VORBEMERKUNGEN. Einleitung

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1 Einleitung INHALT 1. Finite Differenzen in 2D 2. Einleitung 2.1 Vorbemerkungen 2.2 Rand- und Anfangswertaufgaben 3. Variationsformulierung von Randwertaufgaben 3.1 Vorbemerkungen 3.2 Bezeichnungen und mathematische Hilfsmittel 3.3 Referenzaufgaben in 2D 3.4 Variationsformulierung der Poisson-Gleichung 3.5 Galerkin-Approximation 3.6 Variationsformulierung der Helmholtz-Gleichung 4. Lagrange-Elemente 4.1 Einleitung 4.2 Konstruktion von Finite-Element-Räumen 4.3 Assemblierung der Galerkin-Gleichungen 4.4 Beispiel: 1D Poissongleichung 4.5 Konvergenz TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS Numerische Integration

2 Einleitung VORBEMERKUNGEN EINORDNUNG Die Finite-Elemente-Methode (FEM) bezeichnet eine große Klasse numerischer Verfahren zur näherungsweisen Lösung partieller Differentialgleichungen (PDG, PDE). Andere gebräuchliche Verfahrensklassen hierfür sind finite Differenzen (Differenzenquotienten, Tensorproduktgitter), finite Volumen (Integration mittels Gauß-Quadratur), Spektralverfahren (Integraltransformation, Anpassung von Spektralkoeffizienten), Kollokationsverfahren (Interpolations-/Ausgleichsrechnung, implizite Runge-Kutta-Verfahren), Randelementverfahren (Diskretisierung der Oberflächen, 3D > 2D). TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

3 Einleitung VORBEMERKUNGEN VORTEILE DER FEM Geometrische Flexibilität: Die Anpassung an komplizierte Geometrien wird in die Gittererzeugung verlagert, das grundlegende Verfahren bleibt davon unabhängig. Mathematisches Fundament: Es existiert eine umfassende und ausgereifte mathematische Konvergenztheorie, mittels derer Konvergenzrate, Fehlerschätzer etc. analysiert werden können. praktische Handhabung: Randbedingungen; Symmetrien (und weitere Strukturen) bleiben erhalten; hohe Ordnung möglich. Weite Verbreitung: Es existieren inzwischen sehr viele Softwarepakete hoher Qualität, in denen die FEM realisiert ist, etwa MSC Nastran, ANSYS, ABAQUS, STRESS CHECK, COMSOL neben vielen anderen. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

4 Einleitung VORBEMERKUNGEN HISTORISCHES Johann Bernoulli (1696) Brachistochronen-Problem. Formulierung von Differentialgleichungen als Extremalprobleme. Beginn der Variationsrechnung. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

5 Einleitung VORBEMERKUNGEN HISTORISCHES Karl Schellbach (1851) Lösung eines Minimalflächenproblems in 2D mit für FEM typischen Teilschritten. K. Schellbach, Probleme der Variationsrechnung, J. Reine Angew. Math. 41, (1851). TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

6 Einleitung VORBEMERKUNGEN HISTORISCHES Walter Ritz (1908) Minimierung eines quadratischen Funktionals (Energiefunktional) in einem endlichdimensionalen Funktionenraum. Boris Galerkin (1915) Lösung einer Randwertaufgabe auf endlichdimensionalem Funktionenraum mittels Variationsformulierung, Methode der gewichteten Residuen. Richard Courant (1943) Verwendete zum ersten Mal Ansatzfunktionen mit kleinem Träger (lineares Dreieck). TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

7 Einleitung VORBEMERKUNGEN HISTORISCHES 50er Jahre. FEM von Mechanikern neu entdeckt. Zerlegung von Festkörpern in endlich viele Finite Elemente, Berechnung der Verschiebungen unter gegebenen Lasten in den Knoten der Finiten Elemente. 60er Jahre. Theoretische Untermauerung der FEM seitens der Mathematik. Computer-Programm NASTRAN wird von der MacNeal-Schwendler Corporation vermarktet Ingenieur-Monographie The Finite Element Method in Continuum and Structural Mechanics von Zienkiewicz und Cheung erscheint Mathematische Monographie An Analysis of the Finite Element Method von Strang und Fix erscheint. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

8 Einleitung VORBEMERKUNGEN LITERATUR O. C. Zienkiewicz und R. L. Taylor. The Finite Element Method, Volume 1 and 2. 4th ed., McGraw-Hill, New York, T. J. R. Hughes. The Finite Element Method Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, M. Jung und U. Langer. Methode der finiten Elemente für Ingenieure. Teubner, Stuttgart, P. Monk. Finite Element Methods for Maxwell s Equations. Oxford University Press, 2003 J. Jin. The Finite Element Method in Electromagnetics. John Wiley & Sons, 2002 TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

9 Einleitung INHALT 1. Finite Differenzen in 2D 2. Einleitung 2.1 Vorbemerkungen 2.2 Rand- und Anfangswertaufgaben 3. Variationsformulierung von Randwertaufgaben 3.1 Vorbemerkungen 3.2 Bezeichnungen und mathematische Hilfsmittel 3.3 Referenzaufgaben in 2D 3.4 Variationsformulierung der Poisson-Gleichung 3.5 Galerkin-Approximation 3.6 Variationsformulierung der Helmholtz-Gleichung 4. Lagrange-Elemente 4.1 Einleitung 4.2 Konstruktion von Finite-Element-Räumen 4.3 Assemblierung der Galerkin-Gleichungen 4.4 Beispiel: 1D Poissongleichung 4.5 Konvergenz TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS Numerische Integration

10 Einleitung RAND- UND ANFANGSWERTAUFGABEN TYPEN VON PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Man unterscheidet zur Beschreibung der Ausbreitung unterschiedlichster physikalischer Felder im Gebiet Ω drei Typen partieller Differentialgleichungen (PDG, PDE) 2. Ordnung: elliptisch Potentialverfahren (z.b. Geoelektrik), Elektromagnetik (EM) im Frequenzbereich (k u)+bu = f, u = f, parabolisch Diffusion/Wärmeleitung, EM im Zeitbereich u+a u t = f, hyperbolisch Wellenausbreitung (z.b. Georadar, Seismik) u+ 1 c 2 2 u t 2 = f. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

11 Einleitung RAND- UND ANFANGSWERTAUFGABEN TYPEN VON RANDBEDINGUNGEN Drei Arten von Randbedingungen (RB, BC) sind auf dem Rand δω andwendbar: Dirichletsche RB Neumannsche RB Gemischte RB (Robin-Typ) u = r, u n e n = r, α u n e n+βu = r. Für r = 0 spricht man von homogenen und für r 0 von inhomogenen Randbedingungen. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

12 Einleitung RAND- UND ANFANGSWERTAUFGABEN ANFANGSWERTE Für zeitabhängige Probleme müssen ebenfalls Anfangswerte für t = 0 festgelegt werden, z.b. oder u 0 = u(t = 0) = s, u 0 = u(t = 0) = sin(π x). Es sind auch zeitabhängige Randwerte denkbar, z.b. u = u 0 +du sin(kπ t). TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

13 Einleitung RAND- UND ANFANGSWERTAUFGABEN ELLIPTISCHE PDE - ANWENDUNG IN DER GEOPHYSIK I Divergenz-Gradient-Operator und Helmholtz-Gleichung wobei (k u)+bu = f u : Ω R eine skalare (geo-)physikalische Größe, k,b : Ω R positive Koeffizientenfunktionen und f : Ω R den sog. Quellterm darstellen. Die Koeffizienten k und b können skalar oder auch positiv-definite Tensoren (d d Matrix) sein und beschreiben Material- und/oder Modelleigenschaften. Laplace-Operator und Poisson-Gleichung (k const.,b 0) u = f TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

14 Einleitung RAND- UND ANFANGSWERTAUFGABEN ELLIPTISCHE PDE - ANWENDUNG IN DER GEOPHYSIK II Geophysikalische Anwendungen zur elliptischen PDE: Anwendung u k b f Geoelektrik U σ 0 I stat. Wärmeleitung T κ 0 Q 2D MT E/H µ/σ f, ε, σ/µ 0 (RB) Gravimetrie Φ 1 0 ρ Bemerkung: In vielen Anwendungen ist der Flussvektor u von größerem Interesse als die skalare Potentialfunktion u. Ersterer wird oft durch (numerische) Differentiation der (numerisch berechneten) Lösung u gewonnen, ein instabiler Vorgang. Sog. gemischte FE-Formulierungen gestatten die direkte numerische Berechnung des Flusses. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

15 Einleitung RAND- UND ANFANGSWERTAUFGABEN PARABOLISCHE PDE - ANWENDUNG IN DER GEOPHYSIK Diffusionsgleichung wobei u+a u t = f u : Ω R eine skalare (geo-)physikalische Größe, a : Ω R eine positive Koeffizientenfunktion und f : Ω R den sog. Quellterm darstellen. Anwendung u a f TDEM E σ j/ t, 0 (AB) Wärmeleitung T κ Wärmequelle TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

16 Einleitung RAND- UND ANFANGSWERTAUFGABEN HYPERBOLISCHE PDE - ANWENDUNG IN DER GEOPHYSIK Wellengleichung wobei u+ 1 c 2 2 u t 2 = f u : Ω R eine skalare (geo-)physikalische Größe, c : Ω R eine positive Koeffizientenfunktion und f : Ω R den sog. Quellterm darstellen. Anwendung u c f Georadar (2D) E ε iωj Seismik x v x 0 TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

17 INHALT 1. Finite Differenzen in 2D 2. Einleitung 2.1 Vorbemerkungen 2.2 Rand- und Anfangswertaufgaben 3. Variationsformulierung von Randwertaufgaben 3.1 Vorbemerkungen 3.2 Bezeichnungen und mathematische Hilfsmittel 3.3 Referenzaufgaben in 2D 3.4 Variationsformulierung der Poisson-Gleichung 3.5 Galerkin-Approximation 3.6 Variationsformulierung der Helmholtz-Gleichung 4. Lagrange-Elemente 4.1 Einleitung 4.2 Konstruktion von Finite-Element-Räumen 4.3 Assemblierung der Galerkin-Gleichungen 4.4 Beispiel: 1D Poissongleichung 4.5 Konvergenz TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS Numerische Integration

18 VARIATIONSFORMULIERUNG VON RANDWERT- AUFGABEN VARIATIONSRECHNUNG Funktional reelle Funktion einer Funktion, z.b. Integral über eine unbekannte Funktion und deren Ableitungen stationäre Funktionen Funktional nimmt ein Extremum an (Minimum, Maximum, Sattelpunkt) physikalische Extremalprinzipien z.b. Lagrange-Formalismus der klassischen Mechanik, Energieansätze Variation kleine Veränderungen um die gesuchte Lösung herum TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

19 INHALT 1. Finite Differenzen in 2D 2. Einleitung 2.1 Vorbemerkungen 2.2 Rand- und Anfangswertaufgaben 3. Variationsformulierung von Randwertaufgaben 3.1 Vorbemerkungen 3.2 Bezeichnungen und mathematische Hilfsmittel 3.3 Referenzaufgaben in 2D 3.4 Variationsformulierung der Poisson-Gleichung 3.5 Galerkin-Approximation 3.6 Variationsformulierung der Helmholtz-Gleichung 4. Lagrange-Elemente 4.1 Einleitung 4.2 Konstruktion von Finite-Element-Räumen 4.3 Assemblierung der Galerkin-Gleichungen 4.4 Beispiel: 1D Poissongleichung 4.5 Konvergenz TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS Numerische Integration

20 BEZEICHNUNGEN UND MATHEMATISCHE HILFS- MITTEL GEBIET, RAND Wir betrachten nun Randwertprobleme, deren Lösung (eine oder mehrere) Funktionen von d unabhängigen Variablen sind (d = 2 oder d = 3, d... Dimensionalität). Als Gebiet Ω R d bezeichnen wir eine offene und zusammenhängende Menge. Lösungen von Randwertproblemen seien hier stets auf beschränkten Gebieten definiert: u : Ω R, wobei wir Punkte x Ω mit [ ] [ ] x1 x x = oder x = y x 2 x u(x), bzw. x = x 1 x 2 x 3 x oder x = y z bezeichnen. Die Menge aller Punkte auf dem Rand von Ω bezeichnen wir TU Bergakademie mit Ω oder Freiberg auch INMO mit O. Rheinbach/O. Γ. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

21 BEZEICHNUNGEN UND MATHEMATISCHE HILFS- MITTEL ZULÄSSIGE GEBIETE Die Beschaffenheit von Ω beeinflusst Eigenschaften von Räumen auf Ω definierter Funktionen sowie die Regularität von Lösungen auf Ω definierter Randwertprobleme. Wir schränken daher die Menge der zulässigen Gebiete wie folgt ein: Eine Funktion f : D R n R heißt Lipschitz-stetig auf D, falls es eine Konstante L gibt, sodass f(x) f(y) L x y x,y D. Man sagt, ein Gebiet Ω besitze einen Lipschitz-stetigen Rand, falls Ω lokal durch eine Lipschitz-stetige Funktion (als Kurve im R 2 bzw. Fläche im R 3 ) parametrisiert werden kann. 1 Dies schließt im Wesentlichen Schlitzgebiete oder solche mit Spitzen aus. Für die Praxis genügt es oft, zu wissen, dass etwa polygonal berandete Gebiete oder beschränkte konvexe Gebiete einen Lipschitz-stetigen Rand besitzen. TU Bergakademie 1 Die genaue Freiberg Definition INMO findet O. Rheinbach/O. der interessierte Ernst Numerische Leser Simulation etwa im mit Buch finiten von Elementen Ciarlet. SS

22 BEZEICHNUNGEN UND MATHEMATISCHE HILFS- MITTEL ABLEITUNGEN Partielle Ableitungen einer Funktion u : Ω R bezeichnen wir mit u xi = u x i, u xix j = 2 u x i x j, i,j = 1,...,d, oder allgemein: D α u = α u, α = (α 1 xα d 1,...,α d ), N d 0, α = α 1 + +α d. x α1 d TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

23 BEZEICHNUNGEN UND MATHEMATISCHE HILFS- MITTEL DIFFERENTIALOPERATOREN Ferner benötigen wir die Differentialoperatoren u = u x1. u xd Gradient, u = (u 1 ) x1 + +(u d ) xd Divergenz (u : Ω R d ), u = ( u) = u x1x 1 + +u xd x d e x1... e xd u = x 1... x d u 1... u d Laplace-Operator, Rotation (u : Ω R d ). TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

24 DIFFERENTIALOPERATOREN ÜBUNG Aufgabe Gegeben seien die Funktion u : R 3 R mit u(x,y,z) = xy +xz +yz und die Vektorfelder w,v : R 3 R 3 mit y 2 v(x,y,z) = 3 und 2yx Berechnen Sie a) u b) (w v) c) v! y z w(x,y,z) = z x. x y TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

25 BEZEICHNUNGEN UND MATHEMATISCHE HILFS- MITTEL NORMALABLEITUNG Ist Ω Lipschitz-stetig, so ist für fast alle x Ω ein Normalenvektor definiert. Den äußeren Einheitsnormalenvektor (kurz: Normalenvektor) im Punkt x Ω bezeichnen wir mit n = n(x). Die Richtungsableitung von u längs des äußeren Einheitsnormalenvektors im Punkt x Ω n u := u := n u n heißt Normalableitung von u im Punkt x. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

26 BEZEICHNUNGEN UND MATHEMATISCHE HILFS- MITTEL FUNKTIONENRÄUME Wie im Eindimensionalen sei ( 1/2 L 2 (Ω) := {u : Ω R : u 0 < }, u 0 = u(x) dx) 2. Ω L 2 (Ω) ist ein Hilbert-Raum mit Innenprodukt (u,v) = u(x)v(x)dx, insbesondere u 0 = (u,u) 1/2. Ω Der Raum H 1 (Ω) := {u L 2 (Ω) : u xi L 2 (Ω), i = 1,...,d} ist ebenfalls ein Hilbert-Raum bezüglich des Innenprodukts d ( ) (u,v) 1 := (uv + u xi v xi )dx = D α ud α v dx Ω i=1 Ω α 1 mit zugehöriger Norm u 1 = (u,u) 1/2 TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst 1 Numerische. Simulation mit finiten Elementen SS

27 EUKLIDISCHER VEKTORRAUM ÜBUNG Überlegung Skalarprodukt, Norm/Länge, Winkel, Orthogonalität, Orthonormalbasen in unserem Anschauungsraum, dem euklidischen Vektorraum R n TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

28 BEZEICHNUNGEN UND MATHEMATISCHE HILFS- MITTEL DIVERGENZSATZ Das Pendant zu partieller Integration ist im Mehrdimensionalen der Divergenzsatz (Gaußscher Integralsatz, Green s theorem). Wie im Eindimensionalen ist dies das wichtigste Hilfsmittel bei der Herleitung von Variationsformulierungen. Satz 1 Sei Ω R d ein zulässiges Gebiet sowie u i H 1 (Ω),i = 1,...,d, so gilt udx = ((u 1 ) x1 + +(u d ) xd )dx = n uds, (9) Ω Ω wobei u = [u 1,...,u d ], n den Normalenvektor und ds Integration über den Rand bezeichnen. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS Ω

29 BEZEICHNUNGEN UND MATHEMATISCHE HILFS- MITTEL SCHWACHE ABLEITUNGEN Die auftretenden Ableitungen sind im schwachen Sinne zu verstehen, im Allgemeinen sind H 1 -Funktionen nicht stetig-differenzierbar. Wir beschreiben hier kurz das Prinzip schwacher Ableitungen. Besitzt die Funktion u eine stetige partielle Ableitung u x nach x, so gilt nach dem Divergenzsatz für jede differenzierbare Funktion φ welche auf Ω verschwindet (setze u 1 = uφ,u 2 = = u d = 0 in (9)) uφ x dx = u x φdx. (10) Ω (10) kann jedoch auch für nicht-differenzierbare Funktionen gelten: sind u und v integrierbare Funktionen mit der Eigenschaft uφ x dx = vφdx, φ, φ differenzierbar, Ω Ω so bezeichnet man v als schwache Ableitung von u nach x. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS Ω

30 SCHWACHE ABLEITUNGEN BEISPIEL Die stückweise lineare Funktion { 2x, 0 x 1 2 u(x) =, 1 2(1 x), x 1 2 ist wegen des Knicks bei x = 1 auf dem Intervall (0,1) nicht differenzierbar. 2 Für jede differenzierbare Funktion φ mit φ(0) = φ(1) = 0 gilt jedoch 1 0 uφ dx = 1/2 0 = 2xφ dx+ ( 1/ /2 2(1 x)φ dx ) 1 2φdx+ ( 2)φdx 1/2 und damit im obigen Sinn u = du/dx = v mit { 2, 0 x 1 2 v(x) =, 1 2, x 1. 2 ( 1 ) = vφdx, 0 TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

31 SCHWACHE ABLEITUNGEN WEITERES BEISPIEL Das Gebiet Ω bestehe aus der Vereinigung dreier Dreiecke K i, i = 1,2,3, mit zwei gemeinsamen Kanten. Die Funktion u : Ω R sei auf jedem Teildreieck K i stetig differenzierbar, auf Ω jedoch nur stetig. Dann gilt nach (9) 3 3 ( ) uφ 3 uφ xdx = uφ xdx = n ds u Ω K i K i 0 xφdx. K i i=1 i=1 Da die Randintegrale sich im Inneren des Gebietes wegheben (warum?) folgt, falls φ auf Ω verschwindet, 3 uφ xdx = u xφdx. Ω K i Wie man sieht, stimmt die Ableitung von u im Inneren von K i mit der klassischen Ableitung überein, was auf den Kanten geschieht ist unerheblich. Insbesondere können stückweise differenzierbare Funktionen auch stückweise differenziert werden. i=1 i=1 TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

32 BEZEICHNUNGEN UND MATHEMATISCHE HILFS- MITTEL SOBOLEVSCHE EINBETTUNG I Eine Funktion mit schwachen Ableitungen genügend hoher Ordnung besitzt auch klassische Stetigkeits- bzw. Differenzierbarkeitseigenschaften. Seien ( 1/2 H m (Ω) = {u L 2 (Ω) : u m < }, u m = D α u dx) 2, L (Ω) = {u : u < }, Ω α m u = sup u(x). x Ω Satz 2 (Sobolevscher Einbettungssatz) Sei Ω R d ein zulässiges Gebiet. Für m > k +d/2 existiert eine Konstante C mit D α u C u m für alle α k. Ferner enthält die L TU Bergakademie Freiberg INMO (Ω)-Äquivalenzklasse O. Rheinbach/O. Ernst Numerischejeder Simulation Funktion mit finiten Elementen SS u H m (Ω) eine stetige Funktion.

33 BEZEICHNUNGEN UND MATHEMATISCHE HILFS- MITTEL SOBOLEVSCHE EINBETTUNG II Der Sobolevsche Einbettungssatz besagt, dass eine H m -Funktion als k-mal stetig differenzierbar angesehen werden kann. 2 Insbesondere sind im Eindimensionalen (d = 1) die H 1 -Funktionen (k = 0) stetig, d.h. deren punktweise (diskrete) Auswertung ist sinnvoll. 2 Genauer: in der L -Äquivalenzklasse von u liegt eine k-mal stetig differenzierbare Funktion. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

34 BEZEICHNUNGEN UND MATHEMATISCHE HILFS- MITTEL RANDWERTE Die punktweise Auswertung von Funktionen auf Ω notwendig für die Formulierung von Randwertaufgaben ist auch mit Hilfe der Sobolevschen Einbettungen im Allgemeinen nicht möglich. Es ist jedoch möglich, die Randwerte etwa von H m -Funktionen und deren Ableitungen als Funktionen in L 2 ( Ω) aufzufassen. Für Randwertaufgaben zweiter Ordnung benötigen wir die Randwerte u und nu, diese liegen für u H 2 (Ω) in L 2 ( Ω). 3 Die Zuordnung von Funktionen in H m (Ω) zu Randwerten in L 2 ( Ω) bezeichnet man als Spuroperator, Aussagen über die Regularität von Randwerten als Spursätze. Im Sinne dieser Spursätze verstehen wir im Folgenden stillschweigend die Randwerte von H m -Funktionen. 3 Ist u nur in H 1 (Ω), so existiert nu in einem schwächeren Sinne. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

35 BEZEICHNUNGEN UND MATHEMATISCHE HILFS- MITTEL SOBOLEV-RÄUME Folgende Sobolev-Räume von Funktionen stellen den natürlichen Ansatzraum für die Variationsformulierung von Randwertaufgaben zweiter bzw. vierter Ordnung mit homogenen Randbedingungen dar: H 1 0(Ω) := {u H 1 (Ω) : u = 0 auf Ω}, (11) H 2 0(Ω) := {u H 2 (Ω) : u = n u = 0 auf Ω}. (12) Die homogenen Randbedingungen können sich auch nur über Teile des Randes erstrecken. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

36 INHALT 1. Finite Differenzen in 2D 2. Einleitung 2.1 Vorbemerkungen 2.2 Rand- und Anfangswertaufgaben 3. Variationsformulierung von Randwertaufgaben 3.1 Vorbemerkungen 3.2 Bezeichnungen und mathematische Hilfsmittel 3.3 Referenzaufgaben in 2D 3.4 Variationsformulierung der Poisson-Gleichung 3.5 Galerkin-Approximation 3.6 Variationsformulierung der Helmholtz-Gleichung 4. Lagrange-Elemente 4.1 Einleitung 4.2 Konstruktion von Finite-Element-Räumen 4.3 Assemblierung der Galerkin-Gleichungen 4.4 Beispiel: 1D Poissongleichung 4.5 Konvergenz TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS Numerische Integration

37 REFERENZAUFGABEN IN 2D BEISPIEL 1 Beispiel 1: Ω = ( 1,1) 2, Γ D = Γ, f 1, g D 0. Dies stellt ein Modell für Wärmeausbreitung auf einer quadratischen Platte dar. Durch Trennung der Veränderlichen bestimmt man die Reihenlösung u(x,y) = 1 x π 3 k N, k ungerade [ sin(kπ(1+x)/2) k 3 sinh(kπ) ( sinh kπ(1+y) +sinh kπ(1 y) )] TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit 0 finiten Elementen SS

38 REFERENZAUFGABEN IN 2D BEISPIEL 2 Beispiel 2: Ω = ( 1,1) 2 \[ 1,0] 2, Γ D = Γ, f 1, g D TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

39 REFERENZAUFGABEN IN 2D BEISPIEL 3 Beispiel 3: Ω = ( 1,1) 2, Γ D = Γ, f 0, g D = u Γ mit exakter Lösung u(x,y) = 2(1+y) (3+x) 2 +(1+y) TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

40 REFERENZAUFGABEN IN 2D BEISPIEL 4 Beispiel 4: Ω = ( 1,1) 2 \[ 1,0] 2, Γ D = Γ, f 1, g D = u Γ mit exakter Lösung u(r,θ) = r 2/3 sin 2θ+π, x = rcosθ,y = rsinθ TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

41 INHALT 1. Finite Differenzen in 2D 2. Einleitung 2.1 Vorbemerkungen 2.2 Rand- und Anfangswertaufgaben 3. Variationsformulierung von Randwertaufgaben 3.1 Vorbemerkungen 3.2 Bezeichnungen und mathematische Hilfsmittel 3.3 Referenzaufgaben in 2D 3.4 Variationsformulierung der Poisson-Gleichung 3.5 Galerkin-Approximation 3.6 Variationsformulierung der Helmholtz-Gleichung 4. Lagrange-Elemente 4.1 Einleitung 4.2 Konstruktion von Finite-Element-Räumen 4.3 Assemblierung der Galerkin-Gleichungen 4.4 Beispiel: 1D Poissongleichung 4.5 Konvergenz TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS Numerische Integration

42 VARIATIONSFORMULIERUNG DER POISSON- GLEICHUNG ELLIPTISCHE PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER ORDNUNG Viele physikalische Größen erfüllen eine elliptische Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form wobei (k u)+bu = f, u : Ω R, (13) k,b : Ω R positive Koeffizientenfunktionen und f : Ω R einen sog. Quellterm darstellen. Die Koeffizienten k und b können skalar oder auch positiv-definite Tensoren (d d Matrix) sein und beschreiben meist Material- und Modelleigenschaften. Die typische Problemstellung besteht darin, u zu gegebenen f, k und b zu bestimmen. (Hinzu kommen noch Randbedingungen auf Ω.) TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

43 VARIATIONSFORMULIERUNG DER POISSON- GLEICHUNG DIE POISSON-GLEICHUNG Ist k konstant in (13), so kann dies in f zusammengefasst werden und es ergibt sich die Poisson-Gleichung u(x) = f(x), x Ω, (14a) wobei Ω R d (d = 2,3) ein zulässiges Gebiet sei. Den Gebietsrand Γ := Ω zerlegen wir in Γ D und Γ N, Γ = Γ D Γ N, Γ D Γ N = und stellen die Randbedingungen u(x) = g D (x) x Γ D, kurz: u ΓD = g D, (14b) u n (x) = g N(x) x Γ N, kurz: n u ΓN = g N (14c) mit zwei gegebenen, auf Γ D bzw. Γ N definierten Funktionen g und h. Die RWA (14) besitzt unter geeigneten Voraussetzungen an das Gebiet Ω und die Daten f,g D,g N eine eindeutig bestimmte TU klassische Bergakademie(d.h. Freiberg in INMO Ω zweimal O. Rheinbach/O. stetig Ernst differenzierbare) Numerische Simulation mitlösung. finiten Elementen SS

44 VARIATIONSFORMULIERUNG DER POISSON- GLEICHUNG L 2 -INNENPRODUKT UND DIVERGENZSATZ Wir multiplizieren (14a) mit einer Testfunktion v und wenden den Divergenzsatz an: ( ) (f,v) = v udx = (v u) u v dx Ω Ω = u vdx v u n ds = ( u, v) ( nu,v) Γ, Ω Γ wobei (, ) hier auch das L 2 -Innenprodukt vektorwertiger Funktionen auf Ω sowie (, ) Γ das L 2 -Innenprodukt auf Γ bezeichnen mögen. Wir wählen nun die Testfunktion v so, dass diese auf Γ D verschwindet. Auf dem Neumann-Rand Γ N gilt nach (14c) n u = g N. Insgesamt ergibt sich ( u, v) = (f,v)+(g N,v) ΓN. (15) TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

45 VARIATIONSFORMULIERUNG DER POISSON- GLEICHUNG FUNKTIONENRÄUME Wir setzen nun a(u,v) := ( u, v) = u vdx, Ω l(v) := (f,v)+(g N,v) ΓN = fvdx+ g N vds. Γ N Damit alle Integrale definiert sind, reicht es aus, dass die ersten Ableitungen von u und v quadratisch integrierbar sind, wir können also u,v H 1 (Ω) wählen und setzen S = {u H 1 (Ω) : u ΓD = g D }, V = {v H 1 (Ω) : v ΓD = 0}. Die Variationsformulierung von (14) lautet somit Bestimme u S so, dass a(u,v) = l(v) für alle v V. (16) Ω TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

46 VARIATIONSFORMULIERUNG DER POISSON- GLEICHUNG BILINEARFORMEN I Definition 3 Sei V ein reeller normierter Vektorraum. Eine Bilinearform ist eine Abbildung a : V V R, welche linear in beiden Argumenten ist, d.h. es gilt a(u 1 +u 2,v) = a(u 1,v)+a(u 2,v) a(u,v 1 +v 2 ) = a(u,v 1 )+a(u,v 2 ) a(λu,v) = λa(u,v) a(u,vλ) = a(u,v)λ u,u 1,u 2,v,v 1,v 2 V und λ R. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

47 VARIATIONSFORMULIERUNG DER POISSON- GLEICHUNG BILINEARFORMEN II Definition 4 Die Bilinearform a heißt stetig, falls es eine Konstante C gibt mit a(u,v) C u v u,v V. Die Bilinearform a heißt symmetrisch, falls a(u,v) = a(v,u) u,v V. Die Bilinearform a heißt koerziv, falls es eine Konstante α > 0 gibt mit a(u,u) α u 2 u V. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

48 VARIATIONSFORMULIERUNG DER POISSON- GLEICHUNG BILINEARFORMEN III Bemerkungen 5 (a) Im Falle eines komplexen Vektorraumes fordert man Antilinearität im zweiten Argument und spricht dann von einer Sesquilinearform. Anstelle der Symmetrie fordert man hier a(u,v) = a(v,u) und spricht von einer Hermiteschen Sesquilinearform. (b) Eine koerzive symmetrische (Hermitesche) Bilinearform (Sesquilinearform) definiert ein Innenprodukt auf dem reellen (komplexen) Vektorraum V. Oft wird es das zur Bilinearform a(, ) gehörende Energie-Innenprodukt genannt. (c) Die Eigenschaft der Stetigkeit zieht die Stetigkeit in beiden Argumenten nach sich. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

49 VARIATIONSFORMULIERUNG DER POISSON- GLEICHUNG EIN ABSTRAKTER EXISTENZSATZ Der folgende Satz sichert Existenz und Eindeutigkeit der Lösung einer großen Klasse von Variationsproblemen: Satz 6 (Lax-Milgram-Lemma, 1954) Sei V ein Hilbert-Raum mit Norm V, a : V V R eine Bilinearform auf V sowie l : V R ein lineares Funktional auf V für die es Konstanten C,α und L gibt mit a(u,v) C u V v V u,v V, ( a ist stetig ) a(v,v) α v 2 V v V, ( a ist koerziv ) l(v) L v V v V, ( l ist stetig ). Dann besitzt das Variationsproblem Bestimme u V sodass a(u,v) = l(v) v V genau eine Lösung. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

50 VARIATIONSFORMULIERUNG DER POISSON- GLEICHUNG VARIATIONS- UND MINIMIERUNGSAUFGABEN I Anstelle von (16) könnte zunächst folgende Variante einer schwachen Formulierung naheliegender erscheinen: Im einfachsten Fall der reinen Dirichletsche Randwertaufgabe (RWA) für die Poisson-Gleichung (Γ = Γ D) u = f auf Ω, u = g auf Γ = Ω, (17a) (17b) betrachten wir die sog. verallgemeinerte Randwertaufgabe Bestimme u C 2 (Ω) mit u = g längs Γ und u vdx = fvdx v C0 (Ω). (18) Ω Ω Schließlich betrachten wir noch die Minimierungsaufgabe Minimiere unter allen Funktionen u C 2 (Ω) mit u = g längs Γ das Funktional J(u) := 1 u 2 dx fudx. 2 Ω Ω (19) TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

51 VARIATIONSFORMULIERUNG DER POISSON- GLEICHUNG VARIATIONS- UND MINIMIERUNGSAUFGABEN II Es gilt nun: Satz 7 Seien g C(Γ) sowie f C(Ω) gegebene Funktionen. Sei ferner u C 2 (Ω). Dann gilt (a) Löst u die Minimierungsaufgabe (19), so löst u auch die Randwertaufgabe (17). (b) Die Funktion u ist genau dann Lösung der RWA (17), wenn u Lösung der verallgemeinerten RWA (18) ist. Bemerkung 8 Nach Satz 7 löst jede hinreichend glatte Lösung der Variationsaufgaben (18) oder (19) auch die RWA (17). Entscheidend: in vielen Anwendungen tritt der Fall auf, dass keine derart glatte Lösung existiert. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

52 VARIATIONSFORMULIERUNG DER POISSON- GLEICHUNG VOLLSTÄNDIGKEIT DER FUNKTIONENRÄUME Die Situation entspricht der bei den Minimierungsaufgaben f(x) min x [a,b] (20a) und f(x) min x [a,b] Q, (20b) wobei < a < b < und f C[a,b]. Aufgabe (20a) besitzt stets Lösungen. Sind diese jedoch allesamt irrationale Zahlen, so besitzt Aufgabe (20b) keine Lösung. Auf analoge Weise muss im Fall der Variationsaufgaben i.a. der Funktionenraum geeignet vervollständigt werden. Dies führt hier auf die sog. Sobolev-Räume. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

53 VARIATIONSFORMULIERUNG DER POISSON- GLEICHUNG HOMOGENISIERUNG WESENTLICHER RANDBEDINGUNGEN Oft ist es praktischer, mit homogenen wesentlichen Randbedingungen zu arbeiten. Insbesondere kann man dann in der Variationsformulierung (16) denselben Funtionenraum für die Ansatz- und Testfunktionen wählen, d.h. S = V. Sei hierzu u g H 1 (Ω) eine auf ganz Ω definierte Funktion mit der Eigenschaft u g = g auf Γ D. (Für zulässige Gebiete existiert eine solche Fortsetzung von g nach innen.) Dann liegt aber für jede Funktion ũ V die Summe u g +ũ in S und es gilt a(ũ,v) = l(v) a(u g,v) v V. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

54 BEISPIEL WÄRMELEITUNG IN EINEM KÖRPERQUERSCHNITT I Wärmeleitungsgleichung in Ω 1 Ω 2 R 2 : (k u) = 0, zwei verschiedene Materialien mit { k 1 = 1W(mK) 1, x Ω 1, k(x) = k 2 = 371W(mK) 1, x Ω 2. Randbedingungen: 0.8 u = g 1 auf Γ 1, n u = 0 auf Γ 2, k n u+α(u g 3 ) = 0 auf Γ 3, Ω 1 Ω 2 Γ sym Γ 2 g 1 500K, g 3 300K, α = 5.6 W/(m 2 K) Γ 3 Γ 1 TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

55 BEISPIEL WÄRMELEITUNG IN EINEM KÖRPERQUERSCHNITT II Entlang des gemeinsamen Randes von Ω 1 und Ω 2 sind Temperatur und Wärmefluss stetig, d.h. dort gilt u 1 (x) = u 2 (x), n [k 1 u 1 (x)] = n [k 2 u 2 (x)]. Zur Variationsformulierung wählen wir den Ansatzraum sowie den Testraum S = {u H 1 (Ω) : u = g 1 auf Γ 1 }, V = {u H 1 (Ω) : u = 0 auf Γ 1 }, und suchen u S sodass a(u,v) = l(v) v V, mit a(u,v) = v (k u)dx+α uvds, Ω Γ 3 l(v) = α vg 3 ds. Γ 3 TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

56 BEISPIEL SYMMETRIE-RANDBEDINGUNG Da die RWA symmetrisch zur Achse x = 0.5 ist reicht es aus, die Lösung u nur auf einer Hälfte des Gebiets zu bestimmen und in der verbleibenden Hälfte die Lösung aus der Beziehung u(0.5+x,y) = u(0.5 x,y) zu bestimmen. Längs der Symmetrieachse erfüllt die Lösung eine homogene Neumann-Randbedingung: n u(x) = 0, x Γ sym. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

57 INHALT 1. Finite Differenzen in 2D 2. Einleitung 2.1 Vorbemerkungen 2.2 Rand- und Anfangswertaufgaben 3. Variationsformulierung von Randwertaufgaben 3.1 Vorbemerkungen 3.2 Bezeichnungen und mathematische Hilfsmittel 3.3 Referenzaufgaben in 2D 3.4 Variationsformulierung der Poisson-Gleichung 3.5 Galerkin-Approximation 3.6 Variationsformulierung der Helmholtz-Gleichung 4. Lagrange-Elemente 4.1 Einleitung 4.2 Konstruktion von Finite-Element-Räumen 4.3 Assemblierung der Galerkin-Gleichungen 4.4 Beispiel: 1D Poissongleichung 4.5 Konvergenz TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS Numerische Integration

58 GALERKIN-APPROXIMATION Gegeben sei die Variationsaufgabe (ohne Einschränkung: S = V ) Bestimme u V sodass a(u,v) = l(v) v V. (21) Bei der Galerkin-Approximation der Lösung u von (21) erstetzt man den Variationsraum durch einen endlichdimensionalen Unterraum V h V und betrachtet die Lösung u h V h von (21) mit V h anstelle von V als Approximation an u. Mit anderen Worten: wir bestimmen u h V h sodass Bemerkung 9 a(u h,v) = l(v) v V h. Im o.g. Fall V h V spricht man von einer konformen Galerkin-Diskretisierung. Es werden jedoch auch nichtkonforme Diskretisierungen mit endlich-dimensionalen Unterräumen V h mit V h V verwandt. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS

59 CÉA-LEMMA EINE GRUNDLEGENDE FEHLERABSCHÄTZUNG Satz 10 (Lemma von Céa) Gelten für die Variationsaufgabe (21) die Voraussetzungen des Lax-Milgram-Lemmas, so gilt für den Fehler u u h der Galerkin-Approximation u u h V C α inf v V h u v V. (22) Hierbei bezeichnen C und α die Stetigkeits- bzw. Koerzivitätskonstante aus dem Lax-Milgram-Lemma. TU Bergakademie Freiberg INMO O. Rheinbach/O. Ernst Numerische Simulation mit finiten Elementen SS