die gleiche Lage wir bei zwei Quellen: d sin Θ = m λ. 8

9 6 Beugunsmuster am Einfachspalt Man kann ähnliche Eerscheinung zur Interferenz auch bei einem Gegenstand beobachten: Beugung. Voraussetzung: Abmessung des Gegenstandes muss ungefähr der Wellenlänge des einfallenden Lichtes entsprechen. Hauptteil der Lichtintensität liegt im Beugungsmaximum. Abbildung 4: Einfachspalt Allgemeiner Ausdruck für die Nullstellen: a sin Θ = m λ Der Zusammenhang zwischen dem Abstand y zwischen zentralem Maximum und ersten Beugungsminimum mit Winkel Θund dem Abstand l zwischen Spalt und Schirm ist wie folgt gegeben: y = lλ a Berechnung der Intensität: Teile die Spaltbreite a in N gleich groÿe Unterteilungen auf. Der Abstand zweier benachbarter Quellen ist dann d = a N. Gangunterschied: δ = 2π λ d sin Θ 9

10 Bei sehr groÿen N und sehr kleinen δ, ist die Amplitude im Zeigerdiagramm annähernd ein Kreisbogen.Hieraus folgt: sin 1 2 φ = 1 2 A r Mit einigen Umformungen und der Beziehung zwischen der Amplitude und der Intensität ergibt sich: I = I 0 ( sin φ ) φ Für den Doppelsplat ergibt sich folgende Intensität: I = 4I 0 ( sin φ 2 φ ) 2 cos δ. 7 Beugung und Auösung Mittels der Frauenhofer-Beugung erhält man für das erste Beugungsminimum: sin Θ = 1.22 λ d für das Auösungsvermögen; für kleine Winkel kann man wiederum nähern, sodass der Sinus wegfällt. Rayleigh-Kriterium: Dieses Kriterium sagt aus, dass beide Quellen gerade noch getrennt wahrgenommen werden können. α krit = 1.22 λ d, wobei α krit der kritische Winkel ist. 10

11 8 Beugungsgitter Mittels eines Beugungsgitter werden Lichtwellenlängen gemessen. Der Abstand der Spalte entspricht somit der Gitterkonstante g. Die Interferenzmaxima sind wieder analog zu zwei Quellen so deniert: g sin Θ = mλ Je mehr Spalte ein Gitter besitzt, desto schmaler und intensiver werden die Maxima. Das Auösungsvermögen eines Gitters ist gegeben durch: A = mit N als Anzahl der beleuchteten Spalte. λ λ = m N, 11