Lösung zum 2. Übungsblatt

Transkript

1 MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. D. Rost SoSe 25 Blatt Lösung zum 2. Übungsblatt. Gegeben seien die Vektoren v = 2, v 2 =, v 3 = in R und ( ) ( ) w =, w 2 2 =, w 3 = ( ) 2 sowie die Matrix A = R ( ) in R 2 a) Man zeige, daß v, v 2, v 3 eine Basis von R 3 und w, w 2 eine Basis von R 2 ist, und bestimme die darstellende Matrix von l A : R 3 R 2 bezüglich dieser beiden Basen. b) Warum gibt es genau eine lineare Abbildung f : R 3 R 2 mit f(v ) = w, f(v 2 ) = w 2 und f(v 3 ) = w 3? Man bestimme zudem eine Matrix A 2 R 2 3 mit f = l A2. c) Man bestimme eine Matrix A 3 R 3 2 derart, daß für die lineare Abbildung g = l A3 : R 2 R 3 sowohl Kern(g) = R w als auch Bild(g) = R v gilt. Lösung: a) Um zu zeigen, dass v, v 2, v 3 eine Basis vom R 3 ist, muss gezeigt werden, dass die Matrix B = (v, v 2, v 3 ) R 3 3 invertierbar ist. Dies kann entweder gezeigt werden, indem det(b) gezeigt wird, oder in dem die inverse Matrix von B berechnet wird: (B E 3 ) = II 2I III 3I III 2II = (E 3 B ); damit ist B invertierbar, insbesondere also v, v 2, v 3 eine Basis von R 3. Für C = (w, w 2 ) gilt det(c) = 2 = ;

2 damit ist C invertierbar mit C = ( ) ( ) = ; 2 2 insbesondere ist w, w 2 eine Basis von R 2. Für die darstellende Matrix M von l A : R 3 R 2 bezüglich dieser beiden Basen gilt demnach ( ) ( ) 2 M = C A B = 2 = ( ) ( ) ( ) = =. 2 2 b) Da v, v 2, v 3 eine Basis von R 3 ist, gibt es (gemäß dem Prinzip der linearen Fortsetzung) für jede Vorgabe von Vektoren w, w 2, w 3 in R 2 genau eine lineare Abbildung f : R 3 R 2 mit f(v ) = w, f(v 2 ) = w 2 und f(v 3 ) = w 3. Mit C = (w, w 2, w 3 ) R 2 3 gilt dann für die Matrix A 2 R 2 3 mit f = l A2 A 2 v = f(v ) = w, A 2 v 2 = f(v 2 ) = w 2 und A 3 v 3 = f(v 3 ) = w 3 und damit A 2 B = (A 2 v, A 2 v 2, A 2 v 3 ) = (w, w 2, w 3 ) = C, also A 2 = C B = ( ) 2 = 2 2 ( ). c) Gemäß a) ist w, w 2 eine Basis von R 2 ; demnach gibt es eine (eindeutig bestimmte) lineare Abbildung damit ist g : R 2 R 3 mit g(w ) = und g(w 2 ) = v ; R w Kern(g) und R v Bild(g), und mit der Dimensionsformel erhält man schon dim Kern(g) + dim Bild(g) = 2 Kern(g) = R w und Bild(g) = R v.

3 Mit B = (, v ) R 3 2 ergibt sich für die Matrix A 3 R 3 2 mit g = l A3 A 3 w = g(w ) = und A 3 w 2 = g(w 2 ) = v und damit also A 3 C = (A 3 w, A 3 w 2 ) = (, v ) = B, A 3 = B C = 2 3 ( ) = Nach Staatsexamensaufgabe Herbst 24 a) Zeigen Sie, dass die Matrix S = invertierbar ist, und bestimmen Sie S. b) Im R 3 seien die Vektoren a =, a 2 =, a 3 = gegeben. Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung f : R 3 R 3 gibt mit f(a ) = a 2, f(a 2 ) = a 3 f(a 3 ) = a, und bestimmen Sie die darstellende Matrix von f bezüglich der Standardbasis des R 3. c) Geben Sie mit Hilfe der in Teilaufgabe b) angegebenen Abbildungsvorschrift einen Eigenvektor mit zugehörigem Eigenwert an. Lösung: a) Es ist (S E 3 ) = Damit ist S invertierbar mit S = S =. = (E 3 S )

4 b) Da die Matrix S = (a, a 2, a 3 ) gemäß a) invertierbar ist, bilden ihre Spalten a, a 2, a 3 eine Basis von R 3 ; demnach gibt es für jeden R Vektorraum W und jede Wahl von Vektoren w, w 2, w 3 W genau eine lineare Abbildung f : R 3 W mit f(a ) = w, f(a 2 ) = w 2 und f(a 3 ) = w 3. Insbesondere existiert also genau eine lineare Abbildung f : R 3 R 3 mit f(a ) = a 2, f(a 2 ) = a 3 und f(a 3 ) = a ; für die gesuchte Matrix A R 3 3 gilt also A a = f(a ) = a 2, A a 2 = f(a 2 ) = a 3 und A a 3 = f(a 3 ) = a, A (a, a 2, a 3 ) = (A a, A a 2, A a 3 ) = (a 2, a 3, a ). Mit T = (a 2, a 3, a ) R 3 3 gilt also A S = T, und man erhält A = T S = =. Alternativ läßt sich die Aufgabe auch ohne Verwendung des Prinzips der linearen Fortsetzung wie folgt lösen: Sei f : R 3 R 3 eine lineare Abbildung mit f(a ) = a 2, f(a 2 ) = a 3 und f(a 3 ) = a ; für ihre Abbildungsmatrix A R 3 3 gilt A a = f(a ) = a 2, A a 2 = f(a 2 ) = a 3 und A a 3 = f(a 3 ) = a, also A (a, a 2, a 3 ) = (a 2, a 3, a ), und man erhält wie oben A =. Damit ist schon gezeigt, daß es höchstens eine lineare Abbildung mit den geforderten Eigenschaften gibt, nämlich l A ; die Probe l A (a ) = A a = a 2, l A (a 2 ) = A a 2 = a 3 und l A (a 3 ) = A a 3 = a beweist nun, daß f = l A auch das Gewünschte leistet. c) Für einen Eigenvektor v R 3, v muss f(v) = λv für ein λ R gelten. Da a, a 2, a 3 eine Basis des R 3 ist, kann v R 3 wie folgt geschrieben werden: v = c a + c 2 a 2 + c 3 a 3 mit c, c 2, c 3 R. Damit ergibt sich f(v) = c f(a ) + c 2 f(a 2 ) + c 3 f(a 3 ) = c a 2 + c 2 a 3 + c 3 a Andererseits ist laut Voraussetzung f(v) = λv = λ(c a + c 2 a 2 + c 3 a 3 ) Aus diesen beiden Gleichungen folgt, dass λc = c 3, λc 2 = c, λc 3 = c 2,

5 gelten muss. Dies ist ein Gleichungssystem für die Unbekannten λ, c, c 2, c 3. Dieses Gleichungssystem wird z.b. durch λ =, c = c 2 = c 3 = gelöst. Daher ist v = a + a 2 + a 3 ein Eigenvektor zum Eigenwert λ =. 3. Staatsexamen Frühjahr 24 Sei f : R 3 R 3, x A x, die durch die Matrix 3 A = 2 3 definierte lineare Abbildung. Gegeben seien weiterhin die drei Vektoren b =, b 2 = und b 3 =. a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix B von f bezüglich der Basis b, b 2, b 3 (Sie können auch das Ergebnis aus dem Tutoriumsblatt 3 übernehmen). b) Berechnen Sie B n für alle n N und bestimmen Sie daraus A n. c) Die reellen Folgen (u n ), (v n ), (w n ) seien durch folgende Rekursionsformeln definiert: u = v =, w = 2 und für alle n sei Lösung: u n+ = 3 u n v n + w n v n+ = 2 v n Berechnen Sie u n, v n, w n für n N. w n+ = u n v n + 3 w n a) Für die gegebene Matrix 3 A = 2 R ist die zugehörige lineare Abbildung f : R 3 R 3, f(x) = A x, zu betrachten. Ferner ist für die drei gegebenen Vektoren b =, b 2 = und b 3 = R 3

6 die Hilfsmatrix P = (b, b 2, b 3 ) R 3 3 gemäß (P E 3 ) = III+I 2 III II 2 2 III = (E 3 P ) I III invertierbar mit P = P ; insbesondere ist b, b 2, b 3 eine Basis von R 3. Wegen 3 2 f(b ) = A b = 2 = = 2 b + b 2 + b f(b 2 ) = A b 2 = 2 = 2 = b + 2 b 2 + b f(b 3 ) = A b 3 = 2 = = b + b b ergibt sich die darstellende Matrix 2 B = 2 R von f : R 3 R 3 bezüglich der Basis b, b 2, b 3 von R 3. b) Als n te Potenz B n mit n N der Diagonalmatrix B R 3 3 ergibt sich 2 n 2 n B n = 2 n = 2 n R n 2 2n Gemäß dem Basiswechsel erhält man woraus über und B = P A P bzw. A = P B P, A 2 = A A = ( P B P ) (P B P ) = P B 2 P }{{} =E 3 A 3 = A 2 A = ( P B 2 P ) (P B P ) = P B 3 P }{{} =E 3

7 induktiv 2 n A n = P B n P = 2 n = 2 2n n 2 2 n 2 = 2 n 2 2 n 2 n 2 n + 2 n 2 n + 2 n = 2 n 2 R n 2 n + 2 n folgt. c) Zu den durch die Startwerte u =, v = und w = 2 durch u n+ = 3 u n v n + w n v n+ = 2 v n w n+ = u n v n + 3 w n für alle n N rekursiv definierten Folgen (u n ) n N, (v n ) n N und (w n ) n N reeller Zahlen betrachten wir u n damit ist x = sowie 2 x n = v n R 3 für alle n N ; w n u n+ 3 u n v n + w n x n+ = v n+ = w n+ 2 v n u n v n +3 w n = für alle n N. Damit erhält man x = A x sowie über u n v n w n = A x n x 2 = A x = A (A x ) = (A A) x = A 2 x und x 3 = A x 2 = A (A 2 x ) = (A A 2 ) x = A 3 x

8 induktiv + 2 n 2 n + 2 n x n = A n x = 2 n n 2 n + 2 n 2 ( + 2 n ) + ( 2 n ) + 2 ( + 2 n ) = 2 n 2 ( + 2 n ) + ( 2 n ) + 2 ( + 2 n ) 2 n+ 2 2n 4 n = 2 n n+ = 2 n 2 n + 2 2n = 2 n 2 n + 4 n, also für alle n N. u n = 4 n, v n = 2 n und w n = 2 n + 4 n 4. Sei v, v 2, v 3 eine Basis des R 3. Betrachten Sie die eindeutig bestimmte lineare Abbildung f : R 3 R 3 gegeben durch f(v ) = w, f(v 2 ) = w 2 f(v 3 ) = w 3 a) Nehmen Sie an, dass w, w 2, w 3 eine Basis des R 3 bildet. Geben Sie die darstellende Matrix bezüglich der Basen v, v 2, v 3 und w, w 2, w 3 an. b) Sei nun sowie v =, v 2 =, v 3 = w = e, w 2 = e 2 w 3 = e 3 die kanonische Basis im R 3. Bestimmen Sie die darstellende Matrix von f bezüglich der Standardbasis des R 3. Lösung: a) Bemerkung: Die oben angegebene Abbildung ist wohldefiniert; dies ist das Prinzip der linearen Forsetzung: Für jeden Vektor v R 3 ist f(v) gegeben durch f(v) = f(αv + βv 2 + γv 3 ) = αf(v ) + βf(v 2 ) + γf(v 3 ) = αw + βw 2 + γw 3 wobei v = αv +βv 2 +γv 3 mit α, β, γ R die Darstellung von v in der Basis v, v 2, v 3 ist. Nun benutzen Definition 7.23 um die darstellende Matrix bezüglich der Basen v, v 2, v 3 und w, w 2, w 3 anzugeben. Hierbei ist wichtig, dass w, w 2, w 3 eine Basis des R 3 ist. Die darstellende Matrix M R 3 3 bezüglich dieser

9 beiden Basen ist wie folgt konstriert: Sei a a 2 a 3 M = a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 Die Spalten von M geben die Zuordnungsvorschrift von f an (immer bezogen auf die oben genannten Basen). Da f(v ) = w ist, wird der Basisvektor v dem Vektor w zugeordnet. Somit ist a =, a 2 =, a 3 =. Der erste Basisvektor v wird einmal (=a ) dem Basisvektor w zugeordnet, -mal dem Basisvektor w 2 (=a 2 ) und -mal dem Basisvektor w 3 zugeordnet (=a 3 ). In der zweiten/dritten Spalte steht die Zuordnungsforschrift für den zweiten, bzw. dritten Basisvektor. Direktes Ablesen der Zuordnungsvorschrift ergibt M = E 3 b) In Teilaufgabe a) haben wir schon gesehen, dass die lineare Abbildung f eindeutig bestimmt ist; und zwar durch ihre Wirkung auf die Basisvektoren v, v 2, v 3. In dieser Teilaufgabe sollen wir die darstellende Matrix bzgl. der kanonischen Basis angeben. Um diese darstellende Matrix angeben zu können, müssen wir f(e ), f(e 2 ) und f(e 3 ) kennen. Sobald wir f(e ), f(e 2 ) und f(e 3 ) kennen, können wir die darstellende Matrix einfach ablesen. Dies ist aber kein Problem, denn wir wissen ja, dass f eindeutig bestimmt ist und somit können wir für jeden Vektor v R 3 angeben, was f(v) ist. Dazu müssen wir, wie schon in Teilaufgabe a) gesehen, v mit Hilfe der Basis v, v 2, v 3 darstellen. Durch scharfes Hinsehen (oder Lösen eines linearen Gleichungssystemes) erhalten wir e = 2 (v + v 2 v 3 ), e 2 = 2 (v v 2 + v 3 ), e 3 = 2 ( v + v 2 + v 3 ) Damit ist f(e ) = 2 (e + e 2 e 3 ), f(e 2 ) = 2 (e e 2 + e 3 ), f(e 3 ) = 2 ( e + e 2 + e 3 ) Somit kann gemäß Definition 7.23 die darstellende Matrix bezüglich der Standardbasis des R 3 abgelesen werden. Diese ist gegeben durch M = 2 Wie schon in der Vorlesung gezeigt, gilt weiterhin, dass M (=die darstellende Matrix von f bzgl. der kanonischen Basis) identisch mit der Abbildungsmatrix von f ist, d.h. f(x) = M x Dies ist wenig verwunderlich, da die i-te Spalte von M (gemäß Konstruktion) durch f(e i ), dargestellt in der kanonischen Basis, gegeben ist.

10 Mit Hilfe dieser Erkenntnis können wir Teilaufgabe b) auch alternativ lösen: Die gesuchte Matrix M ist, wie eben gesehen, sowohl die darstellende Matrix von f bzgl. der kanonischen Basis, als auch die Abbildungsmatrix von f. Damit gilt: f(v) = M v für alle v R 3. Somit ist auch M (v v 2 v 3 ) = (e e 2 e 3 ) = E 3 wobei (v v 2 v 3 ) R 3 3 eine 3 3 Matrix ist, dessen Spaltenvektoren durch v, v 2 und v 3 gegeben sind. Dies ergibt M = (v v 2 v 3 ). Invertieren der Matrix (v v 2 v 3 ) ergibt wieder die gesuchte Matrix M.