Energietransport und Intensität

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1 Übung 6 Abgabe: 7.4. bzw..4.5 Elektromagnetische Felder & Wellen Frühjahrssemester 5 Photonics Laboratory, ETH Zürich Energietransport und Intensität Energieerhaltung an Grenzflächen (6 Pkt.) Laut dem Poynting Theorem ist mit der Propagation elektromagnetischer Strahlung stets ein Energiefluss verbunden. Die in der Sonne durch nukleare Fusionsprozesse erzeugte Energie wird beispielsweise durch elektromagnetische Strahlung zur Erde transportiert. Ebenso ist auch jeglicher Informationsaustausch in drahtlosen Netzwerken stets mit einem Energiefluss vom Sender zum Empfänger verbunden. Formal ist dieser Energiefluss durch den Poynting Vektor S beschrieben. Für ein monochromatisches Feld ergibt sich der zeitliche Mittelwert des Poynting Vektors aus den komplexen Feldamplituden nach S = Re{E(r) H (r)}. () In verlustfreien Medien (ε, µ R) muss die Strahlungsenergie erhalten sein. Dies gilt natürlich insbesondere an Grenzflächen zwischen verlustfreien Medien. Wir betrachten in dieser Aufgabe den Energietransport über eine Grenzfläche zwischen einem Medium mit Materialkonstanten ε und µ im Halbraum z < und einem Medium (ε und µ ) im Halbraum z >. (a) z (b) E ε,µ θ k x ε,µ E 3 3 ε,µ E i k i θ θ E r k r ε,µ ε,µ d E i E r Abbildung : (a) Eine p-polarisierte ebene monochromatische Welle trifft unter dem Winkel θ aus einem Medium mit Materialparametern ε, µ auf eine Grenzfläche mit einem Medium mit ε, µ auf. Die Einfallsebene sei die y = Ebene. (b) Schichtsystem mit Material der Dicke d eingebettet zwischen Material (unten) und Material 3 (oben), wobei die Materialien und 3 gleich seien.

2 Vom Medium falle eine monochromatische ebene Welle unter einem Winkel θ zur Grenzflächennormalen in der y = Ebene ein, wie in Abb. (a) gezeigt. Der Poynting Vektor im Medium j sei S j und seine z-komponente S j z. Wir überzeugen uns im Folgenden (exemplarisch für ein p-polarisiertes Feld), dass der Energiefluss normal zur Grenzfläche über diese hinweg erhalten ist, so dass gilt S n z = S n z. () (a) ( Pkt.) Formulieren Sie unter Verwendung der Fresnel-Koeffizienten das einfallende p- polarisierte elektrische Feld E i (r) mit komplexer Amplitude E, sowie das reflektierte Feld E r (r) und das transmittierte Feld E t (r) in Vektorschreibweise. Wie lautet das Gesamtfeld E (r) im Halbraum? Ersetzen Sie sämtliche Winkel durch die Parallelkomponenten k x, k x sowie die z-komponenten k z, k z der Wellenvektoren. Welche Relation gilt zwischen k x und k x? Wir finden unter Erhaltung der Parallelkomponenten des Wellenvektors (k x = k x = k x ) k z /k sin θ k x E i (r) = E e ik r mit k = k =, (3) k x /k cos θ k z sowie E r (r) = E r p k z /k e ik rr k x /k sin θ mit k r = k = cos θ k x k z (4) und k = n ω/c. Somit lautet das Gesamtfeld im Halbraum (k z /k ) ( eikr + rpeikrr ) E (r) = E i (r) + E r (r) = E (k x /k ) ( e ikr + r p e ik rr ) (5) und das transmittierte Feld im Halbraum k z /k E (r) = E t (r) = t p E e ik r k x /k und k = n ω/c. mit k = k x k z (6) (b) (5 Pkt.) Berechnen Sie die magnetischen Felder H (r) (aus H i (r) und H r (r)) sowie H t (r). Aus der Maxwellgleichung E = iωµµ H erhalten wir H (r) = E e ikr r p e ik rr, (7) Z H (r) = E t p e ik r. (8) Z

3 (c) (5 Pkt.) Zeigen Sie, dass der Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche im Medium lautet Es gilt mit den Feldern im Medium S (r) z = E k ( z r p ). (9) Z k S (r) z = n z Re {E (r) H (r)} = Re { E x (r) Hy(r) } = E k { z Re r p iim {r }} p e ik zz Z k = E k ( z r p ), Z k () wobei wir verwendet haben, dass gilt k z R. (d) ( Pkt.) Berechnen Sie den Energiefluss im Halbraum in z-richtung im Falle von Totalreflexion an der Grenzfläche. Betrachten Sie dazu den aus der Vorlesung bekannten Ausdruck für den Reflexionskoeffizienten. Begründen Sie Ihr Ergebnis anschaulich. Im Falle von Totalreflexion gilt r = und somit gilt S (r) z =. Dieses Ergebnis ist einsichtig, da bei Totalreflexion alle Energie reflektiert wird. (e) (5 Pkt.) Zeigen Sie, dass der Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche im Medium lautet S (r) z = E Re(k z ) t p. () Z k Wir finden mit den Feldern im Medium S (r) z = n z Re {E (r) H (r)} = Re { E x (r) H y(r) } = E Z Re(k z ) k t p. () (f) ( Pkt.) Berechnen Sie den Energiefluss im Halbraum in z-richtung im Falle von Totalreflexion an der Grenzfläche. Was bedeutet Ihr Ergebnis für den Energietransport durch evaneszente Felder? Im Falle von Totalreflexion ist das Feld im Medium evaneszent, so dass Re(k z ) = gilt. Das evaneszente Feld transportiert also keine Energie senkrecht zur Grenzfläche. (g) (6 Pkt.) Zeigen Sie nun, dass der Energiefluss normal zur Grenzfläche über diese hinweg erhalten ist, also Gl. () gilt. Benutzen Sie dabei die aus der Vorlesung bekannten Ausdrücke für die Fresnel-Koeffizienten. 3

4 Der Quotient aus den Energieflüssen jenseits und diesseits der Grenzfläche lautet S (r) z S (r) z = t p ( Re(k z) k Z r p ). (3) k z k Z Wir betrachten zunächst den Term mit r p unter der Bedingung, dass k z R gilt (einfallendes Feld ist ebene Welle), während jedoch k z C sein kann, da das transmittierte Feld im Falle von Totalreflexion evaneszent sein kann. Wir erhalten so aus den Ausdruck r p = Für den Transmissionskoeffizienten r p = ε k z ε k z ε k z + ε k z (4) 4ε ε k z Re(k z ) (ε k z ) + ε k z + ε ε k z Re(k z ). (5) t p = ε k z ε k z + ε k z µ ε µ ε (6) finden wir für das Betragsquadrat t p = 4ε k z µ ε (ε k z ) + ε k z. (7) + ε ε k z Re(k z ) µ ε Somit ergibt sich t p ( r p ) = k z µ ε ε (8) Re(k z ) µ ε ε und mit den Definitionen k i = n i ω/c sowie Z i = µ i µ / ε i ε erhalten wir S (r) z = k z µ ε ε Re(k z ) ε µ µ ε = (9) S (r) z Re(k z ) µ ε ε ε µ µ ε In der Tat ist also der Energiefluss normal zu einer Grenzfläche zwischen zwei verlustfreien Medien über diese hinweg erhalten. Im speziellen Falle von Totalreflexion ist dies natürlich auch der Fall. Hier beträgt der Nettoenergiefluss normal zur Grenzfläche auf beiden Seiten null. Im unteren Medium heben sich die entgegengesetzten Energieflüsse der einfallenden und der reflektierten Welle gerade auf, im oberen Medium existiert lediglich eine evaneszente Welle, die keinerlei Energie senkrecht zur Grenzfläche transportiert. Wir bringen nun hinter die Grenzfläche zwischen den Medien und in einem Abstand d eine weitere Grenzfläche zu einem Medium 3 mit denselben Materialparametern wie das Medium, wie in Abb. (b) gezeigt. In Aufgabe der Übung 5 haben Sie bereits den totalen Transmissionskoeffizienten durch die beiden Grenzflächen bestimmt mit der innerhalb des Mediums aufgenommenen Phase ϕ = k z d. k z t ges = t t e iϕ r, () eiϕ 4

5 (h) ( Pkt.) Argumentieren Sie ohne Rechnung, wie das Verhältnis der Energieflüsse S 3(r) z S (r) z senkrecht zu den Grenzflächen in den Medien und 3 lauten muss. Es gilt S 3(r) z S (r) z =, da der Energiefluss an jeder Grenzfläche einzeln erhalten ist, wie oben gezeigt. (i) (4 Pkt.) Berechnen Sie den Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche im Medium 3 in Abhängigkeit von der Amplitude des einfallenden Feldes E, seinem Einfallswinkel θ, der Wellenimpedanz Z und dem gesamten Transmissionskoeffizienten t ges. Wir orientieren uns am Ergebnis der Aufgabe (e) und erhalten, da die Medien und 3 identisch sind, mit k z3 = k z R S 3 (r) z = E Re(k z3 ) t ges = E cos θ t ges. () Z 3 k 3 Z (j) (4 Pkt.) Welchen Wert muss t ges für d annehmen? Beweisen Sie Ihre Behauptung, indem Sie die aus der Vorlesung bekannten Fresnel-Koeffizienten in Gl. () einsetzen. Für d = ist die Schicht nicht präsent und es muss gelten t ges =. Es gilt für d = t ges = t t r. () Durch Einsetzen der Fresnel-Koeffizienten ist dieser Zusammenhang leicht zu zeigen, denn es gilt t t = 4ε ε k z k z (ε k z + ε k z ) (3) und ebenso r = 4ε ε k z k z (ε k z + ε k z ). (4) In der Übung 5 haben Sie sich bereits mit dem Fabry-Pérot Etalon vertraut gemacht, bei dem die Transmission durch eine dünne Schicht durch Interferenzeffekte periodische Maxima im Abstand des freien Spektralbereichs zeigt. Hier betrachten wir nun den Fall, dass n > n gilt und somit bei Einfallswinkeln grösser als θ = sin (n /n ) Totalreflexion an der ersten Grenzfläche auftritt, die durch die Präsenz der zweiten Grenzfläche frustiert werden kann. (k) (4 Pkt.) Zeigen Sie, dass im Fall von frustrierter Totalreflexion die Gesamttransmission t ges für Schichtdicken d λ näherungsweise exponentiell abfällt mit t ges = t t e k z d. (5) Im Falle von TIR und FTIR ist k z = i k z rein imaginär. Wir erhalten so t ges = t t e k z d r e k z d t t e k z d ( + r e k z d ) (6) 5

6 und somit in erster Näherung t ges = t t e k z d. (7) (l) (8 Pkt.) Erstellen Sie einen Graphen von t ges als Funktion der Filmdicke in Einheiten der Vakuumwellenlänge d/λ für die drei Einfallswinkel θ =, π/6, π/4, π/3. Beschriften Sie Ihre Achsen und erstellen Sie eine aussagekräftige Legende sowie einen Titel. Nehmen Sie einen Vakuumspalt an, der von Glas mit den Materialparametern ε =.5 und µ = umgeben ist. In welchem Winkelbereich zeigt der Film Fabry-Pérot Resonanzen und in welchem Winkelbereich beobachten Sie frustierte Totalreflexion? t ges Transmission t ges, n =.5, n =,, = = = /6 = /4 = /3. In Abb. ist die Transmission durch den Film in Abhängigkeit von der Filmdicke für verschie d/ Abbildung : Transmission durch einen Vakuumspalt der Dicke d, der von Glas mit Materialkonstanten ε =.5 und µ = umgeben ist. dene Winkel gezeigt. Für Winkel kleiner als der kritische Winkel sin (n /n ) = 4 zeigt der Vakuumspalt Fabry-Perot Resonanzen. Für Winkel grösser als der kritische Winkel beobachten wir frustrierte Totalreflexion mit dem charakteristischen exponentiellen Abfall der Transmission mit zunehmender Filmdicke d. (m) (3 Pkt.) Argumentieren Sie, warum der Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche im Medium, also S (r) z, auch im Falle von Totalreflexion endlich sein muss. In der Aufgabe (f) haben Sie 6

7 gezeigt, dass im Falle von Totalreflexion durch die evaneszente Welle auf der Seite des optisch dünneren Mediums keinerlei Energie normal zur Grenzfläche transportiert wird. Nun haben wir jedoch für den Fall frustrierter Totalreflexion gefunden, dass aufgrund der Energieerhaltung im Medium ein endlicher Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche bestehen muss. Innerhalb der Schicht ist jedoch die Wellenzahl k z zweifelsohne noch stets imaginär und die Felder in der Schicht darum senkrecht zur Grenzfläche evaneszent. Wie kann plötzlich doch durch den Spalt der Dicke d Energie fliessen, wenn darin nur evaneszente Felder bestehen? Hinweis: Gehen Sie in Ihrer Argumentation (ohne Rechnung) auf die (Nicht-)Linearität des Poynting Vektors bezüglich der Felder und daraus resultierende Interferenzeffekte ein. In der Tat transportiert eine einzelne evaneszente Welle, die von einer Grenzfläche exponentiell abfällt, keinerlei Energie. Im Falle der frustrierten Totalreflexion wird die evaneszente Welle jedoch an der nächsten Grenzfläche wieder reflektiert, so dass das Feld im Spalt eine Superposition zweier evaneszenter Felder ist. Eines dieser Felder fällt exponentiell von der ersten Grenzfläche ab, das andere fällt exponentiell von der anderen Grenzfläche ab. Der Poynting Vektor ist nicht linear in den Feldern, so dass sich durch Superposition von Feldern Interferenzterme ergeben. Die Superposition zweier evaneszenter Felder kann nun offenbar eine endliche Komponente des Poynting Vektors normal zu den Grenzflächen besitzen. Während also der Poynting Vektor einer einzelnen evaneszenten Welle senkrecht zur Grenzfläche verschwindet, hat die Superposition zweier solcher Wellen durch Interferenz eine endliche Komponente. 7

8 Strahlungsdruck auf eine Schicht (4 Pkt.) Elektromagnetische Strahlung transportiert nicht nur Energie sondern auch einen Impuls. Durch den Übertrag dieses Strahlungsimpulses kann Licht mechanische Kräfte ausüben, die beispielsweise optischen Pinzetten zur Manipulation mikroskopischer Partikel zugrunde liegen. Eine makroskopische Manifestation des Strahlungsdruckes ist die Tatsache, dass Kometenschweife durch den Strahlungsdruck des Sonnenlichtes stets von der Sonne weggekrümmt sind. Wir betrachten in dieser Aufgabe eine Materialschicht der Dicke d mit Materialparametern ε, µ, die zwischen zwei Halbräumen mit Materialparametern ε, µ eingebettet ist, ebenso wie im zweiten Teil der Aufgabe und in Abb. (b) skizziert. Der totale Transmissionskoeffizient der Schicht laute t ges, der Reflexionskoeffizient sei r ges. Eine monochromatische p-polarisierte ebene Welle falle unter dem Winkel θ zur Flächennormalen auf die Schicht ein. Wir berechnen nun die auf die Schicht wirkende Kraft pro Fläche, also den Strahlungsdruck p = F z A = n z A V da T (r, t) n(r), (8) wobei wir die Fläche A der Schicht nun in ein quaderförmiges Volumen V eingeschlossen haben, so dass zwei Quaderseitenflächen mit jeweils der Fläche A gerade parallel zur Schicht seien. (a) (3 Pkt.) Argumentieren Sie quantitativ, warum kein resultierender Druck parallel zur Grenzfläche wirken kann, so dass die Integration über die Fläche V lediglich auf den Flächen A vor sowie hinter der Schicht einen Beitrag ergibt. Die Seitenflächen des Integrationsvolumens haben die Normalenvektoren ±n x, ±n y and ±n z. Da die Zeitmittel aller Felder translational invariant in jeder Ebene z = const. sind, heben sich Beiträge von gegenüberliegenden Seitenflächen gerade auf. Beispielsweise gilt auf Seitenflächen mit Normalenvektor ±n x p ±nx = n z A A da T (r, t) (±n x ) = ± A A da T (r, t) xz (9) (b) ( Pkt.) Zeigen Sie, dass der Strahlungsdruck durch die Felder auf der Seite der einfallenden Welle p = ε ( ε E + r ges ) kz k (3) beträgt. Hinweis: Ihre Felder aus Aufgabe (a) können hilfreich sein. Wir betrachen die Integration über die Oberfläche im Medium p = n z da T (r, t) ( n z ) = da T (r, t) zz A A A A = da A ε ε E z (r, t) ε ε E x (r, t) µ µ H y (r, t). A (3) 8

9 Zunächst behandeln wir die Zeitmittel in Gl. (3), die für monochromatische Felder ergeben ε ε Ez(r, t) = 4 ε ε E z (r) = 4 ε ε E kx ( ) k + r p + Re(r p e i(k r k )r ), ε ε Ex(r, t) = 4 ε ε E x (r) = 4 ε ε E kz ( ) k + r p Re(r p e i(k r k )r ), µ µ Hz(r, t) = 4 µ µ H z (r) = ( ) 4 ε ε E + r p + Re(r p e i(k r k )r ), so dass wir für den Druck durch die Felder im Medium erhalten p = ε ( ε E + r ges ) kz k. (33) (c) ( Pkt.) Leiten Sie her, dass der Strahlungsdruck durch die Felder jenseits der Schicht im Medium 3 p 3 = ε ε E t ges kz k (34) beträgt. Im Medium 3 ergibt sich der Druck aus p 3 = n z da T 3 (r, t) n z = da T 3 (r, t) zz A A A A = da A A ε ε E 3z (r, t) ε ε E 3x (r, t) µ µ H 3y (r, t) = da ( ε ε E 3z (r) ε ε E 3x (r) µ µ H 3y (r) ). A A 4 Für die Felder im Medium 3 gilt (3) (35) Wir finden so ε ε E3z(r, t) = 4 ε ε E 3z (r) = 4 ε ε t ges E kx, ε ε Ex(r, t) = 4 ε ε E x (r) = 4 ε ε t ges E kz k, µ µ Hz(r, t) = 4 µ µ H z (r) = 4 ε ε t ges E. k (36) p 3 = ε ε E t ges kz. (37) k (d) (3 Pkt.) Berechnen Sie den Gesamtdruck auf die Schicht in Abhängigkeit des Einfallswinkels θ der einfallenden Welle. Der Gesamtdruck auf die Schicht beträgt p = p + p 3 = ε ( ε E + r ges t ges ) kz k. (38) 9

10 Für eine einfallende ebene Welle gilt also p = p + p 3 = ε ε E ( + r ges t ges ) cos θ. (39) (e) ( Pkt.) Betrachten Sie den Fall, in dem die Schicht (Medium ) ein perfekter Reflektor ist. Wie lauten dann r ges und t ges und welchem Strahlungsdruck ist eine solche Schicht ausgesetzt? Für einen perfekten Reflektor muss r ges = und t ges = gelten. Der Strahlungsdruck ist somit p ref = ε ( ε E + r ges t ges ) cos θ = ε ε E cos θ. (4) (f) ( Pkt.) Betrachten Sie den Fall, in dem die Schicht (Medium ) ein perfekter Absorber ist. Wie lauten dann r ges und t ges und welchem Strahlungsdruck ist eine solche Schicht ausgesetzt? Hinweis: Dies ist die einzige Teilaufgabe, in der wir Absorption betrachten. Für einen perfekten Absorber muss r ges = und t ges = gelten. Der Strahlungsdruck ist somit p abs = p ref. (4) (g) ( Pkt.) Betrachten Sie den Fall, in dem die Schicht (Medium ) ein perfekter Transmitter ist. Wie lauten dann r ges und t ges und welchem Strahlungsdruck ist eine solche Schicht ausgesetzt? Für einen perfekten Transmitter muss r ges = und t ges = gelten. Der Strahlungsdruck ist somit p =. (4) (h) (8 Pkt.) Verwenden Sie Ihre Einsichten aus Aufgabe (g) um zu zeigen, dass für unser verlustfreies symmetrisches Schichtsystem gilt p = ε ε E r ges cos θ. (43) Argumentieren Sie, warum der Strahlungsdruck für verlustfreie Medien lediglich vom Reflexionskoeffizienten abhängen kann. Aus der vorherigen Aufgabe wissen wir, dass für das Dreischichtsystem gelten muss t ges ( cos θ 3 Z r ges ) =. (44) cos θ Z 3 Im Falle der symmetrischen Schicht gilt Z 3 = Z und auch θ 3 = θ. Folglich gilt weiterhin t ges = r ges, (45) sowie + r ges t ges = r ges (46)

11 und der Strahlungsdruck wird p = ε ε E r ges cos θ. (47) Der Strahlungsdruck hängt also nur vom Einfallswinkel und dem Reflexionskoeffizienten ab. Dieses Ergebnis leuchtet ein, denn bei verlustfreien Medien kann ein Impulsübertrag nur duch Reflexion stattfinden.