Baustatik & Festigkeitslehre Vorlesung & Übung

Transkript

1 Baustatik & Festigkeitslehre Vorlesung & Übung Vortragender: O.Univ.Prof. DI Dr. Dr. Konrad Bergmeister

2 Spannungen A F p p lim A 0 F A F p F A F p* F A* A A* a b

3 Spannungen Normal und Schubspannungen z X τ z τ p Y Rechte-Hand-Regel Z

4 Spannungen Normal und Schubspannungen l z z l τ z τ z τ z τ τ z τ τ τ z dz d d l

5 Spannungen Normal und Schubspannungen z zz z z τ z dz p d τ τ z z τ z τ τ z τ d τ z τ z Gleichgewichtsbedingung: d ( ) dz τ ( ) z ddz τz dd 0 d / d / dz / dz / M z τ z t z t z

6 Spannungen Normal und Schubspannungen S τ τ z τ τ z τ τ z z z n + n + n z ( ) z f n, n, n n + n + n 0 z z τ τ ξ ξη ξζ τ τ ξη η ηζ τ τ ξζ ηζ ζ

7 Spannungen In einer vorgegebenen Schnittebene p ξ ζ η p τ ξ τξζ τξη p z ξ p z ξ p p p + τ + τ z z τ + + τ z z τ + τ + z z z z z

8 Spannungen Hauptnormalspannungen, Spannungshauptachsen p ξ ξ ξ 0 (s -s) n + t n + t z n z 0 t n + (s - s) n + t z n z 0 t z n + t z n + (s z - s) n z 0 3 ( ) τ τ z τ ( ) τ z τ τ ( ) z z z 0 3

9 Spannungen Hauptschubspannungen τ,, τ τ τ τ 3 τ 3 τ

10 Spannungen Der ebene Spannungszustand F 3 z z τ τ F F a b

11 Spannungen Der ebene Spannungszustand ϕ τ ξη p ξ ξ p s + t p t + s p η ϕ ξ p p τ z τ p

12 Spannungen Der ebene Spannungszustand ψ ϕ ϕ τ ξ η ξη Schnittebene mit cosϕ + τ cosϕ τ sin ϕ + τ cosϕ sin ϕ sin ϕ ϕ Schnittebene mit Schnittebene τ ξ ξη + + sin ψ cosψ mitϕ ψ + ϕ

13 Der Mohrsche Spannungskreis Christian Otto Mohr τ τ ξη ξ a R τ + ( ) a R + ξη ξ τ +

14 Der Mohrsche Spannungskreis τ ξη R ϕ 0 τ η ξ ϕ 90 ϕ 0 ϕ ϕ ξ η ξ τ ϕ 90 + s, s + s s -s + t Ł ł

15 Der Mohrsche Spannungskreis τ ξη ϕ 0 + cosψ ϕ 0, ϕ ϕ τ ξη sinψ ϕ ψ ψ ξ τ tan ϕ*

16 Der Mohrsche Spannungskreis τ ξη ϕ 0 ϕ ξ ϕ ϕ ϕ ξ ϕ ϕ τ ξη τ ma

17 Verformungen DI u(i) u(0) l l+ l u ( 0) u( l) 0 l

18 Verformungen Du u(+d) - u() + u( ) ( + ) u u u ( + ) u( ) ( ) du d

19 Verformungen Für einen Zugstab I u I du d ( I ) u( 0) d ( ) d 0 0 I I d I 0 I I I

20 Verformungen Im ebenen Fall nach der Verformung (stark übertrieben) vor der Verformung

21 Verformungen Im ebenen Fall Alle Winkeldrehungen sind sehr klein. Jede auf dem Körper markierte Linie darf sich nur so verformen, dass ihre Längenänderung klein gegenüber der Ausgangslänge ist. Bei den meisten Werkstoffen liegt dieser Wert < %. Diese Einschränkung schließt allerdings nicht aus, dass größere translatorische Verschiebungen (z.b. Stimmgabel) ausgeführt werden.

22 Verformungen Dehnung - Scherung (, + ) (, ) u u + (, ) (, + ) v β 90 γ (, ) ( +, ) u α v(, ) ( ) v +, u [ u ( +, ) u(, + v [ v(, + ) v(,

23 Verformungen Dehnung - Scherung u (, ), (, ) Außer den Längenänderungen interessieren auch die Änderung der ursprünglich rechten Winkel an den Eckpunkten. Das heißt, die Abnahme des Winkels zwischen den Parallelen zu den beiden Achsen. Diese Maß bezeichnet man als Scherung oder Schiebung g. α tanα v ( +, ) v(, ) + u( +, ) v v + ( +, ) v(, ) u ( +, ) u(, )

24 Verformungen Dehnung - Scherung limα v ( ) 0 +, γ limα 0 v u lim β 0 v, γ, + ( ) ( ) u

25 Verformungen Dehnung und Scherung in einem gedrehten Koordinatensstem v(, ) (, ) ( ξη, ) u(, ) ϕ U(, ) V (, ) ξ ξ ξ γ ξη sin ϕ + cos ϕ + cos ϕ γ γ γ sin ϕ sin ϕ cos ϕ

26 Verformungen Verschiebungen und Verformungen im allg. räumlichen Fall (,, ), (,, ), (,, ) z u v w z z z z γ γ γ z z (,, z) γ (,, z) (,, z) γ (,, z) z (,, z) γ (,, z) z v u + w v + z u w + z

27 Verformungen Verschiebungen und Verformungen im allg. räumlichen Fall v( z,, ) wz (,, ) 90 γ ( z,, ) 90 γ z ( z,, ) ( z) 90 γ,, z u( z,, ) ( z,, ) z γ γ z γ γ z γz γ z z

28 E ij u u j u u + + X X X X i k k j i i j Die in der Elastizitätstheorie verwendeten konstitutiven Beziehungen entsprechen Werkstoffmodellen, die sich in drei Hauptgruppen unterteilen lassen CAUCHY`sche elastische Modelle, hperelastische Modelle, hpoelatische Modelle.

29 Einaialer Zustand L A Schnitt A - A A X, (N) N A 0 N A

30 Klassen von Spannungs- Dehnungsdiagrammen: - Zähe Materialien und - Spröde Materialien

31 s wahre Spannung f t Nennspannung f Fließplateau Verfestigungsbereich Einschnürung s s su 0, % - 4 % 5-5 % 0-35 %

32 c < 0 f c,4f c arctan Ect (b) arctan Ecm c < 0 c cu (a) ~ -0, % bis -0,4 %

33 F Konstitutive Beziehungen Das Hooksche Gesetzt ( ) b a E c l l 0 a b ( ) l el el l c

34 Elastizitätsmodul Quer- Zug- bzw., Bruchdehnung [ N / mm² ] dehnungs- Druckfestigkeit bzw. -stauchung zahl [ N / mm² ] [ % ] Baustähle , (840) 5 - Betonstähle , Spannstähle , Aluminium , Beton ,5-0,5 Druck - 75 (0) 0,4-0, Zug - 7 0,0-0,0 Holz längs zur Faser ,0-0,03 Zug ~ 0,4 Druck ~ 0,5 quer zur Faser ~ 0,5 Druck ~ 7-0 >

35 0 40 Elastizitätsmodul E (GPa) hochlegierte Stähle unlegierte und niedriglegierte Stähle Elastizitätsmodul E (GPa) 0 00 Hochfester Stahl 30 St a Temperatur T ( C) b Umformgrad ϕ (%)

36 Die wahre Bedeutung des Hookschen Gesetzes liegt darin, dass bei bekannten Belastungen bzw. Spannungen die resultierende Verformung berechnet werden kann. Umgekehrt kann aus den Verformungen (z.b. durch Dehnungsmessung) auf die Spannungen, bzw. auf die angreifenden Lasten geschlossen werden.

37 f 0, Belastung Entlastung und Wiederbelastung [%] 0, e

38 A B C c f t B A C l

39 Charakteristische Werkstoffkenngrößen R ( ), ( ) f r f s S S S m z fs ( s) R R fr ( r) 0 ( ) fz ( z) pf fz z dz β Z Z Z fz ( z) 0 mz z ms m sr, R Versagen kein Versagen

40 Querdehnung Zug e q -n e F Druck F

41 Verallgemeinertes HOOK` sches Gesetz s ij C ijkl e kl ; C D - D D D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D D D3 D4 D5 D6 D7 D8 D 9 3 D3 D3 D33 D34 D35 D36 D37 D38 D 39 3 D D D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D D D3 D4 D5 D6 D7 D8 D 9 3 D3 D3 D33 D34 D35 D36 D37 D38 D D3 D3 D33 D34 D35 D36 D37 D38 D D3 D3 D33 D34 D35 D36 D37 D38 D D33 D33 D333 D334 D335 D336 D337 D338 D339 33

42 Verallgemeinertes HOOK` sches Gesetz D D D D D D D D D D D D D D D 4D 4D 4D 3 4D33 4D 33 3 smm. 4D Anisotrop bedeutet, dass die mechanischen Eigenschaften des Materials NICHT richtungsunabhängig sind.

43 D D D D D D D 0 0 4D smm. 4D33 3 Der Etremfall, dass ein Werkstoff in alle Richtungen die gleichen mechanischen Eigenschaften besitzt nennt man isotrop.

44 Verallgemeinertes HOOK` sches Gesetz für isotrope Werkstoffe ν D, D D. E E ( )

45 Verallgemeinertes HOOK` sches Gesetz für isotrope Werkstoffe Hauptnormalverzerrungen : +ν +ν,, 3 0. E E E G ( +ν) 0 ν

46 Verallgemeinertes HOOK` sches Gesetz für isotrope Werkstoffe ν ν E E E ν E E E G smm. 0 G G +ν ν δ E E ij ij ij kk

47 Verallgemeinertes HOOK` sches Gesetz für isotrope Werkstoffe ν ν ν ν ν ν E ( ν) ν ( )( ) +ν ν ( ) ν 3 3 ν 0 3 ( ν) 3 ν smm. ( ν) E ν + δ +ν ν ij ij kk ij.

48 Verallgemeinertes HOOK` sches Gesetz für isotrope Werkstoffe Bei einem isotropen Material wird ein - hdrostatischer Spannungszustand einen volumetrischen Verzerrungszustand und - ein deviatorischer Spannungszustand einen deviatorischen Verzerrungszustand bewirken.

49 λ, Κ, G G, ν Ε, ν Ε, G Gν ν G Ε G λ λ Κ 3 G ν + ν ν 3G E G G G G Κ Ε ν λ + G Κ 3 ( 3λ + G) G 9KG λ + G 3K + G λ 3K G ( λ + G) 6K + G G( + ν ) ( ν ) 3 Ε ( ) ( )( ) Ε +ν Ε ( ) ( ν ) 3 G ΕG 3 3 ( G E) G ( +ν ) Ε Ε ν ν Ε G

50 Verallgemeinertes HOOK` sches Gesetz für orthotrope Werkstoffe ν ν E E E 3 ν ν E E E3 3 3 ν ν E E E G G G 3.

51 Verallgemeinertes HOOK` sches Gesetz für orthotrope Werkstoffe ν ν ν ν ν ν,, E E E E E E Weist ein Werkstoff zwar in allen Richtungen einer Ebene die gleichen Eigenschaften, in der zu dieser Ebenen normalen Richtung jedoch andere Eigenschaften auf, dann spricht man von einem transversal isotropen Material.

52 Verallgemeinertes HOOK` sches Gesetz bei Berücksichtigung von Temperatureinflüssen [ K] 5 α T /,0 0 Beton Stahl Aluminium, 0 5,4 0 5 Spannungen entstehen bei - ungleichförmiger Temperaturänderung und - wenn die vom Körper bei einer Temperaturänderung angestrebte Volumenänderung durch seine Lagerung behindert wird.

53 Verallgemeinertes HOOK` sches Gesetz bei Berücksichtigung von Temperatureinflüssen ν ν E E E ν E E αt αt E 33 α T ( T T 0 ) G smm. 0 G G ( ) D +α T T ij ijkl kl ij 0

54 Verallgemeinertes HOOK` sches Gesetz bei Berücksichtigung von Temperatureinflüssen ν ν ν ν ν T( T T0 α ) ν αt( T T0) 33 E ( ν) ν 33 αt( T T0) 0 0 ( )( ). +ν ν ( ) ν 3 3 ν 0 3 ( ν) 3 ν smm. ( ν) E ν E ij ij + kkδij αt( T T 0) δij. +ν ν ν

55 ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) T T E T T E T T E z z z z α µ α µ α µ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T E E T T E E T T E E z z z z z α µ µ µ α µ µ µ α µ µ µ

56 Verallgemeinertes HOOK` sches Gesetz für den ebenen Spannungszustand s 33 s 3 s 3 0 ν 0 E E 0 + α T T E 0 smm. G ( ) T 0 ν + +α E ( ) ( T T ) 33 T 0

57 Verallgemeinertes HOOK` sches Gesetz für den ebenen Spannungszustand ν 0 αt( T T0) E 0 αt( T T 0). ν ν smm.

58 Verallgemeinertes HOOK` sches Gesetz für den ebenen Verzerrungszustand e 33 e 3 e 3 0 ν 0 ν ν 0 + +ν α T T E 0 smm. ν ( ) ( ) T 0 ν 0 ν ( +ν ) α T( T T0) E ( ν) 0 ( +ν) αt( T T 0). ( +ν)( ν) ν smm. ( ) ν

59 Zusammenfassung der grundlegenden Gleichungen Zur Ermittlung der - 3 Verschiebungskomponenten, - 6 Verzerrungskomponenten und - 6 Spannungskomponenten Verwendet man : - die linearen kinematischen Beziehungen - die kinetischen Beziehungen - die linearen konstitutiven Beziehungen (etwa das verallgemeinerte HOOK`sche Gesetz)

60 Zusammenfassung der grundlegenden Gleichungen lineare kinematische Beziehungen : ( ) ij u i,j + u j,i, nichtlineare kinematische Beziehungen bei großen Verschiebungen und Verschiebungsableitungen bei LAGRANGE`scher schreibweise : E ij u u u u + + X X X X i j k k j i i j

61 Zusammenfassung der grundlegenden Gleichungen kinetischen Beziehungen : + f ρb ji,j i i kinetische Beziehungen bei großen Verschiebungen und Verschiebungsableitungen bei LAGRANGE`scher schreibweise : X j u i * δ ij + S jk+ρ 0 f 0 i 0. Xk

62 Zusammenfassung der grundlegenden Gleichungen lineare konstitutive Beziehungen C α T T ( ) ij ijkl kl kl 0 S ( ) ij Cijkl Ekl αkl T T 0.

63 Zusammenfassung der grundlegenden Gleichungen - RB (a) (b) X j u i δ ik + S jk+ f 0 i 0 Xk

64 Randwertprobleme aus der Elastizitätstheorie können in folgende drei Kategorien unterteilt werden :. Ist in jedem Punkt des Randes die Verschiebung vorgegeben, spricht man von der ersten Randwertaufgabe der Elastizitätstheorie.. Ist in jedem Punkt des Randes die Oberflächenkraft vorgegeben, spricht man von der zweiten Randwertaufgabe der Elastizitätstheorie. 3. Als gemischte Randwertaufgabe der Elastizitätstheorie bezeichnet man alle anderen Fälle.