Numerische Methoden in der Akustik

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1 Numerische Methoden in der Akustik Prof.Dr.-Ing. Matthias Blau Institut für Hörtechnik und Audiologie FH Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven XXI. Winterschule der Deutschen Gesellschaft für Medizinische Physik Pichl 29

2 Übersicht Finite Differenzen - TLM 3. - FEM 4. - BEM 5. Vergleich TLM-FEM-BEM

3 1. Motivation: Schallfelder können nur für akademische Spezialfälle analytisch berechnet werden Problemstellung: Lösung der Wellengleichung p( r, t) 1 c 2 2 p( r, t) t 2 = (d.h. Berechnung von p( r, t)) für interessierende Punkte r unter gegebenen Randbedingungen Randbedingungen vorgegebener Druck vorgegebene Normalenschnelle v n p/ n vorgegebene (spezifische) Impedanz

4 2. Finite Differenzen - TLM Idee Approximation der Differenzialquotienten durch Differenzenquotienten z.b. in kartesischen Koordinaten x z W W y W p p p i.5 i+.5 Ableitung bei x= iw (i 1)W (i.5)w Approximation W iw (i+.5)w x (i+1)w p (n) 1 { pi+.5,j,k (n) p i.5,j,k (n) } x i,j,k W

5 2. Finite Differenzen - TLM Idee (cont d) zweite Ableitungen { } 2 p (n) = p x 2 i,j,k x x 1 W (n) i,j,k p x i+.5,j,k (n) 1 W 1 W 2 { p i+1,j,k (n) p i,j,k (n) } p x i.5,j,k (n) 1 { p W 2 i,j,k (n) p i 1,j,k (n) } = 1 { p W 2 i+1,j,k (n) 2p i,j,k (n) + p i 1,j,k (n) } analog wird für Ableitungen nach y, z, t verfahren

6 2. Finite Differenzen - TLM Idee (cont d) eingesetzt in Wellengleichung { 1 6 } p W 2 lter Nachbar (n) 6p i,j,k (n) l=1 1 { } p c 2 T 2 i,j,k (n + 1) 2p i,j,k (n)p i,j,k (n 1) = Finite Difference Time Domain (FDTD) Stabilitätsbedingung: W/T d c (d... Anzahl der Dimensionen)

7 2. Finite Differenzen - TLM Idee (cont d) besonders einfach wird es, wenn W/T = d c (CFL-Grenze) p i,j,k (n + 1) = 1 d 2d l=1 p lter Nachbar (n) p i,j,k (n 1) Transmission Line Matrix (TLM) 2D-Version zum Ausprobieren:

8 2. Finite Differenzen - TLM Grenzen/Probleme Dispersion: z.b. 3D-Formulierung p i,j,k (n + 1) = 1 6 p lter Nachbar (n) p i,j,k (n 1) 3 l=1 bedeutet cos ( ) 1 ω/f s = 3 cos( 3 kx ) cos( 3 ky ) cos( 3 kz ) c abseits der Diagonalen geringer Vermeidung: λ/1

9 2. Finite Differenzen - TLM Randbedingungen in TLM Druck: einfach (es wird mit dem Druck gerechnet!) Schnelle: schwierig (Schnelle muss aus Druckgradienten berechnet werden) Impedanz: Umwandlung in Reflexionsfaktoren

10 2. Finite Differenzen - TLM praktische Benutzung creating *.sim file Scilab example 1 ysize=6; xsize=6; steps=; c=343; w=.1; 2 env=zeros(ysize,xsize); 3 env(32:6,3)=1; env(1:28,3)=1; // rigid walls (r=1) 4 5 sources=[]; 6 for q=1:ysize 7 sources=[sources q ]; // x=q, y=1, sine, ampl=1, 8 // f=15hz, phase= 9 end 8 9 filename= example.sim ; 1 simfile = mopen(filename, wb ); 11 mput([ysize xsize steps c w], dl,simfile); 12 mput(env., dl,simfile); 13 mput(sources, dl,simfile); 14 mclose(simfile); // Done.

11 2. Finite Differenzen - TLM Ergebnis

12 3. Idee: Überführen der Helmholtzgleichung in Integralform, Lösen der Integrale für räumlich begrenzte Elemente (Approximation der Ortsabhängigkeit des Schalldrucks) und Zusammenführung der Lösungen der Einzelelemente zu einem globalen Gleichungssystem Vorgehensweise 1. Integralform der Helmholtzgleichung 2. Reduzierung der Ordnung der Ortsableitungen 3. FE-Approximation (Knoten, Formfunktionen) 4. Integration innerhalb der einzelnen Elemente 5. Zusammenführen der Elementgleichungen zu einem globalen Gleichungssystem 6. Randbedingungen berücksichtigen 7. globales Gleichungssystem lösen

13 3. Beispiel 1D 1. Integralform der Helmholtzgleichung ˆ L d 2 ˆp dx + 2 k2 ˆp = (w d2 ˆp ) dx + 2 wk2 ˆp dx = x L gewichtete Residuen (Wichtungsfunktion w)

14 3. Beispiel 1D (cont d) 2. Reduzierung der Ordnung der Ortsableitungen durch partielle Integration f = w, also w dˆp dx g = dˆp dx, L ˆ L ˆ L dw dx f dg dx dx = fg L ˆ L dˆp dx dx + ˆ L df dx g dx w k 2 ˆp dx = oderˆ L dw dx dˆp dx k2 dx ˆ L w ˆp dx = w dˆp dx nur noch 1. Ableitungen nach x! L

15 3. Beispiel 1D (cont d) 3. FE-Approximation, Knoten, Formfunktionen Knoten 1 Re{p} wahr Knoten 2 FE Approximation Knoten 4 Knoten 3 Element 1 Element 2 Element 3 L/3 2L/3 L x lineare Formfunktionen ˆp innerhalb Element ˆp links (1 ξ) + ˆp rechts ξ ξ... lokale Elementkoordinate ξ 1

16 3. Beispiel 1D (cont d) 3. weiter mit Formfunktionen ˆp innerhalb Element ˆp links (1 ξ) + ˆp rechts ξ ] = [ (1 ξ) ξ ][ ˆp links ˆp rechts = ϕ T p Galerkin-Ansatz (1915): w = ϕ

17 3. Beispiel 1D (cont d) 4. Integration innerhalb der Elemente ˆ x2 x 1 { } dx = ˆ 1 { } J dξ mit J = dx dξ im Beispiel sind x = ξ/3 und dx/dξ = 1/3. Für jedes Element gilt ˆ 1 ˆ 1 dw dˆp J dξ k2 w ˆp J dξ dx dx ˆ 1 d ϕ dξ d ϕ T dξ p J dξ k2 dξ dx dξ dx ˆ 1 ϕ ϕ T p J dξ = K (Element) p k 2 M (Element) p

18 3. Beispiel 1D (cont d) 4. weiter mit der Integration innerhalb der Elemente ( ) 2 ( ) 1 dϕ 1 dξ 2J ( 1 K (Element) dξ dx dξ dϕ 1 dϕ 2 dξ 2J dξ dξ dx) dξ = ( ) 1 dϕ 2 dϕ 1 dξ 2J ( ) 2 ( 1 dξ dξ dx dξ dϕ 2 dξ 2J dξ dx) dξ ( ) 3 3 = 3 3 ( 1 1 M (Element) = ϕ2 1J dξ ϕ ) 1ϕ 2 J dξ 1 ϕ 1 2ϕ 1 J dξ ϕ2 2J dξ ( ) 1/9 1/18 = 1/18 1/9

19 3. Beispiel 1D (cont d) 5. lokal global Erinnerung: ˆ L dw dx a) linke Seite: ˆ L ˆ { } dx = dˆp dx k2 dx (E1) ˆ L ˆ { } dx + w ˆp dx = w dˆp dx (E2) ˆ { } dx + L (E3) { } dx = K (E1) p (E1) k 2 M (E1) p (E1) + K (E2) p (E2) k 2 M (E2) p (E2) + K (E3) p (E3) k 2 M (E3) p (E3)

20 3. Beispiel 1D (cont d) 5. weiter mit linker Seite ˆ L { } dx = ( K (global) k 2 M (global)) K (global) = M (global) = k (E1) 11 k (E1) 12 k (E1) 21 k (E1) 22 + k (E2) m (E1) 11 m (E1) 12 m (E1) 21 m (E1) 11 k (E2) 12 k (E2) 21 k (E2) 22 + k (E3) ˆp K1 ˆp K2 ˆp K3 ˆp K4 11 k (E3) 12 k (E3) 21 k (E3) m (E2) 11 m (E2) 12 m (E2) 21 m (E2) 22 + m (E3) 11 m (E3) 12 m (E3) 21 m (E3) 22

21 3. Beispiel 1D (cont d) 5. weiter mit rechter Seite w dˆp L = w dˆp w dˆp dx dx x=l dx x= globale Gewichtsfunktionen w 1 Knoten 1: w dˆp dx x=l =, Knoten 2,3: w dˆp dx x=l =, K1 K2 K3 K4 x w dˆp dx x= = jωϱ ˆv x,k1 w dˆp dx x= = Knoten 4: w dˆp dx x=l = jωϱ ˆv x,k4, w dˆp dx x= =

22 3. Beispiel 1D (cont d) 5. globales Gleichungssystem ( K (global) k 2 M (global)) ˆp K1 ˆp K2 ˆp K3 ˆp K4 = jωϱ ˆv x,k1 ˆv x,k4

23 3. Beispiel 1D (cont d) 5. Randbedingungen Schnellen v boundary (K (global) k 2 M (global)) ( p) = jωϱ ( v boundary ) Drücke p boundary ( K (global) k 2 M (global)) ( ) p boundary p gesucht ( A11 A 12 ) = A 21 A 22 A 22 p gesucht = A 21 p boundary Impedanzen: häufig nicht implementiert, aber möglich

24 3. praktische Benutzung Ablauf 1. Preprocessing: Geometrieimport, Vernetzung, Materialkenngrößen (ϱ, c), Randbedingungen 2. Lösung: pro interessierender Frequenz Knotendrücke berechnen 3. Postprocessing: Ausgabe bzw. grafische Darstellung zum Ausprobieren:

25 3. Beispiel 2D: schallhartes Rohr, L = 3 mm, d = 8 mm Frequenz f = 5 khz links mit Schnelle v angeregt rechts mit r =.7 e jπ/4 abgeschlossen p re v in Pa re m/s 1 1 analytisch mesh 1 mesh distance in m

26 4. Idee (Innenraumproblem): Benutzung der partikulären Lösung G( r r ) der Helmholtzgleichung für das freie Schallfeld eines Punktstrahlers bei r = r führt zur Kirchhoff-Helmholtz-Integralgleichung ( ˆp( r) G( r r ) G( r r ) ˆp( r) ) ds n n S = δ( r r ) dv mit der Greenschen Funktion für das freie Schallfeld in 3D G( r r ) = e jk r r 4π r r V

27 4. Idee (cont d) rechte Seite hängt davon ab, ob r innerhalb V, außerhalb V oder auf dem Rand liegt δ( r r ) dv = ˆp( r )C( r ) V mit C( r ) = r außerhalb V Ω/4π r auf S 1 r innerhalb V Ω... Raumwinkel (= 2π für glatte Flächen)

28 4. Idee (cont d) mit Definition r auf Rand Q und r Zielpunkt P : ( ˆp(Q) S G(P, Q) n G(P, Q) ˆp(Q) ) ds n = ˆp(P )C(P ) Interpretation: ˆp an Zielpunkt P innerhalb von V (inklusive Berandung) hängt ab von der Verteilung von ˆp und ˆv n ˆp/ n auf der Oberfläche Q

29 4. numerische Lösung: ähnlich FE Zerlegung des Randes in Elemente/Knoten Interpolation von ˆp und ˆp/ n auf Rand durch Formfunktionen mit Bezug auf die Knotendrücke p j damit p j h jk j j p j n g jk = c k p k

30 4. numerische Lösung (cont d) Kollokationsverfahren: 1. p k auf den Rand legen ( H C ) pknoten = G v n,knoten ( jωϱ ) Randbedingungen vorgeben (p j, v n,j, p j /v n,j ), Gleichungssystem für übrige p j, v n,j lösen 2. Lösung für interessierende Punkte P innerhalb V ˆp(P ) = j p j h j (P ) + jωϱ j v n,j g j (P )

31 4. praktische Benutzung Ablauf - ähnlich FE 1. Preprocessing: Geometrieimport, Vernetzung (des Randes!), Materialkenngrößen (ϱ, c), Randbedingungen 2. Lösung: pro interessierender Frequenz Schalldrücke an interessierenden Punkten berechnen 3. Postprocessing: Ausgabe bzw. grafische Darstellung zum Ausprobieren:

32 5. Vergleich TLM-FEM-BEM akustische Probleme prinzipiell mit allen 3 Verfahren lösbar TLM FEM BEM Netz Volumen Volumen Fläche regelmäßig Netzdichte 1λ 6λ 6λ RB v schwierig Z häufig nicht implementiert Implementierg. einfach mittel schwierig kommerzielle Programme in der Regel mit integriertem Prä- und Postprozessor Solver für alle Verfahren häufig im Internet verfügbar, Problem: Prä- und Postprozessor?

33 5. Vergleich TLM-FEM-BEM Alternative separater Prä-/Postprozessor?

34 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!