Lösen von nichtlinearen Gleichungssystemen durch Kurvenfortsetzung
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- Karsten Raske
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1 Lösen von nichtlinearen Gleichungssystemen durch Kurvenfortsetzung 20. Februar 2003 Jan Sieber Department of Engineering Mathematics University of Bristol
2 Übersicht Einleitung/Wiederholung mehrdimensionales Newtonverfahren und seine Eigenschaften Einige Beispiele Verbrennungsreaktionen, NAND- Gatter Kurvenfortsetzung mit Illustration und Beispielen
3 Wiederholung Newtonverfahren Aufgabe: Löse nichtlineares Gleichungssystem f(x) = 0, x R n, f : R n R n.
4 Wiederholung Newtonverfahren Aufgabe: Löse nichtlineares Gleichungssystem f(x) = 0, x R n, f : R n R n. Prozedur: Startwert x 0 R n = Iteration x k+1 = x k [ ] 1 f x (x k) f(x k )
5 Wiederholung Newtonverfahren Aufgabe: Löse nichtlineares Gleichungssystem f(x) = 0, x R n, f : R n R n. Prozedur: Startwert x 0 R n = Iteration x k+1 = x k [ ] 1 f x (x k) f(x k ) Idee: Sei x Nullstelle von f. Taylorentwicklung von f in x k : [ ] f f(x ) = 0 = f(x k ) + x (x k) (x x k ) + R(x k )[x x k ] 2 = x x k+1 = R(x k )[x x k ] 2
6 Wiederholung Newtonverfahren (II) Voraussetzung: Nullstelle x existiert und ist regulär, d.h., det [ f x (x ) ] 0 Vorteil: Gute Konvergenz x 0 x 10 2 = x 1 x 10 4 = x 2 x 10 8
7 Wiederholung Newtonverfahren (II) Voraussetzung: Nullstelle x existiert und ist regulär, d.h., det [ f x (x ) ] 0 Vorteil: Gute Konvergenz x 0 x 10 2 = x 1 x 10 4 = x 2 x 10 8 Nachteil: Startwert muss in der Nähe der Nullstelle sein! x 0 x
8 Wiederholung Newtonverfahren (II) Voraussetzung: Nullstelle x existiert und ist regulär, d.h., det [ f x (x ) ] 0 Vorteil: Gute Konvergenz x 0 x 10 2 = x 1 x 10 4 = x 2 x 10 8 Nachteil: Startwert muss in der Nähe der Nullstelle sein! x 0 x Fazit: Die Implementationen in Matlab oder Maple benutzen etwas robustere Varianten des Newtonverfahrens. Trotzdem: Es gibt keinen universellen Algorithmus zum Lösen von nichtlinearen Gleichungssystemen wie etwa die Gauss-Elimination für lineare Systeme.
9 Beispiel Verbrennungsreaktion A B Gesucht sind Gleichgewichte der chemischen Reakion A B bestimmt durch c 0 (= ċ) = c + p 1 (1 c) e T 0 (= T ) = T + p 1 p 2 (1 c) e T p 3 T Konzentration von B T Temperatur p 1 = Antrieb p 2 = 14 Exothermik der Reaktion p 3 = 2 Kühlung = Maple-Demonstration
10 Beispiel aus der Elektrotechnik NAND-Gatter 4 V DD Modifizierte Knotenanalyse: ME MD dim = 16 = 12 Knoten + 4 Spannungsquellen V 1 V 2 8 V BB ME 9 12 C Nichtlineare Widerstände in den 3 MOSFETs. Gleichgewicht erfüllt nichtlineares Gleichungssystem der Dimension 16.
11 Noch ein Beispiel Verbrennung zur Wärmegewinnung Konzentration c des Produkts und Temperatur T erfüllen das nichtlineare Randwertproblem c ċ(t) = γ c(t) [1 c(t)] e T (t) T (t) = c(t) [1 c(t)] e T (t) α T (t) 0 = T ( ) 0 = T (+ ) Konzentration des Produkts T Temperatur γ = 0.01 Reaktionsgeschwindigkeit α Wärmeentnahme Dimension des Problems =. Gesucht ist ein α, so dass insgesamt möglichst viel Wärme produziert wird, aber keine Explosion stattfindet.
12 Parameterfortsetzung Einfache Lösung des Problems Wie beschaffe ich einen guten Startwert? : Langsames Variieren eines Parameters Beispiel A B: 0 = c + p 1 (1 c) e T 0 = T + p 1 p 2 (1 c) e T p 3 T Wenn p 1 = 0 ist, ist c = T = 0 Lösung. = Erhöhe p 1 = 0 in kleinen Schritten bis zum gewünschten Wert. Starte in jedem Schritt das Newtonverfahren mit der Lösung vom vorherigen Schritt. = Maple-Demonstration
13 Allgemeiner Algorithmus: Gesucht wird ein x mit Parameterfortsetzung f(x, p) = 0, x R n, f : R n R n, p R. Für p 0 ist Lösung x 0 bekannt: f(x 0, p 0 ) = 0. Wähle Schrittweite 1/N. Iteration: p k+1 = p k + (p p 0 )/N x k+1 = Lösung von f(x k+1, p k+1 ) = 0 mit Newtonverfahren und Startwert x k. ergibt Punkte auf der Lösungskurve x(p) mit f(x(p), p) = 0. Nachteil: Scheitert an Umkehrpunkten Idee: Behandeln x und p gleich: y = (x, p) R n+1.
14 Verbesserung: Kurvenfortsetzung Aufgabe f(y) = 0, y R n+1, f : R n+1 R n. hat eine Lösungskurve in R n+1. Start ein y 0 mit f(y 0 ) = 0, die Tangente t 0 an Lösungskurve in y 0, Schrittweite h. Prädiktor Gehen die Tangente entlang: yk+1 P = y k + h t k Korrektur 0 = f(y k+1 ) 0 = ( y k+1 y P k+1) T tk lösen nach y k+1 mit dem Newtonverfahren und dem Prädiktor yk+1 P als Startwert. Tangente Lösen nach t k+1 : [ ] f 0 = y (y k+1) t k+1 1 = t T k t k+1
15 Illustration x y = (x, p) 0 = f(y) = x 2 + p 2 1 p
16 Illustration t 0 x y = (x, p) 0 = f(y) y 0 = x 2 + p 2 1 Schrittweite h 1 p
17 Illustration x y = (x, p) h 0 = f(y) y1 P t 0 = x 2 + p 2 1 y 0 Schrittweite h 1 p
18 Illustration x y = (x, p) h 0 = f(y) y1 P t 0 = x 2 + p 2 1 y 0 y 1 Schrittweite h 1 p Korrektur durch Newtonverfahren senkrecht zur Tangente
19 Illustration x y = (x, p) h 0 = f(y) y1 P t 0 = x 2 + p 2 1 y 0 y 1 Schrittweite h 1 p t 1 Korrektur durch Newtonverfahren senkrecht zur Tangente
20 Illustration x y = (x, p) h 0 = f(y) y1 P t 0 = x 2 + p 2 1 y 0 y 1 h Schrittweite h 1 y P 2 p t 1 Korrektur durch Newtonverfahren senkrecht zur Tangente
21 Illustration x y = (x, p) h 0 = f(y) y1 P t 0 = x 2 + p 2 1 y 0 y 1 h Schrittweite h 1 y 2 y P 2 t 1 p Korrektur durch Newtonverfahren senkrecht zur Tangente
22 Illustration x y = (x, p) h 0 = f(y) y1 P t 0 = x 2 + p 2 1 y 0 y 1 h Schrittweite h 1 y 2 y P 2 t 1 p Korrektur durch Newtonverfahren senkrecht zur Tangente
23 Weitere Verbesserungen: variable Schrittweite h Fortgeschrittene Algorithmen Erkennen von Verzweigungspunkten, Abzweigen an Verzweigungen Erkennen, Verfolgen von Umkehrpunkten Berechnung der dynamischen Stabilität, Erkennen und Verfolgen von Stabilitätswechseln Klassisches Softwarepaket: Auto (Autor der Originalversion: E. Doedel), aktuelle Version frei verfügbar (LGPL) unter
24 Die Funktion Abschließendes kleines Testproblem f(λ) = e λ λ 1 hat eine reelle Nullstelle (0), aber unendlich viele komplexe Nullstellen. (Die Nullstellen von f sind Eigenwerte eines Differentialoperators.) Wie findet man die anderen Nullstellen?
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