Elastizität und Bruchmechanik

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1 Technische Universität Berlin 1 Institut für Mechanik 6. Juni 2008

2 Kräftegleichgewicht Spannungstensor Satz von Gauss Vertauschung Massenmittelpunktsbeschleunigung Zusammenfassung erstes Bewegungsgesetz von Cauchy Kräftegleichgewicht der Statik Nach Newton gilt das die Summe aller Kräfte an einem Kontinuum gleich der Impulsänderung ist. Die globale Gleichgewichtsbedingung lautet tda + ρ bdv = d dt ρ vdv

3 Kräftegleichgewicht Spannungstensor Satz von Gauss Vertauschung Massenmittelpunktsbeschleunigung Zusammenfassung erstes Bewegungsgesetz von Cauchy Kräftegleichgewicht der Statik Aus der axiomatisch angenommenen Gültigkeit der Drehimpulsbilanz folgt für den Spannungstensor der Elastizitätstheorie die Symmetrie. σ = σ T σ nda + ρ bdv = d dt ρ vdv

4 Kräftegleichgewicht Spannungstensor Satz von Gauss Vertauschung Massenmittelpunktsbeschleunigung Zusammenfassung erstes Bewegungsgesetz von Cauchy Kräftegleichgewicht der Statik Die Änderung einer Feldgrösse im inneren eines Kontrollraums ist gleich dem Fluss der Feldgrösse durch die Oberfläche. ( ) div σ dv + ρ bdv = d dt ρ vdv

5 Kräftegleichgewicht Spannungstensor Satz von Gauss Vertauschung Massenmittelpunktsbeschleunigung Zusammenfassung erstes Bewegungsgesetz von Cauchy Kräftegleichgewicht der Statik Für stetige Funktionen und konstante Integrationsgrenzen lässt sich das Integral mit dem Differential vertauschen. ( ) div σ dv + ρ bdv = d dt ρ vdv

6 Kräftegleichgewicht Spannungstensor Satz von Gauss Vertauschung Massenmittelpunktsbeschleunigung Zusammenfassung erstes Bewegungsgesetz von Cauchy Kräftegleichgewicht der Statik Die Beschleunigungskraft bzw. die Trägkeitskraft greift am Massenmittelpunkt an. ( ) div σ dv + ρ bdv = ρ a c dv

7 Kräftegleichgewicht Spannungstensor Satz von Gauss Vertauschung Massenmittelpunktsbeschleunigung Zusammenfassung erstes Bewegungsgesetz von Cauchy Kräftegleichgewicht der Statik Diese Gleichung ist für beliebige Volumen erfüllt. ( ( ) div σ + ρ ) b ρ a c dv = 0

8 Kräftegleichgewicht Spannungstensor Satz von Gauss Vertauschung Massenmittelpunktsbeschleunigung Zusammenfassung erstes Bewegungsgesetz von Cauchy Kräftegleichgewicht der Statik Die lokale Formulierung der nach Newton lautet wie folgt 1 divσ + ρ b = ρ a c 2 σ ij x j + ρb i = ρa c i

9 Kräftegleichgewicht Spannungstensor Satz von Gauss Vertauschung Massenmittelpunktsbeschleunigung Zusammenfassung erstes Bewegungsgesetz von Cauchy Kräftegleichgewicht der Statik Die lokale Formulierung der nach Newton lautet wie folgt 1 divσ + ρ b = ρ a c 2 σ ij x j + ρb i = ρa c i

10 Quasistatische bzw. statische Gleichgewichtsbeziehung Kräftegleichgewicht Spannungstensor Satz von Gauss Vertauschung Massenmittelpunktsbeschleunigung Zusammenfassung erstes Bewegungsgesetz von Cauchy Kräftegleichgewicht der Statik Der Grenzübergang P = 0 wird als Statik bzw. Quasistatik bezeichnet. 1 divσ + ρ b = 0 2 σ ij x j + ρb i = 0 i

11 Quasistatische bzw. statische Gleichgewichtsbeziehung Kräftegleichgewicht Spannungstensor Satz von Gauss Vertauschung Massenmittelpunktsbeschleunigung Zusammenfassung erstes Bewegungsgesetz von Cauchy Kräftegleichgewicht der Statik Der Grenzübergang P = 0 wird als Statik bzw. Quasistatik bezeichnet. 1 divσ + ρ b = 0 2 σ ij x j + ρb i = 0 i

12 Lokale Theorie kleinen Verformungen vs. grosse Verformungen Komponenten des Deformationstensors Verzerrungs.-Verschiebungsrelation u ( r + d r ) = u ( ) x j + dx j u ( ) x j + u x j dx j = u ( r ) ( ) + d r u dˆ r = d r + u ( r + d r ) u ( r ) ( ) = d r + d r u = d r E + u r^ r u ( r) A' A d r d r^ ^r+d ^r B' u ( r+d r) B r+d r

13 Lokale Theorie kleinen Verformungen vs. grosse Verformungen Komponenten des Deformationstensors Verzerrungs.-Verschiebungsrelation grosse( Verformungen: D = 1 2 u + u + ( ) ) T u u kleine ( Verformungen: D = 1 2 u + u )

14 Lokale Theorie kleinen Verformungen vs. grosse Verformungen Komponenten des Deformationstensors Verzerrungs.-Verschiebungsrelation Der Verzerrungstensor ist ein symmetrischer Tensor D = D T und er hat reelle Eigenwerte. ( D = ɛ ij e i e j = 1 2 u + u ) ( uj ) = 1 2 x i + u i x j e i e j Für die Komponeten des Verzerrungstensors erhält man: ɛ ij = 1 2 ( uj x i ) + u i x j

15 explizit in den Verzerrung explizit in den Spannungen konstitutive Gleichungen Hooksches Gesetz im isotropen Material ɛ 11 = 1 E (σ 11 + ν (σ 22 + σ 33 )) ɛ 22 = 1 E (σ 22 + ν (σ 33 + σ 11 )) ɛ 33 = 1 E (σ 33 + ν (σ 11 + σ 22 )) E-Modul, G-Modul und Querkontraktion sind linear abhängig. G = E 2(1+ν) Die Darstellung des es explizit in den Verzerrung lautet: ( ) ( ) ɛ ij = 1 2G σ ij ν 1+ν σ kkδ ij bzw. D = 1 2G E s ν 1+ν E E σ D = C 1 σ = C 1 = 1 2G ( E s ) ν 1+ν E E

16 explizit in den Verzerrung explizit in den Spannungen konstitutive Gleichungen Die Aufgabe besteht im Invertieren des Materialtensor 4.Stufe. σ = C D C = 2µE s + λe E die Lameschen Konstanten ergeben sich zu: λ = 2Gν 1 2ν, µ = G Das explizit in der Spannung kann nun in Komponentenschreibweise geschrieben werden: σ ij = 2G ( ɛ ij + ) ν 1 2ν ɛ kkδ ij

17 Grundgleichungen Naviersche Gleichung Randwertproblem Ansatz von Helmholz Beispiel Weg zur Lösung des Elastizitätsproblems 1 σ + ρ b = 0 2 D = 1 2 ( uj x i 3 σ = C D 4 D = 0 + u i x j ) e i e j

18 Grundgleichungen Naviersche Gleichung Randwertproblem Ansatz von Helmholz Beispiel Weg zur Lösung des Elastizitätsproblems 1 σ + ρ b = 0 3 skalare Gleichungen 2 D = 1 2 ( uj x i 3 σ = C D 4 D = 0 + u i x j ) e i e j

19 Grundgleichungen Naviersche Gleichung Randwertproblem Ansatz von Helmholz Beispiel Weg zur Lösung des Elastizitätsproblems 1 σ + ρ b = 0 2 D = 1 2 ( uj x i 3 σ = C D 4 D = 0 + u i x j ) e i e j

20 Grundgleichungen Naviersche Gleichung Randwertproblem Ansatz von Helmholz Beispiel Weg zur Lösung des Elastizitätsproblems 1 σ + ρ b = 0 2 D = 1 2 ( uj x i 3 σ = C D 4 D = 0 + u i x j ) e i e j 6 skalare Gleichungen

21 Grundgleichungen Naviersche Gleichung Randwertproblem Ansatz von Helmholz Beispiel Weg zur Lösung des Elastizitätsproblems 1 σ + ρ b = 0 2 D = 1 2 ( uj x i 3 σ = C D 4 D = 0 + u i x j ) e i e j

22 Grundgleichungen Naviersche Gleichung Randwertproblem Ansatz von Helmholz Beispiel Weg zur Lösung des Elastizitätsproblems 1 σ + ρ b = 0 2 D = 1 2 ( uj x i + u i x j ) e i e j 3 σ = C D 6 skalare Gleichungen 4 D = 0

23 Grundgleichungen Naviersche Gleichung Randwertproblem Ansatz von Helmholz Beispiel Weg zur Lösung des Elastizitätsproblems 1 σ + ρ b = 0 2 D = 1 2 ( uj x i 3 σ = C D 4 D = 0 + u i x j ) e i e j

24 Grundgleichungen Naviersche Gleichung Randwertproblem Ansatz von Helmholz Beispiel Weg zur Lösung des Elastizitätsproblems 1 σ + ρ b = 0 2 D = 1 2 ( uj x i 3 σ = C D + u i x j ) e i e j 4 D = 0 6 skalare Gleichungen

25 Grundgleichungen Naviersche Gleichung Randwertproblem Ansatz von Helmholz Beispiel Weg zur Lösung des Elastizitätsproblems In die Feldgleichung setzt man das ein: σ + ρ b = ( ) C D + ρ b = 0 Für isotrope ( Materialien erhält man: C 1 2 u + u ) + ρ b = 0 daraus ( folgt die Naviersche ) Gleichung: G u ν grad div u + ρ b = 0 in Komponentenschreibeweise ergibt sich die Lame-Navier-Gleichung: µ 2 u j x 2 i + (µ + λ) 2 u i x i x j + ρ G b j = 0 j

26 Grundgleichungen Naviersche Gleichung Randwertproblem Ansatz von Helmholz Beispiel Weg zur Lösung des Elastizitätsproblems Zu den Grundgleichungen kommen Aussagen bezüglich der Werte von Spannung und Dehnung auf dem Rand. 1 Am Rand gibt es eine Lastverteilung: σ n = σ R1 2 Am Rand sind die Verschiebungen gegeben: u (R) = u R2 3 oder das Gemische Randwertproblem: R1 R2 = R

27 Grundgleichungen Naviersche Gleichung Randwertproblem Ansatz von Helmholz Beispiel Weg zur Lösung des Elastizitätsproblems Um die Lame-Naviersche-Gleichung zu lösen wird eine Verschiebungsfunktion gesucht die der Gleichung genügt. Ein Ansatz geht auf Helmholz zurück er beschriebt das Verschiebungsfeld als eine : u = div ψ + grad Φ Diesen Ansatz in die Gleichung eingesetzt führt auf: 2(1 ν) 1 2ν ( Φ) + ψ = 0

28 Grundgleichungen Naviersche Gleichung Randwertproblem Ansatz von Helmholz Beispiel Weg zur Lösung des Elastizitätsproblems ψ = Φ = 0 Φ = 2 Φ + 1 r 2 r u = Φ σ = 2G grad grad Φ d 2 Φ dr 2 Φ r Φ + 2 Φ = 0 r 2 φ 2 z 2 Man erhält für achsensymmetrische Probleme eine DGL2.Ordung: + 1 dφ r dr = 0 Lösung: Φ = C 1 ln (r) + C 2 r 2 Die Konstanten werden durch die Randbedingungen bestimmt.

29 Grundgleichungen Naviersche Gleichung Randwertproblem Ansatz von Helmholz Beispiel Weg zur Lösung des Elastizitätsproblems Zu den Grundgleichungen kommen Aussagen bezüglich der Werte von Spannung und Dehnung auf dem Rand. 1 Am Rand gibt es eine Lastverteilung: σ n = σ R1 2 Am Rand sind die Verschiebungen gegeben: u (R) = u R2 3 oder das Gemische Randwertproblem: R1 R2 = R

30 Einleitende Bemerkung Grundgleichungen des ESZ s kartesischen Koordinaten σ zz = τ zx = τ zy = 0

31 Einleitende Bemerkung Grundgleichungen des ESZ s kartesischen Koordinaten Gleichgewichtsbedingung: 1 σ xx x τ 2 xy x + τxy y + f x = 0 + σyy y + f y = 0 kinematische Beziehungen: 1 ɛ xx = u x = 1 E (σ xx νσ yy ) 2 ɛ yy = v y = 1 E (σ yy νσ xx ) 3 ɛ zz = w z = ν E (σ xx + σ yy ) 4 γ xy = u x + v x = 2(1+ν) E τ xy

32 Einleitende Bemerkung Grundgleichungen des ASSZ s polare Koordinaten τ rt = τ zt = 0 und τ rz = τ zr = τ

33 Einleitende Bemerkung Grundgleichungen des ASSZ s polar Koordinaten Gleichgewichtsbedingung: 1 2 (rσ r ) r (rτ) r + (rτ) z σ t + rr = 0 + (rσz) z + rz = 0 kinematische Beziehungen: 1 ɛ r = u r = 1 E (σ r ν (σ t + σ z )) 2 ɛ t = u r = 1 E (σ t ν (σ r + σ z )) 3 ɛ zz = w z = 1 E (σ z ν (σ r + σ t )) 4 γ rz = u z + w r = τ G = 2(1+ν) E τ