Boundary Element Method
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- Irma Giese
- vor 5 Jahren
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1 Boundary Element Method Fabio Kaiser 4. Oktober 2011 fabio () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
2 Überblick 1 Einleitung 2 BEM - Part I - Helmholtz Integral Gleichung 3 BEM - Part II - Numerische Implementierung 4 Beispiele 5 Fazit fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
3 Einleitung Einleitung Wellengleichung 1 c 2 2 p t 2 2 p = 0 (1) Berechnung der Schallausbreitung Analytische Methoden zur Lösung verfügbar Numerische Methoden - Finite Elemente Methode (FEM) - Finite Differenzen Methode (FDM) - Randelementemethode (BEM) fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
4 Einleitung BEM Übersicht Abb.: Fünf Schritte zum Erfolg fabio () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
5 Einleitung Anwendugen Abstrahl-, Streuungs-, Eigenwert Problem Abb.: Bilder aus (Liu, 2009) fabio () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
6 Einleitung Anwendungen am Fachgebiet - Extraauraler Kopfhörers Simulation des Schalldruckverlaufs Berechnung der akustischen Impedanzbelastung aufs Ohr Free field equivalent coupling (FEC) Kriterium Abb.: BK109 Extraauraler Kopfhörer fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
7 BEM - Part I - Helmholtz Integral Gleichung Helmholtz Gleichung Homogen Green sche Funktion im Freifeld 2 p + k 2 p = 0 (2) G(r r ) = e ik r r 4π r r (3) ( 2 + k 2 )G(r r ) = δ(r r ) (4) fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
8 BEM - Part I - Helmholtz Integral Gleichung Green sche Identität Aus 2. Green scher Identität (φ 2 ψ ψ 2 φ) dv = Ω Skalare Funktionen φ und ψ erfüllen: S φ ψ n ψ φ ds (5) n 2 φ + k 2 φ = 0 2 ψ + k 2 ψ = δ(r r ) (6) fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
9 BEM - Part I - Helmholtz Integral Gleichung Helmholtz Integral Gleichung (HIE) C(r )φ(r ) = S ( G(r r ) φ(r) C(r ) = n ) φ(r) G(r r n ) ds (7) 0, r V e 1 2, r S 1, r V i (8) fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
10 BEM - Part I - Helmholtz Integral Gleichung Inneres und Äußeres Problem Mit φ = p und p(r) n = iρ0ckvn(r) (9) Inneres Problem ( S iρ o ckv n (r)g(r r ) p(r) G(r r ) n ) ds = C(r )p(r ) (10) Äußeres Problem ( p(r) G(r r ) ) iρ o ckv n (r)g(r r )) ds = C(r )p(r ) (11) n S fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
11 BEM - Part I - Helmholtz Integral Gleichung Eindeutigkeit der Lösung Lösung für äußeres Problem nicht eindeutig bei Resonanzfrequenzen des inneren Problems CHIEF Extra Gleichung mit Punkt im Inneren Überdeterminiertes System Burton-Miller Kombiniere HIE mit seiner Normalableitung CBIE + β HBIE = 0 (12) fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
12 BEM - Part II - Numerische Implementierung Diskretisierung... der Geometrie x = n x i N i (ξ 1, ξ 2 ) (13) i=1... der physikalischen Größen n p = p i N i (ξ 1, ξ 2 ), v n = N...Ansatz Funktionen i=1 n v ni N i (ξ 1, ξ 2 ) (14) i=1 Abb.: Reales und Mutter Element in globalen bzw. lokalen Koordinaten fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
13 BEM - Part II - Numerische Implementierung Kollokation Knoten-Kollokation und Interpolation Cp = mit den Integralkernen N j=1 S j p G n ds iρ 0ck j=1 i=1 N j=1 j=1 i=1 S j v n GdS (15) N n N n Cp = p ij d ij v n,ij m ij (16) G d ij = S j n N i ds (17) m ij = iρ 0 ck GN i ds (18) S j fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
14 BEM - Part II - Numerische Implementierung Matrix-Gleichung Dp = Mv n ( m ij m jn ) ( d ij c jj d jn M =....., D =..... m Ni m NN d Ni d NN c NN p = ( p 1. p N ), v n = ( v n1. v nn ) ) Zur Lösung sind N Randbedingungen notwendig fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
15 BEM - Part II - Numerische Implementierung Problem System-Matrizen - vollbesetzt - unsymmetrisch - komplex Standard Lösungs Methoden aufwendig iterative Methoden fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
16 BEM - Part II - Numerische Implementierung Speicheraufwand B = 16M 2 bytes 6 Knoten pro Wellenlänge x 104 N max,12gb sphere, r=0.07m sphere, r=1m Number of elements, N 2 N 1.5 max,4gb N 1 max,2gb Frequency, Hz x 10 4 Abb.: Anzahl der Elemente vs. Frequenz Limit fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
17 BEM - Part II - Numerische Implementierung Rechenaufwand Berechnung der Systemmatrizen Lösung des Gleichungssystems Gauss Eliminierung O(N 3 ) fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
18 BEM - Part II - Numerische Implementierung Zusammenfassung Vorteil Reduktion der Dimension Berechnung ins Unendliche Nachteil Keine eindeutige Lösung für äußeres Problem Vollbesetzte, komplexe, unsymmetrische Matrizen fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
19 Beispiele Implementierung OpenBEM ( von Patrick Juhl und Vicente Cutanda Henriquez Matlab Toolbox Ablauf einer Simulation Mesh Generierung Importieren und Überprüfen Oberflächenintegrale lösen Randbedingungen vorgeben Feldpunkte berechen Post-processing fabio () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
20 Beispiele Pulsierende Kugel Kugel pulsiert mit Schnelle v 0 Abb.: In dreieckige Elemente diskretisierte Kugel mit N = 160 Elementen. Achsen in Meter. fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
21 Beispiele analytical BEM CHIEF SPL (db) f max = frequency (Hz) Abb.: BEM Simulation: Pulsierende Kugel mit v 0 = 1 m s über Frequenz. Der Feldpunkt liegt in 1m Entfernung. und N=1280. Resultiereder SPL fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
22 Beispiele analytical N=160 N=640 N=1280 SPL (db) frequency (Hz) Abb.: BEM Simulation (CHIEF): Pulsierende Kugel mit v 0 = 1 m. Resultieredes SPL s über Frequenz. Vegleich verschiedener Mesh Größen. fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
23 Beispiele Aufwand N time/s memory/mb f max /Hz Tabelle: Anzahl der Elemente N vs. Rechenzeit, Speicheraufwand (für eine Frequenz) und Frequenz Limit. fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
24 z Beispiele Membran auf Kugel mit Scheibe davor Kugel und Scheibe v n = 0, Membran v n = v 0 Akustische Reziprozität y 0.05 x Abb.: Mesh-Modell mit N=1280 (Kugel) und N=540 (Scheibe). Achsen in Meter. fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
25 Beispiele y [m] SPL x [m] y [m] SPL x [m] fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
26 Beispiele y [m] SPL x [m] y [m] SPL x [m] fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
27 Beispiele y [m] SPL x [m] y [m] SPL x [m] fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
28 Beispiele Membran auf Kugel mit Scheibe davor Kugel v n = 0, Membran v n = v 0 Impedanz Randbedingungen für Scheibe v n = α β p + γ β (19) Mit γ β = Y und α β = v s Beispiel Z = Z 0 = ρ 0 c (D + MY )p = Mv s (20) fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
29 Beispiele y [m] SPL x [m] 135 y [m] SPL x [m] fabio kaiser@gmx.at () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
30 Fazit Fazit Bericht Literatur-Datenbank Matlab Skripte und Funktionen TO DO Geeignete Umgebung zur Mesh-Generierung und Bearbeitung finden FEC Kriterium BK211 vs. BK109 (DAGA 12) fabio () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
31 Fazit Referenzen Ciskowski R.D. Boundary element methods in acoustics Computational Mechanics Publications Wu, T.W. Boundary element acoustics: Fundamentals and computer codes WIT Beer, G. and Watson, J. O. Introduction to finite and boundary element methods for engineers Wiley Liu, Y. Fast multipole boundary element method: Theory and applications in engineering Cambridge University Press fabio () Boundary Element Method 4. Oktober / 31
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